cálculo. práctica 2. funciones de varias variables. derivabilidad

CÁLCULO. PRÁCTICA 2.
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. DERIVABILIDAD.
DIFERENCIABILIDAD.
Comandos relacionados con esta práctica:
limit(f(x),x=a);
plot3d(f(x,y),x=a..b,y=c..d);
spacecurve([x(t),y(t),z(t)],t=a..b);
display(gráfico1,gráfico2);
derivadas parciales: diff(f(x,y),x), diff(f(x,y),y);
derivadas segundas: diff(f(x,y),x,x), diff(f(x,y),x,y), diff(f(x,y),y,x); diff(f(x,y),y,y);
DERIVADAS DIRECCIONALES. RECTA TANGENTE.
Dada la función
dirección del vector (
calcular la derivada direccional según la
en el punto (
Representar
gráficamente la superfcie, la curva sobre la superficie que tiene esa dirección y la
recta tangente.
restart:with(plots):
La definición de derivada direccional es:
Df:=Limit((f(x0+h*v1,y0+h*v2)-f(x0,y0))/h,h=0);
f:=(x,y)->sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2);
Definimos el vector unitario y el punto:
u1:=-2;u2:=1;mod_u:=sqrt(u1^2+u2^2);
v1:=u1/mod_u;v2:=u2/mod_u;x0:=1;y0:=0;
Calculamos ahora la derivada direccional utilizando su definición:
Df:=limit((f(x0+h*v1,y0+h*v2)-f(x0,y0))/h,h=0);
Representamos la superficie y la curva sobre la superficie que sigue la dirección del vector (
). Esta curva será la que verifica que sus puntos tienen por coordenadas
g1:=plot3d(f(x,y),x=-3..3,y=-3..3):
curva_v:=spacecurve([x0+v1*t,y0+v2*t,f(x0+v1*t,y0+v2*t)],t=
-1..2,color=red,thickness=5):
display(g1,curva_v);
Recta tangente: Tiene como vector director (v1,v2,Dvf(1,0)) y pasa por el punto (1,0,f(1,0)).
recta_tangente:=spacecurve([x0+t*v1,y0+t*v2,f(x0,y0)+t*Df],
t=-1..1,color=blue,thickness=5):
display(g1,curva_v,recta_tangente);
Realizar el mismo ejercicio con la función
la dirección del vector (
según
en el punto (
restart:with(plots):
f:=(x,y)->(x^2+y^2)*sin(1/(x^2+y^2));
Definimos el vector unitario y el punto:
u1:=-1;u2:=1;mod_u:=sqrt(u1^2+u2^2);
v1:=u1/mod_u;v2:=u2/mod_u;x0:=-1;y0:=1;
Calculamos ahora la derivada direccional utilizando su definición:
Df:=limit((f(x0+h*v1,y0+h*v2)-f(x0,y0))/h,h=0);
Representamos la superficie y la curva sobre la superficie que sigue la dirección del vector (
). Esta curva será la que verifica que sus puntos tienen por coordenadas
g1:=plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2):
curva_v:=spacecurve([x0+v1*t,y0+v2*t,f(x0+v1*t,y0+v2*t)],t=
-1..2,color=red,thickness=5):
display(g1,curva_v);
Recta tangente: Tiene como vector director (v1,v2,Dvf(1,0)) y pasa por el punto (1,0,f(1,0)).
recta_tangente:=spacecurve([x0+t*v1,y0+t*v2,f(x0,y0)+t*Df],
t=-1..1,color=blue,thickness=5):
display(g1,curva_v,recta_tangente);
CONTINUIDAD. DERIVADAS PARCIALES. DIFERENCIABILIDAD.
Dada la funcion f(x,y)=
para
; f(0,0)=0; se pide:
Estudiar la continuidad de f.
restart:with(plots):
f:=(x,y)->x*y*(x^2-y^2)/(x^2+y^2);
En
la función es continua por ser cociente de funciones continuas y estar excluido
el (0,0). Estudiamos la continuidad en el origen.
f(r*cos(theta),r*sin(theta));
simplify(%);
limit(r^2*(2*cos(theta)^2-1)*cos(theta)*sin(theta),r=0);
Es continua en todo
Calcular las derivadas parciales de f en los puntos en los que existan.
Primero en los puntos distintos de (0,0) derivando:
diff(f(x,y),x);
simplify(%);
dfx:=(x,y)->y*(x^4-y^4+4*x^2*y^2)/(x^2+y^2)^2;
diff(f(x,y),y);
simplify(%);
dfy:=(x,y)->x*(x^4-y^4-4*x^2*y^2)/(x^2+y^2)^2;
Ahora en (0,0). Definimos f(0,0) para no tener indeterminación en el cálculo del límite:
f(0,0):=0;
La derivada parcial con respecto de x se calcula con
dfx(0,0):=limit((f(h,0)-f(0,0))/h,h=0);
La derivada parcial con respecto de y se calcula con
dfy(0,0):=limit((f(0,h)-f(0,0))/h,h=0);
Calcular la derivada direccional de f en (0,0) según una direccion cualquiera
w.
La derivada direccional en (0,0) se define como
simplify((f(h*cos(theta),h*sin(theta))-f(0,0))/h);
Der_dir:=limit(h*(2*cos(theta)^2-1)*cos(theta)*sin(theta),
h=0);
Calcular todas las derivadas segundas de f en los puntos en los que existan.
simplify(diff(f(x,y),x,x));
simplify(diff(f(x,y),x,y));
simplify(diff(f(x,y),y,x));
simplify(diff(f(x,y),y,y));
Definimos las derivadas parciales en (0,0) para que no aparezca indeterminación:
dfx(0,0):=0;dfy(0,0):=0;
dfxx(0,0):=limit((dfx(h,0)-dfx(0,0))/h,h=0);
dfxy(0,0):=limit((dfx(0,h)-dfx(0,0))/h,h=0);
dfyy(0,0):=limit((dfy(0,h)-dfy(0,0))/h,h=0);
dfyx(0,0):=limit((dfy(h,0)-dfy(0,0))/h,h=0);
Estudiar si es diferenciable en (0,0).
Hay que ver si
.
(f(h, k)-f(0, 0)-dfx(0, 0)*h-dfy(0, 0)*k)/sqrt(h^2+k^2);
g:=(h,k)->h*k*(h^2-k^2)/(h^2+k^2)^(3/2);
Hacemos el cambio a coordenadas polares:
limit(g(r*cos(t),r*sin(t)),r=0);
Es diferenciable en (0,0).