Aplicación simplificada de la fórmula de Darcy

Artículo: COMEII-15058
I CONGRESO NACIONAL COMEII 2015
Reunión Anual de Riego y Drenaje
Jiutepec, Morelos, México, 23 y 24 de noviembre
APLICACIÓN SIMPLIFICADA DE LA FÓRMULA DE DARCY-WEISBACH A LOS
SISTEMAS DE RIEGO A PRESIÓN
Vicente Ángeles Montiel1
Departamento de Irrigación, Universidad Autónoma Chapingo, km 38.5 carretera México-Texcoco, Chapingo,
Estado de México, C.P. 056230.
1
Resumen
Durante mucho tiempo, la fórmula de Darcy-Weisbach no se utilizó en la cuantificación de
la pérdida de carga por fricción en las tuberías con salidas múltiples en los sistemas de
riego a presión, debido fundamentalmente a la dificultad que implica computar el
coeficiente de fricción f en cada uno de los segmentos que las constituyen; dificultad que
se ve incrementada, cuando se desea determinar la pérdida de carga considerando el
caudal real de emisión en cada una de las salidas. Para vencer la primera parte de este
problema, se propone en esta investigación transformar la fórmula de Darcy-Weisbach
quedando solo en función de parámetros físicos y prescindiendo del coeficiente de fricción
f, la modificación involucra la estimación de la ordenada al origen y la pendiente de un
modelo lineal para cada caso bajo estudio y, así es posible resolver el problema planteado
sin necesidad de recurrir a soluciones paso a paso.
Palabras clave: pérdida de carga por fricción, factor de ajuste, salidas múltiples
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Introducción
Las tuberías con salidas múltiples son ampliamente utilizadas en los sistemas de riego
presurizados como la aspersión, la microirrigación y las tuberías multicompuertas para
distribuir agua al interior de los predios de las zonas bajo riego. El estudio del
funcionamiento hidráulico de estas tuberías en la fase de diseño o evaluación de estos
sistemas, es clave para su desempeño.
Según Vallesquino (2004), los métodos para examinar el comportamiento hidráulico de
este tipo de tuberías se pueden agrupar en tres categorías a saber: el cálculo pasó a paso y
los modelos discretos o continuos alternativos a éste.
De los trabajos más citados en la literatura científica en el caso del método paso a paso,
que constituye la solución exacta al problema planteado, sobresale el presentado por
Hathoot et al (1993, 1994). En cuanto a los modelos discretos alternativos, prevalece por su
simplicidad el método del factor de ajuste o corrector, abordado por varios investigadores
como Christiansen (1942), Anwar (1999), Ángeles et al (2009), entre otros. En el campo de
los modelos continuos alternativos, destaca el método del gradiente de la línea de energía
publicado en diversas variantes, de las que se pueden citar, por mencionar algunas, la de
Wu y Gitlin (1975), Warrick y Yitayew (1988) y Valiantzas (1998).
La aplicación de las metodologías antes citadas (o cualquier otra que se utilice con el
mismo fin), hacen uso por un lado, de principios o leyes universales como la ecuación de
la energía y la ecuación de continuidad y, por otro, de fórmulas para computar la pérdida
de carga por fricción que se presenta en cada segmento de las tuberías referidas. En éste
último aspecto, la fórmula que cuantifica con mayor precisión la pérdida de carga por
fricción (por el marco teórico que la respalda) es la de Darcy-Weisbach; sin embargo, la
dificultad o cantidad de cálculo computacional que involucra el determinar el coeficiente
de fricción presente en ella, hace que se acuda a otras fórmulas para el cómputo de la
pérdida de carga por fricción (Hazen-Williams, Scobey, …) o, en el mejor de los casos, se
establezcan hipótesis simplificadoras que faciliten su uso.
Tratando de salvar la dificultad de la fórmula de Darcy-Weisbach antes señalada,
Vallesquino y Luque-Escamilla (2002) proponen calcular el coeficiente de fricción en
puntos estratégicos de la tubería con salidas múltiples y, posteriormente aplicando un
esquema de aproximaciones sucesivas basado en polinomios de Taylor, cuantificar la
pérdida de carga por fricción y los caudales emitidos en cada salida; por su parte,
Valiantzas (2005) modifica la fórmula de Darcy-Weisbach a una presentación potencial,
con la que determina el exponente del caudal que emplea en el factor de ajuste de
Christiansen para determinar la pérdida de carga por fricción y, a continuación se vale de
un parámetro α y el método de la línea de energía para cuantificar la carga de presión que
se presenta en cada salida.
1
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En este trabajo de cambia la fórmula de Darcy-Weisbach de su presentación clásica a una
en términos de parámetros físicos que no incluye el coeficiente de fricción f y, así
cuantificar la pérdida de carga por fricción en la tubería con salidas múltiples, sin recurrir
al método paso a paso.
Materiales y métodos
Pérdida de carga por fricción en tuberías simples
La pérdida de carga por fricción en una tubería simple (Figura 1) sin salidas en toda su
longitud, se determina con la fórmula genérica siguiente:
hf  K
Qm
L
Dn
(1)
donde hf es la pérdida de carga por fricción; K involucra un factor de conversión de
unidades y en algunos casos un coeficiente de rugosidad o fricción que depende de la
fórmula empleada para cuantificar hf (Manning, Hazen-Williams, Scobey, DarcyWeisbach, ....); Q caudal que circula en la tubería desde el inicio hasta el final de la misma;
D diámetro interno de la tubería; L longitud de la tubería; m y n exponentes del caudal y
del diámetro interno de la tubería, respectivamente.
Figura 1. Tubería simple.
Pérdida de carga por fricción en tuberías con salidas múltiples
El cálculo de la pérdida de carga por fricción en una tubería con salidas múltiples (Figura
2) requiere la determinación segmento a segmento, desde la última salida aguas abajo
hasta la primera aguas arriba, de la pérdida de carga por fricción provocada en cada uno
de ellos aplicando la fórmula 1.
2
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Figura 2. Tubería con salidas múltiples.
Matemáticamente esto puede expresarse por la ecuación 2.
N
N
i 1
i 1
hf L   hf i   K
N
Qim
iq m S  N K q m i m S   K q m S  N i m 
S

