C urso : Matemática Material N° 12 - U

C u r s o : Matemática
Material N° 12
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 10
UNIDAD: GEOMETRÍA
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de
modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.
R
C
AB ≅ PQ
AC ≅ PR
ΔABC
≅
ΔPQR
⇒
CB ≅ RQ
(A ≅ (P
(B ≅ (Q
(C ≅ (R
B
A
P
Q
EJEMPLOS
1.
Los triángulos RST y XWZ de la figura 1, son isósceles congruentes de base RS y WZ ,
respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?
I) ΔTSR ≅ ΔZXW
II) ΔSTR ≅ ΔZXW
III) ΔSRT ≅ ΔWZX
A)
B)
C)
D)
E)
2.
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
I
II
III
I y II
II y III
X
S
T
fig.1
W
R
Z
Los triángulos PQR y TNM de la figura 2, son escalenos. Si ΔPQR ≅ ΔTNM, entonces
¿cuál de las siguientes proposiciones es falsa?
M
R
fig. 2
A) PQ ≅ TN
T
B) PR ≅ TM
C) QR ≅ NM
D) (QRP ≅ (NMT
E) (PQR ≅ (TMN
P
Q
N
3.
En la figura 3, si ΔABC ≅ ΔPQR, entonces ¿cuál es el valor de x?
A) 4
B) 7
C) 12
D) 15
E) Falta información
C
10
x+3
Q
7
15
fig. 3
P
A
4.
R
B
En la figura 4, ΔLMN ≅ ΔHIJ, entonces los ángulos correspondientes a los (MNL y (NML,
respectivamente, son
I
N
A)
B)
C)
D)
E)
5.
(JIH
(IJH
(IHJ
(IJH
(HIJ
y
y
y
y
y
(IJH
(JIH
(JIH
(IHJ
(HJI
J
fig. 4
M
L
H
En la figura 5, los triángulos BUT y AND son congruentes en ese orden. Si BU // AN ,
entonces el (AFB mide
B
U
36º
A) 144º
B) 140º
C) 76º
D) 68º
36º
E)
G
F
A
N
T
fig. 5
76º
D
6.
Los triángulos ABC y DEF de la figura 6, son escalenos rectángulos en B y en F,
respectivamente. Si ΔABC ≅ ΔDFE, entonces ¿cuál de las opciones siguientes es verdadera?
A) BC ≅ DF
B) AC ≅ FE
C) (ABC ≅ (FDE
D) (CAB ≅ (EDF
E)
7.
DE ≅ AB
F
A
fig. 6
E
B
D
C
En la figura 7, ΔABC ≅ ΔDEF, con D perteneciente a BC , AC // DF , (BDE = 80º
(ACB = 40º, ¿cuál es la medida del (DEF?
A)
B)
C)
D)
E)
B
A
40º
60º
80º
90º
No se puede determinar
E
D
fig. 7
C
F
2
y
POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Å
C
ALA : Dos triángulos son congruentes si tienen
respectivamente iguales un lado y los dos ángulos
adyacentes a ese lado.
β
α
A
C’
β
α
B
c
A’
c’
C’
C
Å
LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen
dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
respectivamente iguales.
b’
b
A
α
α
B A’
c
c’
C
Å
LLL : Dos triángulos son congruentes si tienen sus
tres lados respectivamente iguales.
Å
LLA > : Dos triángulos son congruentes cuando tiene
dos lados y el ángulo opuesto al mayor de
esos
lados respectivamente iguales.
A
a’
b‘
B A’
c
b
B’
C’
a
b
A
B’
C
γ
c’
C’
γ
b’
B A’
c
c’
B’
b<c
B’
EJEMPLOS
1.
Los segmentos LN y RS (figura 1), se intersectan en M, tal que RM ≅ SM y LM ≅ MN ,
entonces el ΔLMS ≅ ΔNMR por el criterio
L
A)
B)
C)
D)
E)
2.
R
ALA
LAL
LLL
LLA>
AAA
M
S
fig. 1
N
Los triángulos escalenos de la figura 2, son congruentes por el criterio
A)
B)
C)
D)
E)
ALA
LAL
LLL
LLA>
AAA
fig. 2
80º
8
5
55º
80º
55º
12
3
5
3.
Los triángulos escalenos de la figura 3, son congruentes por el criterio
A)
B)
C)
D)
E)
4.
fig. 3
17
17
10
10
100º
100º
8
Los triángulos de la figura 4 son congruentes. Si x = 7 e y = 5, estos triángulos son
congruentes por el criterio
A)
B)
C)
D)
E)
5.
