Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado

130
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Problemas para analizar
37. Sea n 1, 2, 3, . . . . Analice cómo pueden utilizarse las
observaciones Dnxnl 0 y Dnxn n! para encontrar soluciones generales de las ecuaciones diferenciales dadas.
a) y 0
b) y 0
c) y (4) 0
d) y 2
e) y 6
f) y (4) 24
38. Suponga que y1 ex y y2 ex son dos soluciones de una
ecuación diferencial lineal homogénea. Explique por qué
y3 cosh x y y4 senh x son también soluciones de la
ecuación.
39. a) Compruebe que y1 x3 y y2 兩x兩3 son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial
x2y 4xy 6y 0 en el intervalo (, ).
b) Demuestre que W(y1, y2) 0 para todo número real x.
¿Este resultado viola el teorema 4.1.3? Explique.
c) Compruebe que Y1 x3 y Y2 x2 son también soluciones linealmente independientes de la ecuación
diferencial del inciso a) en el intervalo (, ).
d) Determine una solución de la ecuación diferencial
que satisfaga y(0) 0, y(0) 0.
4.2
e) Por el principio de superposición, teorema 4.1.2,
ambas combinaciones lineales y c1y1 c2y2 y Y c1Y1 c2Y2 son soluciones de la ecuación diferencial.
Analice si una, ambas o ninguna de las combinaciones lineales es una solución general de la ecuación
diferencial en el intervalo (, ).
40. ¿El conjunto de funciones f1(x) ex 2, f2(x) ex 3 es
linealmente dependiente o independiente en (, )?
Explique.
41. Suponga que yl, y2, . . . , yk son k soluciones linealmente
independientes en (, ) de una ecuación diferencial
lineal homogénea de n-ésimo orden con coeficientes
constantes. Por el teorema 4.1.2 se tiene que yk1 0 es
también una solución de la ecuación diferencial. ¿Es el
conjunto de soluciones yl, y2, . . . , yk, yk1 linealmente
dependiente o independiente en (,)? Explique.
42. Suponga que yl, y2, . . . , yk son k soluciones no triviales
de una ecuación diferencial lineal homogénea de n-ésimo
orden con coeficientes constantes y que k n 1. ¿Es el
conjunto de soluciones yl, y2, . . . , yk linealmente dependiente o independiente en (, )? Explique.
REDUCCIÓN DE ORDEN
REPASO DE MATERIAL
● Sección 2.5 (utilizando una sustitución).
● Sección 4.1.
INTRODUCCIÓN En la sección anterior vimos que la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden
a2(x)y
a1(x)y
a0 (x)y 0
(1)
es una combinación lineal y c1y1 c2y2, donde y1 y y2 son soluciones que constituyen un conjunto linealmente independiente en cierto intervalo I. Al comienzo de la siguiente sección se analiza
un método para determinar estas soluciones cuando los coeficientes de la ED en (1) son constantes.
Este método, que es un ejercicio directo en álgebra, falla en algunos casos y sólo produce una solución simple y1 de la ED. En estos casos se puede construir una segunda solución y2 de una ecuación
homogénea (1) (aun cuando los coeficientes en (1) son variables) siempre que se conozca una solución
no trivial y1 de la ED. La idea básica que se describe en esta sección es que la ecuación (1) se puede
reducir a una ED lineal de primer orden por medio de una sustitución en la que interviene la solución
conocida y1. Una segunda solución y2 de (1) es evidente después de resolver la ED de primer orden.
REDUCCIÓN DE ORDEN Suponga que y1 denota una solución no trivial de (1) y que
y1 se define en un intervalo I. Se busca una segunda solución y2 tal que y1 y y2 sean un conjunto linealmente independiente en I. Recuerde de la sección 4.1 que si y1 y y2 son linealmente independientes, entonces su cociente y2兾y1 no es constante en I, es decir, y2(x)兾 y1(x)
u(x) o y2 (x) u(x)y1(x). La función u(x) se determina al sustituir y2(x) u(x)y1(x) en
la ecuación diferencial dada. Este método se llama reducción de orden porque debemos
resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden para encontrar a u.
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4.2
EJEMPLO 1
REDUCCIÓN DE ORDEN
131
●
Una segunda solución por reducción de orden
Dado que y1 ex es una solución de y y 0 en el intervalo (, ), use reducción
de orden para determinar una segunda solución y2.