K


 Dn  
Dn
Dn
Dn
i 1
i 1

 i 1 
(2)
donde hfL es la pérdida de carga por fricción en la tubería con salidas múltiples; N número
total de salidas; hfi es la pérdida de carga por fricción en cada uno de los segmentos que
constituyen la tubería con salidas múltiples; q es el caudal constante de cada una de las
salidas; S es la distancia constante entre dos salidas consecutivas y la distancia entre el
inicio de la tubería y la primera salida (figura 2).
El procedimiento general para determinar la pérdida de carga por fricción en una tubería
con salidas múltiples consta de dos etapas básicas: cálculo de la pérdida de carga por
fricción en una tubería simple y cómputo de un factor de ajuste.
Si se sustituyen las equivalencias q = Q/N y S = L/N en la ecuación 2, se da lugar a la
ecuación bien conocida de cálculo de la pérdida de carga por fricción en tuberías con
salidas múltiples.
 Q m  1 N 
hf L   K n L  m1  i m 
i 1

 D  N
(3)
La ecuación 3 exhibe que la pérdida de carga por fricción en la tubería con salidas
múltiples, se puede determinar como el producto de la pérdida de carga por fricción en
una tubería simple transportando el caudal Q de todas las salidas en la longitud completa
L de la tubería y un factor de ajuste dado por
3
1
N
m 1
N
i
i 1
m
.
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A lo largo de la historia se han buscado expresiones que eviten realizar la suma que
aparece en el factor de ajuste de la ecuación 3. Christiansen (1942) presentó la siguiente
expresión para el factor de ajuste por salidas múltiples de la ecuación 3.
1
F1 
N
m 1
N
i
m
i 1

