Integración de funciones simples positivas medibles

Integración de funciones simples positivas medibles
Objetivos. Definir la integral de Lebesgue de funciones simples positivas medibles y
estudiar sus propiedades elementales.
Requisitos. Funciones simples, funciones medibles, medida.
1. Definición (integral de Lebesgue de una función simple medible positiva).
Sea (X, F, µ) un espacio de medida y sea s ∈ SM(X, F, R+ ) una función simple medible
de la forma
n
X
s=
vk χ Ak ,
k=1
donde v1 , . . . , vn son valores diferentes de s y Ak = s−1 ({vk }). Además sea Y ∈ F. Entonces
Z
n
X
vk µ(Ak ∩ Y ).
(1)
s dµ :=
k=1
Y
Aquı́ se usa el acuerdo que 0 · ∞ = 0: si para algún k ∈ {1, . . . , n} se tiene que vk = 0 y
µ(Ak ∩ Y ) = +∞, entonces el sumando correspondiente es 0.
2. Definición (partición generalizada de un conjunto, repaso). Una familia (Pj )j∈J
se llama partición generalizada de un conjunto C si los elementos de esta familia son
disjuntos por pares y su unión es C:
[
(∀j, k ∈ J
(j 6= k) =⇒ (Pj ∩ Pk = ∅))
∧
Pj = C.
j∈J
3. Representación generalizada de una función simple (repaso). Sea X un conjunto, sea (Cj )m
j=1 una partición generalizada de X y sean w1 , . . . , wm ∈ C. Notemos que
algunos de los conjuntos C1 , . . . , Cm pueden ser vacı́os y algunos de los números w1 , . . . , wm
pueden ser iguales entre si.
Entonces la siguiente función s : X → C es simple:
s=
m
X
wj χCj .
j=1
Más aún, la representación canónica de s es
s=
n
X
vk χAk ,
k=1
donde v1 , . . . , vn son los valores diferentes de s (ası́ que {v1 , . . . , vn } ⊂ {w1 , . . . , wm }) y
[
Ak =
Cj .
(2)
1≤j≤m :
Cj 6=∅
vj =wk
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4. Proposición (integral de una función simple medible positiva dada por
su representación generalizada). Sea (X, F, µ) un espacio de medida y sea s ∈
SM(X, F, R+ ) una función simple medible dada por su representación generalizada:
f=
m
X
wj χCj .
j=1
Aquı́ suponemos que w1 , . . . , wm ∈ R+ y C1 , . . . , Cm ∈ F son algunos conjuntos disjuntos
cuya unión es igual a X. Entonces para todo Y ∈ F
Z
m
X
f dµ =
wj µ(Y ∩ Cj ).
(3)
j=1
Y
Es decir, la fórmula (1) también es válida en el caso de una representación generalizada.
Demostración. Denotemos todos los valores diferentes de s por v1 , . . . , vn . Notemos que
{v1 , . . . , vn } ⊂ {w1 , . . . , wm }. De todos los ı́ndices 1, . . . , m separamos aquellos que corresponden al conjunto vacı́o, y los demás agrupamos por los valores de la función s.
Más formalmente, partimos el conjunto {1, . . . , m} en partes J0 , J1 , . . . , Jn de la siguiente
manera:
J0 := j ∈ {1, . . . , m} : Cj = ∅ ,
Jk := j ∈ {1, . . . , m} : Cj 6= ∅, wj = vk .
Entonces la fórmula (2) se puede escribir como
[
Ak =
Cj .
(4)
j∈Jk
Por la definición de la integral,
Z
f dµ =
n
X
vk µ(Y ∩ Ak ).
(5)
k=1
Y
Tenemos por demostrar que el segundo término de (3) es igual al segundo término de (5).