ALA
LAL
LLL
LLA>
AAA
ALA
LAL
LLL
LLA>
AAA
11
9
11
x+2
y + 50º
x + 43º
17
fig. 4
y + 12
En la figura 5, DC ⊥ AD y CB ⊥ AB. Si (DAC ≅ (BAC, entonces el triángulo CAB es
congruente con el triángulo DCA en su orden
A)
B)
C)
D)
E)
6.
ACD
ADC
CAD
DCA
CDA
D
fig. 5
C
A
B
El triángulo ABC de la figura 6, es isósceles de base AB , CD ⊥ AB y AD = DB .
Entonces, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es (son) congruentes?
C
I) ΔADE con ΔBDE
II) ΔAEC con ΔBEC
III) ΔADC con ΔBDC
fig. 6
E
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
A
4
D
B
ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO
C
Å ALTURA
E
F
Es el segmento perpendicular que va
desde un vértice al lado
opuesto o a su prolongación.
H = ORTOCENTRO (punto de
intersección de las alturas)
H
A
B
D
C
Å BISECTRIZ
I = INCENTRO (punto de
intersección de las bisectrices)
γ γ
Es el trazo que divide al ángulo
en dos ángulos congruentes
α
I
β
β
α
A
B
C
Å TRANSVERSAL DE GRAVEDAD
Es el trazo que une un vértice con
el punto medio del lado opuesto.
OBSERVACIÓN:
Si ΔABC rectángulo en C,
entonces CD = AD = DB .
F
E
G
A
G = CENTRO DE GRAVEDAD
(punto de intersección de las
transversales de gravedad)
B
D
C
Å SIMETRAL
Es la recta perpendicular que pasa
por el punto medio de cada lado
del triángulo.
O = CIRCUNCENTRO
(punto de intersección
de las simetrales)
O
A
B
Å MEDIANA
C
Es el segmento de recta que une los
puntos medios de los lados del triángulo.
FE // AB
FD // BC
E
F
DE // AC
OBSERVACIÓN:
A
ΔADF ≅ ΔDBE ≅ ΔFEC ≅ ΔEFD
5
D
B
EJEMPLOS
1.
En la figura 1, el ΔABC es equilátero y el ΔDEA es rectángulo isósceles. Si CE es altura,
entonces α + β + γ =
C
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 1
β
105º
120º
135º
150º
165º
γ
A
B
E
α
D
2.
En la figura 2, CD es bisectriz del (C. ¿Cuál es la medida del (x?
B
A) 10º
B) 20º
C) 50º
D) 60º
E) 110º
3.
fig. 2
60º
70º
D
x
A
C
En el ΔABC de la figura 3, CE es transversal de gravedad y CE = BE . La medida del (x es
A
A)
B)
C)
D)
E)
40º
70º
80º
90º
no se puede calcular
70º
E
x
C
B
4.
En la figura 4, RS es simetral de AB y AD // RS. ¿Cuál es la medida del (x?
S
x
fig. 4
49º
A
En el triángulo PQR de la figura 5, (PRQ = 80º
A)
B)
C)
D)
E)
C
D
A) 139º
B) 90º
C) 51º
D) 49º
41º
E)
5.
fig. 3
49º
R
B
y DE es mediana. ¿Cuánto mide el (x?
R
35º
45º
50º
55º
60º
E
P
6
D
55º
fig. 5
x
Q
ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES Y/O EQUILÁTERO
Å
En todo triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios correspondientes al lado
distinto.
C
CD = hc = tc = b γ = sc
γ
Å
A
α
D
α
AC = BC
AB ≠ BC
B
En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a
cualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares.
C
30 30
E
F
G
30
30
30
30
A
B
D
EJEMPLOS
1.
En un triángulo isósceles ABC, de base AB , se traza la altura hc correspondiente al vértice
C. Si 2hc = AB , entonces se forman dos triángulos
A)
B)
C)
D)
E)
2.
equilátero congruentes
escalenos rectángulos congruentes
isósceles rectángulos congruentes
acutángulos congruentes
escalenos congruentes
En el triángulo equilátero de la figura 1, se trazan las transversales de gravedad. Entonces,
es falso afirmar que
C
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 1
(AEC ≅ (AEB
(ECG ≅ (DBG
(FCG ≅ (DBG
(AGD ≅ (CGE
(AGD ≅ (CGB
E
F
G
A
7
D
B
3.
En el triángulo PQR de la figura 2, si (PRS ≅ (SQP y PS es transversal de gravedad,
entonces la medida del (RSP es
R
fig. 2
A)
60º
B)
90º
S
C) 100º
D) 110º
E) 120º
Q
P
4.
El ΔABC es isósceles de base AB (fig. 3). Si se trazan las alturas AD y BE , ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
C
I) ΔBEC ≅ ΔADC
II) ΔADB ≅ ΔEAB
fig. 3
III) ΔBAE ≅ ΔABD
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
I
II
III
I y II
I y III
E
D
A
B
5.