SOLUCIÓN
Si y u(x)y1(x) u(x)ex, entonces aplicando la regla del producto se
obtiene
y
u ex
exu , y
y
por tanto
u ex
ex (u
y
2ex u
2u )
ex u ,
0.
Puesto que ex 0, la última ecuación requiere que u 2u 0. Si se hace la sustitución
w u, esta ecuación lineal de segundo orden en u se convierte en w 2w 0, que
es una ecuación lineal de primer orden en w. Si se usa el factor integrante e2x, se puede
d 2x
escribir
[e w] 0 . Después de integrar, se obtiene w c1e2x o u cle2x. Al
dx
1
2x
integrar de nuevo se obtiene u
c2. Así
2 c1 e
c1
e
2
u(x)ex
y
x
c2 e x .
(2)
Haciendo c2 0 y c1 2, se obtiene la segunda solución deseada, y2 ex. Puesto que
W(ex, ex) 0 para toda x, las soluciones son linealmente independientes en (, ).
Puesto que se ha demostrado que y1 ex y y2 ex son soluciones linealmente
independientes de una ecuación lineal de segundo orden, la expresión en (2) es en
realidad la solución general de y y 0 en (, ).
CASO GENERAL Suponga que se divide entre a2(x) para escribir la ecuación (1) en
la forma estándar
y
P(x)y
Q(x)y
(3)
0,
donde P(x) y Q(x) son continuas en algún intervalo I. Supongamos además que y1(x)
es una solución conocida de (3) en I y que y1(x) 0 para toda x en el intervalo. Si se
define y u(x)y1(x), se tiene que
y
uy 1 y1u , y
uy 1 2y 1u
y1u
y Py Qy u[y1 Py1 Qy1] y1u (2y1 Py1)u 0.
cero
Esto implica que se debe tener
y1u
(2y 1
Py1)u
o
0
y1w
(2y 1
Py1)w
0,
(4)
donde hacemos que w u. Observe que la última ecuación en (4) es tanto lineal como
separable. Separando las variables e integrando, se obtiene
dw
w
ln wy21
2
P dx
y1
dx
y1
P dx
c
o
0
wy21
c1e
P dx
.
Despejamos a w de la última ecuación, usamos w u e integrando nuevamente:
u
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c1
e
P dx
y21
dx
c2.
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132
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Eligiendo c1 1 y c2 0, se encuentra de y u(x)y1(x) que una segunda solución de
la ecuación (3) es
e P(x) d x
y2 y1(x)
dx.
(5)
y21(x)
Un buen ejercicio de derivación es comprobar que la función y2(x) que se define en (5)
satisface la ecuación (3) y que y1 y y2 son linealmente independientes en algún intervalo en el que y1(x) no es cero.
EJEMPLO 2
Una segunda solución por la fórmula (5)
La función y1 x2 es una solución de x2y 3xy 4y 0. Encuentre la solución
general de la ecuación diferencial en el intervalo (0, ).
SOLUCIÓN De la forma estándar de la ecuación,
encontramos de (5)
y
3
y
x
y2
x2
x2
4
y
x2
e3
0,
d x /x
x4
dx
x
dx
; e3
d x /x
eln x
3
x3
x 2 ln x.
La solución general en el intervalo (0, ) está dada por y c1 y1 c2 y2; es decir,
y c1x 2 c2 x 2 ln x.
COMENTARIOS
i) La deducción y uso de la fórmula (5) se ha mostrado aquí porque esta fórmula aparece de nuevo en la siguiente sección y en las secciones 4.7 y 6.2. La
ecuación (5) se usa simplemente para ahorrar tiempo en obtener un resultado
deseado. Su profesor le indicará si debe memorizar la ecuación (5) o si debe
conocer los primeros principios de la reducción de orden.
ii) La reducción de orden se puede usar para encontrar la solución general de
una ecuación no homogénea a2(x)y a1(x)y a0(x)y g(x) siempre que se
conozca una solución y1 de la ecuación homogénea asociada. Vea los problemas
17 a 20 en los ejercicios 4.2.
EJERCICIOS 4.2
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-4.
En los problemas 1 a 16 la función indicada y1(x) es una solución de la ecuación diferencial dada. Use la reducción de
orden o la fórmula (5), como se indica, para encontrar una
segunda solución y2(x).
