Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad

Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de
libertad
F. Javier Cara
ETSII-UPM
Curso 2011-2012
1
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Contenido
Señales y sistemas
Sistemas mecánicos masa-muelle-amortiguador con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Vibración libre sin amortiguamiento
Propiedades de autovalores y autovectores
Método de superposición modal
Vibración libre sin amortiguamiento con superp. modal
Vibración forzada sin amortiguamiento
Amortiguamiento proporcional
Vibración forzada con amortiguamiento proporcional
Funciones de respuesta en frecuencia
Funciones de respuesta en frecuencia a partir de la ecuacion diferencial
Funciones de respuesta en frecuencia utilizando superposicion modal
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador de N gdl a cargas aleatorias
Usando funciones de respuesta en frecuencia
Usando superposición modal
2
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Señales y sistemas
Representación de los sistemas
Figura: (a) Sistemas single-input/single-output; (b) Sistemas
multiple-input/multiple-output.
3
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Sistemas mecánicos masa-muelle-amortiguador con N grados de libertad
Sistemas mecánicos masa-muelle-amortiguador con N
grados de libertad
Figura: (a), (b) Modelos dinámicos para un edificio de dos alturas; (c) Modelo
general para un sistema de dos grados de libertad.
4
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Figura: Equilibrio de fuerzas.
Aplicando la 2a ley de Newton a cada masa
k2 (y2 (t) − y1 (t)) + c2 (ẏ2 (t) − ẏ1 (t)) − k1 y1 (t) − c1 ẏ1 (t) + F1 (t) = m1 ÿ1 (t)
−k2 (y2 (t) − y1 (t)) − c2 (ẏ2 (t) − ẏ1 (t)) + F2 (t) = m2 ÿ2 (t)
La ecuacion diferencial para la masa k tiene que tener dos condiciones
inicales, en general, yk (0), ẏk (0).
5
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Reordenando
m1 ÿ1 (t) + (c1 + c2 )ẏ1 (t) + (k1 + k2 )y1 (t) − c2 ẏ2 (t) − k2 y2 (t) = F1 (t)
m2 ÿ2 (t) − c2 ẏ1 (t) − k2 y1 (t) + c2 ẏ2 (t) + k2 y2 (t) = F2 (t)
m1
0
0
m2
c1 + c2
ÿ1 (t)
+
ÿ2 (t)
−c2
−c2
c2
k1 + k2
ẏ1 (t)
+
ẏ2 (t)
−k2
−k2
k2
F1 (t)
y1 (t)
=
F2 (t)
y2 (t)
Y por tanto
[M] [ÿ (t)] + [C ] [ẏ (t)] + [K ] [y (t)] = [F (t)]
|{z} | {z } |{z} | {z } |{z} | {z } | {z }
2×2
2×1
2×2
2×1
2×2
2×1
2×1
y1 (t)
F1 (t)
m1 0
[y (t)] =
,
[F (t)] =
,
[M] =
y2 (t)
F2 (t)
0 m2
k + k2 −k2
c + c2 −c2
,
[K ] = 1
[C ] = 1
−k2
k2
−c2
c2
6
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Para N grados de libertad
[M] [ÿ (t)] + [C ] [ẏ (t)] + [K ] [y (t)] = [F (t)]
|{z} | {z } |{z} | {z } |{z} | {z } | {z }
N×N N×1


N×N N×1


N×N N×1

N×1
y1 (t)
F1 (t)
m1
0
0
 y2 (t) 
 F2 (t) 
 0 m2
0









0 m3
[y (t)] = 
 y3 (t)  , [F (t)] =  F3 (t)  , [M] =  0
 ··· 
 ··· 
· · · · · · · · ·
yN (t)
FN (t)
0
0
0


c1 + c2
−c2
0
··· 0
 −c2
c
+
c
−c
·
·· 0 
2
3
3


0
−c
c
+
c
·
·
· 0
[C ] = 
3
3
4


 ···
···
···
· · · · · ·
0
0
0
· · · cN


k1 + k2
−k2
0
···
0
 −k2
k2 + k3
−k3
···
0



0
−k
k
+
k
·
·
·
0
[K ] = 
3
3
4


 ···
···
···
· · · · · ·
0
0
0
· · · kN
···
···
···
···
···

0
0 

0 

···
mN
7
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Vibración libre sin amortiguamiento
Vibración libre sin amortiguamiento
Vamos a estudiar con detalle el caso de 2 grados de libertad:
[M] [ÿ (t)] + [C ] [ẏ (t)] + [K ] [y (t)] = [F (t)]
|{z} | {z } |{z} | {z } |{z} | {z } | {z }
2×2
2×1
2×2
2×1
2×2
2×1
2×1
y1 (t)
F1 (t)
m1 0
[y (t)] =
,
[F (t)] =
,
[M] =
y2 (t)
F2 (t)
0 m2
k + k2 −k2
c + c2 −c2
,
[K ] = 1
[C ] = 1
−k2
k2
−c2
c2
El caso mas sencillo es el de vibracion libre ([F (t)] = 0) sin
amortiguamiento ([C (t)] = 0). Por tanto
[M] [ÿ (t)] + [K ] [y (t)] = [0]
|{z} | {z } |{z} | {z } |{z}
2×2
2×1
junto con las condiciones iniciales
y (0)
[y (0)] = 1
,
y2 (0)
2×2
2×1
[ẏ (0)] =
2×1
ẏ1 (0)
ẏ2 (0)
8
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Vibración libre sin amortiguamiento
La solucion de este problema es
[y (t)] = [φ] e iαt
| {z } |{z}
2×1
Y por tanto
2×1
[ÿ (t)] = −α2 [φ]e iαt
sustituyendo en la ecuación queda (tomamos λ = α2 )
([K ] − λ[M]) [φ] = [0]
Esta ecuación constituye el problema de autovalores y autovectores de las
matrices M y K. Las soluciones distintas de cero se obtienen cuando
k 1 + k 2 − m1 λ
−k2 det([K ] − λ[M]) = 0 ⇒ =0
−k2
k 2 − m2 λ Esta ecuación tiene tiene dos soluciones, λ1 y λ2 , que son los autovalores
de M y K.
9
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Vibración libre sin amortiguamiento
Cuando se sustituye λ1 y λ2 en
([K ] − λ[M]) [φ] = [0]
se obtienen 2 valores de [φ]:
([K ] − λ1 [M]) [φ] = [0] ⇒ [φ1 ]
([K ] − λ2 [M]) [φ] = [0] ⇒ [φ2 ]
Estos vectores se conocen como autovectores.
Como tenemos dos autovalores, y además [y (t)] = [φ]e −iαt tambien es
solución, la solución completa del problema de vibración libre sin
amortiguamiento es
[y (t)] = A1 [φ1 ]e i
√
λ1 t
+ A2 [φ2 ]e i
√
λ2 t
+ B1 [φ1 ]e −i
√
λ1 t
+ B2 [φ2 ]e −i
y la velocidad se obtiene derivando
√
√
p
p
[ẏ (t)] = i λ1 A1 [φ1 ]e i λ1 t + i λ2 A2 [φ2 ]e i λ2 t
√
√
p
p
− i λ1 B1 [φ1 ]e −i λ1 t − i λ2 B2 [φ2 ]e −i λ2 t
√
λ2 t
10
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Vibración libre sin amortiguamiento
Los valores de Ak y Bk se determinan con las condiciones iniciales:
φ
φ11
φ12
φ11
y1 (0)
+ B2 12
+ B1
+ A2
[y (0)] =
= A1
φ22
φ21
φ22
φ21
y2 (0)
[ẏ (0)] =
p
p
ẏ1 (0)
φ
φ
= i λ1 A1 11 + i λ1 A2 12
ẏ2 (0)
φ21
φ22
p
p
φ
φ
− i λ1 B1 11 − i λ2 B2 12
φ21
φ22
Tenemos un sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas
 
