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d) ¿ Cuál es la probabilidad de pagar más de 5 siniestros en el periodo ?
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Valores característicos.
I [\ ] œ - à Z [\ ] œ Esta distribución se caracteriza por el hecho que la varianza es igual que el valor esperado.
No se dará un demostración formal de los valores característicos anteriores, pero sí una
fundamentación.
El valor esperado de la binomial es n‡p que por definición es igual a -, por lo cual debe
corresponder al valor esperado de la Poisson. Por otra parte cuando p tiende a cero,
entonces q tiende a uno y como la varianza de la distribución binomial es n‡p‡q œ -‡q y
como el valor límite de q es uno resulta igual a -, que corresponde a la varianza de la
distribución de Poisson.
Observación.
En el ejemplo 7.1 el valor de - es 5, que corresponde al número promedio de muertes
anuales por accidentes automovilísticos que le suceden a la compañía de seguros.
La distribución de Poisson, además de su utilización como aproximación a la distribución
binomial, sirve como modelo probabilístico de un número grande de situaciones, varias de ellas
en el área biológica y agronómica. La distribución de bacterias en un cultivo, la distribución de
glóbulos rojos en una muestra de sangre, la distribución de ciertas plagas de insectos en un
huerto, se modelan de acuerdo a la distribución de Poisson. Otro tipo de situaciones surgen
cuando los eventos ocurren a lo largo del tiempo, por ejemplo: número de camiones llegados a
un centro de acopio o barcos a un puerto durante un día, número de llamadas recibidas en una
central telefónica en un lapso de una hora específica o número de personas haciendo fila en un
banco entre las 13:30 y 14:00. En general la distribución de Poisson se deriva del denominado
proceso de Poisson que se asocia al número de ocurrencias de un suceso A en una región
continua, que puede ser un intervalo , una superficie o un volumen, cuando la ocurrencia de A
en un punto de la región es independiente a la ocurrencia en otro punto.
El proceso de Poisson presupone principalmente que:
1° el número de eventos que ocurren en regiones dis juntas son independientes
2° la probabilidad que un evento ocurra dos o más v eces en una región pequeña es
virtualmente cero.
3° el parámetro de la distribución del número de ev entos que ocurre en una región dada es
proporcional al tamaño de la región.
En el caso del ejemplo 7.1 el número promedio de muertes anuales por accidentes
automovilísticos es 5, entonces el promedio de muertes mensuales es 5/12 o el promedio de
muertes en dos años por la causal anterior es 10, por la condición tercera anterior.