Ejemplo de Cálculo de Momento Optimo y Reducción

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Ejemplo de Cálculo de Momento Optimo y Reducción
Marı́a Eugenia Garcia
2008
Introducción.
T ∗(IR3 × IR3) − △ es el espacio de fase del problema de dos cuerpos en mecánica celeste cuyo
Hamiltoniano es invariante por la acción diagonal del grupo euclidiano SE(3) en T ∗IR6.
Plan de la charla:
1. Nociones básicas de aplicación momento usual.
2. El problema de dos cuerpos: cálculo del momento usual.
3. Nociones básicas de aplicación momento óptimo.
4. El problema de dos cuerpos: cálculo de la aplicación momento óptimo.
5. Camino a la reducción.
1.
Nociones básicas de aplicación momento usual.
(M, ω) una variedad simpléctica y G un grupo de Lie
φ : G × M → M una acción simpléctica de G sobre M
φ∗g ω = ω
φ admite aplicación momento Ad∗-equivariante
J : M −→ g∗,
si ∀ ξ ∈ g,
ˆ = iξ ω,
dJ(ξ)
M
ˆ : M −→ IR está dado por
donde J(ξ)
ˆ
J(ξ)(m)
= hJ(m), ξi
Luego
XJ(ξ)
= ξM , ∀ ξ ∈ g.
ˆ
2.
El problema de dos cuerpos.
Grupo Euclidiano de dimensión 3
SE(3) = SO(3)sIR3,
donde la estructura de grupo está dada por el producto semidirecto
(A, a).(B, b) = (AB, Ab + a).
El álgebra de Lie del grupo SE(3) está dada por
se(3) = so(3)sIR3.
Observación:
el álgebra de Lie so(3) puede ser identificada con IR3 mediante el isomorfismo lineal
b : IR3 → so(3)
ξ
→ ξˆ
que asigna a cada ξ = (ξ1, ξ2, ξ3)T ∈ IR3 el elemento de so(3)

0 −ξ3 ξ2
ξˆ =  ξ3
0 −ξ1  .
−ξ2 ξ1
0

(1)
Valen las siguientes propiedades:
ˆ = ξ × η,
1. ξη
2. ξˆη̂ − η̂ ξˆ = (ξ\
× η), esto es
ˆ η̂] = ξ[
[ξ,
× η.
ˆ u), (η̂, v) ∈ se(3), el corchete de Lie está dado por
Dados (ξ,
h
i ˆ u), (η̂, v) = [ξ,
ˆ η̂], ξv
ˆ − η̂u
(ξ,
Usando la identificación (1) y las propiedades (1) y (2), resulta
[(ξ, u), (η, v)] = (ξ × η, ξ × v − η × u) .
El espacio dual del álgebra de Lie se(3) está dado por
se(3)∗ = so(3)∗ × (IR3)∗.
Utilizando la identificación (1) y la identificación entre IR3 y (IR3)∗, y también entre so(3) y so(3)∗
dadas por el producto interior hh·, ·ii, se tiene la siguiente identificación
se(3)∗ = (so(3))∗ × (IR3)∗
(α̂ , u)
∼
= IR3 × IR3
∼
= (α, u)
(2)
2.1.
Aplicación Momento de la Acción Diagonal
Consideremos la acción diagonal del grupo SE(3) sobre el espacio vectorial Q := IR3 × IR3,
φ : SE(3) × (IR3 × IR3) −→ (IR3 × IR3)
((A, a), (q 1, q 2)) 7−→ (Aq 1 + a, Aq 2 + a).
Se tiene la identificación canónica
Tq (IR3 × IR3) ←→ (IR3 × IR3) × (IR3 × IR3)
vq
←→ (q 1, q 2, v 1, v 2).
(3)
También se tiene la identificación canónica
Tq∗(IR3 × IR3) ←→ (IR3 × IR3) × (IR3 × IR3)∗
αq
←→ (q 1, q 2, p1, p2) = (q, p).
(4)
Sea q ∈ Q. Calculemos la acción φ levantada al tangente,
Tq φ(A,a) : Tq (IR3 × IR3) −→ Tφ(A,a)(q)(IR3 × IR3)
Usando la identificación (3) se puede ver que
Tq φ(A,a)(q 1, q 2, v 1, v 2) = (Aq 1 + a, Aq 2 + a, Av 1, Av 2).
