3.4 Problema General de Cálculo de Variaciones. (Prob

3.4
Problema General de Cálculo de Variaciones. (Problema de minimización mas elemental)
Sea x ∈ D1 [t0 , tf ] y g(x, ẋ, t) una funcion con primera y segunda derivada parcial continua con
respecto a todos sus argumentos. Encontrar de entre todas las x que satisfagan las condiciones
de frontera x(t0 ) = x0 , x(tf ) = xf , y que tome un valor extremo para el funcional:
J=
Ztf
g(x, ẋ, t)dt
(3.105)
t0
Procedimiento
Primero encontraremos el incremento del funcional, en el cual introducimos pequeas variaciones
en la variable x y ẋ del funcional. Las variaciones están dadas como x + δx y ẋ + δ ẋ.
Estas variaciones son arbitrarias en todo el intervalo [t0 , tf ] excepto en la posición inicial y final
donde son cero, i.e. δx(t0 ) = δx(tf ) = 0. En otras palabras, el diferencial desaparece en las
condiciones inicial y final.
Tenemos entonces que el incremento del funcional J está definido como:
∆J = J(x + δx, ẋ + δ ẋ, t) − J(x, ẋ, t)
Ztf
Ztf
=
g(x + δx, ẋ + δ ẋ, t)dt − g(x, ẋ, t)
t0
(3.106)
(3.107)
t0
Haciendo una expansión por el método de Series de Taylor, podemos simplificar la integral de
(3.107) en términos separados de x y δx, y expresarla en la siguiente forma:
∆J =
Ztf µ
t0
¶
Ztf
∂g
∂g
δx +
δ ẋ + O(·) dt − g(x, ẋ, t)dt
g(x, ẋ, t) +
∂x
∂ ẋ
(3.108)
t0
donde O(·) representa todos los términos de órden superior que aparecen después de realizar la
expansión por Series de Taylor. Estos son despreciables ya que la variación siendo un número
pequeño será aun mas pequeño si está elevado a alguna de sus potencias.
1
O(·) = gxx δ 2 + 2gxẋ δxδ ẋ + gẋẋ δ ẋ2
2
(3.109)
Los términos de orden superior se ignoran o desprecian, 1. ya que tienden a cero δx2 , δ ẋ2 → 0 al
ser ||δx|| = 0, ||δ ẋ|| = 0, y 2. porque J tiene derivadas continuas.
De esta manera, tomando en cuenta el teorema fundamental de cálculo de variaciones, i.e.
δJ(x∗ , δx∗ ) = 0, la primera variación de J es entonces representada por todos los términos
lineales de (3.108) como:
Ztf
δJ = (gx δx + gẋ δ ẋ)dt = 0
(3.110)
t0
28
Si dividimos la integral expresada en (3.110) en cada uno de sus términos
δJ =
Ztf
gx δxdt +
t0
Ztf
gẋ δxdt
(3.111)
t0
integrando por partes el segundo término obtenemos
d
gẋ
dt
dv = d(δx) v = δx
u = gẋ du =
(3.112)
(3.113)
por lo tanto
δJ =
Ztf
gx δxdt +
t0
=
Ztf
t0
=
Ztf
t0
Ztf
gẋ
d
δxdt
dt
(3.114)
t0
¯tf Ztf µ
¶
¯
d
gx δxdt + gẋ δx¯¯ −
gẋ δxdt
dt
t0
(3.115)
t0
¯tf
µ
¶
¯
d
gx − gẋ δxdt + gẋ δx¯¯ = 0
dt
t0
(3.116)
donde el último término se puede despreciar considerando el lema 1. Además, por medio del
lema 2, podemos concluir que lo que está contenido dentro de la integral de acuerdo a lo que se
habı́a estipulado en la definición del problema de cálculo de variaciones, i.e. δJ = 0.
gx −
d
gẋ = 0
dt
Teorema. Sobre la solución al problema de CV
Sea J[x] un funcional expresado:
Ztf
J[x] = g(x, ẋ, t)dt
(3.117)
(3.118)
t0
y definido en el conjunto de funciones x(t) ∈ D(t0 , tf ) tal que x(t0 ) = x0 , x(tf ) = tf . La condición
necesaria para que J[x] tenga un valor extremo para una función x(t) es que ésta satisfaga la
ecuación de Euler-Lagrange.
