Unidad 4 Análisis de dualidad
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Unidad 4 Análisis de dualidad Objetivos Al nalizar la unidad, el alumno: • Identicará el tipo de problemas que se resuelven con el método dual-símplex. • Utilizará el método dual-símplex para resolver modelos de PL en el entorno de los negocios. 133 Matemáticas para negocios Introducción El método dual-símplex, utilizado hasta ahora para resolver modelos de programación lineal en su forma estándar, ha demostrado ser una eciente herramienta en apoyo a la toma de decisiones basadas en resultados cuantitativos. Sin embargo, los problemas o casos a resolver no siempre se presentan de tal manera que puedan expresarse en la forma estándar y resolverse por el método dual-símplex, por lo que es necesario plantear una metodología para resolver estos casos. Se tiene un método aprovechando uno de los resultados del desarrollo de la programación lineal, el concepto de dualidad plantea que, asociado a todo problema de programación lineal, existe otro problema lineal llamado dual. En este capítulo se desarrolla la teoría y aplicación del método dual-símplex en la resolución de problemas y casos prácticos. 4.1. Denición del problema El problema de programación lineal dual que se dene a partir de un problema original (primal), comparte con él los mismos coecientes tanto de la función objetivo como de las restricciones, pero en diferente posición como más adelante se especicará. Por otra parte, es importante tener presente que: • Si un problema tiene solución óptima y factible, el problema dual también la tiene. • Si un problema tiene solución factible pero no óptima, entonces el problema dual no tiene solución factible. A manera de síntesis, lo que se desea recuperar del análisis de dualidad es: Cuando se tiene un modelo de programación lineal en el que el objetivo es minimizar, llamaremos a este modelo primal¸ y obtendremos el modelo dual Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad 134 asociado que es un modelo de maximización, el cual puede resolverse con el método dual-símplex; y al obtener la solución del problema dual encontraremos la del modelo primal. Existen otros aspectos importantes del análisis de dualidad que es necesario tener presentes, por ejemplo, para el modelo primal el objetivo es minimizar y las restricciones son del tipo ≥ (mayor o igual que), mientras que para el modelo dual el objetivo es maximizar y las restricciones son del tipo ≤ (menor o igual que). Lo anterior se ilustra en la Figura 4.1., donde se aprecian estas diferencias en las representaciones matriciales de los modelos. Primal Zmin=CX Sujeto a: AX ≥ B X≥0 Dual Zmax=BY Sujeto a: ATY ≤ C Y≥0 Figura4.1. Problemasprimalydualasociadosaunmismoproblemareal. Observe que el problema primal no se encuentra en la forma estándar necesaria para aplicar el método dual-símplex, y es por esto que se genera el problema dual. Además en el problema dual se empleta AT que es la matriz transpuesta de la matriz de coeficientes del sistema de restricciones. De manera desarrollada los problemas se ven como: Problema primal Z min = c1 x1 + c 2 x 2 + + c n x n Sujeto a: a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n ≥ b1 a21 x1 + a22 x 2 + + a2 n x n ≥ b2 am1 x1 + am 2 x 2 + + amn x n ≥ bm x 1 , x 2 , , x n ≥ 0 Mientras que el problema dual se verá en la forma estándar. 135 Matemáticas para negocios Problema dual Z max = b1 y1 + b2 y2 + + bm ym Sujeto a: a11 y1 + a21 y2 + + am1 ym ≤ c1 a12 y1 + a22 y2 + + am 2 ym ≤ c 2 a13 y1 + a23 y2 + ... + am 3 ym ≤ c 3 a1n y1 + a2 n y2 + + amn ym ≤ c n y1 , y2 ,, ym ≥ 0 Cabe resaltar que si el modelo primal tiene n variables y m restricciones, el modelo dual tendrá m variables y n restricciones, como se puede observar en los problemas primal y dual desarrollados. La solución óptima de un problema corresponde a la solución del otro, como ya se ha mencionado, y de este resultado se desprende la siguiente sección. Propiedad de las soluciones básicas complementarias Cada solución básica óptima en el problema