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Análisis Numérico para Ingeniería
Clase Nro. 12
Aproximación de Funciones
Temas a tratar:
Interpolación por Splines Cúbicos.
Aproximación por Mínimos Cuadrados.
Criterios de elección:
Tipo de Aproximación
Polinomio resultante
Ventajas y desventajas de los métodos.
Ing. Francisco A. Lizarralde
Facultad de Ingeniería - UNMDP - 2015
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Aproximación por Splines Cúbicos
SPLINES
Ing. Francisco A. Lizarralde
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Interpolación por Splines Cúbicos
Dada una función f definida en [a, b] y un conjunto de números, llamados
nodos, a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b , un polinomio interpolante cúbico
spline S, para f, es una función que satisface las siguientes condiciones:
a) S es un polinomio cúbico denotado Sj en el subintervalo [xj , xj+1 ], para cada j=0, 1,..., n-1.
b) S(xj) = f(xj), para cada j=0, 1,..., n.
c) Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1), para cada j=0, 1,..., n-2.
d) S'j+1(xj+1) = S'j(xj+1), para cada j=0, 1,..., n-2.
e) S''j+1(xj+1) = S''j(xj+1), para cada j=0, 1,..., n-2.
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Interpolación por Splines Cúbicos
Además dicha función debe satisfacer alguna de las
siguientes condiciones de frontera:
i. FRONTERA LIBRE
S''(x0) = S''(xn) = 0
ii. FRONTERA SUJETA
S'(x0) = f '(x0) y S'(xn) = f '(xn)
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Polinomio de Spline Cúbico
La forma general de un polinomio de Spline Cúbico es:
2
3
S j  x=a jb j⋅ x−x j c j⋅ x−x j  d j⋅ x−x j 
Aplicando la condición S(xj) = f(xj), es evidente que:
S j  x j = a j = f  x j
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Interpolación por Splines Cúbicos
S j  x j = f  x j = a j
Sj+1
Sj
aj = f(xj)
xj
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xj+1
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Polinomio de Spline Cúbico
Luego, aplicando la condición Sj(xj+1) = Sj+1(xj+1), se
tiene que:
a j+1 =S j (x j+1 )=S j+1 ( x j +1) =
2
3
= a j +b j⋅( x j +1−x j )+c j⋅( x j +1−x j ) +d j⋅( x j+1− x j )
Como utilizaremos frecuentemente (xj+1 - xj ), adoptaremos la
siguiente notación para simplificar:
h j = x j1−x j 
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Polinomio de Spline Cúbico
Siendo an = f(xn), entonces para j=0, 1, 2,…, n-1:
a j+1 =S j (x j+1 )=S j+1 ( x j +1) =
2
3
= a j +b j⋅( x j +1−x j )+c j⋅( x j +1−x j ) +d j⋅( x j+1− x j )
Y reemplazando, nos queda de la siguiente forma:
a j1 =S j  x j1 =S j1  x j1  =
2
3
= a j b j⋅h j c j⋅h j d j⋅h j
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Polinomio de Spline Cúbico
h j= x j1−x j 
Sj+1
aj+1
Sj
hj
xj
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xj+1
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Polinomio de Spline Cúbico
Derivando el polinomio de Splines, obtenemos:
2
S ' j ( x) =b j +2⋅c j⋅( x−x j )+3⋅d j⋅( x−x j )
Lo cual implica :
S ' j ( x j ) =b j
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para j = 0, 1, 2, …, n-1
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Polinomio de Spline Cúbico
S ' j  x j1 =S ' j1  x j1 
Sj+1
aj+1
Sj
hj
xj