 

φ11
φ12
φ11
φ12
A1
y1 (0)
 A2 
y2 (0)  φ21
φ
φ
φ
22
21
22
 √
 

√
√
√
ẏ1 (0) = i λ1 φ11 i λ2 φ12 −i λ1 φ11 −i λ2 φ12  B1 
√
√
√
√
B2
ẏ2 (0)
i λ1 φ21 i λ2 φ22 −i λ1 φ21 −i λ2 φ22
 


A1
−1 y1 (0)
A2 
y2 (0)
[Φ]
[Φ]
 =


1/2
1/2
B1 
ẏ1 (0)
i[Φ][D]
−i[Φ][D]
B2
ẏ2 (0)
donde [D] es una matriz con los autovalores en la diagonal.
11
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Vibración libre sin amortiguamiento
Ejemplo
Sea un sistema masa-muelle-amortiguador con 2 gdl, definido por:
m1 = 35kg , m2 = 17,5kg ,
k1 = 8750N/m, k2 = 3500N/m.
Calcular los autovalores y autovectores de [M] y [K ].
Las matrices de masa y rigidez del sistema son:
k1 + k2 −k2
12250 −3500
m1
=
,
−3500 3500
−k2
k2
0
35
0
0
=
0 17,5
m2
12
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Vibración libre sin amortiguamiento
y el problema de autovalores
12250 − 35λ
−3500 =0
det([K ] − λ[M]) = 0 ⇒ −3500
3500 − 17,5λ
Desarrollando el determinante queda
λ2 − 550λ + 50000 = 0
Esta es la ecuación característica del problema de autovalores. La
solución de la ecuación característica es
λ1 = 115,
λ2 = 435
Para obtener el autovector correspondiente a λ1 hacemos
0
φ11
12250 − 35λ1
−3500
=
⇒
0
−3500
3500 − 17,5λ1 φ21
47φ11 − 20φ21 = 0
−20φ11 + 8,5φ21 = 0
Estas dos ecuaciones son linealmente dependientes. La solución del
sistema es φ21 = 2,35φ11 . Existen infinitas soluciones que cumplen ésto.
13
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Vibración libre sin amortiguamiento
Es usual tomar la primera componente igual a 1.
1
φ11
=
[φ1 ] =
2,35
φ21
Para el segundo autovector tomamos λ = λ2
−17φ12 − 20φ22 = 0
−20φ11 − 23,5φ22 = 0
cuya solución es φ22 = −0,85φ21 . Por tanto
1
φ
[φ2 ] = 12 =
−0,85
φ22
Finalmente, se forman las matrices de autovectores y autovalores
1
1
φ11 φ12
=
[Φ] = [φ1 φ2 ] =
2,35 −0,85
φ21 φ12
115 0
λ
0
=
[D] = 1
0 435
0 λ2
En matlab se calculan mediante [Φ,D]=eig(K,M)
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Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Vibración libre sin amortiguamiento
Ejemplo
Calcular la respuesta del sistema del ejercicio anterior cuando la masa 1
se desplaza un metro y se deja vibrar líbremente.
Es un problema de vibración libre sin amortiguamiento con condiciones
iniciales
1
0
[y (0)] =
,
[ẏ (0)] =
0
0
Sabemos que la solución es
[y (t)] = A1 [φ1 ]e i
√
λ1 t
+ A2 [φ2 ]e i
√
λ2 t
+ B1 [φ1 ]e −i
√
λ1 t
+ B2 [φ2 ]e −i
√
λ2 t
donde

A1
A2 
[Φ]
 =
B1 
i[Φ][D]1/2
B2


 

0,2890
−1 y1 (0)
y2 (0) 0,2110
[Φ]

 

ẏ1 (0) = 0,2890
−i[Φ][D]1/2
0,2110
ẏ2 (0)
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Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Vibración libre sin amortiguamiento
Luego desarrollando,
y1 (t)
1
1
= 0,5780
cos 10,72t + 0,4220
cos 20,86t
y2 (t)
2,35
−0,85
2
y1
1
0
−1
−2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
t (s)
6
7
8
9
10
2
y2
1
0
−1
−2
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Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Propiedades de autovalores y autovectores
Autovalores y autovectores de una matriz
Matemáticamente, el problema de autovalores consiste en encontrar las
soluciones no triviales de la ecuación
[A][x] = λ[x],
[A] ∈ RN×N , [x] ∈ RN×1 , λ ∈ R
que es lo mismo que encontrar una matriz diagonal [D] que cumpla
[A][Φ] = [Φ][D]
donde [D] es la matriz de autovalores (los autovalores en la diagonal) y
[Φ] es la matriz de autovectores (los autovectores por columnas).
El problema de autovalores de [M] y [K ] es un problema de autovalores
generalizado, es decir, se buscan las soluciones no triviales de
[K ][x] = λ[M][x],
[M], [K ] ∈ RN×N , [x] ∈ RN×1 , λ ∈ R
que es lo mismo que encontrar una matriz diagonal [D] que cumpla
[M]−1 [K ][Φ] = [Φ][D]
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Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Propiedades de autovalores y autovectores
Propiedades de autovalores y autovectores
Propiedad
Ortogonalidad de los autovectores con respecto a la matriz de masa
µi si i = j
[φj ]T [M][φi ] =
0 si i 6= j
Prueba
Sean dos autovalores λi y λj y sus correspondientes autovectores [φi ] y
[φj ]. El problema de autovalores generalizado es:
([K ] − λi [M]) [φi ] = 0
T
Premultiplicando por [φj ] :
[φj ]T ([K ] − λi [M]) [φi ] = [0]
De igual manera se puede obtener:
([K ] − λj [M]) [φj ] = [0] ⇒ [φi ]T ([K ] − λj [M]) [φj ] = [0]
18
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Propiedades de autovalores y autovectores
Además, como [M] y [K ] son matrices simétricas se cumple que:
[φj ]T [M][φi ]
Tomando traspuestas y restando:
T
= [φi ]T [M][φj ]
[φj ]T [M][φi ] (λi − λj ) = [0]
µi si i = j
T
⇒ [φj ] [M][φi ] =
0 si i 6= j
Es decir, los autovectores son ortogonales con
masa:

µ1 0 . . .

0 µ2 . . .
[Φ]T [M][Φ] = 
. . . . . . . . .
0
0 ...
respecto a la matriz de

0
0
 = [µ]
. . .
µN
19
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Propiedades de autovalores y autovectores
Propiedad
Ortogonalidad de los autovectores con respecto a la matriz de rigidez
κi si i = j
T
[φj ] [K ][φi ] =
0 si i 6= j
Prueba
Hemos visto que se cumple:
[φj ]T ([K ] − λi [M]) [φi ] = [0]
[φi ]T ([K ] − λj [M]) [φj ] = [0]
Por lo que
[K ]
− [M] [φi ] = [0]
[φj ]
λi
[K ]
[φi ]T
− [M] [φj ] = [0]
λj
T
20
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Propiedades de autovalores y autovectores
Teniendo en cuenta de nuevo la propiedad de la transpuesta
[φj ]T [K ][φi ]
y restando
T
= [φi ]T [K ][φj ]
1
1
= [0]
−
[φj ] [K ][φi ]
λi
λj
κi si i = j
T
⇒ [φj ] [K ][φi ] =
0 si i 6= j
T
Es decir, los autovectores son ortogonales con
rigidez:

