UNIDAD 4 BASE, DIMENSIÓN Y MATRIZ DE TRANSICIÓN Objetivos

Unidad 4
Base,
diMensión y Matriz
de transición
Objetivos:
Al inalizar la unidad, el alumno:
• Conocerá la deinición de base de un espacio vectorial.
• Identiicará bases canónicas para algunos espacios vectoriales.
• Encontrará las coordenadas de un vector relativas a una base especíica.
• Comprenderá el concepto de dimensión de un espacio vectorial.
• Aplicará la matriz de transición para cambiar de base un espacio vectorial.
Álgebralineal
Introducción
E
n la unidad anterior vimos cuando un conjunto de vectores linealmente
independientes generaba todo el espacio vectorial. Vimos también
que tener ese conjunto era muy cómodo, pues cualquier vector podía
escribirse como combinación lineal de los vectores de ese conjunto. En esta
unidad definiremos formalmente el concepto de base de un espacio vectorial y
conoceremos sus características. Veremos también que un espacio vectorial puede
tener varias bases, se mostrará cómo alguna de éstas son más cómodas que
otras y el modo de cambiar de una a otra.
4.1. Definición de base de un espacio vectorial
Un espacio vectorial siempre tiene al menos un conjunto de vectores que lo
generan lo que nos lleva a la siguiente definición.
Definición 4.1. Sea V un espacio vectorial y {v1, v2, . . .,vn} un conjunto finito
de vectores de V. Entonces {v1, v2, . . ., vn} se llama base de V si satisface las
siguientes condiciones:
i) {v1, v2, . . ., vn} es linealmente independiente.
ii) {v1, v2, . . ., vn} genera V.
Esta definición nos proporciona las características que debemos buscar en
un conjunto para que sea una base.
Ejemplo 1
a) Recordemos que en la unidad pasada vimos que en R 2 los vectores i =
(1, 0) y j = (0, 1) eran linealmente independientes y que generaban a R2 , por
lo tanto podemos decir que el conjunto {i, j} es una base para R2.
b) También recordemos que el teorema 3.9. nos indica que “cualquier
conjunto de n vectores linealmente independientes de Rn genera a Rn ”, por lo
tanto, podemos afirmar el siguiente resultado:
135
Unidad 4
Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base
de Rn.
Ahora veremos en el siguiente apartado ejemplos de bases para espacios
vectoriales distintos de Rn.
4.2. Bases en varios tipos de espacios
vectoriales
En este apartado consideraremos ejemplos de espacios vectoriales distintos
a Rn. Para manejar más fácilmente al espacio vectorial en su conjunto,
encontraremos también algunas de las llamadas bases canónicas.
1. Consideremos el espacio vectorial formado por
H = {(x, y, z) en R3 tales que 2x – y + 3z = 0}
Vamos a encontrar una base para H.
Tomemos un vector (x, y, z) en H, entonces satisface el hecho de que
2x – y + 3z = 0;
podemos reescribir esta condición como y = 2x + 3z, de donde tenemos que
los vectores de H los podemos escribir de la siguiente manera:
 x   x 0
1 0
 2 x + 3 z  =  2 x  +  3 z  = x  2  + z  3  de donde podemos decir que los
 z  0  z
0 1

    
   
1 0
vectores  2  y  3  generan H.
0 1
   
1 0
Vamos ahora a probar que  2  y  3  son linealmente independientes.
0 1
   
Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero:
136
Álgebralineal
1 
0 0
 
   
a  2  + b  3  =  0  , entonces tenemos que a = 0; 2a + 3b = 0 y b = 0, por
0
1   0 
 
   
1 0
lo tanto  2  y  3  son linealmente independientes.
0 1
   
Podemos concluir que, como son linealmente independientes y generan H,
1 0
entonces  2  y  3  son una base para H.
0 1
   
2. Consideremos el espacio vectorial formado por todas las matrices de
2×2 de la forma

 0 a 
D2×2 = 
 / a y b ∈ R'

 b 0 
Vamos a encontrar una base para este espacio vectorial.
0 a
Tomemos una matriz de este espacio 
, entonces podemos
b
0 

0 0
0 1
0 a
reescribirla como 
 = a  0 0  + b  1 0  de donde podemos afirmar que
b
0






0 1
 0 0  generan todo el espacio vectorial. Claramente observamos
0 0 y 1 0




que también son linealmente independientes, por lo que podemos afirmar que
son base del espacio D2×2.
3. Consideremos el sistema homogéneo de ecuaciones lineales
x + 2y − z = 0
2 x − y + 3z = 0
Vamos a encontrar el conjunto solución S del sistema.
Para encontrar el conjunto solución consideremos la matriz aumentada
asociada al sistema y llevémosla a la forma escalonada reducida por renglones.
137
Unidad 4
1
2

2
−1
−1
3
0 1
→
0   0
2
−5
−1
5
0   1 2 −1
→
0   0 1 −1
0 1 0
→
0   0 1
1
−1
0
0 
x = −z
x+z=0
de donde
,
y=z
y−z=0
de manera que todas las soluciones del sistema son de la forma
De aquí obtenemos el siguiente sistema
 x   −z
 y =  z
z  z
  

 −1
 = z 1

 1



 , por lo que


 −1
 1
 1


 es una base para S.


