´Algebra

Álgebra
Examen Final
Ejercicio 1
(1 hora y 40 min.)
27 de junio de 2012
1.– En un tablero de ajedrez, ¿de cuántas formas distintas puede irse de la casilla superior izquierda a la
inferior derecha si
(i) en cada movimiento se avanza una casilla a la derecha o una hacia abajo?.
(ii) en cada movimiento se avanza una casilla a la derecha, una hacia abajo o se combinan ambos
desplazamientos en diagonal?.
(1 punto)
2.– Fijados n ∈ N y a, b ∈ IR definimos la matriz An ∈ Mn×n (IR):
a
b

b
An = 
 ...

b

b

a a ... a a
a a ... a a

b a ... a a
.. .. . .
. . .
. .. .. 
. .

b b ... a a
b b ... b a
(i) Calcular el determinante de An .
(ii) Estudiar en función de los valores de a, b y n el rango de An .
(1 punto)
3.– Sea P2 (IR) el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que dos. Se
definie la aplicación lineal:
f : P2 (IR) −→ IR3 ,
f (p(x)) = (p(−1), p(0), p(1))
(i) Calcular la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas de P2 (IR) y IR3 .
(ii) Probar que los conjuntos B = {(x − 1)2 , x2 , (x + 1)2 } y B 0 = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0, 0)} son
respectivamente bases de P2 (IR) y IR3 .
(iii) Calcular la matriz asociada a f respecto de las bases B y B 0 .
(iv) Hallar la inversa de la matriz calculada en (i).
(v) Usando la matriz anterior, hallar la ecuación de una parábola y = ax2 + bx + c que pase por los puntos
(−1, 2),(0, 1),(1, 2).
(1.5 puntos)
4.– Consideramos el espacio afı́n euclideo IR3 con el producto escalar usual. Calcular las ecuaciones de un
giro que lleve el eje OY en la recta de ecuaciones implı́citas:
(
0=x−y−1
r≡
0=x−z
(1.5 puntos)
Álxebra
Exame Final
Exercicio 1
(1 hora e 40 min.)
27 de xuño de 2012
1.– Nun taboleiro de xadrez, de cantas formas distintas pode irse da casa superior esquerda á inferior
dereita se
(i) en cada movemento se avanza unha casa á dereita ou unha cara abaixo?.
(ii) en cada movemento se avanza unha casa á dereita, unha hacia abaixo ou se combinan os dous
desprazamentos en diagonal?.
(1 punto)
2.– Fixados n ∈ N e a, b ∈ IR definimos a matriz An ∈ Mn×n (IR):
a
b

b
An = 
 ...

b

b

a a ... a a
a a ... a a

b a ... a a
.
.. .. . .
.. .. 
. . .
. .

b b ... a a
b b ... b a
(i) Calcular o determinante de An .
(ii) Estudiar en función dos valores de a,b e n o rango de An .
(1 punto)
3.– Sexa P2 (IR) o espazo vectorial de polinomios con coeficientes reais de grao menor ou igual que dous.
Se definie a aplicación lineal:
f : P2 (IR) −→ IR3 ,
f (p(x)) = (p(−1), p(0), p(1))
(i) Calcular a matriz asociada a f respecto das bases canónicas de P2 (IR) e IR3 .
(ii) Probar que os conxuntos B = {(x − 1)2 , x2 , (x + 1)2 } e B 0 = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0, 0)} son
respectivamente bases de P2 (IR) e IR3 .
(iii) Calcular a matriz asociada a f respecto das bases B e B 0 .
(iv) Atopar a inversa da matriz calculada en (i).
(v) Usando a matriz anterior, atopar a ecuación dunha parábola y = ax2 + bx + c que pase polos puntos
(−1, 2),(0, 1),(1, 2).
(1.5 puntos)
4.– Consideramos o espazo afı́n euclideo IR3 co producto escalar usual. Calcular as ecuacións dun xiro que
leve o eixo OY na recta de ecuacións implı́citas:
(
0=x−y−1
r≡
0=x−z
(1.5 puntos)