κ1 0 . . .
 0 κ2 . . .
T
[Φ] [K ][Φ] = 
. . . . . . . . .
0
0 ...
respecto a la matriz de

0
0
 = [κ]
. . .
κN
21
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial
Propiedades de autovalores y autovectores
Ejemplo
Siguiendo con el ejemplo:
Vamos a comprobar la ortogonalidad de los autovectores:
1
1
[Φ] =
2,35 −0,85
T 1 2,35
35
0
1
1
1 −0,85
0 17,5 2,35 −0,85
131,6
0
=
0
47,6
[Φ]T [M][Φ] =
T 1 2,35
12250 −3500
1
1
[Φ] [K ][Φ] =
1 −0,85
−3500 3500
2,35 −0,85
15128
0
=
0
20728
T
22
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Método de superposición modal
◮
◮
◮
En el apartado anterior hemos resuelto el problema de vibración libre
sin amortiguamiento para un sistema de N grados de libertad.
Pero lo más importante del problema es que hemos
encontrado que los autovectores de M y K son ortogonales
con respecto a estas matrices.
Esta propiedad permite definir el método de superposición modal
para resolver problemas de vibración de sistemas de N gdl.
* Los autovectores permiten definir unas nuevas coordenadas, las
coordenadas modales η(t), donde el sistema de N ecuaciones
acopladas se transforma en N ecuaciones desacopladas.
* Por tanto, el sistema de N gdl puede analizarse como la suma de N
sistemas de 1 gdl, con masa igual a la masa modal y rigidez igual a
la rigidez modal.
* Los autovalores son precisamente las frecuencias naturales de
vibración de estos sistemas de 1 gdl.
◮
A continuación vamos a resolver de nuevo el problema de vibración
libre sin amortiguamiento utilizando el método de superposición
modal.
23
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Vibración libre sin amortiguamiento con superp. modal
Vibración libre sin amortiguamiento con superp. modal
La ecuación de equilibrio del sistema era:
[M] [ÿ (t)] + [K ] [y (t)] = [0]
|{z} | {z } |{z} | {z } |{z}
2×2
2×1
junto con las condiciones iniciales
y (0)
[y (0)] = 1
,
y2 (0)
2×2
2×1
[ẏ (0)] =
Definimos el cambio de coordenadas
2×1
ẏ1 (0)
ẏ2 (0)
[y (t)] = [Φ][η(t)]
donde η(t) son las coordenadas modales. Estas coordenadas no tienen
sentido físico, solo se utilizan porque las ecuaciones se desacoplan.
La aceleración es
[ÿ (t)] = [Φ][η̈(t)]
Sustituyendo en la ecuación de equilibrio
[M][Φ][η̈(t)] + [K ][Φ][η(t)] = [0]
24
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Vibración libre sin amortiguamiento con superp. modal
Premultiplicando por la matriz modal
[Φ]T [M][Φ][η̈(t)] + [Φ]T [K ][Φ][η(t)] = [0]
Aplicando la propiedad de ortogonalidad de los modos
[µ][η̈(t)] + [κ][η(t)] = [0]
0
κ
0 η1 (t)
µ1 0 η̈1 (t)
=
+ 1
0
0 κ2 η2 (t)
0 µ2 η̈2 (t)
Como vemos, el sistema de dos ecuaciones acopladas se ha transformado
en dos ecuaciones desacopladas de la forma
µk η̈k (t) + κk ηk (t) = 0,
k = 1, 2
y condiciones iniciales
ηk (0), η̇k (0)
que se calculan a partir de las condiciones iniciales del problema
y1 (0)
φ11
=
y2 (0)
φ21
φ11
ẏ1 (0)
=
ẏ2 (0)
φ21
η1 (0)
η1 (0)
φ11
⇒
=
η2 (0)
η2 (0)
φ21
φ11
η̇1 (0)
φ12 η̇1 (0)
=
⇒
η̇2 (0)
φ21
φ22 η̇2 (0)
φ12
φ22
φ12
φ22
−1 y1 (0)
y2 (0)
φ12
φ22
−1 ẏ1 (0)
ẏ2 (0)
25
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Vibración libre sin amortiguamiento con superp. modal
Cada ecuación en coordenadas modales es la ecuación de vibración de un
sistema de 1 gdl con masa igual a µk y rigidez igual a κkq
, o lo que es lo
κ
mismo, con frecuencia natural de vibración igual a ωk = µk .
k
La solución es de la forma
ηk (t) = Ak e isk t
Sustituyendo
µk sk2 Ak e isk t + κk Ak e isk t = 0
r
κk
= ±ωnk
µk sk2 + κk Ak = 0 ⇒ sk = ±
µk
ηk (t) = Ak e iωnk t + Bk e −iωnk t
Las constantes Ak y Bk se calculan con las condiciones iniciales
ηj (0) = Ak + Bk
η̇k (0) = iωnk Aj − iωnk Bk
−1 ηk (0)
A
1
1
⇒ k =
η̇k (0)
iωnk −iωnk
Bk
26
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Vibración libre sin amortiguamiento con superp. modal
La solución que buscábamos, es decir [y(t)], se calcula deshaciendo el
cambio de coordenadas
[ÿ (t)] = [Φ][η̈(t)]
y1 (t)
φ
φ12 η1 (t)
φ η (t) + φ12 η2 (t)
= 11
= 11 1
y2 (t)
φ21 φ22 η2 (t)
φ21 η1 (t) + φ22 η2 (t)
y1 (t)
φ
φ
= 11 η1 (t) + 12 η2 (t)
y2 (t)
φ21
φ22
[y (t)] = [φ1 ]η1 (t) + [φ12 ]η2 (t)
Al par {autovalor,autovector} se conoce como modo de vibración. Luego
la solución final es la suma de la vibración debida a cada modo de
vibración. De ahí que el método se conozca como superposición modal.
27
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Vibración libre sin amortiguamiento con superp. modal
Propiedad
Una propiedad importante es que la raiz cuadrada de los autovalores de
[M] y [K ] son las frecuencias naturales de vibracion de cada ecuacion
desacoplada.
p
κk
= ωk2 ⇒ ωnk = λk
λk =
µk
Prueba
El problema de autovalores generalizado es
[M]−1 [K ][Φ] = [Φ][D] ⇒ [K ][Φ] = [M][Φ][D]
[Φ]T [K ][Φ] = [Φ]T [M][Φ][D] ⇒ [κ] = [µ][D]
 

κ1 0 . . . 0
µ1 0 . . . 0
λ1 0
 0 κ2 . . . 0   0 µ2 . . . 0   0 λ2

 

. . . . . . . . . . . .  = . . . . . . . . . . . .  . . . . . .
0
0 . . . κN
0
0 . . . µN
0
0