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xj+1
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Polinomio de Spline Cúbico
Luego, aplicando la condición S'j+1(xj+1) = S'j(xj+1), se
tiene que:
b j1 =S ' j  x j1 =S ' j1  x j1  =
2
= b j 2⋅c j⋅ x j1−x j 3⋅d j⋅ x j1−x j 
Es decir:
b j+ 1 =S ' j ( x j+ 1 )=S ' j+ 1 ( x j+ 1) =
2
= b j + 2⋅c j⋅h j + 3⋅d j⋅h j
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Polinomio de Spline Cúbico
Derivando nuevamente la expresión S'j(x), obtenemos:
S ' ' j ( x) =2⋅c j +6⋅d j⋅( x−x j )
Por lo tanto:
S ' ' j ( x j)
cj =
2
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Polinomio de Spline Cúbico
Por lo tanto, si:
S j ' ' ( x j +1 ) =2⋅c j +6⋅d j⋅( x j+1−x j )
Y como S''j+1(xj+1) = 2.cj+1 = S''j(xj+1) , nos queda:
c j+ 1 =c j + 3⋅d j⋅h j
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para j = 0, 1, 2, …, n-1
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Polinomio de Spline Cúbico
Ahora despejando dj de la ecuación anterior,
c j1 =c j 3⋅d j⋅h j
Nos queda:
c j+ 1−c j
dj =
3⋅h j
para j = 0, 1, 2, …, n-1
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Polinomio de Spline Cúbico
Y reemplazando en aj+1 tenemos:
a j1 =S j  x j1 =S j1  x j1  =
2
3
= a j b j⋅h j c j⋅h j d j⋅h j
Por lo tanto :
2⋅c jc j1 ⋅h
a j1=a j b j⋅h j 
3
2
j
para j = 0, 1, 2, …, n-1
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Polinomio de Spline Cúbico
Y reemplazando en bj+1 tenemos:
b j1 =S ' j  x j1 =S ' j1  x j1  =
2
= b j⋅h j 2⋅c j⋅h j 3⋅d j⋅h j
Por lo tanto :
b j1=b j h j⋅c j c j1
para j = 0, 1, 2, …, n-1
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Polinomio de Spline Cúbico
Por último obtenemos, a partir de la ecuación de aj+1 :
2⋅c jc j1 ⋅h
a j1=a j b j⋅h j 
3
2
j
Y despejando bj , obtenemos:
(a j+ 1−a j )
(2⋅c j + c j+ 1 )⋅h j
bj =
−
hj
3
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Polinomio de Spline Cúbico
Y a partir de la ecuación de bj anteriormente obtenida:
a j1−a j 
2⋅c j c j1 ⋅h j
bj =
−
hj
3
Si disminuimos en 1, el índice de bj, nos queda:
b j−1
a j−a j−1 
2⋅c j−1c j ⋅h j−1
=
−
h j−1
3
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Polinomio de Spline Cúbico
Realizamos la misma disminución en la siguiente
expresión:
b j1=b j h j⋅c j c j1
Con lo que obtenemos:
b j =b j−1h j−1⋅c j−1c j 
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Polinomio de Spline Cúbico
Y reemplazando en :
b j−1
a j−a j−1 
2⋅c j−1c j ⋅h j−1
=
−
h j−1
3
Arribamos al siguiente sistema de ecuaciones lineales:
h j−1⋅c j−1 +2⋅(h j−1 +h j )⋅c j +h j⋅c j +1
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3⋅(a j +1−a j ) 3⋅(a j −a j−1 )
=
−
hj
h j−1
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Polinomio de Spline Cúbico
El sistema planteado posee
n ecuaciones
y
n+1
incógnitas, por lo tanto, es preciso utilizar las condiciones
de frontera. Por ejemplo, para el caso de frontera libre o
SPLINE CÚBICO NATURAL, tenemos :
S ' '  x 0 = S ' '  x n = 0
S ' '  x n
cn =
= 0
2
porque S ' '  x n =0
S ' '  x 0  = 2⋅c 0 6⋅ x 0 −x 0  = 0
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por lo tanto c 0 =0
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Coeficientes de Spline Cúbico
De esta forma, queda conformada una matriz tri-diagonal :
[
1
0
0
0