primal tiene una solución básica óptima complementaria en el problema dual, en donde los valores respectivos de las funciones objetivos son iguales, Z min = Z max , y el valor de las restricciones del problema primal serán los coecientes de las variables articiales (yi ). Esto quiere decir que los valores de las restricciones del modelo primal son los valores que se encuentran en el renglón R0 en las columnas de las variables artificiales de la tabla símplex del modelo dual. A continuación se presenta el algoritmo para generar el modelo dual a partir del problema primal, para lo cual utilizaremos la tabla primal-dual. 4.2. Método dual-símplex Tabla primal-dual Partiendo de un modelo con el objetivo de minimizar, se utiliza la llamada tabla primal-dual para trasladar el problema a maximización y volver al uso del mismo algoritmo. Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad 136 Si tenemos el modelo primal de minimización: Problema primal Z min = c1 x1 + c 2 x 2 + + c n x n Sujeto a: a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n ≥ b1 a21 x1 + a22 x 2 + + a2 n x n ≥ b2 am1 x1 + am 2 x 2 + + amn x n ≥ bm (1) x 1 , x 2 , , x n ≥ 0 Para formar la tabla primal-dual se procede como sigue: El tamaño de la tabla es de m+2 renglones y n+2 columnas. (n número de variables y m número de restricciones del problema primal). 1. La celda de la esquina superior izquierda se divide en dos con una diagonal, en la parte superior escribimos la palabra primal (min) y en la parte inferior dual (max). 2. En la celda de la esquina superior derecha se escribe el símbolo ≥ , mientras que en la primera columna en el último renglón se escribe el símbolo ≤ . 3. En la primera columna a partir del segundo renglón se escriben los nombres de las variables del problema dual (m variables articiales). 4. En el primer renglón se escriben los nombres de las variables del problema primal (n variables). 137 Matemáticas para negocios 5. Se escriben los coecientes de la función objetivo del modelo primal en el último renglón. 6. Se escribe cada uno de los coeficientes de las restricciones del problema primal en forma horizontal, ocupando los renglones de la tabla. 7. En la última columna se escriben las cantidades limitantes de las restricciones del modelo primal. 8. De esta tabla podemos obtener el modelo dual, lo único que debemos hacer es leer el modelo de manera vertical y los coecientes de la función objetivo se obtienen de la última columna. Ejemplo 1 Obtener el modelo dual asociado al problema: Z min = 5 x1 + 8 x 2 + x 3 Sujeto a: x1 + 4 x 2 + 6 x 3 ≥ 9 7 x1 + 3 x 2 + 2 x 3 ≥ 7 x 1 , x 2 , , x n ≥ 0 El problema primal tiene 3 variables y 2 restricciones, por lo tanto el problema dual tendrá 2 variables y 3 restricciones. El tamaño de la tabla es de 2 + 2 = 4 renglones y 3 + 2 = 5 columnas para este caso. 1. La celda de la esquina superior izquierda se divide en dos con una diagonal, en la parte superior escribimos la palabra primal (min) y en la parte inferior dual (max). 2. En la celda de la esquina superior derecha se escribe el símbolo ≥ , mientras que en la primera columna en el último renglón se escribe el símbolo ≤ . 3. En la primera columna a partir del segundo renglón se escriben los nombres de las variables del problema dual (2 variables articiales). 138 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad 4. En el primer renglón se escriben los nombres de las variables del problema primal (3). 5. Se escriben los coecientes de la función objetivo del modelo primal en el último renglón. 6. Se escribe cada uno de los coeficientes de las restricciones del problema primal en forma horizontal, ocupando los renglones de la tabla. 7. En la última columna se escriben las cantidades limitantes de las restricciones del modelo primal. 