Expresiones Algebraicas

Lección 3 - Simplificación de expresiones algebraicas
Expresiones Algebraicas
Objetivos: Al terminar esta lección podrás realizar operaciones con expresiones algebraicas y podrás simplificar los
resultados.
A cualquier combinación válida de números, variables y operaciones algebraicas (suma, resta,
producto, división, exponenciación, raiz) la llamamos una expresión algebraica. Cinco ejemplos de
expresiones algebraicas son:
2 ; 3 + x ; 4x 2 − 9x + 1 ;
x +3
;
2x 3 + 11x
3
x 2 +1
Teniendo en cuenta que las variables en las expresiones algebraicas representan números reales,
entendemos que cada expresión algebraica también representa números reales y que, por lo tanto,
podemos realizar con ellas las mismas operaciones que realizamos con los números. Queremos
también escribir los resultados de estas operaciones de la manera más sencilla posible.
Llamamos términos a los operandos de una suma o de una resta. El primero de los ejemplos previos
tiene sólo un término, el segundo ejemplo tiene dos, el tercero tiene tres, el cuarto ejemplo tiene
dos términos en el numerador y dos en el denominador. Consideraremos semejantes a aquellos
2
términos cuya parte variable es idéntica. En la expresión 7x − 8 + 4x + x − 3 + x + 9 x , el
primero y el tercero de los términos ( 7x & 4x ) son semejantes. También lo son el segundo y el
quinto (-8 & -3), como lo son los últimos dos términos ( x & 9 x ). Cuando decimos que la
parte variable es idéntica queremos decir que aparecen las mismas variables elevadas a
respectivamente iguales potencias, y partipando de las mismas operaciones. Aunque multiplicar la
parte variable por números distintos no impide que los términos sean semejantes. Por ejemplos:
29x 2 y & − x 2 y son términos semejantes pero 29xy 2 & − x 2 y no lo son.
2x & − 3 2x son términos semejantes pero 2x & 2 + x no lo son.
Usando la propiedad distributiva podemos consolidar los términos semejantes.
Ejemplos
1)
2)
3)
2x + 7x = (2 + 7)x = 9x
−12x 3 y 4 z + 8x 3 y 4 z + 9x 3 y 4 z = (−12 + 8 + 9)x 3 y 4 z = 5x 3 y 4 z
11 + 2x + 9 11 + 2x = (1 + 9) 11 + 2 x = 10 11 + 2x (note que al 1 se
reconoció como factor implícito del primer término)
4)
7x 2 − 4x + x 2 − 10 + 20 x + 9 = (7x 2 + x 2 ) + ( −4x + 20x ) + (−10 + 9)
= 8x 2 +16x −1
Lección 3 - Simplificación de expresiones algebraicas
Nótese que en el ejemplo 4 precedente, comenzamos por asociar los términos semejantes antes de
consolidarlos en un sólo término. Es precisamente al uso de la propiedad asociativa de la suma y
de la propiedad distributiva a lo que se reducen nuestras posibilidades de simplificación cuando
sumamos o restamos expresiones algebraicas.
Ejemplos:
5)
(x +
2x ) + (3x − 7) = ( x + 3x ) + 2x − 7 = 4x + 2 x − 7
6)
(9x 3 −11x 2 +18x −1) + ( x 2 + 6x + 5) = 9x 3 + (−11x 2 + x 2 ) + (18x + 6x ) + (−1+ 5)
= 9x 3 −10x 2 + 24 x + 4
7)
(3a 2 + 5a −1) − (a 2 − 3a + 5) = (3a 2 − a 2 ) + (5a − (−3a)) + ( −1 − 5)
= 2a 2 + 8a − 6
Multiplicación de expresiones algebraicas
Para simplificar la multiplicación de expresiones algebraicas nos valemos también de la propiedad
distributiva y de la propiedad asociativa. Pero, mientras que en la suma de expresiones primero
usamos la propiedad asociativa, en la multiplicación de expresiones típicamente comenzamos
usando la propiedad distributiva. Distribuir la multiplicación significa que cada término de una de
las expresiones se multiplicará por cada término de la otra expresión y luego se suman todos esos
productos.
Ejemplos:
8)
(x + 2) ⋅ (3x −1) = x ⋅ 3x + x ⋅ (−1) + 2 ⋅ 3x + 2 ⋅ (−1) = 3x 2 − x + 6x − 2
= 3x 2 + 5x − 2
9)
(2x 2 + 4x + 9) ⋅ (6x + 7) = 2 x 2 ⋅ 6x + 2x 2 ⋅ 7 + 4x ⋅ 6x + 4x ⋅ 7 + 9 ⋅ 6x + 9 ⋅ 7
= 12x 3 +14x 2 + 24x 2 + 28x + 54x + 63
= 12x 3 + 38x 2 + 82x + 63
10)
(x
3
2
)
+ 6x −2 ⋅ (4 + x ) = x 2 ⋅ 4 + x 2 ⋅ x + 6x −2 ⋅ 4 + 6x −2 ⋅ x
3
3
= 4x 2 + x 2 + 24x −2 + 6 x −1
5
3
6 24
= x 2 + 4x 2 + + 2
x x
3
5
Lección 3 - Simplificación de expresiones algebraicas
Podemos re-expresar la exponenciación entera de una expresión algebraica, interpretando la
exponenciación como multiplicación repetida.