... 0
... 0 

. . . . . .
. . . λN
28
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Vibración libre sin amortiguamiento con superp. modal
Ejemplo
Siguiendo con el ejemplo,
tenemos un sistema mecánico gobernado por la siguiente ecuación de
equilibrio
[M][ÿ(t)] + [K ][y (t)] = [0]
35
0
ÿ1 (t)
12250 −3500 y1 (t)
0
+
=
0 17,5 ÿ2 (t)
−3500 3500
y2 (t)
0
con condiciones iniciales
1
[y (0)] =
,
0
0
[ẏ (0)] =
0
Vamos a resolver este problema utilizando superposición modal. Para ello
resolvemos el problema de autovalores y autovectores de M y K,
([K ] − λ[M])[φ] = [0]
que nos ha dado
29
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Vibración libre sin amortiguamiento con superp. modal
λ1 = 115,
φ
φ2 ] = 11
φ21
[Φ] = [φ1
λ2 = 435
1
1
φ12
=
2,35 −0,85
φ12
Definimos el cambio de base a coordenadas modales
[y (t)] = [Φ][η(t)]
sustituimos, y operamos
[M][ÿ(t)] + [K ][y (t)] = [0]
[M][Φ][η̈(t)] + [K ][Φ][η(t)] = [0]
T
[Φ] [M][Φ][η̈(t)] + [Φ]T [K ][Φ][η(t)] = [0]
[µ][η̈(t)] + [κ][η(t)] = [0]
las matrices [κ] y [µ] ya las hemos calculado
30
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Vibración libre sin amortiguamiento con superp. modal
131,6
0
0
47,6
η̈1 (t)
15128
0
η1 (t)
0
+
=
η̈2 (t)
0
20728 η2 (t)
0
como vemos se cumple que
κk
2
= ωnk
⇒
µk
15128
λ1 =
= 115 ⇒ ωn1 = 10,72 rad/s
131,6
20728
= 435 ⇒ ωn2 = 20,86 rad/s
λ2 =
47,6
λk =
Las condiciones iniciales para las coordenadas modales son
0,5781
η1 (0)
−1 y1 (0)
=
= [Φ]
y2 (0)
0,4219
η2 (0)
ẏ (0)
0
η̇1 (0)
=
= [Φ]−1 1
ẏ2 (0)
0
η̇2 (0)
31
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Vibración libre sin amortiguamiento con superp. modal
Para el modo 1
131,6η̈1 (t) + 15128η1(t) = 0,
η1 (0) = 0,5781,
η̇1 (0) = 0
Solución
η1 (t) = A1 e iωn1 t + B1 e −iωn1t
−1 A1
1
1
0,5781
0,2890
=
=
i10,72 −i10,72
0
B1
0,2890
Luego
η1 (t) = 0,2890e i10,72t + 0,2890e −i10,72t
η1 (t) = 0,2890 cos(10,72t) + i0,2890 sen(10,72t)
+ 0,2890 cos(10,72t) − i0,2890 sen(10,72t)
η1 (t) = 0,5780 cos(10,72t)
32
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Vibración libre sin amortiguamiento con superp. modal
Para el modo 2
47,6η̈2 (t) + 20728η2(t) = 0,
η2 (0) = 0,4219,
η̇2 (0) = 0
Solución
η2 (t) = A2 e iωn2 t + B2 e −iωn2t
−1 A2
1
1
0,4219
0,2110
=
=
i20,86 −i20,86
0
B2
0,2110
Luego
η1 (t) = 0,2110e i20,86t + 0,2110e −i20,86t
η1 (t) = 0,2110 cos(20,86t) + i0,2110 sen(20,86t)
+ 0,2110 cos(20,86t) − i0,2110 sen(20,86t)
η2 (t) = 0,4220 cos(20,86t)
33
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Vibración libre sin amortiguamiento con superp. modal
La solución final es
[y (t)] = [φ1 ]η1 (t) + [φ12 ]η2 (t)
y1 (t)
1
1
= 0,5780
cos 10,72t + 0,4220
cos 20,86t
y2 (t)
2,35
−0,85
2
y1
1
0
−1
−2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
t (s)
6
7
8
9
10
2
y2
1
0
−1
−2
34
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Vibración forzada sin amortiguamiento
Vibración forzada sin amortiguamiento
Vamos a considerar ahora que el sistema está sometido a una fuerza
[F(t)]. La ecuación de equilibrio es:
[M] [ÿ (t)] + [K ] [y (t)] = [F (t)]
|{z} | {z } |{z} | {z } | {z }
N×N N×1
N×N N×1
N×1
(No consideramos condiciones iniciales porque se aplicarían igual que
antes.)
Si intentamos resolver el sistema de ecuaciones diferenciales acopladas
tendríamos que hacer:
◮ Solucion de la ecuacion homogenea, [yh (t)].
◮ Solucion particular, [yp (t)].
◮ Solucion general ⇒ [y (t)] = [yh (t)] + [yp (t)].
La solución de la ecuación homogénea la hemos resuelto en el apartado
de vibración libre sin amortiguamiento, pero ¿como calculamos la
solución particular de un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas?
El cambio a coordenadas modales nos resuelve el problema.
35
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Vibración forzada sin amortiguamiento
Desacoplamos las ecuaciones utilizando el cambio de coordenadas:
[y (t)] = [Φ][η(t)] ⇒
[M][Φ][η̈(t)] + [K ][Φ][η(t)] = [F (t)]
T
[Φ] [M][Φ][η̈(t)] + [Φ]T [K ][Φ][η(t)] = [Φ]T [F (t)]
[µ][η̈(t)] + [κ][η(t)] = [ϕ(t)]
dónde
[ϕ(t)] = [Φ]T [F (t)]
⇒ µk η̈k (t) + κk ηk (t) = ϕk (t),
k = 1, 2, . . . , N
Que representa la vibración de N sistemas de 1 gdl. La solución de cada
uno se puede calcular por los métodos estudiados en el tema anterior.
Finalmente deshacemos el cambio
y (t) = [Φ][η(t)] = [φ1 ]η1 (t) + [φ2 ]η2 (t) + · · · + [φN ]ηN (t)
Según la expresión anterior, podemos calcular la vibración del sistema
como la suma de la vibración de todos los modos (o sólo de los más
importantes).
36
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Amortiguamiento proporcional
Amortiguamiento proporcional
Actualmente no tenemos un método para calcular el amortiguamiento
que hay en una estructura compleja de N gdl (puentes, edificios,...)
Por analogía con lo estudiado para sistemas de 1 gdl podemos modelar el
amortiguamiento como amortiguamiento viscoso, es decir, proporcional a
la velocidad. Por tanto tendríamos
[M] [ÿ (t)] + [C ] [ẏ (t)] + [K ] [y (t)] = [F (t)]
|{z} | {z } |{z} | {z } |{z} | {z } | {z }
N×N N×1
N×N N×1
N×N N×1
N×1
Si hacemos el cambio a coordenadas modales
[y (t)] = [Φ][η(t)] ⇒
[M][Φ][η̈(t)] + [C ][Φ][η̇(t)] + [K ][Φ][η(t)] = [F (t)]
[Φ]T [M][Φ][η̈(t)] + [Φ]T [C ][Φ][η̇(t)] + [Φ]T [K ][Φ][η(t)] = [Φ]T [F (t)]
[µ][η̈(t)] + [Φ]T [C ][Φ][η̇(t)] + [κ][η(t)] = [ϕ(t)]
37
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Amortiguamiento proporcional
Para que la ecuación anterior consista en N ecuaciones desacopladas es
necesario que [Φ]T [C ][Φ] sea diagonal. Cuando esto ocurre se dice que
tenemos amortiguamiento proporcional


γ1 0 . . . 0
 0 γ2 . . . 0 

[γ] = [Φ]T [C ][Φ] = 
. . . . . . . . . . . . ⇒
0
0 . . . γN
[µ][η̈(t)] + [γ][η̇(t)] + [κ][η(t)] = [ϕ(t)]
µk η̈k (t) + γk η̇k (t) + κk ηk (t) = ϕk (t),
k = 1, . . . , N
La mayoría de las veces utilizamos amortiguamiento proporcional porque
las ecuaciones se desacoplan, no porque las estructuras se comportan así
(aunque los resultados obtenidos para amortiguamientos pequeños son
razonables).
38
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Amortiguamiento proporcional
◮
Una posibilidad es considerar una razón de amortiguamiento para
cada modo
γk
ζk = √
⇒
2 µk κ k
√
µk η̈k (t) + 2ζk µk κk η̇k (t) + κk ηk (t) = ϕk (t)
µk η̈k (t) + 2µk ζk ωnk η̇k (t) + κk ηk (t) = ϕk (t)
Si definimos una matriz diagonal con la razón de amortiguamiento
del modo k en la posicion (k, k)