1
1
m 1


m  1 2N
6N 2
(4)
Aunque es ampliamente aceptado que la fórmula de Darcy-Weisbach es la más
recomendada, dada su racionalidad y homogeneidad dimensional (Brown 2002), para
cuantificar la pérdida de carga por fricción en las tuberías simples; su uso ha estado
limitado en las tuberías con salidas múltiples a consecuencia de la dificultad que implica el
cómputo del factor de ajuste de pérdida de carga, en virtud de que el coeficiente de
fricción varía en cada segmento de la tubería; dicha fórmula, en términos del caudal que se
conduce en la tubería simple, es:
f Q2
hf 
L
12.1 D 5
(5)
donde hf resulta en m, f es el coeficiente de fricción, Q se expresa en m3 s-1, D y L en m.
Varias expresiones han sido propuestas para computar el coeficiente de fricción f en los
flujos laminar y turbulento (liso, de transición y rugoso). En condiciones de flujo laminar
(Re < 2000), el coeficiente de fricción f es estimado por la expresión de Poiseuille (Morris y
Wiggert 1972, Brown 2002) como:
f 
64
Re
(6)
donde Re es el número de Reynolds, que en función del caudal Q viene dado por:
Re 
4Q
D
(7)
donde ν es la viscosidad cinemática del agua en m2 s-1.
En flujo turbulento (Re > 4000) de transición el coeficiente de fricción f es estimado por la
expresión de Colebrook y White (1937), como:
 / D
1
2.51
 2 log 


f
 3.7 Re f




(8)
donde ε es la rugosidad absoluta promedio de las paredes internas de la tubería en m.
4
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Cuando ε→0 la expresión 8 estima el coeficiente f en flujo turbulento liso; en tanto que
cuando Re→∞, dicha expresión estima el coeficiente f en flujo turbulento rugoso.
La expresión de Colebrook-White tiene el inconveniente de que el coeficiente de fricción f
no aparece en forma explícita, y debe recurrirse a un esquema numérico (o a un
procedimiento iterativo) para resolverla. Es por esta razón, que varios investigadores han
propuesto aproximaciones explicitas alternas a la de Colebrook-White (con diferentes
grados de exactitud), para agilizar el cálculo de f. En este sentido, Sonnad y Goudar (2006)
presentan una forma alterna matemáticamente equivalente a la expresión de ColebrookWhite, en la que no son necesarios cálculos iterativos, que es válida en los intervalos 10-6≤
ε/D ≤5*10-2 y 4*103≤ Re ≤108 con un error porcentual máximo de 1% respecto de la
expresión de Colebrook-White en ε/D = 10-6, dada por:


1
 0.4587 Re 
 0.8686 ln 
s

f


 s s 1 
 DRe ln 0.4587 Re 
s  0.124 
(9)
Blasius (1913) estableció una expresión válida en el intervalo 4 000 ≤ Re ≤ 80 000 para
determinar el coeficiente de fricción f en flujo turbulento liso que depende solo de Re:
f 
0.3164
Re 0.25
(10)
Keller y Bliesner (1990) utilizaron la expresión de Blasius para estimar el coeficiente de
fricción f en las tuberías que constituyen los sistemas de riego por microirrigación.
Guo y Julien (2003) proponen la siguiente expresión explicita para el coeficiente de fricción
f en flujo turbulento liso:
1
0.3164 
Re  8
f 
1

0.25 
Re
 431000 
(11)
La expresión 11 presenta un mejor ajuste a los datos populares de Nikuradse y a datos
recientes obtenidos en la Universidad de Princeton en el intervalo 3*103 ≤ Re ≤ 3.5*107, que
la expresión clásica implícita de Prandtl para el flujo turbulento liso. Con la expresión 11
se puede ahorrar mucho tiempo de cómputo y evitar iteraciones en simulaciones
numéricas.
5
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Cuando el flujo se presenta en la zona critica con 2000 < Re < 4000 se denomina flujo de
transición entre los flujos laminar y turbulento. Ajustándose a los datos de Nikuradse,
Cheng (2008) desarrollo una expresión explicita simple por interpolación para estimar el
factor de fricción f como:
f  f L f T1