Calculemos ahora, la acción φ levantada al cotangente.
Tq∗φ : SE(3) × Tq∗(IR3 × IR3) −→ Tφ∗(A,a)(q)(IR3 × IR3),
donde, para αq ∈ Tq∗(IR3 × IR3) y vφ(A,a)(q) ∈ Tφ(A,a)(q)(IR3 × IR3)
h(Tq∗φ)(A,a)(αq ), vq i = hαq , Tq φ(A,a)−1 (vφ(A,a) (q))i.
Usando las identificaciones (3) y (4) puede verse que
(Tq∗φ)(A,a)(q, p) = (Aq 1 + a, Aq 2 + a, Ap1, Ap2).
ˆ u) ∈ se(3)
Para q ∈ IR3 × IR3 el generador infinitesimal de la acción φ correspondiente al elemento (ξ,
está dado por
ˆ u)IR3×IR3 (q) = (ξq
ˆ 1 + u, ξq
ˆ 2 + u).
(ξ,
Usando la identificación (1) se tiene para (ξ, u) ∈ IR3 × IR3,
(ξ, u)IR3×IR3 (q) = (ξ × q 1 + u, ξ × q 2 + u).
La aplicación momento J : T ∗(IR3 × IR3) −→ se(3)∗ para la acción levantada al cotangente T ∗φ
está dada por
ˆ u)ii = hhαq , (ξ,
ˆ u)IR3×IR3 (q)ii,
hhJ(αq ), (ξ,
Usando las identificaciones (1) y (4), puede verse que que
J(q, p) = (q 1 × p1 + q 2 × p2 , p1 + p2)
(5)
Sea (α̂, u) ∈ se(3)∗. Calculemos la preimagen de este elemento por la aplicación momento, esto es
−1
∗
J (α̂, u) = αq ∈ Tq Q | J(αq ) = (α̂, u) .
Usando las identificaciones (2), (3) y (4) resulta que J −1(α̂, u) es el conjunto de los elementos
(q 1, q 2, p1, p2) ∈ (IR3 × IR3) × (IR3 × IR3) que verifican
1
q × p1 + q 2 × p2 = α
(6)
p1 + p2 = u,
o equivalentemente que verifican
(q 1 − q 2) × p1 + q 2 × u = α
p2 = u − p1
(7)
3.
Momento Optimo.
M una variedad diferenciable. Una distribución generalizada D sobre M es un subconjunto
del fibrado tangente T M tal que, para todo m ∈ M la fibra
Dm = D ∩ TmM
es un subespacio vectorial de T M .
La distribución D es diferenciable si para todo z ∈ M y para todo vector v ∈ Dz existe una un
campo vectorial suave X de D definido en un entorno abierto U de z tal que X(z) = v.
La distribución generalizada D es completamente integrable si para todo z ∈ M existe una
variedad integral N de D de dimensión máxima que contiene a z, es decir para cada z ∈ N ,
Tz i(Tz N ) = Dz .
La distribución generalizada D es involutiva si es invariante bajo los flujos (locales) asociados a
las secciones diferenciables de D.
Caso especifico: Distribuciones diferenciables.
Consideramos una familia D cuyos elementos son campos vectoriales suaves X definidos en un subconjunto abierto Dom(X) ⊂ M .
Entonces se tiene la distribución generalizada diferenciable D dada por
Dz = span {X(z) ∈ Tz M | X ∈ D y z ∈ X} .
Teorema. (Teorema Stefan-Sussman)(Frobenius generalizado)
1. Una distribución generalizada D sobre una variedad M es completamente integrable si y sólo si es
involutiva.
2. En el caso en que la distribución D sea integrable, las variedades integrales son las órbitas del
pseudogrupo generado por los flujos Ftf de los campos Xf donde f ∈ C ∞(U ) con U subconjunto
abierto de M .
Definición.
Consideramos
(M, {·, ·}) una variedad de Poisson,
G un grupo de Lie que actúa canonicamente sobre M ,
U un subconjunto de M abierto G-invariante
C ∞(U )G = {f ∈ C ∞(U ) | f es G − invariante}.
∞
G
E = Xf | f ∈ C (U ) , con U ⊂ M abierto G − invariante .
Se definde la G-distribución caracterı́stica E como la distribución generalizada suave sobre M
generada por E. Esto es
∞
G
E = span Xf | f ∈ C (U ) , con U ⊂ M abierto G − invariante .