Probaremos que S es un subespacio vectorial:
Sean a y b en S, entonces existen a y b números tales que a = a(–1,1,1) =
(–a, a, a) y b = b (–1,1,1) = (–b, b, b).
i) a + b = (–a, a, a) + (–b, b, b) = (–a–b, a+b, a+b) = (–(a+b), a+b, a+b)
está en S.
ii) αa = α(–a, a, a) = (α(−a), αa, αa) = (– αa, αa, αa) está en S.
Entonces, por el teorema 3.2, S es un subespacio vectorial de R3.
4. Consideremos el espacio vectorial P2 (los polinomios de grado menor o
igual a 2). Vamos a encontrar una base para P2.
Sea p un polinomio de P2, entonces p = ax2+bx+c de donde podemos
observar que el conjunto formado por { x2, x, 1} genera a P2.
Probemos ahora que { x2, x, 1} es un conjunto linealmente independiente.
Tomemos una combinación lineal igual a cero, entonces ax2 + bx +c = 0 de
donde obtenemos que existe la solución trivial para a = b = c = 0 por lo que el
conjunto es linealmente independiente.
Podemos entonces concluir que { x2, x, 1} es una base para P2.
5. Sea P3 un espacio vectorial, detemina si el conjunto B = {1, 1+x, 1+x2,
1+x }es una base para P3.
3
138
Álgebralineal
Sea p un polinomio de P3, entonces p = a1x3 + a2 x2 + a3x + a4.
Si B es una base, entonces genera a P3 y, por lo tanto, p es una combinación
lineal de B.
Sea la combinación lineal p = b11 + b2(1+x) + b3(1+x2) + b4(1 + x3),
entonces
p = b1 + b2 + b2 x + b3 + b3x2 + b4 + b4x3 = (b1 + b2 + b3 + b4) + b2 x + b3x2 + b4x3
de donde igualando ambas expresiones tenemos que:
a1= b4;
a2 = b3;
a 3 = b 2;
a4 = b1 + b2 + b3 + b4 = b1 + a3 + a2 + a1
por lo tanto B sí genera a P3.
Veamos ahora si B es linealmente independiente.
Consideremos una combinación lineal igual a cero,
b11 + b2(1+x) + b3(1+x2) + b4(1 + x3) = 0
entonces b1 + b2 + b2 x + b3 + b3x2 + b4 + b4 x3 = (b1 + b2 + b3 + b4) + b2 x
+ b 3 x2 + b4 x3 = 0
de tal manera, b1 + b2 + b3 + b4 = 0; b2 = 0; b3 = 0; b4 = 0 de donde
b1 = 0.
Por lo tanto, B es linealmente independiente y B es base de P3.
6. Vamos a probar que {(1, 0), (0, 1)} es base para R2.
Sea (x, y) en R2, entonces (x, y) = x (1, 0) + y (0, 1) por lo tanto genera a R2.
Si a(1, 0) + b(0, 1) = (0, 0) entonces a = 0 y b = 0, y es linealmente
independiente, por tanto {(1, 0), (0, 1)} es una base para R2 y recibe el nombre
de base canónica.
7. De igual manera se puede probar que {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es la
base canónica para R3.
8. Sea p en P3 donde p = a1 + a2 x + a3 x2 + a4 x3, entonces {1, x, x2, x3}
generan a P3.
139
Unidad 4
Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero, entonces
a1 + a2 x + a3x2 + a4 x3 = 0, esto implica que a1 = a2 = a3 = a4 = 0 por lo cual
también son linealmente independientes.
Esto nos lleva a asegurar que {1, x, x2, x3} es una base para P3, llamada
base canónica de P3.
Ejercicio 1
1. Detemina si el conjunto de vectores dado es base para el espacio vectorial
referido:
a) En P2, {x2–1, x2–2, x2 – 3}
 3 1   3 2   −5 1   0
1 
b) En M2×2 

,
,
,
 0 0   0 0   0 6   0 −7  
2. Encuentra una base para cada uno de los espacios vectoriales:
a) {(x, y, z) en R3 tales que 2x – y – z = 0}
b) {(x, y) en R2 tales que x + y = 0}
3. Encuentra una base para el espacio solución del sistema homogéneo
dado:
a) x − 2 y = 0
3x + y = 0
b)
x − 3y + z = 0 

