PARTE II APLICACIÓN DEL SUPUESTO DE GENERACIONES

Tema 5 Optimización dinámica: el
modelo de Ramsey-CassKoopmans
5.1 La teoría del control óptimo.
5.2 Diferentes escenarios: mercado, familias
productoras, planificador.
5.3 La dinámica de transición.
5.4 Convergencia entre países
Bibliografía: Sala i Martin 3 y apéndice matem.
Crecimiento Económico
Segundo ciclo de la Licenciatura de Economía
Prof. Julio López Díaz
5.1 La teoría del Control Óptimo
Supuestos
Consumo y ahorro: resultado de un comportamiento óptimo.
Problema estándar
El agente económico quiere controlar una serie de variables: variables de
control.
El agente económico quiere maximizar una función objetivo (de utilidad,
beneficio, etc.) sujeto a determinadas restricciones.
Las restricciones son dinámicas, y explican la evolución de las variables
de estado, las cuales describen el estado de la economía.
Ejemplo:
T
max V (0) = ∫ u (ct , k t , t )dt
0
[1]
sujeto a:
kt = f (k t , c t , t )
[2]
k0
[3]
kT e
V(0)
dada
− rT
≥0
[4]
función objetivo
Es la suma (o integral) de las funciones objetivo instantáneas u(.),
las cuales dependen a su vez de las variables de control, de
estado, y del tiempo.
0
momento inicial
T
momento final (finito o infinito)
kt
variable de estado
ct
variable de control
[2]
ecuación de transición o de movimiento
Representa como la variable de control afecta la evolución de la
variable de estado.
[3]
condición inicial
Expresa que la variable de estado tiene un valor inicial dado,
consecuencia de decisiones pasadas.
[4]
condición terminal
T finito:
kT no negativo.
T infinito:
Evita esquemas de Ponzi
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5.2
Diferentes
escenarios:
mercado,
familias
productoras,
planificador.
A. EL MODELO DE MERCADO
Supuestos de comportamiento
Familias:
Determinan óptimamente consumo y ahorro.
Propietarias factores productivos y de activos financieros
Empresas:
Alquilan trabajo y capital
Venden su producto.
3 mercados:
Capital, trabajo y producto
Familias
Preferencias
∞
U (0) = ∫ e
−ρ t
0
∞
=∫ e
u (ct ) Lt dt = ∫ e
0
−( ρ − n ) t
0
∞
−ρ t
ct1−θ − 1
Lt dt
1−θ
ct1−θ − 1
dt
1−θ
[5]
Suma descontada de funciones instantáneas de utilidad.
Horizonte temporal: infinito.
Tasa de descuento: egoísmo paterno.
Concavidad función instantánea de utilidad.
Restricción presupuestaria
Poseen activos financieros Bt
→ Prestan, r B ingresos
→ Piden prestado, r B pagos
Poseen trabajo Lt
→ Reciben salario w L
Destino renta total
→ Consumir o adquirir más activos.
bt = wt + rt bt − ct − nbt
[6]
Comportamiento familias
Maximizar [1] s. a. [2]
Hamiltoniano
H =e
−( ρ − n ) t
ct1−θ − 1
+ λt ( wt + (rt − n)bt − ct )
1−θ
2
[7]
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λ:
Precio implícito de los activos financieros.
Condiciones de primer orden
Hc = 0 
→ e − ( ρ −n ) t ct−θ = λt
[8]
→ λt (rt − n) = −λCt
H b = −λCt 
[9]
Condición de transversalidad
lim λt bt = 0
t →∞
Interpretación:
[10]
Un comportamiento óptimo no permite dejar, al
final, nada de valor.
Tasa crecimiento del consumo
[4] y [5] → γ c ≡
cDt
1
= (rt − ρ )
ct θ
[11]
Ecuación de Euler.
Interpretación. Valor mg consumo = Valor mg. inversión
θ
ct
+ ρ = rt
ct
[12]
Empresas
Alquilan trabajo al salario w y capital a la tasa R.
Nota: Se cumple la paridad de rentabilidades R - δ = r
Venden su producto a precio 1.
Son competitivas.
Utilizan tecnología neoclásica: función de producción F(K,L) con:
-
Rendimientos constantes de escala.
-
Rendimientos factoriales decrecientes.
-
Condiciones de Inada.
Objetivo: maximización de los beneficios
Π = F ( K t , Lt ) − (rt + δ ) K t − wt Lt
-
En términos per capita
π = f (kt ) − (rt + δ )kt − wt
-
[13]
Condiciones maximización del beneficio:
3
[14]
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f ' (kt ) = (rt + δ )
wt = f (kt ) − f ' (kt )kt
[15]
[16]
Equilibrio
Existe equilibrio en los mercados de trabajo, capital y producto.
También en el mercado financiero.
-
No existe ni sector público ni sector exterior.
-
Lo que los individuos prestan y piden prestado debe coincidir.
-
El tipo de interés se ajusta hasta que b = k.
Si b = k, a partir de [2], [11] y [12]:
kDt = f (k t ) − ct − (n + δ )k t
Sustituyendo en las FOC y en la condición de transversalidad, se obtiene:
γc ≡
cCt
1
= ( f ' (kt ) − (δ + ρ ))
ct θ
[18]
lim λt kt = 0
[19]
yt = f (kt ) = Aktα
[20]
1
(αAktα −1 − (δ + ρ ))
θ
[21]
kt = Ak tα − ct − (n + δ )k t
[22]
t →∞
[17]
Función Cobb-Douglas:
γc =
Estado estacionario
El modelo queda determinado por:
ct 1
= (αAktα −1 − (δ + ρ ))
ct θ
kt = Ak tα − ct − (n + δ )k t
lim λt kt = 0
t →∞
En estado estacionario, las tasas de crecimiento de las variables per
capita son cero.
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γ c* = γ k* = 0
[23]
En este caso, los valores del capital y del consumo son:
1 /(1−α )
 αA 