El triángulo DEF de la figura 4, es isósceles de base DF . Si R es punto medio de DF y
(DFE = 50º, ¿cuánto mide el ángulo REF?
F
fig. 4
A) 25º
R
B) 30º
C) 40º
D) 50º
E) 80º
D
E
6.
El triángulo GOL de la figura 5, es isósceles de base GO , H es el ortocentro y (GLO = 40º.
L
¿Cuánto mide el (IHJ?
40º
A) 140º
B) 120º
C) 100º
D) 70º
50º
E)
I
H
O
G
7.
fig. 5
J
En el triángulo equilátero ABC de la figura 6, E es punto medio de AB
del ángulo ABC. ¿Cuánto mide el suplemento de ((x + (y)?
C
y
A) 150º
B) 120º
C) 90º
D) 60º
30º
E)
y BD es bisectriz
fig. 6
D
x
A
8
E
B
EJERCICIOS
1.
Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus bisectrices, entonces se forman dos
triángulos
A)
B)
C)
D)
E)
2.
isósceles congruentes
acutángulos congruentes
isósceles acutángulos congruentes
escalenos rectángulos congruentes
isósceles rectángulos congruentes
En el triángulo ABC de la figura 1, BD es bisectriz del (ABC. Si (CAB = 70º
(BCA = 50º, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?
y
C
A) 30º
B) 50º
C) 60º
D) 70º
E) 100º
fig. 1
D x
A
3.
En el triángulo SRT de la figura 2, TH
medida del ángulo x?
A)
B)
C)
D)
E)
es altura, α = 110º y β = 140º. ¿Cuál es la
Tα
20º
30º
50º
60º
70º
fig. 2
x
S
4.
B
β
R
H
En el triángulo ABC de la figura 3, AC = CD = DB . ¿Cuál es la medida del (x?
B
A) 35º
B) 40º
C) 60º
D) 70º
E) 110º
D
35º
x
A
9
C
fig. 3
5.
En la figura 4, los puntos A, B y D son colineales, ΔABC ≅ ΔDBE, α = 36º y (CBE = 20º,
¿cuánto mide el (DEB?
fig. 4
A) 20º
B) 36º
C) 64º
D) 108º
E) 116º
6.
α
D
B
A
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 5, C D es altura. ¿Cuál es la medida del
ángulo x?
B
A)
B)
C)
D)
E)
7.
E
C
fig. 5
D
140º
135º
125º
115º
100º
25º
x
40º
C
E
A
¿Qué pareja(s) de triángulo(s) es(son) congruente(s)?
I)
II)
30º
7
7
5
30º
III)
15
5
10º
20º
150º
12
115º
30º
15
12
150º
150º
65º
A)
B)
C)
D)
E)
8.
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
¿Cuánto mide el (x en el ΔABC de la figura 6, si DE es mediana?
C
A)
B)
C)
D)
E)
90º
72º
60º
48º
42º
x
D
72º
A
10
fig. 6
2α
E
α
B
9.
En la figura 7, ΔQRP ≅ ΔDFE. Si QP ≅ PR , ¿cuánto mide el ángulo exterior HEF?
Q
A) 62º
B) 64º
C) 74º
D) 106º
E) 116º
F
P
fig. 7
58º
R
E
H
D
10. Las siguientes figuras están formadas por dos triángulos equiláteros. ¿En cuál(es) de ellas se
puede asegurar que los triángulos son congruentes?
I)
A)
B)
C)
D)
E)
II)
III)
Sólo en I
Sólo en II
Sólo en III
Sólo en II y III
En ninguna de ellas
11. Los triángulos de la figura 8, son congruentes según el criterio
A)
B)
C)
D)
E)
LAL
LLA
ALA
LLL
AAA
4
70º
fig. 8
70º
7
3
60º
50º
12. L os triángulos PQR y STU de la figura 9, son congruentes. Si PQ = QR = 5 cm,
VU = 3 cm y TV es transversal de gravedad, ¿cuánto mide PR ?
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
4
5
6
R
U
fig. 9
V
P
Q
11
S
T
13. En la figura 10, si el ΔABC es rectángulo en C y C D es altura, ¿cuáles de las afirmaciones
siguientes nos permiten asegurar que los triángulos ADC y BDC son congruentes?
I) ΔABC isósceles.
II) AD ≅ DC
C
III) D punto medio de AB .