−2 x + 2 y − 3 z = 0 
4 x − 8 y + 5 z = 0 
4. Encuentra una base canónica para el espacio vectorial M2×2.
5. Encuentra una base canónica para el espacio vectorial R4.
4.3. Coordenadas de un vector, relativas a
alguna base
Como vimos anteriormente, si un espacio vectorial V tiene al menos una
base que genera a todo el espacio vectorial, entonces cualquier vector se puede
escribir como combinación lineal de los vectores de la base; sin embargo, surge
140
Álgebralineal
la pregunta: ¿esta combinación lineal es única o hay varias? Consideremos el
siguiente resultado.
Teorema 4.1. Si {v1, v2, . . . , vn} es una base para el espacio vectorial V y si
v está en V, entonces existe un conjunto único de escalares c1, c2, . . ., cn tales
que
v = c1v1 + c2v2 + . . . + cnvn
Este teorema nos indica que la expresión de un vector como combinación
lineal de los vectores de una base es única. A continuación veremos algunos
ejemplos de ello.
Ejemplo 2
a) En R2 {(1, 0), (0, 1)} forman la base canónica, por lo tanto
(x, y) = x (1, 0) + y (0, 1)
Supongamos que hay otra combinación lineal de estos vectores que nos dan
el vector (x, y)
(x, y) = a (1, 0) + b(0, 1), como ambas combinaciones dan el mismo
vector tenemos que x (1, 0) + y (0, 1) = a (1, 0) + b(0, 1) de donde tenemos
que (x, y) = (a, b) por lo tanto x = a, y = b y la combinación lineal es única.
b) Veamos ahora cómo podemos encontrar las coordenadas de un vector
con respecto a una base dada.
Consideremos el conjunto {(1, 3), (–1, 2)}, veremos que es base de R2.
Para ello lo único que tenemos que hacer es mostrar que es linealmente
independiente, ya que el teorema 3.9. nos indicaría que generan R2.
Sea a (1, 3) + b(–1, 2) = 0 una combinación lineal, entonces a – b= 0,
3a + 2b = 0 de donde obtenemos que a = b = 0; por lo que es linealmente
independiente y por tanto base de R2.
Tomemos ahora un vector cualquiera de R2 (x, y), por el teorema 4.1. existen
escalares c1 y c2 únicos de manera que (x, y) = c1 (1, 3) + c2 (–1, 2). Entonces
tenemos que
141
Unidad 4
x = c1 − c2 , y = 3c1 + 2c2 ; al resolver el sistema para c1 y c2 obtenemos que
−3 x + y
2x + y
, c2 =
que son las coordenadas de (x, y) con respecto a la
5
5
base {(1, 3), (–1, 2)}.
c1 =
c) Usando el ejemplo anterior vamos a encontrar las coordenadas del vector
(1, 2) con respecto a la base {(1, 3), (–1, 2)}.
2(1) + 2
4
=
Sean c1 y c2 las coordenadas, entonces c1 =
5
5
−3(1) + 2
−1
c2 =
=
, de tal manera que, para (x, y) = (1, 2) obtenemos
5
5
(1, 2) = 4/5 (1, 3) – 1/5 (–1, 2).
y
Ejercicio 2
1. Encuentra las coordenadas de los vectores dados relativas a la base
indicada:
a) x = (3, 2); {(1, 3), (–1, 2)}
b) x = (2, –4); {(2,5), (0, –3)}
c) x = (3, 5, –1); {(1, 0, 3), (0, –2, 0), (0, 0, 1)}
4.4. Dimensión de un espacio vectorial
Si hablamos de que un espacio vectorial puede tener muchas bases surge
la pregunta: ¿contienen todas las bases el mismo número de vectores? La
respuesta para Rn es sí, ya que el teorema 3.9. nos indica que “cualquier conjunto
de n vectores linealmente independientes en Rn lo generan”, y el corolario
3.1. nos dice que “un conjunto linealmente independiente contiene a lo más
n vectores”. Al unir ambos resultados obtenemos que todas las bases de Rn
contienen n vectores.
El siguiente teorema nos da la respuesta para todos los espacios
vectoriales.
Teorema 4.2. Si {u1, u2, . . ., um} y {v1, v2, ..., vn} son bases de un espacio
vectorial V, entonces m = n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio
vectorial V tienen el mismo número de vectores.
142
Álgebralineal
Y debido a él podemos definir el siguiente concepto que es uno de los más
importantes del álgebra lineal.
Definición 4.2. Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la
dimensión de V es el número de vectores de todas sus bases y se dice que V es
un espacio vectorial de dimensión finita. A la dimensión de V se le denota por
dim V.
En los siguientes ejemplos encontraremos la dimensión de varios espacios
vectoriales.
Ejemplo 3
a) Si V = {0} entonces se dice que V tiene dimensión cero y dim V = 0. Éste
es el único espacio con esta dimensión.
b) Consideremos el espacio vectorial de todos los polinomios de grado
menor o igual a 3, P3.
Probaremos que el conjunto {1, x, x2, x3} es una base para P3.
Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero, entonces
a(1) + b(x) + c(x2) + d(x3) = 0, entonces a = b = c = d = 0, por lo tanto
es linealmente independiente. Es obvio que el conjunto genera P3; por lo tanto
podemos afirmar que {1, x, x2, x3} es una base para P3 y por lo tanto dim P3 = 4.
c) Como las bases de R n contienen n vectores podemos afirmar que dim
R = n.
n
d) Consideremos el espacio vectorial de las matrices de orden 3×2, (M3×2)
y el conjunto formado por las matrices
 1 0   0 1   0 0   0 0   0 0   0 0  


 0 0  ,  0 0  ,  1 0  ,  0 1  ,  0 0  ,  0 0   , comprobaremos que
 0 0   0 0   0 0   0 0   1 0   0 1  
son una base para M3×2.
Tomemos una combinación lineal igual a cero.
143
Unidad 4
a
c
e

b
1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0
d  = a 0 0 + b 0 0 + c1 0 + d  0 1 + e 0 0 + f  0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1
f 







 
 

lo que indica que generan a M3×2.
1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
a 0 0 + b 0 0 + c1 0 + d  0 1 + e 0 0 +
0 0
0 0 0 0
0 0 1 0



 


 

a
=c
e

b  0 0
d  = 0 0
f   0 0 
0 0
f 0 0
0 1


esto implica claramente que a = b = c = d = e = f = 0 y que el conjunto
es linealmente independiente.
Por lo anterior podemos afirmar que forma una base para M3×2 y que
dim M3×2 = 6.
Consideremos en R 3 el subespacio vectorial H = {(x, y, z) tales que
2x –y +3z = 0
1 0
En el ejemplo 1 de la sección 4.2. se demostró que  2  y  3  son una base
0 1
   