Observación:
Si la G-acción sobre M es propia la definición de la distribución E admite una simplificación
E = span{Xf | f ∈ C ∞(M )G}.
Proposición.
La G-distribución caracterı́stica E es completamente integrable y las variedades integrales son las
órbitas del pseudogrupo GE generado por los flujos Ftf de los campos Xf donde f ∈ C ∞(U )G con U
subconjunto abierto G-invariante de M .
Definición. Aplicación Momento Optimo.
(M, {·, ·}) una variedad de Poisson,
G un grupo de Lie que actúa canonicamente sobre M ,
E la G-distribución caracterı́stica integrable asociada.
La aplicación momento óptimo es la proyección canónica
J : M → M/GE .
El espacio de momentos es M/E := M/GE .
Teorema. (Teorema de Noether Optimo)
Sea J : M → M/GE la aplicación momento óptimo. Entonces J es una constante de movimiento
para la dinámica generada por cualquier Hamiltoniano G-invariante h, esto es
J ◦ Ft = J,
donde Ft es el flujo de Xh.
Observación:
De la construcción de J se ve que no hay subvariedades de J−1(ρ) de dimensión menor que J−1(ρ)
que sean respetadas por la dinámica de cualquier Hamiltoniano H G-invariante. Esto justifica el uso
de la palabra ”óptimo” en su definición.
A diferencia de la aplicación momento usual, J está siempre definido.
3.1.
La aplicación momento óptimo para acciones propias globalmente Hamiltonianas.
(M, ω) variedad simpléctica, G un grupo de Lie,
φ : G × M → M acción propia y globalmente Hamiltoniana, y sea
J : M → g∗
la aplicación momento usual asociada a la acción φ.
Teorema.
Si E es la G-distribución caracterı́stica, entonces para todo m ∈ M
E(m) = ker TmJ ∩ TmMGm ,
donde MGm = {x ∈ M | Gx = Gm}.
Mas aún, la GE -orbita del punto m ∈ M es la componente conexa de la subvariedad J −1(µ) ∩ MGm
que contiene a m esto es
J−1(ρ) = (J −1(µ) ∩ MGm )c.c.m ,
con µ = J(m) y ρ = J(m).
4.
El problema de dos cuerpos: Cálculo de la aplicación Momento Optimo.
(T ∗(IR3 × IR3), ω),
G = SE(3),
T ∗φ : SE(3) × T ∗(IR3 × IR3) → T ∗(IR3 × IR3) dada por
(T ∗φ)(A,a)(q 1, q 2, p1, p2) = (Aq 1 + a, Aq 2 + a, Ap1, Ap2),
Como vimos admite una aplicación momento J : T ∗(IR3 × IR3) → se(3) y está dada por
J(q 1, q 2, p1, p2) = (q 1 × p1 + q 2 × p2, p1 + p2).
Dado (q, p) ∈ T ∗(IR3 × IR3) queremos calcular las componentes conexas de
J −1(α, u) ∩ T ∗(IR3 × IR3)SE(3)(q,p) .
Calculemos primero los subgrupos de isotropı́a de la acción T ∗φ y los espacios T ∗(IR3 × IR3)SE(3)(q,p) .
Para (q, p) = (q 1, q 2, p1, p2) ∈ IR3 × IR3
∗
SE(3)(q,p) = (A, a) ∈ SE(3) | (T φ)(A,a)(q, p) = (q, p)
(8)
= (A, a) ∈ SE(3) | Aq 1 + a = q 1, Aq 2 + a = q 2, Ap1 = p1, Ap2 = p2
m0 = (0, 0, 0, 0).
SE(3)m0 = {(A, a) ∈ SE(3) | a = 0} ≃ SO(3).
(9)
m1 = (q 1, q 2, 0, 0) con q 1 − q 2 = 0.
SE(3)m2 = {(A, a) ∈ SE(3) | a = q 1 − Aq 1} ≃ SO(3)
(10)
Sea x ∈ IR3 y sea
Gx = {(A, a) ∈ SE(3) | a = x − Ax} ≃ SO(3).
De (9) y (10) se tiene para cada x ∈ IR3 que
T ∗(IR3 × IR3)Gx = {(x, x, 0, 0)}.
(11)
m2 = (q 1, q 2, 0, 0) con q 1 − q 2 6= 0.