ζ1
0 ... 0
 0 ζ2 . . . 0 

[ζ] = 
. . . . . . . . . . . . ⇒
0
0 . . . ζN
[γ] = [Φ]T [C ][Φ] = 2[µ][ζ][Ω]
[Ω] es la matriz con las frecuencias naturales en la diagonal, es decir,
la raiz cuadrada de la matriz de autovalores [Ω] = [D]1/2 .
Si queremos calcular cuanto vale [C ]
[C ] = [Φ]−T [γ][Φ]−1 = 2[Φ]−T [µ][ζ][Ω][Φ]−1
39
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Amortiguamiento proporcional
◮
Otra clase de amortiguamiento proporcional es el denominado
amortiguamiento de Rayleigh, que consiste en tomar
C = α[M] + β[K ]
⇒ [Φ]T [C ][Φ] = α[Φ]T [M][Φ] + β[Φ]T [K ][Φ]
= α[µ] + β[κ] = [γ]
⇒ γk = αµk + βκk , k = 1, . . . , N
γk
κk
2
=α+β
⇒ 2ζk ωnk = α + βωnk
µk
µk
Necesitamos el valor del amortiguamiento de dos modos para
calcular α y β.
2
2ζ1 ωn1 = α + βωn1
2
2ζ2 ωn2 = α + βωn2
2(ζ2 ωn2 − ζ1 ωn1 )
2
, α = 2ζ1 ωn1 − βωn1
2 − ω2
ωn2
n1
Con α y β conocido calculamos el resto de los amortiguamientos.
⇒β=
40
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Amortiguamiento proporcional
Ejemplo
Dado un sistema de 8 gdl definido
[M] es la matriz identidad;

2400 −1600
0
−1600 4000 −2400

 0
−2400 5600

 0
0
−3200
[K ] = 
 0
0
0

 0
0
0

 0
0
0
0
0
0
por las matrices

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 

−3200
0
0
0
0 

7200 −4000
0
0
0 
;
−4000 8800 −4800
0
0 

0
−4800 10400 −5600
0 

0
0
−5600 12000 −6400
0
0
0
−6400 13600
sabiendo que la razon de amortiguamiento del modo con menor
frecuencia es ζ1 = 0,02 y la razon de amortiguamiento del modo con
mayor frecuencia es ζ2 = 0,015, calcular la razon de amortiguamiento del
resto de modos y la matriz de amortiguamiento [C] considerando
amortiguamiento de Rayleigh.
41
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Amortiguamiento proporcional
Si calculamos los autovalores de M −1 K obtenemos
[D] = diag 342 1360 2921 4942 7496 10773 15067 21099 ;
y los autovectores

0,37 0,60
0,59
0,37
0,14
0,47 0,39 −0,19 −0,59 −0,46

0,48 0,03 −0,48 −0,02 0,57

0,43 −0,25 −0,26 0,44
0,01
[Φ] = 
0,35 −0,39 0,11
0,26 −0,46

0,26 −0,40 0,35 −0,16 −0,13

0,17 −0,30 0,37 −0,38 0,32
0,08 −0,16 0,22 −0,30 0,34

0,03
0,00
0,00
−0,17 0,03
0,00 

0,45 −0,13 −0,01

−0,60 0,36
0,06 

0,18 −0,61 −0,19

0,43
0,49
0,43 

−0,18 0,11 −0,67
−0,41 −0,48 0,57
Recordad que en matlab se hace mediante [Φ, D] = eig (K , M).
42
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Amortiguamiento proporcional
Como sabemos, las frecuencias naturales de vibración se calculan como la
raíz cuadrada de los autovalores:
[Ω] = sqrt([D]) =
= diag 18,48 36,88 54,05 70,30 86,58 103,79 122,75 145,26 rad/s
Por tanto tenemos que
ωn1 = 18,48 rad/s ⇒ ζ1 = 0,02
ωn2 = 145,26 rad/s ⇒ ζ2 = 0,015
de donde
β=
2(ζ2 ωn2 − ζ1 ωn1 )
= 1,7431 · 10−4
2 − ω2
ωn2
n1
2
α = 2ζ1 ωn1 − βωn1
= 0,6798
43
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Amortiguamiento proporcional
La matriz de amortiguamiento proporcional la podemos calcular
inmediatamente
[C ] = α[M] + β[K ] =