para H; podemos concluir que dim H = 2 y sabemos que dim R3 = 3; ¿sucederá
esto con todos los subespacios vectoriales? El siguiente resultado nos da la
respuesta.
Teorema 4.3. Sea H un subespacio de un espacio vectorial V de dimensión
finita. Entonces H es de dimensión finita y dim H ≤ dim V.
Usaremos el teorema anterior para encontrar todos los subespacios de R3.
Ejemplo 4
Como dim R3 = 3, entonces los subespacios de R3 tendrán dimensiones 0, 1,
2 y 3.
El único subespacio de dimensión 0 es {0}.
144
Álgebralineal
Vamos a encontrar todos los subespacios de dimensión 1.
Sea H un subespacio de R3 de dimensión 1, por lo tanto tiene una base
formada por un solo vector v = (a, b, c). Sea x = (x, y, z) en H, entonces existe
t escalar tal que x = t (a, b, c), por lo tanto (x, y, z) = t (a, b, c) = (ta, tb, tc) de
donde x = ta, y = tb, z = tc. Pero esta es la ecuación de una recta en R3 que
pasa por el origen.
Vamos a encontrar todos los subespacios de dimensión 2.
Sea H un subespacio de R3 de dimensión 2, por lo tanto tiene una base
formada por dos vectores v1 = (a1, b1, c1) y v2 = (a2, b2, c2) . Sea x = (x, y, z) en
H, entonces existen escalares s y t tales que x = s (a1, b1, c1) + t (a2, b2, c2), por
lo tanto (x, y, z) = s (a1, b1, c1) + t (a2, b2, c2) de donde x =sa1+ ta2, y = sb1 + tb2,
z = sc1+ tc2.
Esta es la ecuación de un plano en R3 que pasa por el origen.
Por lo tanto los únicos subespacios de R3 son los vectores que están en una
recta o en un plano que pasa por el origen.
¿Será necesario probar que un conjunto de vectores linealmente
independientes genera a un espacio vectorial para asegurar que es una base?
El siguiente teorema nos da una condición para asegurarnos que tenemos una
base.
Teorema 4.4. Cualesquiera n vectores linealmente independientes en un
espacio vectorial V de dimensión n forman una base para V.
Veamos algunos ejemplos donde usaremos este resultado para encontrar
bases de espacios vectoriales.
Ejemplo 5
Consideremos a R3, ¿el conjunto {(2, 3, 5), (1,0,0), (2, –1, 0)} es una base
de R ?
3
Por el teorema anterior basta probar que es linealmente independiente ya
que dim R3 = 3.
145
Unidad 4
Tomemos una combinación lineal igual a cero, a(2, 3, 5) + b(1, 0, 0) +
c(2, –1, 0) = (0, 0, 0) entonces 2a + b + 2c = 0, 3a – c = 0, 5a = 0; de donde a = b
= c = 0 ; el conjunto es linealmente independiente y por tanto una base para R3.
Ejercicio 3
1. Di si son falsas o verdaderas las siguientes afirmaciones:
a) Cualesquiera tres vectores en R3 forman una base para R3.
b) Cualesquiera tres vectores linealmente independientes en R3 forman una
base para R3.
c) Una base para un espacio vectorial es única.
d) Un espacio vectorial de dimensión 4 puede tener una base con 3
vectores.
e) Si H es un subespacio de V, entonces dim H > dim V.
2. Encuentra la dimensión de los siguientes espacios vectoriales:
a) H = {(x, y, z) en R3 tales que 3x – y +6z = 0}
 x − 3y + z = 0 


b) El espacio solución del sistema homogéneo −2 x + 2 y − 3 z = 0 
 4 x − 8 y + 5 z = 0 
4.5. Rango, nulidad, espacio de renglones y
columnas de una matriz
En la sección anterior vimos que es un poco difícil y tedioso encontrar una
base para cualquier espacio vectorial; ahora veremos cómo se puede obtener
una base para el espacio generado por un conjunto de vectores mediante la
reducción por renglones de una matriz. Recordemos que para que un conjunto
genere un espacio no es necesario que sea una base.
También estudiaremos algunos conceptos muy importantes que se refieren
a las matrices y por consiguiente a los sistemas de ecuaciones.
Definición 4.3. Sea A una matriz de m×n, consideremos el conjunto
NA = {x en Rn tales que Ax = 0}
146
Álgebralineal
entonces NA es un subespacio vectorial que se llama espacio nulo o kernel
de A y su dimensión ν(A) = dim NA se llama nulidad de A.
En los siguientes ejemplos encontraremos el kernel y la nulidad de varias
matrices usando esta definición.
Ejemplo 6
1
a) Sea A = 
2
de A.
2
−1
−1 
vamos a encontrar el espacio nulo y la nulidad
3 
Lo que queremos encontrar es el conjunto de vectores x = (x, y, z) de R3
que satisfacen Ax = 0, esto significa tener el siguiente sistema de ecuaciones:
x +2y – z= 0 y 2x – y + 3z = 0 lo que se busca es encontrar una base para el
espacio solución de este sistema homogéneo.
Como se vio en el ejemplo 3 de la sección 4.2, este sistema tiene como base
al vector (–1, 1, 1) y por lo tanto, NA = gen {(–1, 1, 1)} yν(A) = 1.
 2
b) Encontrar el espacio nulo y la nulidad de la matriz A =  4
 −6

Para esto se diagonalizará la matriz aumentada:
 2
 4

 −6

−1
−2
3
3
6
−9
0   1 −1 / 2
0  →  4
−2


0   −6
3
3/ 2
6
−9
−1
−2
3
0   1 −1 / 2 3 / 2
0
0
0  →  0


0
0
0 0
3
6 .
−9 
0
0 
0 
Entonces los vectores del kernel satisfacen que x – 1/2y + 3/2z = 0 de
donde y = 2x + 3z y se pueden reescribir como
 x  x   x   0 
1 0
 y  =  2 x + 3z  =  2 x  +  3z  = x  2  + z  3  .
z  z   0   z 
0 1
  
    
   