139 Matemáticas para negocios 8. De esta tabla podemos obtener el modelo dual, lo único que debemos hacer es leerlo de manera vertical y los coecientes de la función objetivo se obtienen de la última columna. ≥ ≤ El resultado obtenido es el modelo dual con el objetivo de maximizar y, así como las restricciones del tipo ≤ (menor igual que). Z max = 9 y1 + 7 y2 Sujeto a: y1 + 7 y2 ≤ 5 4 y1 + 3 y2 ≤ 8 6 y1 + 2 y2 ≤ 1 y1 , y2 , y3 ≥ 0 El modelo dual obtenido consta de 2 variables y 3 restricciones, sin contar la restricción de no negatividad, como se había previsto. Si bien se ha obtenido el modelo dual asociado a un modelo primal, esto no es suciente para resolver el problema; entonces, es necesario resolver el modelo dual por el método dual-símplex, y para ejemplicar esto se muestra el siguiente ejemplo hasta la obtención del modelo de programación lineal apoyándonos en la propiedad de las soluciones básicas complementarias. Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad 140 Ejemplo 2 Resolver el siguiente modelo de programación obteniendo el modelo dual y aplicando el método dual-símplex. Z min = 12 x1 + 7 x 2 Sujeto a: 4 x1 + 2 x 2 ≥ 80 3 x1 + 4 x 2 ≥ 90 x1 , x 2 ≥ 0 La tabla dual está dada por: Entonces, el modelo dual de maximización es: Z max = 80 y1 + 90 y2 Sujeto a: 4 y1 + 3 y2 ≤ 12 2 y1 + 4 y2 ≤ 7 y1 , y2 ≥ 0 Ahora se utiliza el método dual-símplex para resolver el modelo dual. La tabla inicial de este modelo es: 141 Matemáticas para negocios El primer elemento pivote de la tabla inicial es: Con operaciones entre renglones se obtiene la siguiente tabla: Como en el renglón asociado a la función objetivo todavía se encuentran coecientes negativos, no se ha completado el proceso, por lo que se identica un nuevo pivote en la tabla obtenida. El nuevo pivote se encuentra en: De manera similar con el primer pivote, con operaciones básicas entre renglones se resuelve la tabla símplex: En esta iteración, todos los coecientes del renglón de la función objetivo son no negativos, es decir, mayores o iguales a cero, por lo que el proceso del método dual-símplex ha concluido. Cabe recordar que estamos resolviendo un Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad 142 problema primal-dual, por lo que la solución del modelo primal se obtiene del valor de los coecientes asociados a las variables de holgura que den el renglón de la función objetivo. Es decir: Por lo que al transferir la solución de la tabla símplex a las variables originales del problema primal se tiene: Con la transferencia de la solución de la tabla a las variables del problema primal concluye la aplicación del método dual-símplex primal-dual. Ejemplo 3 El desarrollo de tres estrategias de un proceso administrativo de fondos de inversión a largo plazo causa costos de 1, 3 y 2 millones de pesos por año de procesamiento, respectivamente. Cada estrategia genera 10, 20 y 40 millones en benecios por año, en el mismo orden, y se requiere un nivel mínimo de 800 millones en benecios para que el negocio sea conveniente a los inversionistas. Por último se sabe que la diferencia entre el triple de la duración de la estrategia con costo de 3 millones menos la duración de la estrategia de 2 millones debe ser de por lo menos 10 años. ¿Cuál es la duración óptima de cada estrategia que garantiza los benecios esperados y minimiza los costos de administración? Para resolver este problema, primero identicamos que el objetivo del planteamiento es minimizar el importe de los costos totales. • Las restricciones están relacionadas con el nivel mínimo de benecios y la duración de cada estrategia. • 143 Matemáticas para negocios Con lo anterior podemos denir las variables de decisión como: x1 := Duración en años de la estrategia I. x 2 := Duración en años de la estrategia II. x 3 := Duración en años de la estrategia III. A partir de esta denición el modelo de programación lineal primal es: Z min = x1 + 3 x 2 + 2 x 3 Sujeto a: 10 x1 + 20 x 2 + 40 x 3 ≥ 800 3 x 2 − x 3 ≥ 10 x1 , x 2 , x 2 ≥ 0 (1) (2) (3) Restricción de la utilidad mínima. Restricción de la duración de las estrategias II y III. Condición de no negatividad. La tabla dual está dada por: Entonces, el modelo dual de maximización es: Z max = 800 y1 + 10 y2 Sujeto a: 10 y1 ≤ 1 20 y1 + 3 y2 ≤ 3 40 y1 − y2 ≤ 2 y1 , y2 , y3 ≥ 0 