1,10 −0,28
0
0
0
0
0
0
−0,28 1,38 −0,42
0
0
0
0
0 


 0

−0,42
1,66
−0,56
0
0
0
0


 0

0
−0,56
1,93
−0,70
0
0
0


=

0
0
0
−0,70
2,21
−0,84
0
0


 0

0
0
0
−0,84
2,49
−0,98
0


 0
0
0
0
0
−0,98 2,78 −1,12
0
0
0
0
0
0
−1,12 3,05
y el resto de tasas de amortiguamientos se calculan sabiendo que
[γ] = [Φ]T [C ][Φ] = 2[µ][ζ][Ω] ⇒
[ζ] = diag 0,02 0,0124 0,0110 0,0110 0,0115 0,0123 0,0135 0,0150
44
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Amortiguamiento proporcional
Si representamos las frecuencias naturales de vibración junto con los
amortiguamientos de cada modo, obtenemos la siguiente curva
0.02
0.019
0.018
0.017
ζk
0.016
0.015
0.014
0.013
0.012
0.011
0.01
0
50
ωnk (rad/s)
100
150
45
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Método de superposición modal
Vibración forzada con amortiguamiento proporcional
Vibración forzada con amortiguamiento proporcional
Si consideramos amortiguamiento proporcional, podemos utilizar el
método de superposición modal para calcular la vibración de un sistema
de N gdl sometido a una fuerza dada, [F(t)]. La ecuación de equilibrio es
[M] [ÿ (t)] + [C ] [ẏ (t)] + [K ] [y (t)] = [F (t)]
|{z} | {z } |{z} | {z } |{z} | {z } | {z }
N×N N×1
N×N N×1
N×N N×1
N×1
Utilizando coordenadas modales
[y (t)] = [Φ][η(t)] ⇒
[M][Φ][η̈(t)] + [C ][Φ][η̇(t)] + [K ][Φ][η(t)] = [F (t)]
[Φ] [M][Φ][η̈(t)] + [Φ]T [C ][Φ][η̇(t)] + [Φ]T [K ][Φ][η(t)] = [Φ]T [F (t)]
T
[µ][η̈(t)] + [γ][η̇(t)] + [κ][η(t)] = [ϕ(t)]
Resolvemos N sistemas de 1 dgl con ecuación
µk η̈k (t) + γk η̇k (t) + κk ηk (t) = ϕk (t),
k = 1, . . . , N
y la solución del problema es la superposición de estos N modos
y (t) = [Φ][η(t)] = [φ1 ]η1 (t) + [φ2 ]η2 (t) + · · · + [φN ]ηN (t)
46
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Funciones de respuesta en frecuencia
Funciones de respuesta en frecuencia a partir de la ecuacion diferencial
FRF a partir de la ecuacion diferencial
Para resolver este problema vamos a utilizar de nuevo el sistema de 2 gdl.
La ecuación de equilibrio es
ÿ1 (t)
c1 + c2 −c2 ẏ1 (t)
m1 0
+
+
ẏ2 (t)
0 m2 ÿ2 (t)
−c2
c2
k1 + k2 −k2 y1 (t)
F1 (t)
+
=
y2 (t)
F2 (t)
−k2
k2
Para calcular la función de respuesta en frecuencia utilizamos fuerzas
armónicas, es decir
F (t)
F (ω)e iωt
[F (t)] = 1
= 1
F2 (t)
F2 (ω)e iωt
Por lo que la respuesta será también armónica
y1 (t)
Y1 (ω)e iωt
[y (t)] =
=
y2 (t)
Y2 (ω)e iωt
47
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Funciones de respuesta en frecuencia
Funciones de respuesta en frecuencia a partir de la ecuacion diferencial
Sustituyendo
2
−ω Y1 (ω)e iωt
m1 0
c1 + c2 −c2 iωY1 (ω)e iωt
+
+
c2
−c2
0 m2 −ω 2 Y2 (ω)e iωt
iωY2 (ω)e iωt
k1 + k2 −k2 Y1 (ω)e iωt
F1 (ω)e iωt
=
+
−k2
k2
F2 (ω)e iωt
Y2 (ω)e iωt
Y1 (ω)
F1 (ω)
−m1 ω 2 + i(c1 + c2 )ω + (k1 + k2 )
−ic2 ω − k2
=
F2 (ω)
−ic2 ω − k2
−m2 ω 2 + ic2 ω + k2 Y2 (ω)
Y1 (ω)
−m1 ω 2 + i(c1 + c2 )ω + (k1 + k2 )
⇒
=
Y2 (ω)
−ic2 ω − k2
−ic2 ω − k2
−m2 ω 2 + ic2 ω + k2
−1 F1 (ω)
F2 (ω)
Podemos definir una matriz de funciones de respuesta en frecuencia
Y1 (ω)
H11 (ω) H12 (ω) F1 (ω)
=
Y2 (ω)
H21 (ω) H22 (ω) F2 (ω)
donde Hij (ω) es la FRF que relaciona la respuesta en el gdl i cuando
actúa una fuerza en el gdl j.
48
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Funciones de respuesta en frecuencia
Funciones de respuesta en frecuencia a partir de la ecuacion diferencial
Para un sistema de N gdl
[M][ÿ (t)] + [C ][ẏ (t)] + [K ][y (t)] = [F (t)]
Si consideramos fuerzas armónicas
[F (t)] = [F (ω)]e iωt
tendremos desplazamientos armónicos
[y (t)] = [Y (ω)]e iωt
Sustituyendo
−ω 2 [M][Y (ω)] + iω[C ][Y (ω)] + [K ][Y (ω)] = [F (ω)]
[Y (ω)] = (−ω 2 [M] + iω[C ] + [K ])−1 [F (ω)]
[Y (ω)] = [H(ω)][F (ω)]
donde
[H(ω)] = (−ω 2 [M] + iω[C ] + [K ])−1
49
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Funciones de respuesta en frecuencia
Funciones de respuesta en frecuencia a partir de la ecuacion diferencial
Ejemplo
Calcular las funciones de respuesta en frecuencia para el ejemplo 1
tomando ζ1 = 0,034 y ζ2 = 0,066.
Primero tenemos que calcular la matriz [C]
77,54 −22,13
−T
−1
−T
−1
[C ] = [Φ] [γ][Φ] = 2[Φ] [µ][ζ][Ω][Φ] =
−22,13 22,17
Aplicando la fórmula se calcula H(ω):
−3
−2
10
10
−3
|H12(ω)|
|H11(ω)|
10
−4
10
−4
10
−5
10
−5
10
−6
0
10
20
ω (rad/s)
30
10
40
−2
0
10
20
ω (rad/s)
30
40
0
10
20
ω (rad/s)
30
40
−2
10
10
−3
10
−3
|H22(ω)|
|H21(ω)|
10
−4
10
−4
10
−5
10
−6
10
−5
0
10
20
ω (rad/s)
30
40
10
50
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Funciones de respuesta en frecuencia
Funciones de respuesta en frecuencia utilizando superposicion modal
FRF utilizando superposicion modal
Vamos a calcular ahora la FRF utilizando el método de superposición
modal. La ecuación de equilibrio es
ÿ1 (t)
m1 0
c + c2 −c2 ẏ1 (t)
+
+ 1
ẏ2 (t)
−c2
c2
0 m2 ÿ2 (t)
k + k2 −k2 y1 (t)
F (t)
+ 1
= 1
y2 (t)
F2 (t)
−k2
k2
Calculamos los autovectores de M −1 K
φ
[Φ] = 11
φ21
y cambiamos a coordenadas modales
γ
µ1 0 η̈1 (t)
+ 1
0
0 µ2 η̈2 (t)
κ
+ 1
0
φ12
φ22
η̇1 (t)
+
η̇2 (t)
0 η1 (t)
ϕ1 (t)
=
κ2 η2 (t)
ϕ2 (t)
0
γ2
51
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Funciones de respuesta en frecuencia
Funciones de respuesta en frecuencia utilizando superposicion modal
Cada ecuación desacoplada la podemos pasar fácilmente al dominio de la
frecuencia como hizimos con los sistemas de 1 gdl. En efecto, tenemos
ϕi (t) = ϕi (ω)e iωt ⇒ ηi (t) = ηi (ω)e iωt ⇒