k = 
(
δ
ρ
)
+


*
[24]
α
c * = Ak * − (n + δ )k *
[25]
B. EL MODELO DE FAMILIAS-PRODUCTORAS (ROBINSON CRUSOE)
Supuestos
Familias:
Determinan óptimamente consumo y ahorro.
Se dedican a la producción de bienes.
Economía Cerrada (ahorro e inversión coinciden)
Ahorro es igual a producción menos consumo
La inversión bruta es igual a la inversión neta más la depreciación
Comportamiento
Preferencias
∞
U (0) = ∫ e
−( ρ − n ) t
0
ct1−θ − 1
dt
1−θ
[26]
Restricción presupuestaria
kt = f (k t ) − ct − (δ + n)k t
[27]
Hamiltoniano
H =e
−( ρ − n ) t
ct1−θ − 1
+ λt ( f (kt ) − ct − (δ + n)kt )
1−θ
Condiciones de primer orden
Hc = 0 
→ e − ( ρ −n ) t ct−θ = λt
[29]
H b = −λCt 
→ λt ( f ' (kt ) − δ − n) = −λCt
[30]
Condición de transversalidad
lim λt k t = 0
t →∞
[28]
Tasa crecimiento del consumo
5
[31]
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γc ≡
ct
1
= ( f ' (k t ) − δ − ρ )
ct θ
[32]
Esta condición, junto con [27] y la condición de transversalidad [31], determinan la
dinámica del capital y del consumo del modelo.
Estas tres condiciones son idénticas a las del escenario de mercado.
C, EL ESCENARIO DEL PLANIFICADOR
¿Qué es el planificador?
Es un “mecanismo” que para una economía adopta siempre las decisiones
correctas.
¿Para qué sirve?
Para definir lo óptimo y bueno, y poder comparar así si los mercados adoptan la
decisión óptima, o no.
Propiedades
Tendrá el mismo objetivo que los individuos (maximiza la misma función de utilidad).
Tendrá como única restricción la restricción física que dice que todo el producto
utilizado (para consumo, inversión, etc.) debe ser producido por la propia economía.
Tendrá en cuenta todos los mecanismos, todas las externalidades y toda la
información que existe en la economía a la hora de tomar sus decisiones.
Solución
Coincide con la del escenario de familias productoras.
Cuestiones
5.2.1 Demuestra que la solución del planificador coincide con la solución de las
familias productoras. Justifica el porqué.
5.2.2 Determina la expresión de la tasa de crecimiento del consumo bajo los tres
escenarios existentes suponiendo que la función instantánea de utilidad es de
la forma Ln ct , y al función de producción adopta la siguiente especificación:
Yt = AK tα Lβt
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5.3 Dinámica de transición y la forma de la trayectoria estable
La dinámica de transición puede analizarse mediante un diagrama de fases.
Pasos para la construcción de un diagrama de fases
Construcción de la curva de valores de c y k para los cuales el aumento de
capital es cero, en un gráfico que relaciona capital y consumo.
Análisis dinámica del capital asociado a:
kt = Ak tα − ct − (n + δ )k t
Construcción de la curva de valores de c y k para los cuales el aumento del
consumo es cero, en un gráfico que relaciona capital y consumo.
Análisis dinámica del consumo asociado a:
ct = ct
1
(αAk tα −1 − (δ + ρ ))
θ
Análisis de los tres estados estacionarios, con tres estabilidades:
-
Inestable.
-
Estable.
-
Punto de silla.
Análisis de la dinámica de transición
Existen cuatro regiones diferentes, cada una con su dinámica propia.
Influencia de θ.
5.4 Convergencia entre países
Al igual que el modelo de Solow y Swan, el modelo de Cass y Koopmans predice
convergencia absoluta –o condicional- entre los países.
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