1
Esto nos asegura que los vectores  2  ,
0
 
0
 3  forman una base para el
1
 
147
Unidad 4
espacio nulo (kernel). Y por lo tanto:ν(A) = 2, es decir, la nulidad de A es 2.
El siguiente resultado une los conceptos de matriz invertible con el kernel
y nulidad.
Teorema 4.5. Sea A una matriz de n×n, entonces A es invertible, si y sólo
si, ν(A) = 0.
Recordemos que si A es invertible, el sistema Ax = b tiene sólo una
solución única x = A–1b, esto nos lleva a que el sistema homogéneo Ax = 0 sólo
tiene la solución trivial x = 0, de donde el kernel de A, NA = {x en Rn tales
que Ax = 0}= {0} y por tanto ν(A) = 0.
Definiremos otros conceptos que nos son necesarios para encontrar una
base en el espacio generado por un conjunto de vectores.
Definición 4.4. Sea A una matriz de m×n. Entonces la imagen de A es el
conjunto imagen A = {y en Rm tales que Ax = y para alguna x en Rn}.
Encontraremos la imagen de una matriz.
Ejemplo 7
1 2
Sea A = 
 vamos a encontrar su imagen. Por la definición anterior
0 1
tenemos que:
Imagen A = {y en R2 tales que Ax = y para alguna x en R2}, estamos
buscando entonces todos los productos de la forma Ax = y.
 1 2 x 
Sea x = (x, y) en R2, entonces Ax = 
   = (x + 2 y, y ) , de donde
 0 1  y 
tenemos que los vectores de la imagen de A tienen la forma (x + 2y, y), es decir,
imagen A = {(x+2y, y)}.
El siguiente resultado nos dice que la imagen de una matriz es también un
espacio vectorial y esto nos va a simplificar el método para encontrar una base
para un espacio generado por un grupo de vectores.
148
Álgebralineal
Teorema 4.6. Sea A una matriz de m×n, entonces la imagen de A es un
subespacio de Rm.
Usaremos el ejemplo anterior para checar que la imagen es en verdad un
subespacio vectorial.
Ejemplo 8
Dada la imagen A = {(x+2y, y)} mostrar que es un subespacio vectorial de R2.
Tomemos dos elementos de la imagen A: u = (u1+2u2, u2) v = (v1+2v 2, v 2),
entonces u + v = (u1+2u2, u2) + (v1+2v 2, v 2) = (u1+2u2 + v1+2v 2, u2 + v 2) =
(u1+ v1 + 2u2+2v2, u2 + v2) = (u1+ v1 + 2(u2+v2), u2 + v2) está en imagen A.
αu = α(u1+2u2, u2) = (α(u1+2u2), αu2) = (αu1+2αu2, αu2) está en la
imagen de A, por lo anterior podemos decir que imagen A es un subespacio
vectorial de R2.
Como vimos, la imagen de A es un subespacio de Rm, y como dim Rm =
m, entonces la imagen de A tiene dimensión finita. La siguiente definición nos
dirá cuál es esa dimensión y cómo se llama.
Definición 4.5. Sea A una matriz de m×n. Entonces el rango de A, denotado
por ρ(A), está dado por ρ(A) = dim imagen A.
Vamos a encontrar la dimensión de la imagen A del ejemplo anterior.
Ejemplo 9
Imagen A = {(x+2y, y)}, entonces los vectores de la imagen se
 2
1
 x + 2y  x 2y
=   +   = x   + y   de donde
pueden reescribir como 

1
0
 y  0  y 
1  2
,
generan
la
imagen
A
y
como
son
linealmente
independientes,
0 1
   
podemos asegurar que son una base para imagen A, por lo tanto el rango de la
matriz A ρ(A) = 2.
149
Unidad 4
Las siguientes definiciones y teoremas nos facilitarán el cálculo del rango
de una matriz.
Definición 4.6. Sea A una matriz de m×n, sean {r1, r2, . . . , rm} los renglones
de A y {c1, c2, . . . , cn} las columnas de A. Entonces definimos
RA = espacio de renglones de A = gen {r1, r2, . . . , rm}
CA = espacio de columnas de A = gen {c1, c2, . . . , cn}
1 2
Tomando de nuevo el ejemplo 7 tenemos A = 

0 1
entonces R A = gen {(1, 2), (0, 1)} y CA = gen {(1, 0), (2, 1)} = imagen A
(ejemplo 9).
El siguiente teorema nos demuestra que el espacio de las columnas de una
matriz es igual a su imagen para cualquier matriz.
Teorema 4.7. Para cualquier matriz A, la imagen de A es igual al espacio de
sus columnas
CA = imagen de A
En el siguiente ejemplo vamos a calcular el kernel, la imagen, el rango y la
nulidad de una matriz A.
Ejemplo 10
2 −1 
1
a) Consideremos A = 

 2 −1 3 
i) Cálculo del kernel (espacio nulo) de A
Para esto vamos a llevar a la matriz aumentada a su forma escalonada
reducida por renglones.
1
2 −1

 2 −1 3
0 1
2 −1
→
0   0 −5 5
de donde obtenemos que
150
0   1 2 −1
→
0   0 1 −1
0 1 0 1
→
0   0 1 −1
0

0
x = −z
x+z=0
de tal manera que y = z y
y−z=0
Álgebralineal
 x   −z 
 −1 
 −1 
  





 y  =  z  = z  1  de esto se obtiene que  1  es una base para el
z  z 
 1 
 1 
  





kernel, es decir NA = gen {(–1, 1, 1)}
ii) Cálculo de la nulidad de A
La nulidad de A = ν(A) = dim NA = 1
 1 0 
La imagen de A = CA = gen   ,    = R2 ya que son 2 vectores linealmente
 0   1  
independientes.
iii) Imagen de A
iv) Rango de A
ρ(A) = dim imagen A = dim CA = 2
v) Espacio de renglones R A.
R A = gen {(1, 2, –1), (2, –1, 3)}
Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero a(1, 2, –1)
+ b(2, –1, 3) = 0, entonces a + 2b = 0, 2a – b = 0, –a + 3b = 0 de donde
obtenemos que a = b = 0, y por lo tanto dim R A = 2.
Observemos que dim R A = dim CA = 2. ¿Será sólo una coincidencia?
El siguiente resultado nos muestra que no.
Teorema 4.8 Si A es una matriz de m×n, entonces:
dim R A = dim CA = dim imagen A = ρ(A)
Este teorema nos indica que los espacios vectoriales formados por las
columnas y por los renglones de una matriz tienen la misma dimensión, y que
podemos usar cualquiera de ellos para encontrar el rango de una matriz. El
siguiente ejemplo nos muestra un método usando los renglones de la matriz.
151
Unidad 4
Ejemplo 11
 2 −1 3 


Calcula la imagen y el rango de la matriz A =  4 −2 6 
 −6 3 −9 


Observemos que los renglones 2 y 3 se obtienen de multiplicar el primer
renglón por 2 y –3, respectivamente, por lo que podemos asegurar que dim R A = 1
y por el teorema anterior afirmar que cualquier columna de A es base para la
imagen de A y el rango de A es ρ(A) = 1.
El siguiente teorema nos simplifica el cálculo de la imagen, el rango y la
nulidad.
Teorema 4.9 Si la matriz A es equivalente por renglones a la matriz B,
entonces
R A = R B; ρ(A) = ρ(B); ν(A) = ν(B)
Este teorema es muy importante pues nos dice que para encontrar el rango
y la imagen de una matriz basta llevarla a la forma escalonada por renglones
para obtener el rango y la imagen.
También nos brinda un método para encontrar una base para el espacio
generado por un conjunto de vectores.
Ejemplo 12
 1 −1 3 