Ejemplos:
11)
12)
(2x + 1)2 = (2x + 1) ⋅ (2 x + 1)
= 4x 2 + 2x + 2x + 1
= 4x 2 + 4x + 1
−2
(x 2 − x) = 2 1 2
( x − x)
1
= 4
x − x 3 − x3 + x2
1
= 4
x − 2x 3 + x 2
Ejercicios:
Realice las operaciones indicadas y simplifique el resultado
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
(4x 2 + 3x − 10) + (x 2 + x + 5)
(−24y 3 + 6y + 19) − ( y 2 + 10y + 28)
(4 − 3 x + 1) + (9 − x + 4 3 x + 1)
(x + 2) ⋅ (x − 2)
(x 3 + 2x + 1) ⋅ ( x 2 )
(8 − 5a ) ⋅ (a 3 +10a + 11)
(x + y + z )2
Respuestas
División de polinomios
Los polinomios son un tipo de expresión algebraica en las que las variables presentes sólo se
encuentran elevadas a potencias enteras no-negativas y no forman parte de denominadores, de
exponentes ni de radicales. Las siguientes expresiones son polinomios:
10 , 3x 2 + 7x − 8 , 234 x 3 y 5 + 30x 2 y − x + 9y
Las siguientes expresiones no son polinomios:
2
,
x +1
3+x , x
3
2
, x −2 + 8x , 2 x
Los polinomios pueden clasificarse según la cantidad de términos que posean, en monomios (de un
Lección 3 - Simplificación de expresiones algebraicas
término, binomios (de dos términos), trinomios (de tres términos), etc. También es posible
clasificarlos según el grado. El grado de un término es la suma de los exponentes asociados a las
variables en él. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos. Cuando se
determina el grado con respecto a una variable, las otras variables se toman como si fueran
números y por lo tanto no consideramos sus exponentes. Por ejemplo, el polinomio
4x 2 y − 8xy 3 + 3y es un trinomio de grado 4. También es de grado 3 con respecto a y y de grado 2
con respecto a x.
Como los polinomios son también expresiones algebraicas, hacemos las sumas, restas y productos
de polinomios de la misma manera en que lo describimos previamente para las expresiones
algebraicas en general.
Para dividir polinomios usaremos un procedimiento parecido al que usamos para realizar la división
de números enteros. Consideremos el caso de la división de 46 por 3.
15
3 46
3
16
15
1
Comenzamos dividiendo el dígito más significativo del dividendo, 4, por el dígito más significativo
del divisor, 3 (en este ejemplo también es el único dígito del divisor). Anotamos el resultado, 1, en
el tope de la “caja de división” y luego lo multiplicamos por todo el divisor, 3, para restarle el
resultado de este producto, 3, al dígito más significativo del dividendo. Al resultado de esta
resta, 1, le acompañamos el resto de los dígitos aún no divididos del dividendo, solamente el 6 en
este caso, para formar un nuevo dividendo, 16, en el que, si éste fuera mayor que el divisor,
aplicaríamos los mismos pasos anteriores. Paramos la división cuando el nuevo dividendo formado
sea menor que el divisor. Al último dividendo formado lo llamamos el residuo. En este ejemplo el
residuo es 1.
El procedimiento para dividir polinomios es muy parecido. La diferencia más importante es que en
vez de comparar la magnitud del dividendo con la del divisor para decidir si continuamos la
división, compararemos el grado de estos. Consideremos por ejemplo la división
4x 2 + 8x + 1 ÷ (2 x + 3) . El procedimiento será el siguiente:
(
)
Paso 1:
)
2x + 3 4x 2 + 8x + 1
Lección 3 - Simplificación de expresiones algebraicas
Paso 2:
Dividir el término de mayor grado del dividendo por el término de mayor grado del
divisor y escribir el resultado en el tope de la caja de división. En este caso,
dividimos 4x2 por 2x y el resultado, 2x, lo escribimos en el tope
2x
2x + 3 4x 2 + 8x + 1
)
Paso 3:
Multiplicamos el resultado recién obtenido por todo el divisor y lo que resulte lo
restamos del dividendo para obtener un nuevo dividendo.