0 −ω 2 η1 (ω)e iωt
γ1 0 iωη1 (ω)e iωt
+
+
µ2 −ω 2 η1 (ω)e iωt
0 γ2 iωη2 (ω)e iωt
ϕ1 (ω)e iωt
κ
0 η1 (ω)e iωt
=
+ 1
0 κ2 η1 (ω)e iωt
ϕ2 (ω)e iωt
µ1
0
Agrupando términos
κ1 − µ1 ω 2 + iωγ1
0
0
κ2 − µ2 ω 2 + iωγ2
ϕ1 (ω)
η1 (ω)
=
ϕ2 (ω)
η2 (ω)
y despejando
κ1 − µ1 ω 2 + iωγ1
η1 (ω)
=
0
η2 (ω)
0
κ2 − µ2 ω 2 + iωγ2
Como la matriz es diagonal es fácilmente invertible
"
1
η1 (ω)
2
= κ1 −µ1 ω +i ωγ1
0
η2 (ω)
0
1
κ2 −µ2 ω 2 +i ωγ2
#
−1 ϕ1 (ω)
ϕ2 (ω)
ϕ1 (ω)
ϕ2 (ω)
52
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Funciones de respuesta en frecuencia
Funciones de respuesta en frecuencia utilizando superposicion modal
Por último, deshacemos el cambio teniendo en cuenta que
[y (t)] = [Φ][η(t)] ⇒ [Y (ω)] = [Φ][η(ω)]
Sustituimos
[ϕ(t)] = [Φ]T [F (t)] ⇒ [ϕ(ω)] = [Φ]T [F (ω)]
φ11
Y1 (ω)
=
Y2 (ω)
φ21
Y1 (ω)
=
Y2 (ω)
"
=
φ12
φ22
φ11 φ11
κ1 −µ1 ω 2 +iωγ1
φ21 φ11
κ1 −µ1 ω 2 +iωγ1
+
+
"
1
κ1 −µ1 ω 2 +i ωγ1
0
φ12 φ12
κ2 −µ2 ω 2 +iωγ2
φ12 φ22
κ2 −µ2 ω 2 +iωγ2
Es decir
Ys (ω) =
2
X
r =1
0
1
κ2 −µ2 ω 2 +i ωγ2
φ11 φ21
κ1 −µ1 ω 2 +iωγ1
φ21 φ21
κ1 −µ1 ω 2 +iωγ1
φsr φtr
κr − µr ω 2 + iγr ω
#
+
+
!
φ11
φ21
φ12
φ22
T F1 (ω)
F2 (ω)
φ12 φ22
κ2 −µ2 ω 2 +iωγ2
φ22 φ22
κ2 −µ2 ω 2 +iωγ2
#
F1 (ω)
F2 (ω)
Ft (ω)
53
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Funciones de respuesta en frecuencia
Funciones de respuesta en frecuencia utilizando superposicion modal
Generalizando para sistemas de N gdl
Ys (ω) =
N
X
r =1
φsr φtr
κr − µr ω 2 + iγr ω
!
Ft (ω)
Como vemos, la función de respuesta en frecuencia de un sistema de N
gdl se obtiene como la suma de la función de respuesta en frecuencia de
N sistemas de 1 gdl con frecuencias naturales de vibración igual a los
autovalores de M y K.
Esto quiere decir que las FRF tienen N "picos", y cada pico coincide con
la frecuencia natural de cada modo.
54
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Funciones de respuesta en frecuencia
Funciones de respuesta en frecuencia utilizando superposicion modal
Ejemplo
Calcular las funciones de respuesta en frecuencia para el ejemplo 1
tomando ζ1 = 0,034 y ζ2 = 0,066 y utilizando superposición modal.
−3
−2
10
10
−3
10
−4
|H12(ω)|
|H11(ω)|
10
−5
10
−4
10
−5
10
−6
10
−6
0
10
20
ω (rad/s)
30
10
40
−2
0
10
20
ω (rad/s)
30
40
0
10
20
ω (rad/s)
30
40
−2
10
10
−3
10
−3
|H22(ω)|
|H21(ω)|
10
−4
10
−4
10
−5
10
−6
10
−5
0
10
20
ω (rad/s)
30
40
10
En azul se representa la FRF de cada modo, y en rojo, la FRF total.
55
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador de N gdl a cargas aleatorias
Usando funciones de respuesta en frecuencia
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador de N gdl a
cargas aleatorias usando FRF
En este apartado vamos a calcular la respuesta de un sistema
masa-muelle-amortiguador de N gdl cuando la carga que excita el sistema
es un proceso estocástico (carga aleatoria).
Sólo vamos a estudiar la respuesta en el dominio de la frecuencia. Para
ello tenemos que
[Y (ω)] = [H(ω)][F (ω)]
Y1 (ω)
H11 (ω) H12 (ω) F1 (ω)
=
Y2 (ω)
H21 (ω) H22 (ω) F2 (ω)
Tomando la transpuesta conjugada
[Y ∗ (ω)]T = [F ∗ (ω)]T [H ∗ (ω)]T
y multiplicando
[Y (ω)][Y ∗ (ω)]T = [H(ω)][F (ω)][F ∗ (ω)]T [H ∗ (ω)]T
56
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador de N gdl a cargas aleatorias
Usando funciones de respuesta en frecuencia
Tomando esperanzas
E [Y (ω)][Y ∗ (ω)]T = [H(ω)]E [F (ω)][F ∗ (ω)]T [H ∗ (ω)]T
La esperanza esta aplicada a todos
E [y1 (ω)y1∗ (ω)]
E [y2 (ω)y1∗ (ω)]
E [F1 (ω)F1∗ (ω)]
[H(ω)]
E [F2 (ω)F1∗ (ω)]
y multiplicando por
[H(ω)]
los elementos de la matriz
E [y1 (ω)y2∗ (ω)]
=
E [y2 (ω)y2∗ (ω)]
E [F1 (ω)F2∗ (ω)]
[H ∗ (ω)]T
E [F2 (ω)F2∗ (ω)]
1
2πT
1
2
2πT E |y1 (ω)|
1
∗
2πT E [y2 (ω)y1 (ω)]
1
1
2πT E |F1 (ω)|
1
∗
2πT E [F2 (ω)F1 (ω)]
1
∗
2πT E [y1 (ω)y2 (ω)]
1
2
2πT E |y2 (ω)|
=
[H ∗ (ω)]T
1
∗
2πT E [F1 (ω)F2 (ω)]
1
2
2πT E |F2 (ω)|
57
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador de N gdl a cargas aleatorias
Usando funciones de respuesta en frecuencia
SY1 (ω) SY1 Y2 (ω)
SF1 (ω)
= [H(ω)]
SY2 Y1 (ω) SY2 (ω)
SF2 F1 (ω)
SF1 F2 (ω)
[H ∗ (ω)]T
SF2 (ω)
Por tanto
[SY (ω)] = [H(ω)][SF (ω)][H ∗ (ω)]T
donde los términos de la diagonal son densidades espectrales de cada gdl
y los términos fuera de la diagonal son densidades espectrales cruzadas.
Si estamos trabajando con valores discretos
[SY (ωn )] = [H(ωn )][SF (ωn )][H ∗ (ωn )]T
donde
∆t
∆t
∗
E |Yj,n |2 =
E Yj,n Yj,n
2πN
2πN
∆t
∗
SYj Yk (ωn ) =
E Yj,n Yk,n
2πN
SYj (ωn ) =
58
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador de N gdl a cargas aleatorias
Usando funciones de respuesta en frecuencia
Igual que en el caso unidimensional, podemos calcular la varianza del
desplazamiento de cada gdl
Z ∞
2
SY1 (ω)dω
E (Y1 (t)) =
−∞
E (Y22 (t)) =
Z
∞
SY2 (ω)dω
−∞
Cuando la media del proceso estocástico es cero, σY2 1 = E (Y12 (t)) y
σY2 2 = E (Y22 (t)).
Por otro lado, la covarianza de Yj (t)Yk (t) para un retardo τ = 0 es igual
a
Z ∞
σYj Yk (0) =
SYj Yk (ω)dω
−∞
59
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador de N gdl a cargas aleatorias
Usando superposición modal
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador de N gdl a
cargas aleatorias usando superposición modal
Utilizando superposición modal
y1 (t)
φ
= 11
y2 (t)
φ21
[y (t)] = [Φ][η(t)]
φ12 η1 (t)
φ η (t) + φ12 η2 (t)
= 11 1
φ21 η1 (t) + φ22 η2 (t)
φ22 η2 (t)