0 4 .
a) Calcular el rango y la imagen de la matriz A =  2
 −1 −3 1 


Vamos a reducirla por renglones.
2
 1 −1 3   1 −1 3   1 −1 3   1 −1 3   1 0

 
 
 
 

0 4 → 0
2 −2  →  0 1 −1  →  0 1 −1  →  0 1 −1 
 2
 −1 −3 1   0 −4
4   0 −4
4   0
0
0   0 0
0 

 
De aquí podemos observar que dim R A = 2 = ρ (A) y por tanto Imagen de
A = gen{(1, 0, 0), (0, 1, 0)}
b) Encontrar una base para el espacio generado por el conjunto de vectores
de R3
152
Álgebralineal
 1   −2

 
G =  2  ,  0
 −3   4
 

los vectores dados.
  0
 
, 4
  −2
 
  −2
 
 ,  −4
  6
 


  Se forma la matriz cuyos renglones son


2 −3 
 1


0
4
 −2
Vamos a llevarla a la forma escalonada por renglones
 0
4 −2 


6 
 −2 −4
2 −3   1
 1

 
0
4 0
 −2
→
 0
4 −2   0

 
6   0
 −2 −4
2 −3   1
 
4 −2   0
→
4 −2   0
 
0
0   0
2 −3 

1 −1 / 2 
0
0 

0
0 
 1

Entonces una base para gen G es  2
 −3

  0 
 

 ,  1 
  −1 / 2  
 

Un último teorema nos garantiza las dimensiones del rango y la nulidad.
Teorema 4.10. Sea A una matriz de m×n, entonces
ρ(A) + ν(A) = n
Es decir, el rango más la nulidad es igual al número de columnas de A.
Con el ejemplo siguiente comprobaremos el teorema anterior.
Ejemplo 13
 1 3 −1 
Considera la matriz A =  0 2 −1  , vamos a llevar la matriz aumentada
 0 0 −2 


a su forma escalonada reducida por renglones:
153
Unidad 4
 1 3 −1 0   1 3 −1 0   1 3 0
 0 2 −1 0  →  0 2 −1 0  →  0 2 0
 
 

 0 0 −2 0   0 0 1 0   0 0 1
 
 

entonces dim R A = 3 = ρ(A).
0 1 3 0
0  →  0 1 0
0   0 0 1
0 1 0 0
0  →  0 1 0
0   0 0 1
Vamos a encontrar la nulidad de A. El kernel de A es x = y = z = 0, por tanto
ν(A) = 0 y entonces ρ(A) +ν(A) = 3 + 0 = 3
Ejercicio 4
1. Encuentra el rango y la nulidad de las siguientes matrices:
−1
a) 
 2
1

b)  3
5

3 2

−6 −4 
−1 2 

1 4
−1 8 
2. Encuentra una base para la imagen y el espacio nulo de las matrices
anteriores.
4.6. Matriz de transición. Cambio de bases
En la sección anterior se manejó que un espacio vectorial podía tener
muchas bases, y que por lo tanto cualquier vector del espacio vectorial podía
tener coordenadas en cada una de ellas. Sin embargo, surge la pregunta: ¿se
podrá cambiar de base fácilmente?
En la presente sección se dará respuesta a esta pregunta a través de una
matriz especial.
Consideremos un ejemplo en R2.
Sean i = (1, 0) y j = (0, 1) la base canónica (B1) para R2 ; y sean v1= (1, 3)
y v2 = (–1, 2) vectores de R2. Consideremos una combinación lineal de v1 y v2
igual a cero.
a(1, 3) + b(–1, 2) = 0 entonces a – b = 0, 3a + 2b = 0 de donde a = b = 0 y por
tanto son linealmente independientes y forman otra base B2 = {v1, v2} para R2.
154
0
0 
0 
Álgebralineal
x 
0
1
Sea x = (x1, x2) en R2, por lo tanto x =  1  = x1   + x2   = x1 i + x2 j
x
0
1
 
 2
en términos de la base canónica (B1) y para hacer hincapié en este hecho se
x 
escribe (x) B1 =  x1 
 2
Como B2 es otra base de R2, existen escalares c1 y c2 tales que
c 
x = c1v1 + c2v2 y por lo tanto se escribe (x) B2 =  c1  .
 2
Para encontrar los escalares c1 y c2 vamos a proceder de la siguiente
manera:

Se escriben los elementos de la base B1 en términos de la base B2.
 −1 
1
 −1   0 
1
1
  = a1   + b1   y   = a2   + b2   entonces,
 2
 3
 2 1
 3
0
a1 − b1 = 1
a2 − b2 = 0
y
de estos obtenemos:
3a1 + 2b1 = 0
3a2 + 2b2 = 1
a1 = 2/5; b1 = –3/5; a2 = 1/5; b2 = 1/5
por lo tanto: i = (2/5)v1 – (3/5)v2 j = (1/5)v1 + (1/5)v2

Después se escribe el vector sustituyendo las nuevas coordenadas:
x 
x =  x1  = x1i + x2 j = x1[(2 / 5) v1 − (3 / 5) v 2 ] + x 2 [(1 / 5) v1 + (1 / 5) v 2 ]
 2
= [(2 / 5) x1 + (1 / 5) x 2 ] v1 + [− (3 / 5) x1 + (1 / 5) x 2) ] v 2
de donde c1= [(2 / 5) x1 + (1 / 5) x 2 ] y c 2 = [− (3 / 5) x1 + (1 / 5) x 2 ].
 Por último formamos una matriz cuyas columnas sean las coordenadas
de los vectores de la primera base en términos de la segunda.
Por tanto tenemos que
 c1   (2 / 5 ) x1 + (1 / 5 ) x2   2 / 5 1 / 5   x1 
=
x =  =
 