0
h0 2h0 h1 
h1
0

0
0
h1
2h1h2  h2

0
A =
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
0
0

hn−2 2hn−2hn−1  h n−1
0
0

0
0
1
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]
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Coeficientes de Spline Cúbico
Y su correspondiente vector de términos independientes :
[
0
3 a2−a1  3 a1−a0 
−
h1
h0
⋮
b =
⋮
3 a n−a n−1  3 an−1−an−2 
−
hn−1
h0
0
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]
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Procedimiento de Cálculo
1.Los valores de aj y hj se obtienen a partir de los
datos y con ellos se arma el sistema.
2.Resolviendo el sistema tri-diagonal planteado,
se obtienen los valores de cj.
3.Con los valores de aj y cj se calculan los valores
de bj.
4.Con los valores de cj y hj se calculan los valores
de dj.
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Subrutina DGTSV
SUBROUTINE DGTSV( N, NRHS, DL, D, DU, B, LDB, INFO )
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
.. Argumentos Escalares ..
INTEGER
INFO, LDB, N, NRHS
..
.. Argumentos Matriciales ..
DOUBLE PRECISION B( LDB, * ), D( * ), DL( * ), DU( * )
Propósito
=======
DGTSV resuelve el sistema de ecuaciones lineales A*X = B,
donde A es una matriz tri-diagonal de NxN, por eliminación
Gaussiana con pivoteo parcial.
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Ejemplo: Perfil de Snoopy
El perfil de la figura se divide en tres trazadores
independientes, para evitar aquellos puntos en los que
la derivada cambia abruptamente.
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30
Ejemplo: Trazador 1
xi
1,00
2,00
5,00
6,00
7,00
8,00
10,00
13,00
17,00
f(xi )
3,00
3,70
3,90
4,20
5,70
6,60
7,10
6,70
4,50
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31
Ejemplo: Trazador 2
xi
17,00
20,00
23,00
24,00
25,00
27,00
27,70
f(xi )
4,50
7,00
6,10
5,60
5,80
5,20
4,10
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32
Ejemplo: Trazador 3
xi
27,70
28,00
29,00
30,00
f(xi )
4,10
4,30
4,10
3,00
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33
Ejemplo: Perfil de Snoopy
TRAZADORES
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Aplicaciones de Splines
Se utilizan cuando es necesario que la/las
funciones de interpolación pasen no solamente
por los puntos dato, sino que además, copien
fielmente la forma enmarcada por los mismos.
Por esta razón son ampliamente utilizados en
programas de dibujo y sistemas de Diseño
Asistido por Computadora (CAD).
Su principal ventaja es que los polinomios
resultantes son de grado bajo. La desventaja es
que se trata de un tipo de interpolación
segmentada.
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Aproximación Mínimo-Cuadrática
Se utiliza un polinomio de grado n como función
aproximante.
Para determinar los coeficientes del polinomio,
se establece como criterio de aproximación,
que la diferencia entre los valores de la función y
los del polinomio evaluado en cada uno de los
puntos dato debe ser mínima.
El grado del polinomio se elige y no está
determinado por la cantidad de puntos dato.
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Polinomio de Mínimos Cuadrados
Función aproximante :
2
p x = a 0a1⋅xa2⋅x ⋯an⋅x
n
Criterio de aproximación: Minimizar la siguiente función
M
F a0, a1, ⋯, an  =
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2
∑  y k − p  x k 
k=1
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M
=
∑
k=1
2
k
37
Polinomio de Mínimos Cuadrados
Dada la función F :
M
F a0, a1, ⋯, an  =
2
∑  y k − p  x k 
k=1
M
=
∑
k=1
2
k
Para obtener el mínimo, calculamos las derivadas de F,
con respecto a cada coeficiente y las igualamos a cero.
∂F
= 0
∂ ai
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para i = 0, 1, 2, …, n
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Polinomio de Mínimos Cuadrados
