Dinámica de partículas relativistas y campos electromanéticos

Dinámica de partículas relativistas y campos
electromanéticos
1 Segunda ley de Newton
dp µ
dv
q
= m0 µ = F µνvν
dτ
dτ
c
(1)
2 Lagrangiano y Hamiltoniano
Para describir la interacción entre una partícula cargada y el campo
electromagnético invocamos los dos principios usuales: invarianza de Lorentz e
invarianza de gauge de la acción. Además sabemos que la interacción debe ser
lineal en el potencial:
Z
Z
S = −m0c2 dτ + α dτv µA µ
La invarianza relativista de la acción es evidente. Bajo transformaciones de gauge
2
tenemos:
δS = α
Z
τ2
τ1
Z
dτv µ∂ µλ = α
τ2
dτ
τ1
dx µ
∂ µλ = α(λ(τ1) − λ(τ2)) = 0
dτ
El lagrangiano es:
−m0c
q
luego α = c
r
2
1
v2
~
~ =~0
1 − 2 + α −cΦ + ~v .A → m0v 2 − αcΦ, A
c
2
Las ecuaciones de Lagrange son:
q
q~
d
~p + A = (−cΦ ,i + v jA j ,i)
i
c
c
dt
d
q
q
= ~pi + ∂tAi + Ai,jv j
dt c
c
d
q
q
q
~pi = v j Fi j + q −Φ ,i − ∂tAi = v jεij kBk + qEi
dt
c
c
c
3
Hamiltoniano:
q
q
Pi = m0viγ + Ai = pi + Ai
c
c
r
q
v2 q
2
~
H = vi pi + Ai + m0c 1 − 2 − −cΦ + ~v .A =
c
c
cr
v2
2
vipi + m0c 1 − 2 + q Φ =
c
2
2 −1
m
) + qΦ =
0(v γ + c γ v2
v2
2
m0c γ 2 + 1 − 2 + q Φ =
c
c
m0c2 γ + q Φ
p
E = c p2 + m20c2 ,
H =c
r
~ − qA
~
P
c
2
+ m20c2 + q Φ
Ejercicio 1. Muestre que las ecuaciones de Hamilton se reducen a la ecuación de fuerza de
Lorentz.
4
2.1 Ecuaciones covariantes
1p
−c (dτ ) = dx µdx µ , dτ =
−dx µdx µ
c
2
2
Introduzca un parámetro de evolución escalar u. La acción se escribe:
Z
S = −m0c du
r
Z
dx
dx µ dx µ q
du µ A µ
+
−
du
du du
c
El lagrangiano explícitamente covariante es:
Lc = −m0c
r
−
dx µ dx µ q dx µ
dx
+
A µ , µ = ẋ µ
du du
c du
du
Ejercicio 2. Encuentre las ecuaciones de Lagrange para Lc. Luego identifique du = dτ
Muestre que las ecuaciones corresponden a la forma covariante de la ley de Newton (1)
5
3 Movimiento en un campo magnético uniforme y
estático
Un campo magnético no cambia la energía cinética de una partícula
2
2
2
1 d ~v
1
v
d ~v
~ .v
~ = 0 γ d ~v .v
F
~ = q ~v . ~v × B
~ + γ̇v 2 = γ
+ γ̇v 2 = 0,
γ + 2 γ3
=0
dt
dt
2 dt
2
2c
1 3 d ~v 2
γ
=0
γ = constante
E = m0c2 γ = constante
2
dt
~ = B0ẑ . Se tiene:
Campo magnético Uniforme:B
~ = q(vxx̂ + v yŷ + vzẑ ) × B0ẑ = qB0(−vxŷ + v yx̂),
F
m0 → m
m v̇x = qγ −1B0 v y m v̇ y = −qγ −1B0 vx m v̇z = 0
Esto es: vz = v0z, una constante.
qB0
= frecuencia de giro o precesión
mγ
v̇
v̈x = −ω 2vx vx = A sen(ωt + α) v y = x = A cos (ωt + α)
ω
Notar que en cada plano perpendicular al eje z la partícula realiza un movimiento
circular uniforme.
v̇x = ωv y
v̇ y = −ωvx
ω=
6
Para determinar la trayectoria, integramos las ecuaciones anteriores:
A
vx = ẋ = A sen(ωt + α) x = − cos(ωt + α) + x0
ω
A
v y = ẏ = A cos (ωt + α) y = sen(ωt + α) + y0
ω
2
A
= R2
(x − x0)2 + (y − y0)2 =
ω
vz = ż = v0z
z = v0zt + z0
La trayectoria es una hélice.
Figura 1.