1
 Re 
1 

 2720 
(12)
9
donde fL es el coeficiente de fricción en flujo laminar, f T es el de flujo turbulento y α es un
factor de peso que indica la contribución del flujo laminar, en tanto que (1- α) representa el
tributo del flujo turbulento en el coeficiente de fricción del flujo de transición. En los
extremos, cuando α = 1 el flujo es laminar y cambia a turbulento cuando α = 0. En el caso
de que Re sea 2720 α adquiere el valor de 0.5, lo que implica que la contribución del flujo
laminar y turbulento son equivalentes ( f 
f L f T ).
Simulaciones realizadas en ésta investigación en el intervalo 10-6≤ ε/D ≤5*10-2, mostraron
que si el exponente 9 que aparece en la expresión 12 se suplía por 16, el error absoluto
porcentual se conservaba inferior a 1% cuando se estimaban los valores de f en flujo
laminar con Re = 2000 y en flujo turbulento con Re = 4000, mediante las ecuaciones de
Poiseuille y Colebrook-White respectivamente. Así, la expresión para α que se recomienda
en éste trabajo es:

1
 Re 
1 

 2720 
(13)
16
Para simplificar el cálculo del coeficiente de fricción, Churchil (1977) presenta una
expresión que es válida en los flujos laminar, de transición y turbulento (liso, de transición
y rugoso) dada por:
1
 8 12
 12
1
f  8  

 A  B 1.5 
 Re 
16

 7  0.9


   
A   2.457 ln    0.27  
 D  

 Re 


 37530 
B

 Re 
6
16
(14)
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En la Figura 3 se presenta el comportamiento de la ecuación de Poiseuille para flujo
laminar, la de Cheng modificada en esta investigación para flujo en transición, la de Guo y
Julien para flujo turbulento liso, la de Sonnad y Goudar para flujo turbulento de
transición-rugoso y la de Churchill para los flujos laminar-transicional-turbulento.
Figura 3. Coeficiente de fricción f en flujo laminar, de transición y turbulento.
El la figura 3 se aprecia que la expresión de Cheng (2008) para el flujo de transición en la
zona critica (estimando el valor de α con la ecuación 13), une favorablemente la recta que
representa al flujo laminar con las curvas que representan al flujo turbulento de transiciónrugoso y al flujo turbulento liso.
Respecto a la ecuación de Churchill se observa en la figura 3 que, mientras predice
adecuadamente el valor de f en flujo laminar; en el flujo de transición de la zona critica
muestra inconsistencia ya que en ocasiones subestima y en otras sobrestima el valor de f;
para el caso del flujo turbulento liso los valores de f en general son subestimados en tanto
que para el flujo turbulento de transición-rugoso son sobrestimados.
Por otro lado, Adiutori (2009) explica que f es un grupo adimensional como lo es el Re y,
que por lo tanto, la fórmula de Darcy-Weisbach no es una ecuación sino más bien una
definición. En este orden de ideas, sugiere que debiera relacionarse el comportamiento del
coeficiente de fricción f en función de parámetros físicos, para lo cual plantea que f se
despeje de la fórmula de Darcy-Weisbach, quedando como:
7
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D 5 hf  2 g D 5 hf
f  12.1 2

8 Q2 L
Q L
(15)
De esta manera, para el caso del flujo laminar, si en la expresión 6 de Poiseuille se
sustituye la expresión 15 y la 7 del número de Reynolds, reordenando se llega a:
hf 
128  Q
L
 g D4
(16)
La fórmula 16 indica que para cuantificar la pérdida de carga por fricción en una tubería
simple con flujo laminar, se puede prescindir del coeficiente de fricción f.
 D
 
En tanto que, para el flujo turbulento estableció los grupos 0.5 f Re   y Re   , en
4  
D
3
2
los cuales, al recurrir a las expresiones 7 y 14 llevan a las siguientes identidades:
 3 hf
 
0.5 f Re 2    g 2
 L
D
3
(17)

