Valores esperados de las componentes del momento angular

b 2 y de L
b z ; es decir,
Encontrar el valor esperado de las componentes del momento angular en los estados propios de L
!
b jlmi.
encontrar hlmj L
Solución:
b z . Tenemos
Calcularemos primeramente el valor esperado de L
b
hlmj Lz jlmi = hlmj m} jlmi
b z jlmi = m} jlmi. Como m} es un número, lo podemos sacar el promedio, quedando
dado que L
b z jlmi = m}hlm jlmi
hlmj L
y por último, como las funciones jlmi son ortonormales, se cumple que
hlm jlmi = 1
así que
b z jlmi = m}
hlmj L
b x jlmi utilizamos que
Para encontrar hlmj L
1
b+ + L
b
bx =
L
L
2
donde
p
b + jlmi = (l m) (l + m + 1)} jl; m + 1i
L
y
p
b jlmi = (l + m) (l m + 1)} jl; m 1i
L
así que
b x jlmi = hlmj 1 L
b + jlmi + 1 hlmj L
b jlmi =
b+ + L
b jlmi = 1 hlmj L
hlmj L
2
2
2
p
p
1
1
=
(l m) (l + m + 1)} hlmj jl; m + 1i +
(l + m) (l m + 1)} hlmj jl; m
2
2
pero como las funciones jlmi son ortonormales, tenemos
hlmj jl; m + 1i = 0
y
hlmj jl; m 1i = 0
y …nalmente
b x jlmi = 0
hlmj L
b y se procede igual, usando que
En el caso de L
1
by =
b+ L
b
L
L
2i
así que
1
b+ L
b jlmi = 1 hlmj L
b y jlmi = hlmj 1 L
b + jlmi
b jlmi =
hlmj L
hlmj L
2i
2i
2i
1p
1p
(l m) (l + m + 1)} hlmj jl; m + 1i
(l + m) (l m + 1)} hlmj jl; m
=
2i
2i
=0+0=0
y resumiendo
b y jlmi = 0
hlmj L
Tenemos entonces que
!
b jlmi = (0; 0; m})
hlmj L
1
1i
1i =