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 10
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
Ninguna de ellas
A
D
B
14. En el triángulo ABC de la figura 11, rectángulo en C, CD es transversal de gravedad. Si
(CAD = 60º, entonces el ángulo BCD mide
C
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 11
40º
30º
25º
20º
5º
A
B
D
15. Los triángulos de la figura 12, son congruentes por el(los) criterios
I) LAL
II) ALA
III) LLL
16
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
I
II
I y II
I y III
II y III
10º
16
6
140º
15
30º
140º
15
12
fig. 12
16. En la figura 13, AD // BC y DC // AB . ¿Cuál(es) de las siguientes congruencias es (son)
siempre verdadera(s)?
I) ΔDEA ≅ ΔBEC
II) ΔDEC ≅ ΔDEA
III) ΔDBC ≅ ΔCAB
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
Sólo
I
II
III
I y II
II y III
D
C
E
fig. 13
B
A
17. ¿En qué triángulo al trazar cualquier bisectriz se forman dos triángulos congruentes?
A)
B)
C)
D)
E)
Rectángulo isósceles
Isósceles acutángulo
Rectángulo escaleno
Equilátero
En ninguno
18. En el ΔABC (fig. 14), AD es transversal gravedad y (CAD = (BAD. Entonces, la medida del
ángulo BDA es
C
fig. 14
A) 110º
B) 100º
C)
90º
D) 80º
E)
60º
D
A
B
19. Los ángulos exteriores de un triángulo están en la razón 3 : 2 : 3, luego el triángulo es
A)
B)
C)
D)
E)
escaleno obtusángulo
escaleno rectángulo
isósceles obtusángulo
isósceles rectángulo
isósceles acutángulo
13
20. ¿En cuál de las alternativas se encuentra el dato que falta para afirmar que los triángulos
ABC y DEF de la figura 15, son congruentes?
C
F
A) AB ≅ DE
B) (C ≅ (F
60º
E
C) AC // DF
D) (B ≅ (E
E) No se requiere dato adicional
40º
80º
80º
A
B
fig. 15
D
21. El ΔABC de la figura 16, es equilátero. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
siempre verdadera(s)?
I) (EPD = 120º
II) Si P punto medio de AB , entonces ΔAPE ≅ ΔBPD.
III) Si CE ≅ C D , entonces P es punto medio de AB .
A)
B)
C)
D)
E)
C
fig. 16
Sólo I
Sólo II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
E
D
P
A
B
22. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) Dos triángulos rectángulos que tienen un cateto respectivamente congruente,
congruentes.
B) Si dos triángulos rectángulos tienen la hipotenusa congruente, son congruentes.
C) Si dos triángulos rectángulos tienen dos ángulos correspondientes congruentes,
congruentes.
D) Si dos triángulos rectángulos tienen dos lados correspondientes congruentes,
congruentes.
E) Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo, respectivamente congruentes,
congruentes.
son
son
son
son
23. Los triángulos ABD y ACD de la figura 17, son congruentes por el criterio
A)
B)
C)
D)
E)
B
LLL
ALA
LAL
LLA
AAL
fig. 17
10
A
7
D
10
E
7
C
14
24. El ΔPQR de la figura 18, es isósceles de base PQ . Si el (PRQ = 80º, PS bisectriz del (QPR y
TQ es altura, entonces el valor de x es
R
fig. 18
A) 160º
B) 125º
C) 115º
D) 90º
E)
40º
T
S
x
P
Q
25. En la figura 19, ΔPTR y ΔSVQ son congruentes. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) siempre verdadera(s)?
I)
TR // VQ
II)
PR // SQ
S
α
III) PT ≅ SV
A)
B)
C)
D)
E)
T
R
β
β
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
Q
V
fig. 19
α
P
26. En el ΔPQR de la figura 20, RS es altura y PS = SQ . El ΔPQR es equilátero si :
(1) ΔPSR ≅ ΔQSR
R
(2) (SPR = 60º
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 20
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
S
P
Q
27. En el ΔMNP de la figura 21, se puede afirmar que los triángulos RON y ROP son congruentes
si :
(1) R punto medio de NP .
P
fig. 21
(2) ΔMOP equilátero.
A)
B)
C)
D)
E)
R
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
M
15
O
N
28. En el triángulo PQR de la figura 22, S es punto medio de PQ . Se puede determinar que el
ΔPQR es isósceles si :
R
(1) RS ⊥ PQ
α
fig. 22
β
(2) (α ≅ (β
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
P
S
55º
Q
29. Los triángulos ABC y BAD son congruentes (fig. 23). Se puede determinar la medida del
(BEA si :
C
(1) (DAB = 40º
D
(2) CE ≅ EB ≅ DE ≅ EA
A)
B)
C)
D)
E)
E
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
fig. 23
A
B
30. ΔADC ≅ ΔBEC (fig. 24). El ΔDEC es equilátero si :
(1) (CAD = 30º
C
fig. 24
(2) (ADC = 120º
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
A
D
E
B
DMNMA12
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16