SE(3)m2 = {(A, a) ∈ SE(3) | A(q 1 − q 2) = q 1 − q 2 y a = q 1 − Aq 1} ≃ S 1
(12)
m3 = (q 1, q 2, 0, p2) con p2 6= 0, q 1 − q 2 paralelo a p2.
SE(3)m3 = {(A, a) ∈ SE(3) | Ap2 = p2 y a = q 1 − Aq 1} ≃ S 1
(13)
m4 = (q 1, q 2, p1, p2) con p1 y p2 paralelos, p1 6= 0 y q 1 − q 2 paralelo a p1.
SE(3)m4 = {(A, a) ∈ SE(3) | Ap1 = p1 y a = q 1 − Aq 1} ≃ S 1
(14)
Sean x, y ∈ IR3 con y 6= 0 y sea
Gx,y = {(A, a) ∈ SE(3) | Ay = y, a = x − Ax} ≃ S 1.
De (12), (13) y (14) se tiene que
1
2
3
∪ Tx,y
∩ Tx,y
T ∗(IR3 × IR3)Gx,y = Tx,y
= {(x, x − y, 0, 0)}
∪ {(x, x + λy, 0, y) | λ ∈ IR}
∪ {(x, x + λy, y, βy) | λ, β ∈ IR} .
(15)
m5 = (q 1, q 2, 0, p2) con p2 6= 0, q 1 − q 2 no paralelo a p2.
SE(3)m5 = {(I, 0)}.
(16)
m6 = (q 1, q 2, p1, p2) con p1 y p2 paralelos, p1 6= 0 y q 1 − q 2 no paralelo a p1.
SE(3)m6 = {(I, 0)}.
(17)
m7 = (q 1, q 2, p1, p2) con p1 y p2 no paralelos.
SE(3)m7 = {(I, 0)}.
(18)
Sea G0 = {(I, 0)}. De (16), (17) y (18) se tiene que
T ∗(IR3 × IR3)G0 = R1 ∪ R2 ∪ R3
1 2 1 2
∗
3
3
1
2
2
= (q , q , p , p ) ∈ T (IR × IR ) | (q − q ) × p 6= 0
1 2 1 2
∗
3
3
1
2
1
2
1
∪ (q , q , p , p ) ∈ T (IR × IR ) | p × p = 0, (q − q ) × p 6= 0
1 2 1 2
∗
3
3
1
2
∪ (q , q , p , p ) ∈ T (IR × IR ) | p × p 6= 0
(19)
Calculemos para cada (q, p) las componentes conexas de
J −1(α, u) ∩ T ∗(IR3 × IR3)SE(3)(q,p) .
1. (q, p) ∈ T ∗(IR3 × IR3)Gx0 , (q, p) = (x0, x0, 0, 0).
En este caso se tiene que J(x0, x0, 0, 0) = (0, 0) y
J −1(0, 0) = {(q 1, q 2, p1, p2) ∈ T ∗(IR3 × IR3) | q 1 × p1 + q 2 × p2 = 0, p1 + p2 = 0}.
De (11) y (20) se tiene que
J −1(0, 0) ∩ T ∗(IR3 × IR3)Gx0 = {(x0, x0, 0, 0)}.
Por lo tanto si ρ ∈ T ∗(IR3 × IR3)/GE tal que J(x0, x0, 0, 0) = ρ entonces
J−1(ρ) = (J −1(0, 0) ∩ T ∗(IR3 × IR3)Gx0 )c.c.(q,p) = {(x0, x0, 0, 0)}.
(20)
2. (q, p) ∈ T ∗(IR3 × IR3)Gx0,y0 , (q, p) = (x0, x0 − y0, 0, 0), y0 6= 0.
En este caso se tiene que J(x0, x0 − y0, 0, 0) = (0, 0) y como antes
J −1(0, 0) = {(q 1, q 2, p1, p2) ∈ T ∗(IR3 × IR3) | q 1 × p1 + q 2 × p2 = 0, p1 + p2 = 0}.
Se tiene que
J
−1
∗
3
3
(0, 0) ∩ T (IR × IR )Gx0,y0 = J
−1
(0, 0) ∩
Tx10,y0
∪ J
−1
(0, 0) ∩
Tx20,y0
∪ J
−1
(0, 0) ∩
a) J −1(0, 0) ∩ Tx10,y0 = J −1(0, 0) ∩ {(x0, x0 − y0, 0, 0)} = {(x0, x0 − y0, 0, 0)}.
b) J −1(0, 0) ∩ Tx20,y0 = J −1(0, 0) ∩ {(x0, x0 + λy0, 0, y0) | λ ∈ IR} = ∅ pues y0 6= 0.