1. y 4y 4y 0;
2. y 2y y 0;
3. y 16y 0;
y1 e
y1 xe
x
y1 cos 4x
4. y 9y 0; y1 sen 3x
2x
7. 9y 12y 4y 0; y1 e 2x/3
8. 6y y y 0; y1 e x/3
9. x 2y 7xy 16y 0; y1 x 4
10. x 2y 2xy 6y 0; y1 x 2
11. xy y 0; y1 ln x
12. 4x 2y y 0; y1 x 1/2 ln x
5. y y 0; y1 cosh x
13. x 2y xy 2y 0; y1 x sen(ln x)
6. y 25y 0; y1 e 5x
14. x 2y 3xy 5y 0; y1 x 2 cos(ln x)
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4.3
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
15. (1 2x x 2)y 2(1 x)y 2y 0; y1 x 1
16. (1 x 2)y 2xy 0; y1 1
En los problemas 17 al 20 la función que se indica y1(x) es una
solución de la ecuación homogénea asociada. Use el método
de reducción de orden para determinar una segunda solución
y2(x) de la ecuación homogénea y una solución particular de la
ecuación no homogénea dada.
17. y 4y 2; y1 e 2x
18. y y 1; y1 1
y1 e x
y1 e
x
Problemas para analizar
21. a) Proporcione una demostración convincente de que la
ecuación de segundo orden ay by cy 0, a, b,
y c constantes, tiene siempre cuando menos una solución de la forma y1 em1 x , m1 es una constante.
b) Explique por qué la ecuación diferencial que se proporciona en el inciso a) debe tener una segunda solu-
4.3
ción de la forma y2 em2 x o de la forma y2 xem1 x ,
m1 y m2 son constantes.
c) Analice de nuevo los problemas 1 al 8. ¿Puede explicar
por qué los enunciados de los incisos a) y b) anteriores no
se contradicen con las respuestas de los problemas 3 al 5?
22. Compruebe que y1(x) x es una solución de xy – xy y 0. Utilice la reducción de orden para encontrar una
segunda solución y2(x) en la forma de una serie infinita.
Estime un intervalo de definición para y2(x).
Tarea para el laboratorio de computación
19. y 3y 2y 5e 3x;
20. y 4y 3y x;
133
●
23. a) Compruebe que y1(x) ex es una solución de
xy (x 10)y 10y 0.
b) Use la ecuación (5) para determinar una segunda solución y2(x). Usando un SAC realice la integración que
se requiere.
c) Explique, usando el corolario (A) del teorema 4.1.2,
por qué la segunda solución puede escribirse en forma
compacta como
10
1 n
y2(x)
x.
n 0 n!
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS
CON COEFICIENTES CONSTANTES
REPASO DE MATERIAL
● Repase el problema 27 de los ejercicios 1.1 y del teorema 4.1.5.
● Repase el álgebra de solución de ecuaciones polinomiales.
INTRODUCCIÓN Como un medio para motivar el análisis en esta sección se tratan nuevamente
las ecuaciones diferenciales de primer orden más específicamente, las ecuaciones lineales, homogéneas ay by 0, donde los coeficientes a 0 y b son constantes. Este tipo de ecuación se resuelve
ya sea por variables separables o con ayuda de un factor integrante, pero hay otro método de solución,
uno que sólo utiliza álgebra. Antes de mostrar este método alternativo, hacemos una observación:
despejando y de la ecuación ay by 0 se obtiene y ky, donde k es una constante. Esta observación revela la naturaleza de la solución desconocida y; la única función elemental no trivial cuya
derivada es una constante múltiple de sí misma es la función exponencial emx. Ahora el nuevo método
de solución: si sustituimos y emx y y memx en ay by 0, se obtiene
amemx bemx 0 o emx (am b) 0.
Como e nunca es cero para valores reales de x, la última ecuación se satisface sólo cuando m es una
solución o raíz de la ecuación polinomial de primer grado am b 0. Para este único valor de m, y
emx es una solución de la ED. Para mostrar esto, considere la ecuación de coeficientes constantes 2y
5y 0. No es necesario realizar la derivación y la sustitución de y emx en la ED; sólo se tiene que
5
5x/2
formar la ecuación 2m 5 0 y despejar m. De m
es una solución
2 se concluye que y e
5x/2
de 2y 5y 0, y su solución general en el intervalo (, ) es y c1e .