D Q
Re   
4    
(18)
Con las identidades 17 y 18 y considerando por separado el grupo de la rugosidad relativa
ε/D, elaboró una versión modificada del diagrama de Moody, con la cual se pueden
resolver los problemas tipo de tuberías simples (determinar hf, Q o D; conocidas las demás
variables de la fórmula de Darcy-Weisbach), sin recurrir a procesos iterativos.
En la determinación de la pérdida de carga por fricción en una tubería con salidas
múltiples la identidad relevante es la 16, con ella se elaboró la gráfica 2, explorando el
intervalo 10-6≤ ε/D ≤5*10-2 y 4*103≤ Re ≤108 en el que es válida la expresión de ColebrookWhite; para cada par de valores propuesto de ε/D y Re en los intervalos especificados para
cada uno, se obtenía el valor del coeficiente de fricción f con la expresión de Sonnad y
Goudar, con ello se tenía una terna de valores ε/D, Re y f a la cual se le aplicaba la
identidad 17.
Con la identidad 18 se pude seguir un procedimiento similar al de la 17, solo que los
valores resultantes se colocarían en el eje de las abscisas sustituyendo al número de Re en
la Figura 4, con lo que en ambos ejes se tendrían parámetros físicos en lugar de grupos
adimensionales.
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Fig
ura 4. Comportamiento del grupo 0.5 f Re2 (ε/D)3 en función de Re.
El uso de la figura 4 para cuantificar la pérdida de carga por fricción en una tubería simple
con flujo laminar, de transición y turbulento, aplicando la identidad 16, hace posible
excluir el coeficiente de fricción f.
La tendencia lineal que se aprecia en la figura 4, sirve de base para el planteamiento
medular de esta investigación: “Conocidos dos puntos de alguna de las rectas en flujo
turbulento, se puede obtener su ecuación”. Por tanto, la pendiente y la ordenada al origen
del modelo lineal y = a + bx, se obtendrán como:
3
3


  
  
log 0.5 f Re 2     log 0.5 f Re 2   
 D   2
 D   1


b
   D 
   D 
log  Re    log  Re  
 4    2
 4    1
3

   D 
  
a  log 0.5 f Re 2     (b) log  Re  
 D   2
 4    2

9
(19)
(20)
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La expresión 20 se puede plantear también con el par ordenado del punto 1.
Una vez que se conocen los parámetros a y b del modelo lineal, para computar el valor de
la pérdida de carga en una tubería simple, usando la identidad 17, se tiene:
hf 
10 y  2
L
g 3
(21)
Si se desglosa el parámetro 10y, utilizando la identidad 18, se llega a:
10  10 10
y
a
bx
 10 10
a
 Q
b  log
  



b
b
 log Q  
Q
 10 10      10 a  
  


a
(22)
Sustituyendo la expresión 22 en la 21, se arriba a la ecuación:
10 a
hf 
g
2
10 a  2b b
Q 
Q L
  3 L
g  3 b
   
b
(23)
La fórmula 23 revela que para cuantificar la pérdida de carga por fricción en una tubería
simple con flujo turbulento (conocido el modelo lineal), no es necesario f.
En cuanto al flujo de transición en la zona crítica, al examinar la Figura 4, se encuentra que
es apropiado ajustar una o dos rectas bajo el mismo esquema planteado para el flujo
turbulento para calcular la pérdida de carga por fricción.
Entonces, en esta investigación se establece que la ecuación 2 para el cálculo de la pérdida
de carga por fricción en una tubería con salidas múltiples con flujo turbulento o de
transición en la zona crítica, utilizando la fórmula de Darcy-Weisbach queda como:
N
 10 a  2b b  N b 
10 a  2b b
10 a  2b
b
iq  S  
hf L   hf i  
Qi S  
q S   i 
3b
3b
3b
g

i 1
i 1 g 
i 1 g 

 i 1 
N
N
(24)
Esta manera de presentar la fórmula de Darcy-Weisbach permitirá cuantificar la pérdida
de carga por fricción en una tubería con salidas múltiples con flujo turbulento o de
transición en la zona crítica, involucrando la variabilidad del coeficiente de fricción f en
cada segmento pero sin computarlo.
Es de esperar que los valores numéricos de las fórmulas 5 y 23 coincidan en magnitud en
los 2 puntos seleccionados para establecer el modelo lineal (en los demás puntos se hace
una estimación con la 23), dado que solo se está replanteando la fórmula de DarcyWeisbach de grupos adimensionales a parámetros físicos, es decir:
10
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hf 
f Q2
10 a  2b b
L

Q L
12.1 D 5
g  3b
(25)
Por ende, en el cálculo de hfL se puede aplicar fórmula de Darcy-Weisbach clásica en
combinación con su factor de ajuste, sólo que en éste habrá que sustituir el valor de m
igual a 2 por el de la pendiente de la recta ajustada b.
En la Figura 5 se ejemplifica el ajuste mediante rectas de algunas de las funciones de la
figura 4, en los tres tipos de flujo, para una rugosidad relativa ε/D de 0.001.
Figura 5. Ajuste mediante rectas del grupo 0.5 f Re2 (ε/D)3 en función de Re
En la figura 5, se visualiza lo siguiente:



