9. Ecuaciones, parte III Matemáticas I, 2012-I 9. Ecuaciones, parte III El concepto de información Ya hemos visto ejemplos de ecuaciones con una única solución y otras que admiten dos soluciones. Ahora veremos unos ejemplos más extraños. Ejemplo 1. Resuelve la ecuación x + 1 = x. Para ello restamos x: | −x x+1=x 1=0 Ups - ¡algo pasó! Perdimos la incógnita x por completo. Ya no aparece en la ecuación. ¿Cómo debemos entonces “resolver” esta ecuación? La respuesta es más fácil de lo que parece: la ecuación 1=0 es falso siempre, para cualquier valor de x. La consecuencia es que la ecuación original no tiene ninguna solución. Como “resolver una ecuación” significa “encontrar todas las soluciones”, está ecuación es fácil de resolver: no tiene ninguna solución. Falso serı́a responder “esto no se puede”. Ejemplo 2. Resuelve la ecuación x2 + x = x(x + 1). Primero multiplicamos el lado izquierdo y luego restamos lo que se encuentra del lado derecho para tener todo de un lado: x2 + x = x(x + 1) x2 + x = x2 + x x=x 0=0 | Multiplicar | −x2 | −x También perdimos la incógnita, pero ahora la ecuación es verdadera. No importa el valor de la incógnita x. La consecuencia: cualquier número x es solución de la ecuación x2 + x = x(x + 1). Los dos ejemplos anteriores son extremos: una de ellas no tiene ninguna solución, la otra tiene todos los números como solución. Si pensamos que la ecuación expresa una información acerca de la incógnita, la primera expresa 9-1 Matemáticas I, 2012-I 9. Ecuaciones, parte III la imposibilidad, mientras la segunda expresa ninguna información ya que no restringe el valor de la incógnita. A cambio (x − 2)(x + 3) = 0 expresa la información “x = 2 ó x = −3”. Cuando transformamos las ecuaciones hay que ser cuidadoso con esta información para que – en la medida de lo posible – no se altere. Desafortunadamente no siempre es posible resolver una ecuación sin alterar la información contenida en ella. En lo que sigue estudiamos dos problemas. Soluciones adicionales Si multiplicamos una ecuación con un término que contiene la incógnita entonces es posible que se obtienen soluciones adicionales (que a veces se llaman extrañas), esto son soluciones que no eran soluciones de la ecuación original. Ejemplo 3. La ecuación x−3=0 (9.1) tiene una única solución: x = 3. Pero si (por alguna razón) se multiplica (9.1) por el término x − 2 entonces se obtiene (x − 2)(x − 3) = 0. Esta ecuación tiene dos soluciones: x = 2 y x = 3 pero sólo la segunda es solución de la ecuación original (9.1). La primera es solución de x − 2 = 0. Este ejemplo es ilustrativo y al mismo tiempo algo engañoso: engañoso porque nadie multiplicarı́a la ecuación (9.1) con x − 2 para resolverla. Es ilustrativo porque muestra que la solución adicional es justo la que se obtiene al igualar a cero el término con el que se multiplicó. Esto no es algo especial del ejemplo. Si tenemos alguna ecuación, del estilo A = B, donde A y B son dos términos en la incógnita x y la multiplicamos con x − 2 entonces obtenemos (x − 2)A = (x − 2)B. 9-2 9. Ecuaciones, parte III Matemáticas I, 2012-I Esta ecuación podemos factorizar: (x − 2)A = (x − 2)B (x − 2)A − (x − 2)B = 0 (x − 2)(A − B) = 0 x − 2 = 0 ó A − B = 0 x = 2 ó A = B | −(x − 2)B | Factorizar x − 2 | Separar | Resolver Es decir x − 2 = 0 o se tienen las soluciones de la ecuación original A = B. Veamos ahora otros ejemplos. Ejemplo 4. Resuelve la ecuación 1 1 2 + = 2 . x+3 x−3 x −9 Es importante observar primero que (x + 3)(x − 3) = x2 − 9. Ası́ que, si multiplicamos ambos lados por (x + 3)(x − 3) entonces podemos resolver la ecuación: 1 1 2 + = 2 x+3 x−3 x −9 (x − 3) + (x + 3) = 2 2x = 2 x=1 | ·(x + 3)(x − 3) | Sumar | ÷2 Para estar seguro de que x = 1 es solución de la ecuación original se sustituye. El lado izquierdo da 1 1 1 1 1 1 1 + = + = − =− 1+3 1−3 4 −2 4 2 4 mientras el lado derecho da 12 2 2 1 = =− . −9 −8 4 Como ambos valores coinciden se tiene que x = 1 es en efecto solución de la ecuación original. Ejemplo 5. Resuelve la ecuación 1 1 6 + = 2 . x+3 x−3 x −9 9-3 Matemáticas I, 2012-I 9. Ecuaciones, parte III Se observa que este ejemplo es casi igual al anterior excepto que el numerador del lado derecho es 6 y no 2. Se procede de manera similar: 1 1 6 + = 2 x+3 x−3 x −9 (x − 3) + (x + 3) = 6 2x = 6 x=3 | ·(x + 3)(x − 3) | Sumar | ÷2 Ahora la sustitución da 1 1 1 + = . 6 0 0 Pero la división entre cero no se permite en matemáticas. Por ello x = 3 no es una solución de la ecuación anterior sino una adicional que se añadió al multiplicar por x − 3. También al elevar al cuadrado se pueden obtener nuevas soluciones como muetsra el siguiente ejemplo. Ejemplo 6. La ecuación x+2=5 tiene solamente una solución: x = 3. Pero si elevamos al cuadrado ambos lados obtenemos (x + 2)2 = 25 x(x + 2) + 2(x + 2) = 25 x2 + 2x + 2x + 4 = 25 x2 + 4x + 4 = 25 x2 + 4x − 21 = 0 (x + 7)(x − 3) = 0 x + 7 = 0 ó x − 3 = 0 x = −7 ó x = 3 | Multiplicar | Multiplicar | Sumar | −25 | Factorizar | Separar | Resolver Es decir, la ecuación después de elevar al cuadrado tiene una solución adicional: x = −7. 9-4 9. Ecuaciones, parte III Matemáticas I, 2012-I Pérdida de soluciones Para resolver la ecuación x2 = x uno podrı́a estar intentado a dividir ambois lados entre x: x2 = x x=1 | ÷x Pero al dividir entre un término que contiene la incógnita se puede perder una solución. En este caso se perdió la solución x = 0. La manera correcta de resolver la ecuación es usar la factorización: x2 = x x2 − x = 0 x(x − 1) = 0 x = 0 ó x − 1 = 0 x = 0 ó x = 1 | −x | Factorizar x | Separar | Resolver Recuerda: evita dividir entre un término que contiene la incógnita y mejor usa la factorización. Otro error se comete cuando se saca la raı́z cuadrada sin considerar ambos signos posibles. Ejemplo 7. La ecuación x2 = 9 tiene dos soluciones: x = 3 y x = −3 ya que (−3)2 = (−3) · (−3) = 9. Pero si sacamos la raı́z cuadrada obtenemos √ x2 = 9 | x=3 Se perdió la solución x = −3. Este error se corrige al sacar la raı́z con ambos signos posibles: √ x2 = 9 |± x = ±3 Es suficiente introducir el signo en uno de los dos lados ya que −x = ±3 equivale a x = ∓3. Recuerda: No se pierde ninguna solución al sacar la raı́z cuadrada si se consideranambos signos. 9-5 Matemáticas I, 2012-I 9. Ecuaciones, parte III Ejercicios 1jResuelve las siguientes ecuaciones: (a) (T + 1)(T − 1) = T 2 − 1 1 1+x = (b) x x 3x − (1 − x) (c) =4+x 4 (d) (z − 1) · (z + 1) · [z − (−z)] = 0 2jResuelve las siguientes ecuaciones: 1 2 1 + = 2 x+2 x−2 x −4 3 5 (b) − =0 a−7 a+7 2 t−4 − =1 (c) t+4 t−4 14 7 1 (d) 2 − = z −9 z+3 z−3 (a) 3jResuelve las siguientes ecuaciones (a) z 2 − 4 = 0 (b) x2 + 1 = 0 2 (c) (x2 − 26) = 100 (d) t4 − 13t2 + 36 = 0 (e) (x2 − 1)(x2 − 2)(x2 − 3)(x2 − 4) = 0 4jResuelve las siguientes ecuaciones √ √ 2t2 − 3 = t2 + 1 √ √ (b) e2 − 4 = 3e √ √ (c) x2 − 4 = 2 − x p √ (d) (u − 3)(u + 3) = 4u + 3 (a) 9-6