Por tanto, podemos tomar esperanzas y varianzas en la fórmula anterior
E (y1 (t))
φ11 E (η1 (t)) + φ12 E (η2 (t))
=
E (y2 (t))
φ21 E (η1 (t)) + φ22 E (η2 (t))
2
var (y1 (t))
φ11 var (η1 (t)) + φ212 var (η2 (t)) + 2φ11 φ12 cov (η1 (t), η2 (t))
= 2
var (y2 (t))
φ21 var (η1 (t)) + φ222 var (η2 (t)) + 2φ21 φ22 cov (η1 (t), η2 (t))
60
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador de N gdl a cargas aleatorias
Usando superposición modal
Si consideramos que η1 (t) y η2 (t) no están correlacionadas
2
var (y1 (t))
φ11 var (η1 (t)) + φ212 var (η2 (t))
= 2
var (y2 (t))
φ21 var (η1 (t)) + φ222 var (η2 (t))
Además, utilizando la teoría de sistemas de 1 gdl
Z ∞
var (ηk (t)) =
Sηk (ω)dω
−∞
donde
Sηk (ω) = |Hk (ω)|2 Sϕk (ω)
Por otra parte
[ϕ(t)] = [Φ]T [F (t)]
φ11 F1 (t) + φ21 F2 (t)
ϕ1 (t)
φ11 φ21 F1 (t)
=
=
φ12 φ22 F2 (t)
φ12 F1 (t) + φ22 F2 (t)
ϕ2 (t)
Por último, hay que tener en cuenta que
Z (t) = aX (t)+bY (t) ⇒ SZ (ω) = a2 SX (ω)+abSXY (ω)+abSYX (ω)+b 2 SY (ω)
SYX (ω) es la función de densidad espectral cruzada
SYX (ω) = cte · E (X (t)Y ∗ (t))
61
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador de N gdl a cargas aleatorias
Usando superposición modal
Ejemplo
Sea el sistema de 2 gdl del ejemplo 1 sometido a una aceleración en la
base tipo ruido blanco con G0 = 0,0742m2 /s 4 /Hz. Calcular el RMS del
desplazamiento de ambos gdl.
Utilizar los valores de masas, rigideces y amortiguamientos indicados en
los apartados anteriores.
62
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador de N gdl a cargas aleatorias
Usando superposición modal
Sea yk (t) = ymk (t) − yB (t) el desplazamiento relativo entre la masa k y
la base. Las ecuaciones de equilibrio son
m1 ÿ1 (t) + (c1 + c2 )ẏ1 (t) + (k1 + k2 )y1 (t) − c2 ẏ2 (t) − k2 y2 (t) = −m1 ÿB (t)
m2 ÿ2 (t) − c2 ẏ1 (t) − k2 y1 (t) + c2 ẏ2 (t) + k2 y2 (t) = −m2 ÿB (t)
m1
0
0
m2
c1 + c2
ÿ1 (t)
+
ÿ2 (t)
−c2
−c2
c2
k1 + k2
ẏ1 (t)
+
ẏ2 (t)
−k2
−k2
k2
−m1 ÿB (t)
y1 (t)
=
−m2 ÿB (t)
y2 (t)
Las matrices [M], [C] y [K] ya se han calculado antes
12250 −3500
35
0
[K ] =
, [M] =
−3500 3500
0 17,5
77,54 −22,13
[C ] =
−22,13 22,17
63
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador de N gdl a cargas aleatorias
Usando superposición modal
Usando la FRF
Tenemos que
[SY (ω)] = [H(ω)][SF (ω)][H ∗ (ω)]T
donde
[H(ω)] = (−ω 2 [M] + iω[C ] + [K ])−1
Por tanto tenemos que calcular [SF (ω)]. Para ello
−m1 ÿB (t)
−35ÿB (t)
−35ÿB (ω)
[F (t)] =
=
⇒ [F (ω)] =
−m2 ÿB (t)
−17,5ÿB (t)
−17,5ÿB (ω)
2
35 ÿB (ω)ÿB∗ (ω) 17,5ÿB (ω)ÿB∗ (ω)
[F (ω)][F ∗ (ω)]T =
17,5ÿB (ω)ÿB∗ (ω) 17,52 ÿB (ω)ÿB∗ (ω)
Tomando esperanzas
352 E |ÿB (ω)|2 17,5 · 35E |ÿB (ω)|2
E [F (ω)][F (ω)] =
17,5 · 35E |ÿB (ω)|2
17,52 E |ÿB (ω)|2
352 SÿB (ω)
17,5SÿB (ω)
⇒ [SF (ω)] =
17,5 · 35SÿB (ω) 17,52 SÿB (ω)
∗
T
64
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador de N gdl a cargas aleatorias
Usando superposición modal
Por tanto
[SF (ω)] =
352 (G0 /2π)
17,5 · 35(G0 /2π)
17,5 · 35(G0 /2π)
17,52 (G0 /2π)
Sustituyendo calculamos [SY (ω)]
[SY (ω)] = [H(ω)][SF (ω)][H ∗ (ω)]T
Las varianzas se calculan utilizando, por ejemplo, el método del trapecio
para la integración numérica
Z ∞
SY1 (ω)dω = 77,28 · 10−6 ⇒ RMS(y1 (t)) = 8,8mm
E (y12 (t)) =
−∞
E (y22 (t)) =
Z
∞
−∞
SY1 (ω)dω = 409,65 · 10−6 ⇒ RMS(y2 (t)) = 20,2mm
65
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador de N gdl a cargas aleatorias
Usando superposición modal
−4
−2
10
10
−4
10
−6
(ω)
−6
10
SY
1
Y
SY (ω)
1 2
10
−8
10
−8
10
−10
10
−10
0
10
20
ω (rad/s)
30
10
40
−2
−4
40
0
10
20
ω (rad/s)
30
40
−4
SY (ω)
−6
10
2
(ω)
30
10
SY
Y
20
ω (rad/s)
10
10
2 1
10
−2
10
−8
−6
10
−8
10
10
−10
10
0
−10
0
10
20
ω (rad/s)
30
40
10
Figura: Funciones de densidad espectral
66
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador de N gdl a cargas aleatorias
Usando superposición modal
Usando superposición modal
1
1
Los autovectores de [M] y [K] son [Φ] =
2,35 −0,85
Por tanto, la fuerza modal se calcula
ϕ1 (t)
1 2,35
−35ÿB (t)
−76,1ÿB (t)
T
[ϕ(t)] = [Φ] [F (t)] ⇒
=
=
ϕ2 (t)
1 −0,85 −17,5ÿB (t)
−20,1ÿB (t)
Las ecuaciones desacopladas son de la forma
µk η̈k (t) + 2ζk µk ωk η̇k (t) + κk η(t) = αk ÿB (t),
α1 = −76,1, α2 = −20,1
con función de respuesta en frecuencia
αk
⇒ ηk (ω) = Hk (ω)ÿB (ω)
Hk (ω) =
κk − µk ω 2 + i2ζk µk ωk
Por tanto
Z ∞
Z ∞
Z
G0 ∞
|Hk (ω)|2 SÿB (ω)dω =
Sηk (ω)dω =
ση2k =
|Hk (ω)|2 dω
2 −∞
−∞
−∞
⇒ ση2k =
(αk /µk )2 G0
3
1984ζk fnk
67
Vibraciones aleatorias en sistemas con N grados de libertad
Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador de N gdl a cargas aleatorias
Usando superposición modal
Sustituyendo
ση21 =
(76,1/131,6)2 (0,0742)
= 74,06 · 10−6
1984(0,034)(10,72/2π))3
(20,1/47,6)2 (0,0742)
= 2,76 · 10−6
1984(0,066)(20,86/2π))3
Pero estamos buscando la varianza de y1 (t), y2 (t), no la de η1 (t), η2 (t)
y1 (t)
φ
φ12 η1 (t)
φ η (t) + φ12 η2 (t)
= 11
= 11 1
⇒
y2 (t)
φ21 η1 (t) + φ22 η2 (t)
φ21 φ22 η2 (t)
2
var (y1 (t))
φ11 var (η1 (t)) + φ212 var (η2 (t)) + 2φ11 φ12 cov (η1 (t), η2 (t))
= 2
var (y2 (t))
φ21 var (η1 (t)) + φ222 var (η2 (t)) + 2φ21 φ22 cov (η1 (t), η2 (t))
ση22 =
Si asumimos que η1 y η2 son independientes (⇒ cov (η1 (t), η2 (t)) = 0)
σy21 = φ211 ση21 +φ212 ση22 = 12 ·74,06·10−6 +12 ·2,76·10−6 = 76,82·10−6 m2
σy22 = φ221 ση21 +φ222 ση22 = 2,352 ·74,06·10−6 +0,852 ·2,76·10−6 = 410,99·10−6 m2
Finalmente
RMS(y1 (t)) = σy1 = 8,76 mm
RMS(y2 (t)) = σy2 = 20,27 mm
68