2x
2x + 3 4x 2 + 8x + 1
-( 4x 2 + 6x )
2x +1
)
Paso 4:
Si el nuevo dividendo es de grado mayor o igual que el grado del divisor repetimos los
pasos 2 y 3. Así continuaremos hasta que el grado del nuevo dividendo sea menor que
el del divisor. En este ejemplo debemos continuar la división pues el grado del nuevo
dividendo (2x+1) es 1, igual que el grado del divisor, (2x+3).
2x + 1
2x + 3 4x 2 + 8x + 1
-( 4x 2 + 6x )
2x +1
-( 2x + 3 )
–2
)
En nuestro ejemplo, el cociente fue 2x+1 y el residuo fue –2. Eso significa que
(4x 2 + 8x + 1) ÷ (2x + 3) = 2x + 1 + 2x−2+ 3
y también significa que
(4x 2 + 8x + 1) = (2x + 3) ⋅(2x + 1) + (−2)
En general, si al dividir el polinomio f(x) por el polinomio g(x) , obtenemos un cociente h(x) y un
residuo r(x), entonces podemos excribir que f (x) = g(x)⋅ h(x) + r(x) .
Cuando “faltan” algunas potencias del dividendo es conveniente “guardarles” el sitio con 0s en las
posiciones que corresponden a las ausentes. El siguiente ejemplo muestra la división
6x 3 + 3x − 2 ÷ (3x −1) . Puede notar la conveniencia de guardar el sitio a las potencias ausentes
(
)
y la necesidad ocasional de usar fracciones cuando dividimos un término por otro.
Lección 3 - Simplificación de expresiones algebraicas
Ejemplo 12:
2 x 2 + 23 x + 119
3x − 1 6x 3 + 0x 2 + 3x − 2
6x 3 − 2x 2
)
2x 2 + 3x − 2
2x 2 − 23 x
11
3 x
11
3 x
−2
− 119
−7
9
Ejercicios
Realice las siguientes divisiones
8)
9)
10)
(4x 2 + 3x + 9) ÷ (x − 2 )
(7x 3 + 4x 2 + 2x − 8) ÷ ( x 2 − x + 2 )
(x 4 + x 2 − 2) ÷ (x + 1)
Respuestas
División sintética
Cuando el divisor, en una división de polinomios en una sola variable, es de la forma x-c, podemos
abreviar el proceso de división haciendo división sintética, la cual resulta de hacer las siguientes
observaciones:
•Si escribimos los términos en orden descendente de grado,podemos deducir el grado del término
por la posición en el polinomio;
•El coeficiente del primer término del cociente es el mismo coeficiente del término de mayor
grado del primer dividendo en el proceso, el coeficiente del segundo término del cociente es el
mismo del término de mayor grado del segundo dividendo, y así sucesivamente. Entonces debería
ser evitable escribir estos coeficientes dos veces como en el proceso regular de división larga.
•Si sobreentendemos que el coeficiente de la x en el divisor es 1, podemos economizarnos el
escribirlo y si usamos c en vez de -c, sumaremos en vez de restar .
(
)
La siguiente ilustración muestra la división 5x + 3x + 4x + 5 ÷ (x − 2) hecha de la manera
regular y hecha con división sintética.
3
2
Lección 3 - Simplificación de expresiones algebraicas
5 x 2 + 13 x + 30
x − 2 5 x 3 + 3x 2 + 4x + 5
5x 3 −10x 2
)
2
13 x + 4x + 5
2
5
5
3
4
5
10
26
60
13
30
65
13x − 26x
2
30 x + 5
30x − 60
65
Note que al hacer división sintética:
• La primera fila está formada por los coeficientes del dividendo.
• La tercera columna contiene los coeficientes del cociente y además, en el término de la
derecha, el residuo de la división.
• El primer término (de izquierda a derecha) de la tercera fila es siempre igual al primer
término de la primera fila (la que representa al dividendo).
• Cada término de la segunda fila se obtuvo multiplicando el término de la columna previa en
la tercera fila por el término fuera de la caja de división (la c).
• Cada término de la tercera fila se obtuvo sumando los términos de la primera y la segunda
fila en su misma columna.
Ejemplos:
1)
(4x 2 − 3x + 12) ÷ (x − 3)
3
4 -3 12
12 27
4 9 39
El cociente es 4x + 9 y el residuo es 39
2)
(x 3 − 2x + 9) ÷ ( x + 4 )
–4
1
1
El cociente es x − 4x + 14 y el residuo es –47.
2
0
–4
–4
-2
16
14
9
–56
–47
Lección 3 - Simplificación de expresiones algebraicas
Ejercicios
Use división sintética para realizar las siguientes divisiones:
11)
12)
(4x 4 + 2 x 3 + x 2 + 6x −1) ÷ ( x − 5)
(x 3 − 2x ) ÷ ( x + 1)
Respuestas
Asignación:
•
Leer del texto las páginas 8-14
•
Hacer los problemas 1- 53 (impares) en la página 14
Nota: Esta lección contiene material que no está en el texto.