En esta sección veremos que el procedimiento anterior genera soluciones exponenciales para las
ED lineales homogéneas de orden superior,
(1)
an y(n) an 1 y(n 1)
a2 y
a1 y
a0 y 0,
donde los coeficientes ai, i 0, 1, . . . , n son constantes reales y an 0.
mx
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134
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
ECUACIÓN AUXILIAR Se empieza por considerar el caso especial de la ecuación
de segundo orden
ay
by
cy 0,
(2)
donde a, b y c son constantes. Si se intenta encontrar una solución de la forma y e mx,
entonces después de sustituir y me mx y y m 2e mx, la ecuación (2) se convierte en
am2emx bmemx cemx 0 o emx(am2 bm c) 0.
Como en la introducción se argumenta que debido a que emx 0 para toda x, es obvio
que la única forma en que y emx puede satisfacer la ecuación diferencial (2) es cuando
se elige m como una raíz de la ecuación cuadrática
(3)
am2 bm c 0.
Esta última ecuación se llama ecuación auxiliar de la ecuación diferencial (2). Como las
dos raíces de (3) son m1 ( b
1b2 4ac) 2a,
1b2 4ac) 2a y m2 ( b
habrá tres formas de la solución general de (2) que corresponden a los tres casos:
• ml y m2 reales y distintas (b 2 4ac 0),
• ml y m2 reales e iguales (b 2 4ac 0), y
• ml y m2 números conjugados complejos (b 2 4ac 0).
Analicemos cada uno de estos casos.
CASO 1: RAÍCES REALES Y DISTINTAS Bajo la suposición de que la ecuación
auxiliar (3) tiene dos raíces reales desiguales ml y m2, encontramos dos soluciones,
y1 em1x y y2 em 2 x. Vemos que estas funciones son linealmente independientes
en (, ) y, por tanto, forman un conjunto fundamental. Se deduce que la solución
general de (2) en este intervalo es
(4)
y c1em1x c2em 2 x.
CASO II: RAÍCES REALES REPETIDAS Cuando ml m2, necesariamente se obmx
tiene sólo una solución exponencial, y1 e 1 . De la fórmula cuadrática se encuentra
que ml b兾2a puesto que la única forma en que se tiene que ml m2 es tener b2 4ac 0. Tenemos de (5) en la sección 4.2 que una segunda solución de la ecuación es
e2m1x
(5)
dx em1x dx xem1x.
e2m1x
En (5) hemos usado el hecho de que – b兾a 2m1. La solución general es entonces
y2
em1x
y
c1em1x
c2 xem1x.
(6)
CASO III: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS Si ml y m2 son complejas, entonces se puede escribir ml a ib y m2 a ib, donde a y b 0 son reales i2 1.
De manera formal, no hay diferencia entre este caso y el caso I y, por tanto,
C1e(a
y
i )x
C2e(a
i )x
.
Sin embargo, en la práctica se prefiere trabajar con funciones reales en lugar de exponenciales complejas. Con este fin se usa la fórmula de Euler:
ei
cos
i sen ,
donde u es cualquier número real.* Se tiene de esta fórmula que
ei
x
cos x
i sen x
y
e
i x
cos x
i sen x,
(7)
xn
n 0 n!
sustituyendo x iu, con i 2 1, i 3 i, . . . y después separando la serie en las partes real e imaginaria.
Así se establece la plausibilidad, por lo que podemos adoptar a cos u i sen u como la definición de eiu.
*
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Una deducción formal de la fórmula de Euler se obtiene de la serie de Maclaurin e x
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4.3
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
135
●
donde se usaron cos(bx) cos bx y sen(bx) sen bx. Observe que si primero
se suma y luego se restan las dos ecuaciones en (7), se obtiene, respectivamente,
ei
x
e
i x
2 cos x y ei
x
e
i x
2i sen x.
Puesto que y C1e(aib)x C2e(aib)x es una solución de (2) para alguna elección de las
constantes C1 y C2, las elecciones C1 C2 1 y C1 1, C2 1 dan, a su vez, dos
soluciones:
e(a
y1
i )x
e(a
i )x
y
i x
ax
Pero
y1
e (e
y
y2
eax(ei
x
e(a
y2
i )x
e
i x
)
2e cos x
e
i x
)
2ieax sen x.
e(a
i )x
.
ax
Por tanto, del corolario A) del teorema 4.1.2, los dos últimos resultados muestran que
eax cos bx y eax sen bx son soluciones reales de (2). Además, estas soluciones forman
un conjunto fundamental en (, ). Por tanto, la solución general es
y
c1eax cos x
EJEMPLO 1
c2eax sen x
eax (c1 cos x
(8)
c2 sen x).