Hay que remarcar los siguientes puntos:
1. La ecuación de Euler Lagrange es un problema de condiciones de frontera no-lineal, que
varia en el tiempo.
2. sus soluciones son llamados valores extremos
29
3. si ∃ǫ > 0∀ las x admisibles que tambien satisfacen la norma ||x − x∗ || < ǫ donde x∗ es una
solución de la ecuación de E.L.
∆J = J[x] − J[x∗ ] ≥ 0
(3.119)
en donde J[x∗ ] es un mı́nimo relativo. Si ǫ es arbitrariamente grande, entonces J[x∗ ] es un
valor extremo absoluto o global.
4. Si es claro que existe un valor extremo desde una perspectiva fı́sica o geométrica (e.g.
Problema de Brachistochrone, distancia mas corta entre dos puntos), y si ese valor extremo
satisface las condiciones de frontera, entonces el valor extremo ha sido encontrado.
5. Se puede definir a la ecuación de Euler Lagrange como la derivada variacional de J
△
δJ = gx −
d
gẋ
dt
(3.120)
desaparece para cada valor de la curva admisible.
6. Los valores extremos son invariantes ante un cambio de coordenadas, por ejemplo,
Sea x = x(v, w)
t = t(v, w)
(3.121)
(3.122)
¯
¯
¯ xv xw ¯
¯
¯6 0
¯ tv tw ¯ =
(3.123)
Entonces, tenemos que x(t) corresponde a w(v) en el plano vw. El funcional
J[x] =
Ztf
ˆ =
g(x, ẋ, t)dt =⇒ J[w]
t0
Zvf
ĝ(w, ẇ, v)dv
(3.124)
v0
Finalmente, is x satisface a la ecuación de Euler Lagrange:
d
gẋ = 0
dt
gx −
(3.125)
entonces, w debe satisfacer a la ecuación de Euler Lagrange en las nuevas coordenadas:
ĝw −
d
ĝẇ = 0
dv
(3.126)
Existen problemas del mismo tipo, pero con algunas variantes en sus condiciones de frontera. En
los dos casos siguientes, se veran dos casos. El primer caso se considera que la condicion inicial
x0 y/o final xf de la curva admisible no son fijas, y por ello surgen nuevos términos que debemos
considerar dentro de las condiciones de frontera naturales del problema. En el segundo caso y
el más general de todos, los valores de t0 , tf , x0 , y xf no son fijos y por ello aún aparecen nuevas
condiciones de frontera naturales que no estaban presentes en los otros dos casos.
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Ejemplo (prueba)
ˆ =
J[w]
Zvf √
w2 + ẇ2 dv ,
w = w(v)
(3.127)
v0
ẇ
d
w
√
−
=0
2
+ ẇ2 dv w + ẇ2
Change variables t = wcosv, x = wsinv
√
w2
J[x] =
Ztf √
2 + ẋ2 dt
(3.128)
(3.129)
t0
The Euler-Lagrange equation is
ẍ = 0
x = αt + β
w sinv = αw cosv + β
(3.130)
(3.131)
(3.132)
Para el caso de que x(t0 ) y x(tf ) no esten definidos encontramos la primera variación del funcional
y lo igualamos a cero.
δJ =
Ztf
[gx δx + gẋ δ ẋ]dt
(3.133)
t0
=
Ztf
t0
¯
¯
¯
¯
d
=0
− gẋ δx¯¯
[gx − gẋ ]dt + gẋ δx¯¯
dt
t=t0
t=tf
(3.134)
Esto se hace para encontrar las condiciones naturales de frontera:
3.4.1
¯
¯
gẋ ¯¯
d
gẋ = 0
dt
¯
¯
=0
= gẋ ¯¯
gx −
t=t0
(3.135)
(3.136)
t=tf
Problema General de CV
La distancia entre x y x∗ es
ρ(x, x∗ ) = max|x − x∗ | + max|x − x∗ | + ρe (P0 , P0∗ ) + ρe P 1, P 1∗
(3.137)
donde ρe es la distancia Euclidiana entre los dos puntos referidos, P0 y P0∗ representan los
extremos izquierdos de x y x∗ respectivamente, y P1 y P1∗ representan los extremos derechos.
El incremento de J se escribe como:
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