08 plasticidad teoria

Capítulo
3
En
Influencia de la plasticidad (2D)
los
modelos
analizados
por
Barroso
[14]
se
considera
deformación plana y deformación plana generalizada. En dicho trabajo
una de las contribuciones de la parte numérica fue la obtención de los
Factores de Intensificación de Tensiones Generalizados (FITG) para
esquinas
con
distintas
configuraciones
de
material
y
distintas
orientaciones (en el caso de los laminados de composites).
Con los exponentes característicos de la esquina obtenidos de la
parte analítica de su investigación, Barroso buscó un procedimiento
para el cálculo de los FITG basado en un procedimiento de ajuste por
mínimos cuadrados. De esa manera fue posible encontrar el peso de
cada uno de los términos del desarrollo en serie y representar las
tensiones y desplazamientos por una suma de estos, permitiendo
visualizar el peso de cada uno de ellos en el estado tensional.
Aunque estos resultados hayan sido de considerable importancia
en el tema de singularidades en esquinas multimateriales, este estudio
(desde un punto de vista de la MFEL) estaría limitado en caso de que en
la esquina – y más específicamente en el adhesivo – apareciera
plastificación.
En la Mecánica de la Fractura Elasto-Plástica (MFEP), se puede
estimar el tamaño de la zona plástica en el fondo de la grieta. Esta
estimación
puede
ser
obtenida
mediante
la
sustitución
de
las
ecuaciones del campo tensional en el fondo de la grieta en un criterio de
plastificación, es decir, determinar los puntos donde las tensiones
satisfacen el criterio de plastificación. En [30] y [31], entre otros, es
presentada la obtención de la zona plástica para tensión y deformación
plana mediante el criterio de von Mises.
26
Siguiendo la analogía de la MFEP, la evaluación de la plasticidad
en la esquina (localmente) puede conllevar que el estado tensional
calculado sea o no representativo. De entre las aportaciones que este
análisis podría conllevar, el principal seria la propuesta (en etapa
futura) de ensayos específicos en la unión para determinar los valores
admisibles de los FITG.
En la actualidad existen numerosos criterios para predecir la
resistencia de la unión adhesiva. Al considerarse la plasticidad en el
adhesivo, la bibliografía es ampliamente diversificada.
En 1972, usando una versión modificada del criterio de von Mises,
Bowden et ál. [32] llevaron a cabo ensayos con polímeros sugiriendo que
un criterio del tipo von Mises modificado de tal modo que incluya la
influencia de la tensión (o presión) hidrostática es más apropiado para
representar el comportamiento de resinas epoxy.
Más recientemente, Broughton et ál. [33] presentan un estudio
paramétrico de la resistencia de uniones de solape simples con acero
como
adherentes,
aprovechando
la
facilidad
de
los
programas
comerciales de MEF para investigar el efecto de parámetros como por
ejemplo espesor de adhesivo, longitud del pegamiento, geometría del
rebose, entre otros. Utilizaron los criterios de von Mises y DruckerPrager para simular la plasticidad acoplado a criterios de fallo.
Entre los criterios de plastificación que consideran la influencia del
tensor hidrostático, probablemente los más difundidos y ampliamente
utilizados para la simulación de adhesivos sean el de Drucker-Prager
[34], [35], [36], variaciones de este [37], [38] y el de Raghava et ál. [39],
[40], [41], [23].
Guild et ál. [34] hicieron un estudio completo de la propagación de
una grieta, considerada o no en un modelo MEF usando el criterio de
Drucker-Prager para uniones de doble solape (con geometría distinta de
la considerada en este trabajo), obteniendo buena correlación con la
observación experimental, presentando el desarrollo completo del
proceso de fallo en este tipo de unión.
Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas
27
Dean et ál. [37] usaron los criterios de Drucker-Prager y una
modificación cuadrática de este, siendo este último el que mejor se
ajusta a los resultados experimentales. Durban et ál. [42] también
utilizan expresiones del tipo Drucker-Prager en forma cuadrática,
aunque su intención fuera estudiar la singularidad de grietas con
materiales de comportamiento plástico y su efecto.
Está razonablemente consensuado en la literatura que los criterios
de plastificación que no dependen de la presión hidrostática son menos
adecuados para representar el comportamiento de adhesivos en
plasticidad. Por lo tanto, criterios como el de von Mises por ejemplo, no
serían adecuados, pues asumen que la deformación plástica aparece
con independencia del cambio del volumen [34]. En [36] se usan los
criterios de Drucker-Prager y von Mises en cortadura, con una grieta
entre el adhesivo y el adherente (aluminio), considerando la diferencia
entre un criterio y otro despreciable.