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad 144 Ahora se utiliza el método símplex para resolver el modelo dual. La tabla inicial de este modelo es: El primer elemento pivote de la tabla inicial es: Con operaciones entre renglones se obtiene la siguiente tabla: Como en el renglón asociado a la función objetivo todavía se encuentran coecientes negativos, no se ha completado el proceso, por lo que se identica un nuevo pivote en la tabla obtenida. El nuevo pivote se encuentra en: 145 Matemáticas para negocios De manera similar con el primer pivote, con operaciones básicas entre renglones se resuelve la tabla símplex: En esta iteración todos los coecientes del renglón de la función objetivo son no negativos, es decir, mayores o iguales a cero, por lo que el proceso del método símplex ha concluido. Cabe recordar que estamos resolviendo un problema dual, por lo que la solución del modelo primal se obtiene del valor de los coecientes asociados a las variables de holgura que den el renglón de la función objetivo. Es decir: Por lo que al transferir la solución de la tabla símplex a las variables originales del problema primal se tiene: Lo cual signica que la solución del problema primal está dada por: x1 = 0 años de la estrategia I. x 2 = 8.571 años de la estrategia II. x 3 = 15.714 años de la estrategia III. Con un costo total mínimo de Z min = $57,143,000.00 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad 146 En la siguiente sección se aplica este método al entorno de los negocios y posteriormente se presenta una sección de ejercicios. 4.3. Aplicaciones al entorno de los negocios Cuando ya se conoce el método dual-símplex como un algoritmo útil para resolver modelos de programación lineal, los cuales de manera original tienen como objetivo minimizar, es momento de comenzar a pensar en el entorno donde es posible encontrar problemas con modelos como el descrito previamente. Uno de ellos es el entorno de los negocios, ya que de manera natural, cuando se trate de costos de producción, de ventas o de administración, precisamente nos encontramos en la necesidad de llevar a cabo todos los procesos y actividades de la empresa al menor costo posible, cumpliendo con ciertos niveles mínimos, por ejemplo, de productividad. La descripción anterior muestra una alta correspondencia con lo que en la sección previa denominamos problema primal, es decir, un problema con objetivo de minimizar y restricciones del tipo ≥ (mayor igual que). A continuación se presentan un ejemplo y varios ejercicios de aplicación a los negocios. Ejemplo 4 Para el eciente desempeño de las actividades de una empresa comercializadora de bienes raíces, se han cuanticado para los departamentos los costos de ventas y administración en $10,500.00 y $12,000.00 respectivamente. Mientras que para una casa los mismos costos ascienden a $18,000.00 y $10,000.00, respectivamente. La utilidad que reporta cada departamento es de $150,000.00 y de $300,000.00 para cada casa. La empresa desea reducir al nivel mínimo posible el importe de sus costos totales manteniendo una utilidad de al menos $18,000,000.00, así como la necesidad de que la cantidad de departamentos vendidos a lo menos sea el doble de casas vendidas. ¿Cuál es la combinación óptima de departamentos y casas que se deben comercializar? y, ¿cuál es el importe de los costos totales con el nivel de ventas calculado? Para resolver este problema, primero identicamos que el objetivo del planteamiento es minimizar el importe de los costos totales de la empresa. • Y que las restricciones están relacionadas con el nivel mínimo de utilidades y la cantidad de departamentos y casas vendidas. • 147 Matemáticas para negocios Con lo anterior podemos denir las variables de decisión: x1 := La cantidad de departamentos vendidos. x 2 := La cantidad de casas vendidas. A partir de esta denición el modelo de programación lineal primal es: Z min = (10,500 + 12,000 ) x1 + (18,000 + 10,000 ) x 2 Sujeto a: 150,000 x1 + 300,000 x 2 ≥ 18,000,000 (1) Restricción de la utilidad mínima. x1 − 2 x 2 ≥ 0 (2) Restricción de la cantidad de ventas. x1 , x 2 ≥ 0 (3) Condición de no negatividad. Nota que los costos totales son la suma de los costos de ventas y de administración para cada inmueble, además, como se trata de minimizar costos, los datos de la utilidad se emplean como una restricción. La tabla dual está dada por: Entonces, el modelo dual de maximización es: Z max = 18,000,000 y1 Sujeto a: 150,000 y1 + y2 ≤ 22,500 300,000 y1 − 2 y2 ≤ 28,000 y1 , y2 ≥ 0 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad 148 Ahora se utiliza el método símplex para resolver el modelo dual. La tabla inicial de este modelo es: El primer elemento pivote de la tabla inicial es: Con operaciones entre renglones se obtiene la siguiente tabla: Como en el renglón asociado a la función objetivo todavía se encuentran coecientes negativos, no se ha completado el proceso, por lo que se identica un nuevo pivote en la tabla obtenida. El nuevo pivote se encuentra en: 149 Matemáticas para negocios De manera similar con el primer pivote, con operaciones básicas entre renglones, se resuelve la tabla símplex: En esta iteración todos los coecientes del renglón de la función objetivo son no negativos, es decir, mayores o iguales a cero, por lo que el proceso del método símplex ha concluido. Cabe recordar que estamos resolviendo un problema dual, por lo que la solución del modelo primal se obtiene del valor de los coecientes asociados a las variables de holgura que dan el renglón de la función objetivo. Es decir: Por lo que al transferir la solución de la tabla símplex a las variables originales del problema primal se tiene: Lo cual signica que la solución del problema primal está dada por: x1 = 60 departamentos vendidos. x 2 = 30 de casas vendidas. Con un costo total mínimo de Z min = $2,190,000.00 A continuación se presenta un conjunto de ejercicios para resolver y practicar la aplicación del método dual-símplex. Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad 150 Ejercicios 1. Z min = 6 x1 + 12 x 2 Sujeto a: 2 x1 + 3 x 2 ≥ 26 x1 + 5 x 2 ≥ 20 2. Z min = 16 x1 + 10 x 2 Sujeto a: 3 x1 + 5 x 2 ≥ 7 2 x1 + 1x 2 ≥ 5 4 x1 + 2 x 2 ≥ 9 3. Z min = 6 x1 + 8 x 2 + 12 x 3 Sujeto a: 6 x1 + 4 x 2 + 3 x 3 ≥ 60 3 x1 + 2 x 2 + 6 x 3 ≥ 20 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 4. Z min = 7 x1 + 8 x 2 + 6 x 3 Sujeto a: 6 x1 + 4 x 2 + 3 x 3 ≥ 100 3 x1 + 2 x 2 + 9 x 3 ≥ 60 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 5. Z min = 12 x1 + 8 x 2 + 9 x 3 Sujeto a: 10 x1 + 8 x 2 + 9 x 3 ≥ 10 11x1 + 2 x 2 + 2 x 3 ≥ 60 5 x1 + 10 x 2 + 3 x 3 ≥ 30 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 Resuelve los siguientes problemas e interpreta los resultados indicando la decisión que se debe tomar para alcanzar el objetivo. 6. Un colegio privado en planeación estima que los costos por gestión escolar de cada alumno de nivel medio es de $7,400.00 y de $9,500.00 para uno de nivel superior. El colegio espera iniciar actividades con al menos 1,250 inscritos en total y requiere de ingresos mínimos de $26,000,000.00, los cuales obtendrá con las utilidades de $26,000.00 y $32,000.00 por alumno 151 Matemáticas para negocios inscrito en el nivel medio y nivel superior, respectivamente. El propósito de resolver este escenario en la etapa de planeación es que, apoyado en los resultados cuantitativos, se determine la cantidad óptima de inscritos en cada nivel académico y se estime el monto mínimo de los costos del colegio. 7. Los costos por manejo de cuentas en una institución nanciera dependen del tipo de servicios que ofrece. En la siguiente tabla se presenta información de las diferentes cuentas que ofrece la institución: Cuenta Costo por manejo ($) Comisión por manejo ($) Tipo I 360 478 Tipo II 318 424 Tipo III 376 400 La institución debe manejar un mínimo de 87 cuentas del tipo I y del tipo III en cualquier combinación, y garantizar comisiones mínimas de $68,298.00. ¿Cuál es la combinación óptima del tipo de cuentas que la institución debe manejar? 