4 Movimiento en un campo magnético y eléctrico
uniformes y estáticos
Selector de velocidad
7
El campo eléctrico apunta hacia la
izquierda. La fuerza total actuando
sobre la partícula de carga q y
velocidad v ŷ donde ŷ apunta hacia
abajo es:
~ = qE x̂ + qv ŷ × (−B ẑ ) = q(E − Bv)x̂
F
La partícula no se deflectará si v =
E
. Variando E , B podemos seleccionar
B
partículas de velocidad bien definida.
Figura 2.
Selector de velocidad
Ejercicio 3. Encuentre la velocidad y posición de una partícula de carga q y masa m en
presencia de campos magnéticos y eléctricos uniformes(Jackson 12.6).
5 Lagrangiano para el campo electromagnético
Sea L(φi , ∂ µφi) la densidad lagrangiana de un conjunto de campos φi(x).
8
La acción del sistema es S = V d4xL. El principio de menor acción con valores
fijos de los campos sobre la superficie cerrada Σ cuyo interior es V implica:
Z
∂L
∂L
δS =
d4x
δφi +
(δφi) ,µ =
∂φ
∂φ
V
i
I i,µ
Z
∂L
∂L
∂L
dσ µ
δφi +
− ∂µ
=0
d4x
∂φ
∂φ
∂φ
i,µ
i,µ
i
Σ
V
R
El término de superficie se anula, dado que δφi = 0 allí.
Ecuaciones de Euler-Lagrange:
∂µ
∂L
∂L
=
∂φi,µ ∂φi
Tensor de energía-momentum. Si la densidad lagrangeana no depende de
explícitamente de x,lo que refleja la invarianza translacional de la acción, se tiene:
∂L
∂L
∂L
=
φ
+
φi,νµ =
i,µ
∂x µ ∂φi
∂φi,ν
∂L
∂L
∂L
∂ν
φi,µ +
φi,νµ = ∂ν
φi,µ
∂φi,ν
∂φi,ν
∂φi,ν
∂L
φi,µ − Lδ µν = 0
∂ν
∂φi,ν
9
∂L
T µν = ∂φ
i,ν
φi,µ − Lδ µν : tensor energía momentum canónico.
Conservación de energía momentum: T µν ,ν = 0
Para encontra la densidad lagrangeana de la Electrodinámica imponemos
siguientes propiedades:
las
1. Las ecuaciones de los campos deben ser lineales. Esto implica que L es una
función cuadrática de los campos y sus derivadas.
2. L debe ser invariante de Lorentz.
3. Invarianza de gauge. L es invariante bajo δA µ = ∂ µλ
L = a1A µA µ + a2A µ,νA µ,ν + a3A µ,νAν ,µ
Se satisfacen 1 y 2. Bajo transformaciones de gauge:
δL = 2a1A µλ ,µ + 2a2A µ,νλ ,µν + a3(λ ,µνAν ,µ + A µ,νλ ,µν ) =
2a1A µλ ,µ + (a2 + a3)λ ,µν (Aν ,µ + A µ,ν ) = 0,
a1 = 0, a2 = −a3
a
L = a3(Aν ,µ − A µ,νA µ,ν )A µ,ν = − 3 F µνF µν
2
10
Si acoplamos el campo electromagnético a una corriente conservada J µ, J µ,µ = 0,
agregando un nuevo término a L:
1
L = bF µνF µν + J µA µ
c
Ejercicio: Mostrar que la acción es invariante de gauge.
Ecuaciones de E-L:
∂L
1
∂ν (−4bF µν ) =
= Jµ
∂A µ c
1
4π
1
F µν ,ν = −
Jµ = Jµ b = −
4bc
c
16π
6 Lagrangiano de Proca
7 Tensor Energía-momentum canónico y simétrico
L = bF µνF µν
T µν =
∂L
Aα,µ − Lδ µν = 2bFλρ(δ ραδνλ − (ρ ↔ λ))Aα,µ − Lδ µν =
∂Aα,ν
4bFναAα,µ − Lδ µν = 4bFναF µα − Lδ µν + 4bFναA µ,α =
11
4bFναF µα − Lδ µν + 4b (FναA µ) ,α
T̃ µν = 4bFναF µα − Lδ µν
T̃ µν ,ν = T µν ,ν − 4b(FναA µ) ,αν = 0
T̃ µν es invariante de gauge y simétrico. Es el tensor de energía momentum del
campo electromagnético.
1
1
T̃ µν = 4b FναF µα − FλρFλρδ µν , 4b = −
4π
4
1
4b = − 4π se obtiene de T̃44 que es la densidad de energía del campo.
12