Para i = 0 :
M
n
∂ [  y − a ⋅x i 2 ] =
∑
k ∑ i
k
∂ a0 k=1
i=0
M
2
n 2
∂
=
[ ∑  y k −a0a1⋅xa2⋅x ⋯an⋅x  ] =
∂ a0 k =1
M
=
∑ −2⋅[ y k −a0a1⋅xa2⋅x ⋯an⋅x ]
2
n
= 0
k =1
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Polinomio de Mínimos Cuadrados
Para i = 1 :
M
n
∂ [  y − a ⋅x i 2 ] =
∑
k ∑ i
k
∂ a1 k =1
i=0
M
2
n 2
∂
=
[ ∑  y k −a0a1⋅xa2⋅x ⋯a n⋅x  ] =
∂ a1 k =1
M
=
∑ −2⋅[ y k −a0a1⋅xa2⋅x ⋯an⋅x ⋅x k ]
2
n
= 0
k =1
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40
Polinomio de Mínimos Cuadrados
Para i = n :
M
n
∂ [  y − a ⋅x i 2 ] =
∑
k ∑ i
k
∂ a n k =1
i=0
M
2
n 2
∂
=
[ ∑  y k −a0a1⋅xa2⋅x ⋯an⋅x  ] =
∂ an k=1
M
=
∑ −2⋅[ y k −a0a1⋅xa2⋅x ⋯an⋅x ⋅x
2
k =1
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n
n
k
] = 0
41
Polinomio de Mínimos Cuadrados
Generalizando para cualquier valor de i, nos queda:
M
∂F
2
n
i
=−2⋅∑ [ y k −(a0 +a1⋅x+a2⋅x +⋯+an⋅x )⋅x k ]=0
∂ ai
k=1
Para i = 0, 1, 2, …, n
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42
Polinomio de Mínimos Cuadrados
Operando algebraicamente, obtenemos:
M
n
j
k
∑  y k −∑ a j⋅x ⋅x
k =1
j=0
M
n
i
k
= 0
∑  y k⋅x −∑ a j⋅x ⋅x 
i
k
k =1
M
i
k
j
k
j=0
M
n
∑ y k⋅x −∑ ∑ a j⋅x
k =1
M
i=1 j=0
n
M
i
k
= 0
ji
k
= 0
∑ y k⋅x −∑ a j⋅ ∑ x
k =1
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i
k
j=0
i=1
ji
k
 = 0
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43
Polinomio de Mínimos Cuadrados
Con lo que finalmente obtenemos el siguiente sistema
de ecuaciones lineales :
n
M
∑ a j⋅(∑ x
j=0
k =1
j+i
k
M
) =
∑ y k⋅x
k =1
i
k
Para i = 0, 1, 2, …, n
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44
Sistema resultante
[
M
∑ xk
M
k=1
M
M
∑ xk
k=1
M
2
x
∑ k
k=1
2
x
∑ k
k=1
M
3
x
∑ k
k=1
⋮
M
∑x
k=1
M
n
k
M
k=1
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2
k
3
x
∑ k
4
x
∑ k
⋯
M
∑x
k=1
∑x
k=1
M
⋯
⋯
k=1
a1
⋮
⋮
M
⋯
][ ] [ ]
a0
⋅ a2 =
n2
∑ xk
⋱
n2
k
n
k
n1
x
∑ k
k=1
M
k=1
⋮
n1
k
M
k=1
M
⋮
∑x ∑x
k=1
M
∑x
k=1
2n
k
an
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M
∑ yk
k=1
M
∑ y k⋅x k
k =1
M
∑ y k⋅x
k =1
2
k
⋮
M
∑
k =1
y k⋅x nk
45
Aproximación de Grado 1
p 1  x=−61.882678⋅x80.06244
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49
Aproximación de Grado 2
p2  x =126.91394⋅x 2−188.79661⋅x98.57073
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50
Aproximación de Grado 3
p3 x =−35.30559⋅x 3179.87232⋅x 2 −208.76633⋅x99.72919
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51
Aproximación de Grado 4
p 4 x =−3.00755⋅x 4 −29.29048⋅x 3 176.03302⋅x 2−208.03458⋅x99.71157
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52
Valor Medio Cuadrático
(RMS)
Una vez calculados los coeficientes del polinomio de
aproximación de orden n, podemos calcular su Valor
Medio Cuadrático.
RMS =

M
∑
k =1
2
k
M
El Valor Medio Cuadrático, o Error Medio Cuadrático,
mide el ”ajuste” del polinomio con referencia a los datos
únicamente.
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53
Varianza al cuadrado
Una vez calculados los coeficientes del polinomio de
aproximación de orden n, podemos calcular su varianza
al cuadrado.
M
2
2

∑ k
 n =
k =1
M −n−1
Este valor no sólo mide cuánto se aproxima el polinomio
a los datos, sino que tiene en cuenta el esfuerzo
computacional involucrado.
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54
Aplicaciones de Mínimos Cuadrados
Sirven para aproximar grandes conjuntos de
puntos, pudiendo elegir el grado del polinomio
aproximante.
Esto permite obtener un modelo matemático
simplificado del fenómeno representado por los
datos.
Como el criterio de aproximación del método
se basa en minimizar el error entre los datos y
el aproximante, es posible que dicho polinomio,
no coincida exactamente con ninguno de los
puntos dato.
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55
PREGUNTAS ...
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56