En 1973 Raghava et ál. [39] proponen un criterio de plastificación
para polímeros basado en el de von Mises, pero teniendo en cuenta la
dependencia
del
componente
hidrostático
con
la
inclusión
del
correspondiente término en la función de plastificación. Validaron su
propuesta de criterio con los ensayos experimentales realizados en
tubos. Desde entonces este criterio conquistó bastante aceptación en el
medio científico y viene siendo empleado para modelar plasticidad en
todo tipo de polímeros (aunque [23] lo considera como criterio de fallo).
Inicialmente pensado para materiales casi-frágiles ([43], [44], [45],
[46]), los modelos cohesivo [35], [47] y de daño [40], vienen siendo
usados para simular el comportamiento de adhesivos.
Crocombe [48] estudió un criterio basado en el colapso plástico de
la unión aplicado a uniones de simple y doble solape. Más tarde
Crocombe et ál. [40] estudiaron de que manera la energía de fractura y
los campos de tensión y deformación en el adhesivo se verían afectados
al incluir comportamiento elasto-plástico. Para ello usaron una especie
Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas
28
de modelo de daño (pero basado en Dugdale) con muelles en el plano de
fallo, considerando o no una grieta.
Usando el mismo tipo de adhesivo de este trabajo (y sirviendo como
apoyo para obtención de algunas de las propiedades), se encuentran en
la literatura trabajos recientes como [38], [23], [42]. El primer de ellos
realizó ensayos diversos con probetas similares a la Iosipescu para
evaluar la plastificación del adhesivo. Además de notar una fuerte y
compleja dependencia de la tensión hidrostática en la plastificación,
pone de manifiesto que algunos de los criterios más comúnmente
utilizados para simular plasticidad, tales como el von Mises modificado
[32] y el Drucker-Prager no son adecuados para caracterizar la
plastificación local. Propone entonces la utilización de una transición
suave en la extremidad mayor de la superficie cónica de DruckerPrager. También acaba optando por un estudio 2D en deformación
plana. Aydin, utilizando uniones a solape simples presenta un análisis
3D, pero sin considerar el rebose.
A continuación se presenta una breve descripción de algunos
modelos de plasticidad. Esta será de vital importancia para entender los
parámetros de entrada de los modelos más complejos, ya que éstos son
meros desarrollos de los más simples. Tras esta descripción se realiza la
simulación utilizando tres modelos: von Mises, Drucker-Prager y el de
Raghava et ál [39].
3.1. Modelo elastoplástico
La teoría de la Plasticidad establece relaciones matemáticas que
caracterizan la respuesta elastoplástica de los materiales [42]. En ese
contexto,
hay
tres
ingredientes
fundamentales:
el
criterio
de
plastificación, la regla de flujo y la regla de endurecimiento del material.
Para los modelos analizados en este trabajo, se ha considerado el
comportamiento representado en la Fig. 3.1:
Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas
29
Fig. 3.1 – Comportamiento tensión-deformación bilineal isótropo.
3.1.1.
Criterio de plastificación
El criterio de plastificación determina el nivel de tensiones para el
que
se
produce
la
plastificación.
Para
estados
de
tensión
multidimensionales, el criterio se representa mediante una función de
las componentes individuales, f ({σ }) , que puede ser interpretada como
una tensión equivalente σ eq :
σ eq = f ({σ })
(3.1)
donde {σ } es el tensor de tensiones.
Cuando la tensión equivalente es igual al límite elástico del
material:
f ({σ }) = σ y (κ )
(3.2)
el punto comenzará a desarrollar deformación plástica. En la ec. (3.2),
κ es el trabajo plástico (parámetro de endurecimiento). Si σ eq es menor
que σ y , el punto es elástico y las tensiones se desarrollarán de acuerdo
a relaciones elásticas de tensión-deformación. La tensión equivalente no
podrá nunca exceder el límite del material, ya que en este caso se
producirían deformaciones plásticas, reduciéndose por lo tanto las
tensiones a este límite. La ecuación (3.2) puede ser representada en el
espacio de tensiones como muestra la Fig. 3.2 para varios tipos de
plastificación.
Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas
30
Fig. 3.2 – Superficie de plastificación.