ED de segundo orden
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.
a) 2y 5y 3y 0
b) y 10y 25y 0
c) y 4y 7y 0
SOLUCIÓN Se dan las ecuaciones auxiliares, las raíces y las soluciones generales
correspondientes.
a) 2m 2 5m 3 (2m 1)(m 3) 0,
1
2,
m1
m2
3
De (4), y c1ex/2 c2e 3x.
b) m 2 10m 25 (m 5) 2 0,
m1 m2 5
De (6), y c1e c2xe .
5x
c) m2
4m
De (8) con
4
5x
7
0, m1
23, y
2,
23i,
2
e
2x
m2
23i
2
(c1 cos 23x
)
c2 sen 23x .
y
EJEMPLO 2
3
2
Resuelva 4y 4y 17y 0, y(0) 1, y(0) 2.
1
x
_1
_2
_3
_4
_3 _2 _1
1
2
3
4
5
FIGURA 4.3.1 Curva solución del
PVI del ejemplo 2.
Un problema con valores iniciales
SOLUCIÓN Usando la fórmula cuadrática tenemos que las raíces de la ecuación auxiliar
1
1
4m2 4m 17 0 son m1
2i y m2
2i. Por tanto, de la ecuación
2
2
x/2
(8) se tiene que y e (c1 cos 2x c2 sen 2x). Aplicando la condición y(0) 1,
se observa de e0(c1 cos 0 c2 sen 0) 1 que c1 1. Derivando y ex/2( cos
2x c2 sen 2x) y después usando y(0) 2, se obtiene 2c2 12 2 o c2 34. Por tanto,
3
) la figura 4.3.1 vemos que la
la solución del PVI es y e x/2( cos 2x 4 sen 2x)2. En
solución es oscilatoria, pero y : 0 conforme x : y 兩y兩 : conforme x : .
DOS ECUACIONES QUE MERECEN CONOCERSE Las dos ecuaciones diferenciales
y
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k2 y
0 y y
k2 y
0,
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136
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
donde k es real, son importantes en matemáticas aplicadas. Para y k2y 0, la ecuación auxiliar m2 k2 0 tienen raíces imaginarias m1 ki y m2 ki. Con a 0 y
b k en (8) se ve que la solución general de la ED es
y
c1 cos kx
(9)
c2 senkx.
Por otra parte, la ecuación auxiliar m2 k2 0 para y k2y 0 tiene raíces reales
distintas m1 k y m2 k, y así por la ecuación (4) la solución general de la ED es
c1ekx
y
c2e
kx
.
(10)
1
Observe que si se elige c1 c2 12 y c1 y 12, c2
2 en (l0), se obtienen las
1
2
1
2
2
12 2
1
kx
kx
soluciones particulares y 2 (e
e ) cosh kx y y 12 (e kx e kx ) senhkx.
Puesto que cosh kx y senh kx son linealmente independientes en algún intervalo del eje
x, una forma alternativa para la solución general de y k2y 0 es
y
c1 cosh kx
(11)
c2 senhkx.
Vea los problemas 41 y 42 de los ejercicios 4.3.
ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR En general, para resolver una ecuación diferencial de n-ésimo orden (1) donde ai, i 0, 1, . . . , n son constantes reales, se debe
resolver una ecuación polinomial de n-ésimo grado
an mn
an 1mn
1
a2m2
a1m
a0
0.
(12)
Si todas las raíces de (12) son reales y distintas, entonces la solución general de (1) es
c1em1x
y
c2em2 x
cnemn x.
Es un poco difícil resumir los análogos de los casos II y III porque las raíces de una ecuación auxiliar de grado mayor que dos ocurren en muchas combinaciones. Por ejemplo,
una ecuación de quinto grado podría tener cinco raíces reales distintas, o tres raíces reales
distintas y dos complejas, o una real y cuatro complejas, o cinco raíces reales pero iguales,
o cinco raíces reales pero dos de ellas iguales, etc. Cuando m1 es una raíz de multiplicidad
k de una ecuación auxiliar de n-ésimo grado (es decir, k raíces son iguales a m1), es posible
demostrar que las soluciones linealmente independientes son
em1x,
xem1x,
x 2em1 x, . . . ,
xk 1em1x
y la solución general debe contener la combinación lineal
c1em1x
c2 xem1x
c3 x 2em1x
ck x k 1em1 x.
Por último, se debe recordar que cuando los coeficientes son reales, las raíces complejas de una ecuación auxiliar siempre se presentan en pares conjugados. Así, por
ejemplo, una ecuación polinomial cúbica puede tener a lo más dos raíces complejas.