Partimos los sumandos de la suma (3) en grupos J0 , J1 , . . . , Jn :
m
X
j=1
wj µ(Y ∩ Cj ) =
X
wj µ(Y ∩ Cj ) +
j∈J0
n X
X
wj µ(Y ∩ Cj ).
k=1 j∈Jk
En la primera suma Y ∩ Cj = ∅. Aplicando (4) es fácil demostrar que para cada
k ∈ {1, . . . , n} la familia (Y ∩ Cj )j∈Jk es una partición generalizada de Y ∩ Ak . Además
para cada j ∈ Jk tenemos que wj = vk . Aplicando la propiedad aditiva de la medida µ
obtenemos que
!
m
n
n
X
X
[
X
wj µ(Y ∩ Cj ) = 0 +
vk µ
Y ∩ Cj =
vk µ(Y ∩ Ak ).
j=1
k=1
j∈Jk
k=1
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Algunas propiedades de la integral de Lebesgue
de funciones simples medibles positivas
En toda esta sección suponemos que (X, F, µ) es un espacio de medida. Las demostraciones
de las siguientes propiedades son ejercicios simples.
5. Sea f ∈ SM(X, F, R+ ) y sea Y ∈ F. Entonces
Z
Z
f dµ = χY · f dµ.
Y
X
6. Sea s ∈ SM(X, F, R+ ) y sea Y ∈ F. Entonces
Z
s dµ ≥ 0.
Y
7. Integral de una función simple sobre un conjunto de medida cero. Sea s ∈
SM(X, F, R+ ) y sea Y ∈ F tal que µ(Y ) = 0. Entonces
Z
s dµ = 0.
Y
8. Integral sobre un conjunto donde la función es constante, el caso de una
función simple positiva. Sean f ∈ SM(X, F, R+ ), w ∈ [0, +∞) y Y ∈ F tales que
f (x) = w
Entonces
∀x ∈ Y.
Z
f dµ = w µ(Y ).
Y
9. Integral de una función simple que se anula en el conjunto de la integración.
Sea s ∈ SM(X, F, R+ ) y sea Y ∈ F. Si s(x) = 0 para todo x ∈ Y , entonces
Z
s dµ = 0.
Y
10. Ejercicio. Sea s ∈ SM(X, F, R+ ) y sea Y ∈ F. Encuentre una condición necesaria y
suficiente para que
Z
s dµ = 0.
Y
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11. Proposición de la medida definida como la integral de una función simple
medida positiva sobre el conjunto de integración variable. Sea s ∈ SM(X, F, R+ ).
Entonces la función ϕ : F → R+ definida mediante la siguiente regla es una medida:
Z
ϕ(Y ) = s dµ.
Y
12. Corolario: Monotonı́a de la integral de una función simple positiva respecto
al conjunto de integración. Sea s ∈ SM(X, F, R+ ) y sean A, B ∈ F tales que A ⊂ B.
Entonces
Z
Z
s dµ ≤ s dµ.
B
A
13. Propiedad homogénea de la integral, el caso de una función simple positiva.
Sea s ∈ SM(X, F, R+ ), sea c ∈ R+ y sea Y ∈ F. Entonces
Z
Z
cs dµ = c s dµ.
Y
Y
14. Integral de la suma de funciones simples positivas. Sean s, t ∈ SM(X, F, R+ )
y sea Y ∈ F. Entonces
Z
Z
Z
(s + t) dµ = s dµ + t dµ.
Y
Y
Y
Idea de demostración. Si s y t tienen representaciones canónicas
m
n
X
X
s=
αp χAp ,
t=
βq χBq ,
p=1
q=1
entonces una representación generalizada de s + t es
m X
n
X
s+t=
(αp + βq )χAp ∩Bq .
p=1 q=1
Gracias a la Proposición 4, podemos usar esta representación para escribir la integral
s + t. Para completar la demostración demuestre que para cada p ∈ {1, . . . , m} la familia
(Y ∩ Ap ∩ Bq )nq=1 es una partición generalizada de Y ∩ Ap , para cada q ∈ {1, . . . , n} la
familia (Y ∩ Ap ∩ Bq )m
p=1 es una partición generalizada de Y ∩ Bq , y simplifique la suma
Z
m X
n
X
(s + t) dµ =
(αp + βq )µ(Y ∩ Ap ∩ Bq ).
p=1 q=1
15. Monotonı́a de la integral con respecto a la función, el caso de funciones
simples positivas. Sean s, t ∈ SM(X, F, R+ ) tales que s ≤ t, y sea Y ∈ F. Entonces
Z
Z
s dµ ≤ t dµ.
Y
Y
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