Tx30,y0
.
c) J −1(0, 0) ∩ Tx30,y0 = J −1(0, 0) ∩ {(x0, x0 + λy0, y0, βy0) | λ, β ∈ IR}.
Se tiene de (15) que
x0 × y0 + (x0 + λy0) × βy0 = 0
y0 + βy0 = 0.
De la segunda ecuación y del hecho que y0 6= 0 se ve que β = −1 y entonces se tiene que
J −1(0, 0) ∩ Tx30,y0 = {(x0, x0 + λy0, y0, −y0) | λ ∈ IR}.
Por lo tanto juntando (a), (b) y (c) se tiene
J −1(0, 0) ∩ T ∗(IR3 × IR3)Gx0,y0 = {(x0, x0 − y0, 0, 0)} ∪ {(x0, x0 + λy0, y0, −y0) | λ ∈ IR}.
Entonces si ρ ∈ T ∗(IR3 × IR3)/GE tal que J(x0, x0 − y0, 0, 0) = ρ entocnes
J−1(ρ) = (J −1(0, 0) ∩ T ∗(IR3 × IR3)Gx0,y0 )c.c.(q,p) = {(x0, x0 − y0, 0, 0)}.
3. Caso (q, p) ∈ T ∗(IR3 × IR3)Gx0,y0 , (q, p) = (x0, x0 + λ0y0, 0, y0), y0 6= 0.
En este caso J(x0, x0 + λ0y0, 0, y0) = (x0 × y0, y0) y
J −1(0, 0) = {(q 1, q 2, p1, p2) ∈ T ∗(IR3 × IR3) | q 1 × p1 + q 2 × p2 = x0 × y0, p1 + p2 = y0}. (21)
Se tiene que
J
−1
∗
3
3
(x0 × y0, y0) ∩ T (IR × IR )Gx0,y0 =
J
−1
(x0 × y0, y0) ∩
Tx10,y0
∪ J
∪ J −1(x0 × y0, y0) ∩ Tx30,y0 .
−1
(x0 × y0, y0) ∩
a) J −1(x0 × y0, y0) ∩ Tx10,y0 = J −1(x0 × y0, y0) ∩ {(x0, x0 − y0, 0, 0)} = ∅ pues y0 6= 0.
b) J −1(x0 × y0, y0) ∩ Tx20,y0 = J −1(x0 × y0, y0) ∩ {(x0, x0 + λy0, 0, y0) | λ ∈ IR} .
De (21) se ve que
(x0 + λy0) × y0 = x0 × y0
y0 = y0 .
Por lo tanto
J −1(x0 × y0, y0) ∩ Tx20,y0 = {(x0, x0 + λy0, 0, y0) | λ ∈ IR}.
Tx20,y0
c) J −1(x0 × y0, y0) ∩ Tx30,y0 = J −1(x0 × y0, y0) ∩ {(x0, x0 + λy0, y0, βy0) | λ, β ∈ IR}.
Se tiene de (21) que
x0 × y0 + (x0 + λy0) × βy0 = x0 × y0
y0 + βy0 = y0.
De la segunda ecuación y del hecho que y0 6= 0 se ve que β = 0 y entonces se tiene que
J −1(x0 × y0, y0) ∩ Tx30,y0 = {(x0, x0 + λy0, y0, 0) | λ ∈ IR}.
Por lo tanto juntando (a), (b) y (b) se tiene que
J −1(x0, x0 + λy0, 0, y0) ∩ T ∗(IR3 × IR3)Gx0,y0 =
{(x0, x0 + λy0, 0, y0) | λ ∈ IR}
∪{(x0, x0 + λy0, y0, 0) | λ ∈ IR}.
Entonces si ρ ∈ T ∗(IR3 × IR3)/GE tal que J(x0, x0 + λ0y0, 0, y0) = ρ entonces
J−1(ρ) = (J −1(x0 × y0, y0) ∩ T ∗(IR3 × IR3)Gx0,y0 )c.c.(q,p) = {(x0, x0 + λy0, 0, y0) | λ ∈ IR}.