EJEMPLO 3
ED de tercer orden
Resuelva y 3y 4y 0.
Debe ser evidente de la inspección de m3 3m2 4 0 que una raíz es
m1 1, por tanto, m 1 es un factor de m3 3m2 4. Dividiendo se encuentra que
SOLUCIÓN
m3
3m2
4
(m
1)(m2
4m
4)
(m
1)(m
2)2,
así las raíces son m2 m3 2. Así, la solución general de la ED es y c1e x c2e2x c3xe2x.
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4.3
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
EJEMPLO 4
Resuelva
d 4y
dx4
2
●
137
ED de cuarto orden
d 2y
dx2
y
0.
SOLUCIÓN La ecuación auxiliar m 4 2m 2 1 (m 2 1) 2 0 tiene raíces m1 m3 i y m2 m4 i. Así, del caso II la solución es
C1 eix
y
C2 e
ix
C3 xeix
Por la fórmula de Euler el grupo C1e C2e
ix
c1 cos x
ix
C4 xe
ix
.
se puede rescribir como
c2 senx
después de redefinir de nuevo las constantes. De manera similar, x(C3e ix C4eix) se
puede expresar como x(c3 cos x c4 sen x). Por tanto, la solución general es
y
c1 cos x
c2 senx
c3 x cos x
c4 x sen x.
El ejemplo 4 ilustra un caso especial cuando la ecuación auxiliar tiene raíces repetidas complejas. En general, si m1 a ib, b 0 es una raíz compleja de multiplicidad
k de una ecuación auxiliar con coeficientes reales, entonces su conjugada m 2 a ib
es también una raíz de multiplicidad k. De las 2k soluciones con valores complejos
e(a
i )x
, xe(a
e(a
i )x
, xe(a
i )x
,
i )x
,
x2e(a
i )x
x2e(a
i )x
,
,
...,
xk 1e(a
i )x
...,
xk 1e(a
i )x
,
,
concluimos, con la ayuda de la fórmula de Euler, que la solución general de la ecuación diferencial correspondiente debe tener una combinación lineal de las 2k soluciones reales linealmente independientes.
eax cos b x, xeax cos bx, x2eax cos bx,
. . . , xk 1eax cos bx,
x2eax sen bx,
. . . , xk 1eax sen bx.
eax sen b x,
xeax sen bx,
En el ejemplo 4 identificamos k 2, a 0 y b 1.
Por supuesto, el aspecto más difícil de resolver ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes es determinar las raíces de ecuaciones auxiliares de grado mayor
que dos. Por ejemplo, para resolver 3y 5y 10y 4y 0, debemos resolver
3m 3 5m 2 10m 4 0. Algo que se puede intentar es probar la ecuación auxiliar
para raíces racionales. Recuerde que si m1 p兾q es una raíz racional (en su mínima
a1m a0 0 con coeficientes enexpresión) de una ecuación auxiliar an mn
teros, entonces p es un factor de a0 y q es un factor de an. Para la ecuación auxiliar cúbica
específica, todos los factores de a0 4 y an 3 son p: 1, 2, 4 y q: 1, 3
1
21
42
4
por lo que las posibles raíces racionales son p>q: 1, 2, 4,
3,
3,
3 .Entonces
se puede probar cada uno de estos números, digamos, por división sintética. De esta
1
forma se descubre la raíz m1 3 y la factorización
3m3
5m2
10m
4
(m
1
3
)(3m2
6m
De la fórmula cuadrática se obtienen las otras raíces m 2
5y
13
23i . Por tanto, la solución general de 3 y
y
c1e x/3
e x(c2 cos 23x
12).
1
10y
23i y m3
4y 0 es
c3 sen 23x).
USO DE COMPUTADORAS Determinar las raíces o aproximar las raíces de ecuaciones auxiliares es un problema de rutina con una calculadora apropiada o con un paquete de
cómputo. Las ecuaciones polinomiales (en una variable) de grado menor que cinco se resuelven por medio de fórmulas algebraicas usando las instrucciones solve en Mathematica
y Maple. Para ecuaciones polinomiales de grado cinco o mayor podría ser necesario recurrir
a comandos numéricos tales como NSolve y FindRoot en Mathematica. Debido a su capacidad para resolver ecuaciones polinomiales, no es sorprendente que estos sistemas alge-
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138
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
braicos para computadora también puedan, usando sus comandos dsolve, dar soluciones
explícitas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes.