Las superficies representadas en la Fig. 3.2 son conocidas como
superficies de plastificación y cualquier estado de tensión dentro de las
superficies es elástico, es decir, no causa deformaciones plásticas,
produciéndose éstas cuando el estado tensional toca a la superficie de
plastificación.
3.1.2.
Regla de flujo
La regla de flujo determina la dirección de la deformación plástica y
viene dada por:
{d ε } = λ
p
p
dψ
dσ
(3.3)
donde λ p es una constante llamada multiplicador plástico o factor de
proporcionalidad (que determina la cantidad de deformación plástica) y
Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas
31
ψ es una función de las tensiones, denominada potencial plástico, y
cuyo gradiente determina la dirección de la deformación plástica).
Si ψ es la propia función de plastificación (como es asumido
normalmente),
la
regla
del
flujo
se
denomina
asociada
y
las
deformaciones plásticas ocurrirán en una dirección normal a la
superficie de plastificación.
3.1.3.
Regla de endurecimiento
La regla de endurecimiento describe el cambio de la superficie de
plastificación con las deformaciones plásticas, de tal manera que las
condiciones (estados de tensiones) para plastificación subsecuente
puedan ser establecidas. En la Fig. 3.3 se presenta la regla de
endurecimiento isótropo.
Superficie inicial de plastificación
Superficie de plastificación
subsecuente
Fig. 3.3 – Endurecimiento isótropo.
En endurecimiento isótropo, la superficie de plastificación resulta
centrada con respecto a su línea central y se expande en tamaño
conforme se desarrolla la deformación plástica.
En los siguientes apartados serán presentados algunos criterios de
plastificación. Los dos primeros son el de Tresca y von Mises, que son
criterios independientes del tensor esférico o presión hidrostática. En
seguida serán presentados los criterios de Mohr-Coulomb, DruckerPrager y Raghava et ál., que son dependientes del tensor esférico.
Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas
32
3.2. Criterio de Tresca
El criterio de Tresca-Guest (1872) para materiales metálicos,
propone que la plastificación ocurre cuando la tensión tangencial en un
punto alcance un valor crítico k , correspondiente con la tensión
tangencial máxima que aparece en el ensayo de tracción en el instante
de la plastificación:
En
el
ensayo
Max
1
1
1
σ1 − σ 2 , σ 2 − σ 3 , σ 3 − σ1 = k
2
2
2
de
tracción
uniaxial,
en
el
(3.4)
instante
de
la
plastificación, σ 1 = σ eT , σ 2 = σ 3 = 0 y la tensión tangencial máxima es
dada por:
k = τ max =
σ1
2
=
σ eT
(3.5)
2
donde σ eT es el límite elástico del material en tracción.
Representando el criterio en el espacio de tensiones principales,
resulta en un prisma hexagonal paralelo a la diagonal principal, siendo
pues independiente de la tensión hidrostática. Se puede representar la
superficie de plastificación en el espacio de tensiones principales como
muestra la Fig. 3.4.
3.3. Criterio de von Mises
Desde 1913 el criterio von Mises (1913), Hencky (1924) y Nadai
(1934) [50], actualmente conocido como von Mises que mayormente es
aplicado
a
materiales
metálicos,
propone
una
superficie
de
plastificación [31] representada por la función:
f = J2 − k = 0
(3.6)
siendo k la tensión de plastificación a cortadura pura, que puede ser
escrita en función del límite elástico del material en tracción: k = σ eT
Así, la ec. (3.6) puede escrita de la forma:
Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas
3.
33
f = 3 J 2 − σ eT = 0 ó f = q − σ eT = 0
(3.7)
donde J 2 es el segundo invariante del desviador, que ya fue definido en
VM
el anterior capítulo, ec. (2.3). q = 3 J 2 = σ eq
fue denominada como la
tensión equivalente de von Mises, ec. (2.1).
De la ec. (3.7), se concluye que la plastificación ocurrirá cuando:
σ eqVM = σ eT
(3.8)
El criterio de von Mises se puede representar gráficamente en el
espacio de tensiones principales. Así, para el criterio de von Mises, la
superficie de plastificación es un cilindro de radio
2 T
σ e y el eje del
3
cilindro es definido en la dirección de la tensión hidrostática σ m , donde:
σm =
I1
3
(3.9)
La superficie circunscribe el hexágono de Tresca, tocando sus
vértices (Fig. 3.4).
Fig. 3.4 – Superficie de Tresca y von Mises.
Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas
34
3.4. Criterio de Mohr-Coulomb
Este criterio, concebido en 1900 [31], es una extensión del criterio
de Tresca, incluyendo una dependencia con la tensión hidrostática. De
acuerdo a este criterio, la plastificación ocurrirá cuando la
tensión
tangencial máxima alcance un valor crítico admisible que depende del
valor de la tensión normal τ adm τ = f (σ ) :
τ
τ = f (σ )
Superficie
de fallo
σ
τ = f (σ )
Fig. 3.5 – Representación gráfica del criterio de Mohr.
La dependencia más sencilla es una línea recta y entonces se
pueden extraer las relaciones más simplificativas que caracterizan este
criterio, como se muestra en la Fig. 3.6:
τ
τ = c − σ tan θ
θ
σ1 + σ 3
2
σ3
σ1
θ
c cos θ
θ
c
σ
σ1 + σ 3
2
Fig. 3.6 – Criterio de Mohr-Coulomb.
La envolvente f (σ ) queda definida por lo tanto por la relación:
Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas
35
τ = c − σ tan θ
(3.10)
Representando la función de plastificación en el espacio de
tensiones principales, ésta queda como una pirámide hexagonal, Fig.
3.7.
3.5. Criterio de Drucker-Prager
Este criterio, basado en el trabajo de Drucker-Prager [51] de 1952,
para suelos, es una extensión del criterio de von Mises. ec. (3.6),
introduciendo una dependencia con la tensión hidrostática, resultando
[31]:
f = J 2 + β I1 − k = 0
(3.11)
La representación de la superficie de plastificación en el espacio de
tensiones principales es un cono cuya generatriz es la trisectriz
( σ 1 = σ 2 = σ 3 ). Si, análogamente al caso de von Mises con Tresca,
hacemos que la superficie del cono circunscriba a los vértices de la
pirámide hexagonal de Mohr-Coulomb obtenemos: k =
β=
6 c cos θ
y
3(3 − sin θ )
2 sin θ
(Fig. 3.8). c y θ son constantes del material (cohesión y
3(3 − sin θ )
ángulo de fricción interna respectivamente).
Reescribiendo la ec. (3.11) en función del límite elástico en
tracción, se obtiene:
f = 3 J 2 + 3 β I1 − σ eT = 0
donde k fue sustituido por σ eT
(3.12)
3 . Dicha ecuación puede ser reescrita
como:
f = 3 J 2 + 3 3βσ m − σ eT = 0
(3.13)
O, de manera más compacta como:
f = q + α σ m − σ eT = 0
(3.14)
donde:
Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas
36
α = 3 3β =
6 sin θ
(3 − sin θ )
(3.15)
es el parámetro de sensibilidad a presión [23], [35], [49], como ya fue
definido anteriormente.
−σ 1
−σ 2
−σ 3
σ1 = σ 2 = σ 3
Fig. 3.7 – superficies de Mohr-Coulomb y Drucker-Prager.
La ec. (3.11) representa gráficamente el cono de la Fig. 3.7. Si β = 0
la función de plastificación se transforma en el criterio de von Mises. La
presión hidrostática p es definida como p = −σ m . Cuando la tensión
hidrostática es pequeña los resultados de ambos modelos son pues
similares. Para niveles elevados de tensión hidrostática (positiva), el
criterio de Drucker-Prager da resultados significativamente diferentes al
de von Mises [29], siendo el admisible del módulo del tensor desviador
más pequeño. En compresión la tensión hidrostática es negativa y el
admisible del módulo del desviador es mayor que en von Mises.
Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas
37
Fig. 3.8 – Superficies de von Mises y Drucker-Prager.
3.6. Criterio de Raghava et ál.
El criterio que Raghava et ál. [39] propusieron para la plastificación
en polímeros es:
(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 + 2(σ eC − σ eT )(σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = 2σ eCσ eT
(3.16)
donde σ 1 , σ 2 y σ 3 son las tensiones principales, σ eC y σ eT representan el
límite elástico en compresión y tracción (en valores absolutos),
respectivamente. En el caso que σ eC = σ eT , este criterio se reduce al
criterio de von Mises [50]:
(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 = 2σ e2
(3.17)
3.7. Criterio de Drucker-Prager Extendido
Los programas de MEF comerciales [49], [52] disponibles en el
mercado generalmente admiten una forma extendida, pensada para
cubrir algunas deficiencias del modelo de Drucker-Prager básico, tales
como permitir el endurecimiento del material y suavización de la
extremidad de la superficie de plastificación cónica.
Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas
38
El criterio de Drucker-Prager Extendido (EDP, en sus siglas en
inglés) es una generalización del criterio de Drucker-Prager, ec. (3.14),
en una forma polinomial del tipo:
f = q b + α σ m − σ yb = 0
(3.18)
La ec. (3.18) fue denominada aquí como función polinomial del
modelo EDP y dependiendo del exponente b que lleve, esta función
puede ser considerada lineal ( b = 1 ) o cuadrática ( b = 2 ) por ejemplo
(aunque ANSYS permita otras formas, como hiperbólica o cúbica, en
este trabajo solamente se consideraron las formas lineal y cuadrática).
3.7.1.
EDP Lineal
En el modelo EDP Lineal de ANSYS, el parámetro b = 1 y la ec.
(3.18) queda de la siguiente forma:
f = q + α σ m − σ eT = 0
(3.19)
Esta ecuación, que coincide con el criterio de Drucker-Prager en su
estructura, predice que la plastificación ocurrirá cuando:
σ eqEDPLineal = σ eT
(3.20)
σ eqEDPLineal = q + α σ m .
(3.21)
donde:
y α , como ya fue definido anteriormente por la ec. (3.15), es igual a
3 3β .
3.7.2.
EDP Cuadrático
Para evitar dificultades numéricas en la punta del cono (con
infinitas normales en un punto) de la Fig. 3.8, ANSYS permite usar un
modelo EDP Cuadrático, en el cual el exponente b = 2 y la ec. (3.18)
queda de la siguiente forma:
f = q 2 + α σ m − σ y2 = 0
(3.22)
que predice la plastificación cuando se cumple f = 0 .
Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas
39
Para obtener una expresión compatible con la forma cuadrática, ec.
(3.22), de ANSYS, se procedió a las manipulaciones que se presentan a
continuación, que relacionan el EDP cuadrático con el criterio de
Raghava et ál..
La influencia de la parte hidrostática del estado tensional en un
criterio aparece en el término que tiene el primer invariante del tensor
I1 . Así, la ec. (3.16) puede ser rescrita como:
(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 + 2(σ eC − σ eT ) I1 = 2σ eCσ eT
(3.23)
Con el parámetro q definido anteriormente por la ec. (2.1), al
cuadrado se obtiene:
q2 =
1
(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 = 3J 2
2
(3.24)
donde q es la tensión equivalente de von Mises.
Dado que la tensión hidrostática es:
σm =
I1
,
3
(3.25)
dividiendo la ec. (3.23) entre 2 e introduciendo la ec. (3.24), se obtiene:
q 2 + (σ eC − σ eT )3σ m = σ eCσ eT
(3.26)
Representando el término del lado derecho de la ecuación como un
término de correlación o media geométrica entre los límites de tracción
y compresión, se puede escribir:
2
q 2 + (σ eC − σ eT )3σ m = σ adm
(3.27)
donde σ adm = σ eCσ eT es la tensión admisible.
Definiendo un parámetro de sensibilidad [23] λ como:
σ eC
λ= T
σe
(3.28)
que relaciona el límite elástico a compresión ( σ eC ) y tracción ( σ eT ).
Multiplicando el según término del lado izquierdo de la ec. (3.26)
por σ eT σ eT , se obtiene:
2
q 2 + α σ m = σ adm
(3.29)
Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas
40
donde:
α = 3σ eT (λ − 1)
(3.30)
σ adm = σ eT λ
(3.31)
tiene unidad de tensión y
también tiene unidad de tensión.
En la Fig. 3.9 se muestra una representación de las funciones
(3.22) y (3.19), EDP cuadrática y lineal respectivamente.
Fig. 3.9 – EDP cuadrática y lineal.
Combinando las relaciones (3.30) y (3.15), se llega a:
3σ eT (λ − 1)
θ = arcsin
2 + σ eT (λ − 1)
(3.32)
Teniendo en cuenta que σ eT y λ son definidos positivos, la función
sin θ estará definida entre [ 0,1] .
En EDP Cuadrático la relación (3.15) deja de tener validez y α
pierde significado físico (en ANSYS [49] no se advierte la diferencia en el
α Lineal adimensional y α Cuad en unidades de tensión).
Análisis 3D elástico y 2D elastoelasto-plástico de esquina bimaterial en uniones adhesivas