4. (q, p) ∈ T ∗(IR3 × IR3)Gx0,y0 , (q, p) = (x0, x0 + λ0y0, y0, β0y0), y0 6= 0.
En este caso J(x0, x0 + λ0y0, y0, β0y0) = (x0 × (y0 + β0y0, y0 + β0y0).
En el caso en que β0 = −1, (q, p) = (x0, x0 + λ0y0, y0, −y0) y J(x0, x0 + λ0y0, y0, −y0) = (0, 0) y
entonces se corresponde con el segundo caso.
Si ρ ∈ T ∗(IR3 × IR3)/GE tal que J(x0, x0 + λ0y0, y0, −y0) = ρ entonces
J−1(ρ) = (J −1(0, 0) ∩ T ∗(IR3 × IR3)Gx0,y0 )c.c.(q,p) = {(x0, x0 + λ0y0, y0, −y0)}.
Por otro lado, en el caso en que β = 0, (q, p) = (x0, x0 + λ0y0, y0, 0) y J(x0, x0 + λ0y0, y0, 0) =
(x0 × y0, y0) y entonces se corresponde con el tercer caso.
Si ρ ∈ T ∗(IR3 × IR3)/GE tal que J(x0, x0 + λ0y0, y0, 0) = ρ entonces
J−1(ρ) = (J −1(x0 × y0, y0) ∩ T ∗(IR3 × IR3)Gx0,y0 )c.c.(q,p) = {(x0, x0 + λ0y0, y0, 0)}.
Supongamos que β 6= −1 y β 6= 0 y llamemos (α0, u0) = x0 × (y0 + β0y0), y0 + β0y0.
En este caso
J −1(x0 × (y0 + β0y0), y0 + β0y0) = {(q 1, q 2, p1, p2) | q 1 × p1 + q 2 × p2 = x0 × (y0 + β0y0),
p1 + p2 = y0 + β0y0}.
(22)
Se tiene que
J
−1
∗
3
3
(α0, u0) ∩ T (IR × IR )Gx0,y0 =
J
−1
∪ J
(α0, u0) ∩
−1
Tx10,y0
(α0, u0) ∩
Tx20,y0
∪ J −1(α0, u0) ∩ Tx30,y0 .
a) J −1(α0, u0) ∩ Tx10,y0 = J −1(α0, u0) ∩ {(x0, x0 − y0, 0, 0)} = ∅ pues y0 6= 0 y β0 6= −1.
b) J −1(α0, u0) ∩ Tx20,y0 = J −1(α0, u0) ∩ {(x0, x0 + λy0, 0, y0) | λ ∈ IR} = ∅ pues y0 6= 0 y β0 6= 0.
c) J −1(α0, u0) ∩ Tx30,y0 = J −1(α0, u0) ∩ {(x0, x0 + λy0, y0, βy0) | λ, β ∈ IR}.
De (15) y (22) se ve que
x0 × y0 + (x0 + λy0) × βy0 = x0 × (y0 + β0y0)
y0 + βy0 = y0 + β0y0.
De la segunda ecuación y del hecho que y0 6= 0 se ve que β = β0 y entonces se tiene que
J −1(α0, u0) ∩ Tx30,y0 = {(x0, x0 + λy0, y0, β0y0) | λ ∈ IR}.
Por lo tanto juntando (a), (b) y (c) se tiene que
J −1(x0 × (y0 + β0y0), y0 + β0y0) ∩ T ∗(IR3 × IR3)Gx0,y0 = {(x0, x0 + λy0, y0, β0y0) | λ ∈ IR}.
Entonces si ρ ∈ T ∗(IR3 × IR3)/GE tal que J(x0, x0 + λ0y0, y0, β0y0) = ρ entonces
J−1(ρ) = (J −1({(x0, x0 + λy0, y0, β0y0) | λ ∈ IR}) ∩ T ∗(IR3 × IR3)Gx0,y0 )c.c.(q,p)
= {(x0, x0 + λ0y0, y0, β0y0) | λ ∈ IR}.
Referencias
[1] Abraham, R.; Marsden, J., ”Foundations of Mechanics”, 1978. The Benjamin/Cummings Publishing Company.
[2] Ortega, J. P.; Ratiu, T., ”The Optimal Momentum Map”, 2002.
[3] Ortega, J. P.; Ratiu, T., ”Momentum Maps and Hamiltonian Reduccion”, 2004. Birkhuser.