En flujo laminar el ajuste es excelente; la pendiente de la recta fue de 1.
En flujo de transición en la zona crítica el ajuste observado es bueno, aunque pudiera
mejorarse si se ajustan 2 rectas; la pendiente de la recta resultó de 2.37.
En flujo turbulento de transición el ajuste es muy bueno debido a que se ajustaron 2
rectas; la pendiente para 4*103≤ Re ≤4*104 fue de 1.78 y para 4*104≤ Re ≤4*105 fue de
1.91.
11
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
En flujo turbulento rugoso, aplicando la relación de Rouse
 
f Re    200 (Rouse
D
1943) para definir el intervalo del número de Reynolds en el cual se presenta este tipo
de flujo, se encontró una pendiente de la recta ajustada de 2.0.
Los ajustes cualitativos realizados, podrán ser cuantificados en aplicaciones concretas, a
través de computar el error absoluto porcentual máximo de los valores estimados por las
ecuaciones de las rectas respecto de los reales de las funciones de la figura 4. Además, se
señala que el valor de la pendiente de la recta ajustada en flujo laminar se corresponde con
el exponente del caudal de la fórmula 15 de Poiseuille; para flujo de transición de la zona
crítica y turbulento liso, los valores de pendiente ajustada difieren, el primero por exceso
y los segundos por defecto, del exponente del caudal m igual a 2 de la fórmula 5 de DarcyWeisbach.
A efecto de observar la variación de la pendiente de la recta ajustada, se presentan en la
Figura 6 los valores encontrados de b para el rango de rugosidades relativas y números de
Reynolds que cubre el flujo turbulento liso y de transición-rugoso.
Figura 6. Pendiente b de rectas ajustadas, en intervalos de Re dada ε/D.
Los resultados extremos de b encontrados (figura 6) corresponden al flujo turbulento liso
(del orden de 1.75) y al flujo turbulento rugoso (2.0).
Conclusiones
La modificación llevada a cabo en la expresión de Cheng, para estimar el valor del
coeficiente de fricción f en flujo de transición en la zona critica, mostró consistencia para
transitar del flujo laminar al turbulento en toda la gama de valores del número de
Reynolds y rugosidad relativa del diagrama de Moody.
Aunque en aplicaciones prácticas en el ámbito del riego, el impacto en el valor de la
pérdida de carga por fricción no es determinante al emplear una única expresión como la
de Churchill para cuantificar el coeficiente de fricción f en los flujos laminar, de transición
12
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y turbulento; se sugiere utilizar la expresión de Poiseuille para flujo laminar, la de Cheng
modificada para el flujo de transición en la zona crítica, la de Guo y Julien para el flujo
turbulento liso y la Sonnad y Goudar para el flujo turbulento de transición y rugoso, dado
su mejor ajuste a datos experimentales según sus respectivos autores.
Los valores de f computados con la expresión de Blasius, sobrestima a aquellos calculados
con la expresión de Poiseuille y con la expresión de Cheng modificada en los intervalos del
número de Reynolds de 1187 a 2000 y de 2000 a 4000, respectivamente. Mientras que
cuando Re en inferior a 1187 los resultados se invierte.
Con base en lo expuesto por Adiutori, la fórmula de Darcy-Weisbach se modificó de
grupos adimensionales a parámetros físicos, ya que, una vez que se ha ajustado el modelo
lineal propuesto para un rango de número de Reynolds y una rugosidad relativa dados,
posibilita el cálculo de la pérdida de carga por fricción prescindiendo del coeficiente de
fricción f, labor que es de particular interés en el análisis de los sistemas de riego
presurizado. El valor de la pendiente del modelo lineal ajustado, que se corresponde con el
exponente del caudal en la fórmula de Darcy-Weisbach, fue de 1 en el flujo laminar, mayor
a 2 en el flujo de transición de la zona crítica y entre 1.75 y 2 para el flujo turbulento (liso,
de transición y rugoso).
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