 c2   (−3 / 5 ) x1 + (1 / 5 ) x2   −3 / 5 1 / 5   x2 
A continuación daremos la definición para esta matriz.
155
Unidad 4
Definición 4.7 A la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los
vectores de la base B1 en términos de la base B2 se llama matriz de transición
de la base B1 a la base B2.
Para obtener las coordenadas de cualquier vector en esta nueva base B2,
basta multiplicar la matriz de transición por las coordenadas del vector en la
base B1.
Ejemplo 14
a) Consideremos el vector x = (3, –4), entonces las coordenadas en la base
B2 del ejemplo anterior serán:
 2 / 5 1/ 5   3   2 / 5 
(x) B2 = 
 para verificarlo tenemos que
  = 
 −3 / 5 1 / 5   −4   −13 / 5 
(2/5)v1 – (13/5)v2 = 2/5(1, 3) – 13/5(–1, 2) = (3, –4)
Los siguientes teoremas nos indican formalmente el procedimiento
realizado anteriormente que nos permitirá cambiar de una base a otra.
Teorema 4.11 Sean B1 y B2 bases de un espacio vectorial V. Sea A la matriz
de transición de B1 a B2. Entonces para todo x en V tenemos:
(x) B2 = A(x) B1
Teorema 4.12 Si A es la matriz de transición de B1 a B2, entonces A–1 es
la matriz de transición de B2 a B1.
Este teorema hace que sea sencillo encontrar la matriz de transición a partir
de una base canónica en Rn a cualquier otra base de Rn.
156
Álgebralineal
Ejemplo 15
Encontrar la matriz de transición de la base canónica de R 3 a la base B2
 1   3   0  
=  0  ,  −1  ,  1  
     
 2   0   −2  
      
Para ello escribiremos la matriz C cuyas columnas son los vectores de B2.
3 0
1

C = 0 −1 1  esta matriz es la de transición de la base B2 a la base


2

0
−
2


canónica, ya que los vectores de la base B2 se encuentran expresados en
términos de la base canónica. Entonces, por el teorema anterior, la matriz C–1
será la matriz que estamos buscando. Es fácil verificar
 2 / 8 6 / 8 3/ 8
C =  2 / 8 −2 / 8 −1 / 8 


 2 / 8 6 / 8 −1 / 8 


–1
 2 / 8 6 / 8 3 / 8   1   1/ 4 

  

Si (x) B1 = (1, –2, 4), entonces (x) B2 =  2 / 8 −2 / 8 −1 / 8   −2  =  1 / 4 
 2 / 8 6 / 8 −1 / 8   4   −7 / 4 

  

1
 3
 0  1
de donde 1 / 4  0  + 1 / 4  −1  − 7 / 4  1  =  −2  .
 2
 0
 −2   4 
 
 
   
Ejercicio 5
1. Encuentra la matriz de transición de la base B1 a la base B2:
 1   0  
B1 =   ,    B2 =
 0   1  
 2   −3  
  ,   
 3   −4  
 2   −1   3  


2. Escribe (x, y, z) de R en términos de la base  1  ,  4  ,  −2  
 3   5   −4  
      
3
157
Unidad 4
 2   7  
3. Si en R2 (x) B1 = (4, –1) donde B1 =   ,    . Escribe x en términos
 −5   3  
 −2   −3  
de la base B2 =   ,    .
 1   2  
Ejercicios resueltos
1. Encuentra una base para H = {(x, y, z) de R3 tales que 3x + 6z – 2y = 0}
Sea (x, y, z) en H, entonces 3x + 6z – 2y = 0, lo reescribimos como
y = (3/2)x + 3z, entonces todos los elementos de H pueden escribirse de la
siguiente manera
x
 x 
  x  0
 1  0
  
  
 

  
 y  =  (3 / 2 ) x + 3 z  =  (3 / 2 ) x  +  3 z  = x  3 / 2  + z  3 
z 
  0   z
 0  1
z
  
  
 

  
 1 
0


 
 3 / 2  y  3  generan H.
 0 
1


 
de
donde
Probaremos ahora que son linealmente independientes; tomemos una
combinación lineal igual a cero:
 1 
0 0


   
a  3 / 2  + b  3  =  0  , entonces a = 0, (3/2)a + 3b = 0, b = 0 de donde a
 0 
1 0


   
= b = 0 y son linealmente independientes, por lo tanto son una base para H.
2. Encuentra las coordenadas del vector (2, –1, 3) relativas a la base
B={(1, 0, 3), (0, –1, 1), (1, –2, 0)}
Como B es base, existen a, b, c tales que (2, –1, 3) = a(1, 0, 3) + b(0, –1, 1)
+ c(1, –2, 0)
a+c=2 

de donde obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones −b − 2c = −1 al
3a + b = 3 
a = 6 / 5

resolverlo tenemos que b = −3 / 5  por lo tanto (2, –1, 3) = 6/5 (1, 0, 3) –
c = 4 / 5 
3/5 (0, –1, 1) + 4/5 (1, –2, 0).
158
Álgebralineal
3. Encuentra el rango, nulidad, y una base para la imagen y el kernel (espacio
 1 −1 0 3 
nulo) de la matriz A =  0 1 4 3  .


1

0
2
4


Vamos a llevar la matriz A a la forma escalonada reducida por renglones.
3   1 −1 0 3 
 1 −1 0 3   1 −1 0 3   1 −1 0

 
 
 

4
3 →  0 1 4 3 →
 0 1 4 3  →  0 1 4 3 →  0 1
1
0 2 4   0 1 2 1   0
0 −2 −2   0
0 1 1 

2
 1 −1 0 3   1 0 0

 