8. Tres productos diferentes (A, B y C) que maneja una compañía tienen una demanda mínima de 1,000, 500 y 250 unidades respectivamente. Por otra parte, se conoce que los costos de producción correspondiente a cada producto es de $100.00, $125.00 y $124.00, además que debido a regulaciones externas, la producción del producto A debe ser al menos el doble de la producción conjunta de B y C. Con este escenario establece las condiciones para minimizar los costos, satisfaciendo las demandas dadas. 9. Considera que se desea realizar una inversión y que existe todo el capital disponible para tal negocio. Sin embargo, para acceder a tres instrumentos diferentes de inversión A, B y C, la agencia solicita un monto mínimo a invertir en el instrumento A de $70,000.00, además de que exige que la inversión en el instrumento C sea al menos el doble que la cantidad total invertida en los instrumentos A y B. La inversión genera un costo administrativo de 6%, 3% y 5% respecto a la cantidad invertida en cada instrumento y cada uno rinde 25%, 45% y 30% respecto a la cantidad invertida. Si se requiere obtener un monto por rendimientos de más de $85,000.00 y un total mínimo por costos administrativos, ¿cuáles son las cantidades que deben invertirse en cada tipo de instrumento? Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad 152 10. Para trasladar tres materias primas, M1 , M2 y M3 , necesarias en un proceso industrial se tienen que cubrir los siguientes costos: $90.00, $60.00 y $30.00 por tonelada de materia prima respectivamente, mientras que los requerimientos de materia prima son: • La cantidad total de los tres tipos de materia prima sea mayor a las 55 ton. • La cantidad de M1 al menos sea dos veces la cantidad conjunta de M2 y M3 más 10 ton. ¿Qué combinación de materia prima minimiza los costos bajo estas condiciones? Autoevaluación 1. Todo problema real tiene asociado: a) Tres modelos de programación lineal. b) Dos o más modelos de programación lineal. c) Dos modelos de programación lineal. d) Un solo modelo de programación lineal. 2. Se utiliza para obtener el modelo dual: a) Tabla inicial. b) Tabla símplex. c) Tabla primal dual. d) Tabla de valores. 3. Si el problema primal tiene 2 variables y 4 restricciones, el modelo dual tendrá: a) 2 variables y 4 restricciones. b) 4 variables y 4 restricciones. c) 2 variables y 2 restricciones. d) 4 variables y 2 restricciones. 153 Matemáticas para negocios 4. El método dual-símplex se utiliza para resolver modelos de programación lineal donde: a) El objetivo es minimizar y las restricciones son del tipo ≥ . b) El objetivo es maximizar y las restricciones son del tipo ≥ . c) El objetivo es minimizar y las restricciones son del tipo ≤ . d) El objetivo es maximizar y las restricciones son del tipo ≤ . 5. ¿Cuál es la tabla primal dual del siguiente modelo? Z min = 7 x1 + 8 x 2 + 10 x 3 Sujeto a: x1 + x 2 + x 3 ≥ 10 5 x1 + 3 x 2 + 2 x 3 ≥ 15 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 a) b) c) Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad 154 d) 6. Obtén la tabla primal dual del siguiente modelo: Z min = 100 x1 + 200 x 2 + 300 x 3 Sujeto a: 5 x1 + 10 x 2 + 15 x 3 ≥ 20 x1 + x 3 ≥ 30 x1 + x 2 ≥ 50 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 a) b) c) 155 Matemáticas para negocios d) 7) Obtén la tabla primal dual del siguiente modelo Z min = 125 x1 + 175 x 2 + 150 x 3 Sujeto a: x1 ≥ 1,500 x 2 ≥ 800 x 3 ≥ 500 x1 − 2 (x 2 + x 3 ) ≥ 0 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 a) b) Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad 156 c) d) 8. Resuelve el siguiente modelo de programación lineal con el método dualsímplex: Z min = 12 x + 15 y Sujeto a: 5 x + 12 y ≥ 117 9 x + 6 y ≥ 60 x, y ≥ 0 a) b) c) d) x x x x = 9.65 ; y = 0.23 ; Z min = 147.58 = 0.3 ; y = 10 ; Z min = 147.58 = 0.23 ; y = 9.65 ; Z min = 147.58 = 10 ; y = 0.3 ; Z min = 147.58 157 Matemáticas para negocios 9. Resuelve el modelo: Z min = 10 x1 + 12 x 2 + 17 x 3 Sujeto a: x1 ≥ 100 x 2 ≥ 50 x 3 ≥ 25 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 a) b) c) d) x1 = 50 ; x 2 = 50 ; x 3 = 50 ; Z min = 2,025 x1 = 100 ; x 2 = 50 ; x 3 = 50 ; Z min = 2,025 x1 = 50 ; x 2 = 25 ; x 3 = 100 ; Z min = 2,025 x1 = 100 ; x 2 = 50 ; x 3 = 25 ; Z min = 2,025 10. Los costos de manejo de cuentas de tres inversiones (A, B y C) son $100.00, $120.00 y $ 170.00, respectivamente. Estas inversiones se encuentran bajo las siguientes condiciones: • El índice de rendimiento de cada una es de 10, 12 y 15 puntos por unidad monetaria invertida, por lo que al determinar la cantidad a invertir se debe obtener un puntaje total de por lo menos 1,000 puntos. • El índice de eciencia comercial es de 3, 1 y 2 puntos por unidad monetaria en inversión, respectivamente, y se espera una eciencia total de por lo menos 500 puntos. • Es requisito de la agencia de inversiones que el importe de inversión en A más el doble de la inversión en C sea mínimo de $250.00. Con esta información indica las cantidades a invertir en A, B y C, así como el monto total de los costos de manejo de cuentas. a) b) c) d) x1 = 0 ; x 2 = 0 ; x 3 = 62.5 ; Z min = 23,125 x1 = 125 ; x 2 = 0 ; x 3 = 0 ; Z min = 23,125 x1 = 125 ; x 2 = 0 ; x 3 = 62.5 ; Z min = 23,125 x1 = 0 ; x 2 = 125 ; x 3 = 62.5 ; Z min = 23,125 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad 158 Respuestas a los ejercicios 1. x1 = 10 ; x 2 = 2 ; Z min = 84 2. x1 = 2.5 ; x 2 = 0 ; Z min = 340 3. x1 = 10 ; x 2 = 0 ; x 3 = 0 ; Z min = 60 4. x1 = 16 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1.33 ; Z min = 120 5. x1 = 5.4 ; x 2 = 0.3 ; x 3 = 0 ; Z min = 67.2 6. Las variables de decisión son: x1 = Cantidad de inscritos en nivel medio. x 2 = Cantidad de inscritos en nivel superior. Z min = 7, 400 x1 + 9,500 x 2 Sujeto a: x1 + x 2 ≥ 1,250 26,000 x1 + 32,000 x 2 ≥ 26,000,000 x1 , x 2 ≥ 0 x1 = 1,250 inscritos en nivel medio y x 2 = 0 inscritos en nivel superior, con un costo mínimo de Z min = 9,250,000 . Es decir, el colegio deberá iniciar operaciones sólo en el nivel medio. 7. Las variables de decisión son: x1 = Cantidad de cuentas Tipo I a manejar. x 2 = Cantidad de cuentas Tipo II a manejar. x 3 = Cantidad de cuentas Tipo III a manejar. Z min = 360 x1 + 318 x 2 + 376 x 3 Sujeto a: 478 x1 + 424 x 2 + 400 x 3 ≥ 68,298 x1 + x 3 ≥ 87 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 159 Matemáticas para negocios x1 = 87 cuentas Tipo I, x 2 = 63 cuentas Tipo II y x 3 = 0 cuentas Tipo III, con un importe mínimo de Z min = 51,354.00. Es decir, la institución nanciera deberá manejar sólo cuentas Tipo I y II. 8. Las variables de decisión son: x1 = Cantidad de unidades Tipo A, a producir. x 2 = Cantidad de unidades Tipo B, a producir. x 3 = Cantidad de unidades Tipo C, a producir. Z min = 100 x1 + 125 x 2 + 124 x 3 Sujeto a: x1 ≥ 1,000 x 2 ≥ 500 x 3 ≥ 250 x1 − 2 (x 2 + x 3 ) ≥ 0 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 x1 = 1,500 unidades Tipo A, x 2 = 500 unidades Tipo B y x 3 = 250 unidades Tipo C, con un importe mínimo de Z min = 243,500.00 9. Las variables de decisión son: x1 = Cantidad a invertir en el instrumento A. x 2 = Cantidad a invertir en el instrumento B. x 3 = Cantidad a invertir en el instrumento C. Z min = 0.06 x1 + 0.03 x 2 + 0.05 x 3 Sujeto a: 0.25 x1 + 0.45 x 2 + 0.30 x 3 ≥ 85,000 x1 ≥ 70,000 −2 x1 − 2 x 2 + x 3 ≥ 0 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 x1 = 70,000 a invertir en el instrumento A, x 2 = 24,285.72 a invertir en el instrumento B y x 3 = 188,571.44 a invertir en el instrumento C, con un importe mínimo de costos de administración de Z min = 14,357.14 Unidad 4 ▪ Análisis de dualidad 160 10. Las variables de decisión son: x1 = Cantidad a transportar de M1. x 2 = Cantidad a transportar de M2. x 3 = Cantidad a transportar de M3. Z min = 90 x1 + 60 x 2 + 30 x 3 Sujeto a: x1 + x 2 + x 3 ≥ 55 x1 − 2 (x 2 + x 3 ) ≥ 10 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 x1 = 40 ton a transportar de M1, x 2 = 0 ton a transportar de M2 y x 3 = 15 ton a transportar de M3, con un importe mínimo de costos de transporte de Z min = 4,050.00 Respuestas a la autoevaluación 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. c) c) d) a) b) d) a) c) d) c)