En el libro clásico Differential Equations de Ralph Palmer Agnew* (que el autor
usó cuando era estudiante), se expresa el siguiente enunciado:
No es razonable esperar que los alumnos de este curso tengan la capacidad y el
equipo de cómputo necesario para resolver de manera eficaz ecuaciones tales como
4.317
d 4y
dx4
2.179
d 3y
dx3
1.416
d 2y
dx2
1.295
dy
dx
3.169y
(13)
0.
Aunque es debatible si en todos estos años ha mejorado la capacidad para realizar
cálculos, es indiscutible que la tecnología sí lo ha hecho. Si se tiene acceso a un sistema
algebraico para computadora, se podría ahora considerar razonable la ecuación (13).
Después de simplificar y efectuar algunas sustituciones en el resultado, Mathematica
genera la solución general (aproximada)
y
c1e
0.728852x
cos(0.618605x)
0.728852x
c2e
c3e0.476478x cos(0.759081x)
sen(0.618605x)
c4e0.476478x sen(0.759081x).
Por último, si se le presenta un problema con valores iniciales que consiste en,
digamos, una ecuación de cuarto orden, entonces para ajustar la solución general de la
ED a las cuatro condiciones iniciales, se deben resolver cuatro ecuaciones lineales con
las cuatro incógnitas (c1, c2, c3 y c4 en la solución general). Si se emplea un SAC para
resolver el sistema se puede ahorrar mucho tiempo. Véanse los problemas 59 y 60 del
ejercicio 4.3 y el problema 35 en Repaso del capítulo 4.
*
McGraw-Hill, Nueva York, 1960.
EJERCICIOS 4.3
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-4.
En los problemas 1 a 14, obtenga la solución general de la
ecuación diferencial de segundo orden dada.
1. 4y y 0
2. y 36y 0
3. y y 6y 0
4. y 3y 2y 0
5. y 8y 16y 0
6. y 10y 25y 0
7. 12y 5y 2y 0
8. y 4y y 0
9. y 9y 0
10. 3y y 0
11. y 4y 5y 0
12. 2y 2y y 0
13. 3y 2y y 0
14. 2y 3y 4y 0
20.
d 3x
dt3
d 2x
dt2
4x
0
21. y 3y 3y y 0
22. y 6y 12y 8y 0
23. y (4) y y 0
24. y (4) 2y y 0
25. 16
d 4y
dx4
24
d 2y
dx2
9y
26.
d 4y
dx4
7
d 2y
dx2
18y
En los problemas 15 a 28 encuentre la solución general de la
ecuación diferencial de orden superior dada.
27.
d 5u
dr5
5
d 4u
dr4
2
15. y 4y 5y 0
28. 2
16. y y 0
d 5x
ds5
7
d 4x
ds4
0
0
d 3u
dr3
12
d 3x
ds3
10
d 2u
dr2
8
d 2x
ds2
du
dr
5u
0
0
17. y 5y 3y 9y 0
En los problemas 29 a 36 resuelva el problema con valores
iniciales
18. y 3y 4y 12y 0
29. y 16y 0,
3
19.
d u
dt3
2
d u
dt2
y(0) 2, y(0) 2
2
2u
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0
30.
d y
d 2
y
0, y
3
0, y
3
2
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4.3
d 2y
31.
dt2
dy
4
dt
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
0, y(1)
0, y (1)
139
y
45.
5y
●
2
32. 4y 4y 3y 0, y(0) 1, y(0) 5
x
33. y y 2y 0, y(0) y(0) 0
34. y 2y y 0, y(0) 5, y(0) 10
35. y 12y 36y 0, y(0) 0, y(0) 1, y(0) 7
36. y 2y 5y 6y 0, y(0) y(0) 0, y(0) 1
En los problemas 37 a 40 resuelva el problema con valores en
la frontera dado.
FIGURA 4.3.4 Gráfica del problema 45.
46.
y
37. y 10y 25y 0, y(0) 1, y(1) 0
38. y 4y 0,
y(0) 0, y(p) 0
39. y
y (0)
y
0,
0, y
2
0
x
FIGURA 4.3.5 Gráfica del problema 46.
40. y 2y 2y 0, y(0) 1, y(p) 1
En los problemas 41 y 42 resuelva el problema dado usando
primero la forma de la solución general dada en (10). Resuelva
de nuevo esta vez usando la fórmula dada en (11).