 0 1 0 −1  →  0 1 0 −1  Por lo tanto ρ(A) = 3 y ν(A) = 1
0
0 1 1   0 0 1
1 

 1   0   0  
      
además  0  ,  1  ,  0   forman una base para la imagen de A.
 0   0   1  
      
Vamos a obtener una base para el kernel, sabemos que de la última matriz
x + 2w = 0
x = −2 w


obtenemos el sistema de ecuaciones y − w = 0  de donde y = w  , por
z + w = 0 
z = − w 
lo tanto los elementos del kernel de A podemos escribirlos de la siguiente
manera:
 x   −2 w 
 −2 
  

 
 y  =  w  = w  1  por lo tanto
 z − w
 −1 
  

 
 w  w 
 1
 −2 
 
 1  es una base para el kernel de A.
 −1 
 
 1
4. Encuentra la matriz de transición de la base B1 = {(1, 1),(2, 3)} a la base
B2 ={(0, 3),(5, –1)}
Primero vamos a escribir los elementos de la base B1 en términos de la base B2.
(1, 1) = a (0, 3) + b(5, –1) 5b = 1 y 3a –b = 1 de donde b = 1/5 y a = 2/5
(2, 3) = c (0, 3) + d(5, –1)5d = 2 y 3c –d = 3 de donde d = 2/5 y c = 17/15
159
Unidad 4
Ahora vamos a formar la matriz de transición poniendo en sus columnas las
coordenadas de los vectores de la base B1 en términos de la base B2:
 2 / 5 17 / 15 
 1/ 5 2 / 5 


5. Usando la matriz de transición del ejercicio anterior escribe las
coordenadas del vector (x) B1= (2, 0) en términos de la base B2:
 2 / 5 17 / 15   2   4 / 5 
(x) B2=  1 / 5 2 / 5   0  =  2 / 5 


  
Ejercicios propuestos
1. Di si el vector B = {–3x, 1+x2, x2–5} es base en P2.
2. Encuentra una base para
x− y−z=0
2x − y + z = 0
3. Encuentra las coordenadas de los vectores dados en la base indicada:
a) (1, 0) en {(1, 3),(–1, 2)}
b) (0, 0, 1) en {(1, 0, 3),(0, –2, 0),(0, 0, 1)}
4. Encuentra una base para 3x – y + 2z = 0 y di cuál es su dimensión.
5. Si dim P2 = 3, ¿{x2–1, 3x, 2x2–5} es base de P2?
6. Encuentra una base para la imagen y el espacio nulo (kernel), además del
 1 −1 2 3 
rango y la nulidad de  0 1 4 3  .
1
0 6 6 

 1
1 
7. Encuentra la matriz de transición de la base   ,    a la base
1  −1 
canónica de R2.
160
Álgebralineal
Autoevaluación
1. Es una base para R3
a) {(1, 0, 2), (–1, 2, 1), (4, 0, 0), (1, 1, 0)}
b) {(1, 2),(2, 1),(0, 1)}
c) {(1, 0, 3),(0, 0, 3),(1, 4, 0)}
d) {(1, 0, 0), (3, 0, 0), (–1, 0, 0)}
2. Si {(1, 2, 2),(–2, 0, 0)}forman una base para el espacio vectorial G,
entonces:
a) dim G = 0
b) dim G = 1
c) dim G = 3
d) dim G = 2
3. Si H es un subespacio vectorial de R3, entonces puede ser una base para
H:
a) {(3, 2, 1)}
b) {(1, 1),(2, 1)}
c) {(1, 1, 1), (2, 2, 2),(0, 0, 0)}
d) {(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1),(1, 1, 1)}
1 2 3 4
4. El rango de la matriz  0 2 −1 5  es:
0 0 3 7


a)
b)
c)
d)
1
2
3
4
5. Si una matriz de orden 5×7 tiene nulidad 2, entonces su rango es:
a)
b)
c)
d)
5
3
2
7
161
Unidad 4
2
 1

6. La nulidad de la matriz  −2 −4  es:
 3 6


a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
 1   0  
7. La matriz de transición en R2 de la base  2  ,  −3   a la base  0  ,  1  
    
 3   −4  
es:
2 −3 
a) 

 3 −4 
3
 2
b) 

 −3 −4 
−4 3 
c) 

 −3 2 
 −4 −3 
d) 

2
 3
162
Álgebralineal
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1.
a) No es base; el polinomio x no puede escribirse como combinación lineal
de ellos.
b) No es base.
 1   0  
    
a)  2  ,  −1  
 0   1  
    
2.
 −1
b)  
 1
3.
0
a)  
0
 −7 / 4  


b)  −1 / 4  
 1  


4.  1 0  ,  0 1  ,  0 0  ,  0 0  
 0 0   0 0   1 0   0 1  
 1   0   0   0  
 0   1   0   0  
5.   ,   ,   ,   
0 0 1 0
        
 0   0   0   1  
163
Unidad 4
Ejercicio 2
a) (3, 2) = (8/5, –7/5)
b) (2, –4) = (1, 3)
a) (3, –5/2, –10)
Ejercicio 3
1.
a) F
b) V
c) F
d) F
e) F
2.
a) dim H = 2
b) dim = 1
Ejercicio 4
1.
a) rango = 1; nulidad = 2
b) rango = 2; nulidad = 1
2.
a) Imagen A = gen {(1, 0)}; kernel A = gen {(3, 1, 0), (2, 0, 1)}
b) Imagen A = gen {(1, 0, 0), (–1, 4, 4)}; kernel A = gen {(–3, 1, 2)}
Ejercicio 5
1.  −4 3 
 −3 2 
 6 x − 11 y + 10 z 


2. (1 / 31)  2 x + 17 y − 7 z 
 7 x + 13 y − 9 z 


3. (x) B2= (67, –45)
164
Álgebralineal
Respuestas a los ejercicios propuestos
1. Sí es.
 −2 
 
2. Una base es  −3 
 1
 
3.
a) (1, 0) = 2/5(1, 3) – 3/5(–1, 2)
b) (0, 0, 1) = 0(1, 0, 3) + 0(0, –2, 0) + 1(0, 0, 1)
 1   0  


4.  3  ,  2   dim = 2
 0   1  
5. Sí es
6. Imagen
kernel
rango
nulidad
A = gen {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}
A = gen {(–6, –4, 1, 0),(–6, –3, 0, 1)}
A=2
A=2
1/2 1/2 
7. 

1/2 − 1/2 
Respuestas a la autoevaluación
1. c)
2. d)
3. a)
4. c)
5. a)
6. b)
7. a)
165