41. y 3y 0,
42. y y 0,
47.
y
π
y(0) 1, y(0) 5
x
y(0) 1, y(1) 0
En los problemas 43 a 48 cada figura representa la gráfica de
una solución particular de una de las siguientes ecuaciones
diferenciales.
a) y 3y 4y 0
b) y 4y 0
c) y 2y y 0
d) y y 0
e) y 2y 2y 0
f) y 3y 2y 0
FIGURA 4.3.6 Gráfica del problema 47.
48.
y
Relacione una curva solución con una de las ecuaciones diferenciales. Explique su razonamiento.
43.
π
y
x
x
FIGURA 4.3.2 Gráfica del problema 43.
FIGURA 4.3.7 Gráfica del problema 48.
Problemas para analizar
44.
49. Las raíces de una ecuación cúbica auxiliar son m1 4 y
m2 m3 5. ¿Cuál es la ecuación diferencial lineal
homogénea correspondiente? Analice: ¿su respuesta es
única?
y
x
FIGURA 4.3.3 Gráfica del problema 44.
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 139
50. Dos raíces de una ecuación auxiliar cúbica con coeficien1
tes reales son m1
y m2 3 i. ¿Cuál es la ecua2
ción diferencial lineal homogénea correspondiente?
6/4/09 12:18:12 PM
140
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
51. Determine la solución general de y 6y y 34y
0 si se sabe que y1 e4x cos x es una solución.
diferencial dada. Si utiliza un SAC para obtener la solución
general, simplifique el resultado y si es necesario, escriba la
solución en términos de funciones reales.
52. Para resolver y (4) y 0, es necesario encontrar las raíces de m4 1 0. Este es un problema trivial si se utiliza un SAC, pero también se resuelve a mano trabajando
con números complejos. Observe que m4 1 (m2 1)2
2m2. ¿Cómo ayuda esto? Resuelva la ecuación diferencial.
55. y 6y 2y y 0
56. 6.11y 8.59y 7.93y 0.778y 0
57. 3.15y (4) 5.34y 6.33y 2.03y 0
58. y (4) 2y y 2y 0
53. Compruebe que y senh x 2 cos(x p兾6) es una solución particular de y(4) y 0. Reconcilie esta solución
particular con la solución general de la ED.
En los problemas 59 y 60 utilice un SAC como ayuda para
resolver la ecuación auxiliar. Forme la solución general de
la ecuación diferencial. Después utilice un SAC como ayuda
para resolver el sistema de ecuaciones para los coeficientes
ci, i 1, 2, 3, 4 que resulta cuando se aplican las condiciones
iniciales a la solución general.
54. Considere el problema con valores en la frontera y ly
0, y(0) 0, y(p兾2) 0. Analice: ¿es posible determinar valores de l tal que el problema tenga a) soluciones
triviales?, b) ¿soluciones no triviales?
59. 2y (4) 3y 16y 15y 4y 0,
y(0) 2, y(0) 6, y(0) 3, y(0) Tarea para el laboratorio de computación
En los problemas 55 a 58 use una computadora ya sea como
ayuda para resolver la ecuación auxiliar o como un medio para
obtener de forma directa la solución general de la ecuación
4.4
1
2
60. y (4) 3y 3y y 0,
y(0) y(0) 0, y(0) y(0) 1
COEFICIENTES INDETERMINADOS: MÉTODO
DE SUPERPOSICIÓN *
REPASO DE MATERIAL
● Repaso de los teoremas 4.1.6 y 4.1.7 (sección 4.1).
INTRODUCCIÓN
Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea
a n y (n)
an
1y
(n
1)
a1 y
a0 y
g(x),
(1)
se debe hacer dos cosas:
• encontrar la función complementaria yc y
• encontrar alguna solución particular yp de la ecuación no homogénea (1).
Entonces, como se explicó en la sección 4.1, la solución general de (1) es y yc yp. La función
complementaria yc es la solución general de la ED homogénea asociada de (1), es decir,
an y (n)
an
1y
(n 1)
a1 y
a0 y
0.
En la sección 4.3 vimos cómo resolver esta clase de ecuaciones cuando los coeficientes eran constantes. Así, el objetivo en esta sección es desarrollar un método para obtener soluciones particulares.
*
Nota para el profesor: En esta sección el método de coeficientes indeterminados se desarrolla desde
el punto de vista del principio de superposición para ecuaciones no homogéneas (teorema 4.7.1). En
la sección 4.5 se presentará un método totalmente diferente que utiliza el concepto de operadores
diferenciales anuladores. Elija el que convenga.
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