capítulo 7 criterios de plastificación

CAPÍTULO 7
CRITERIOS DE
PLASTIFICACIÓN
ENSAYO DE TRACCIÓN SIMPLE
σ
σ1
σ
σ ty
σ
P
εp
Si
σ ≤σy
Comportami ento elástico del material
Si
σ ≥σy
Comportami ento plástico del material
ε
σ
Efecto
Bauschinger
σ
Efecto
de histéresis
σ yt
tracción
compresión
c
σy
ε
ε
ESTADO TENSIONAL TRIDIMENSIONAL
¿Cuándo se produce la plastificación de este punto elástico?
CRITERIO DE PLASTIFICACIÓN
f (σ x , σ y , σ z , τ xy , τ xz , τ yz ) = 0
CRITERIO DE PLASTIFICACIÓN PARA UN
MATERIAL ISÓTROPO
Las propiedades mecánicas no dependen de la dirección
en que se midan. Esto lleva a la afirmación de que no
existe, dentro del sólido, ninguna dirección que predomine
sobre las demás. Por tanto, un criterio de plastificación
debería venir expresado en función de los invariantes del
tensor de tensiones (magnitudes independientes del
sistema de referencia que se tome) y no en función de las
componentes del tensor en un sistema de referencia en
particular.
En base a esto, el criterio de plastificación debe tener la
siguiente formulación:
f ( I1 , I 2 , I3 ) = 0
En el caso de materiales metálicos, se ha comprobado experimentalmente
que, el fenómeno de plastificación en un punto, es independiente de la
componente hidrostática p del tensor de tensiones. Por tanto, en estos
materiales, el criterio de plastificación debe venir expresado en función de
los invariantes J1, J2 y J3 de la parte desviadora del tensor de tensiones.
J1 = 0
J 2 = σ 1′ σ 2′ + σ 2′ σ 3′ + σ 3′ σ 1′
J 3 = σ 1′ σ 2′ σ 3′
p=
σ1 + σ2 + σ3
3
σ 1′ = σ 1 − p
σ 2′ = σ 2 − p
σ 3′ = σ 3 − p
f ( J2 ,J3 ) = 0
Si el material no posee el efecto Bauschinger, el límite elástico no cambiaría
al cambiar el signo de las tensiones aplicadas. Como quiera que J3 es función
impar de σ 1′ , σ 2′ , σ 3′ la función de plastificación no podría depender de este
invariante, por lo que, para metales, el criterio de plastificación debe ser del
tipo:
f (J2 ) = 0
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA PLASTIFICACIÓN
σ2
P
σ3
,
σ2
σ1
Q
r
,
θ
σ2
Q
,
,
σ3
O
σ1
,
σ3
,
σ1
π
plano π: perpendicular a la bisectriz del primer cuadrante de ese sistema de
referencia que, además, tiene su origen en un punto de dicho plano
SUPERFICIE Y LUGAR DE PLASTIFICACION
Superficie de plastificación se define como el lugar geométrico de los puntos
σ 1 ,σ 2 ,σ 3
en los que se cumple el criterio de plastificación.
σ2
σ3
Superficie de
plastificación
σ1
Lugar de
plastificación
π
El corte de la superficie de plastificación con el plano π recibe el nombre
de lugar de plastificación
,
σ2
Lugar de plastificación
Q1
Q2
,
σ3
,
σ1
El lugar de plastificación debe cumplir unas determinadas condiciones:
•debe ser simétrico respecto de los ejes ya que el criterio de plastificación no varía
al intercambiar la dirección de las tensiones principales.
•debe ser simétrico respecto de las rectas perpendiculares a los ejes en el origen
como consecuencia de que el material no presenta el efecto Bauschinger.
CRITERIO DE PLASTIFICACION DE TRESCA
La plastificación de un punto elástico tendrá lugar cuando
la máxima tensión tangencial que actúe sobre el punto
elástico considerado alcance un valor crítico k.
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
Henri
TRESCA
(1841-1884)
σ 1 − σ 3 = 2k
¿Cómo podemos deducir el valor de k a partir, por ejemplo, de la tensión
de plastificación σy obtenida en un ensayo convencional de tracción o
Dde compresión?
σ1 = σ y
σ2 = σ3 = 0
k =
σy
2
SUPERFICIE DE PLASTIFICACION DE TRESCA
σ3
σ2
π
σ1
CRITERIO DE PLASTIFICACION DE VON MISES
La plastificación tiene lugar cuando el segundo
invariante del tensor de tensiones desviadoras es
igual al cuadrado de una constante k’ propiedad
del material
J2
Richard
VON MISES
(1883-1953)
2
′
= (k )
(σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) = 6(k ′)2
(σ x − σ y )2 + (σ y − σ z )2 + (σ z − σ x )2 + 6(τ xy2 + τ yz2 + τ xz2 ) = 6(k ′)2
2
2
2
La forma de determinar el valor del parámetro k’ es
similar a la que vimos para el criterio de Tresca:
σ1 = σ y , σ2 = σ3 = 0
J 2 = 2σ
2
y
J 2 = 2σ
2
y
= 6(k ′)
2
⇒
k′ =
σy
3
Principio físico de la teoría de Von Mises
La plastificación se produce si Ud (Energía de
distorsión) alcanza el mismo valor de Ud cuando
se produce la plastificación en un ensayo de
tracción
Concepto de Energía de distorsión :
Energía consumida para obtener un cambio
de forma del punto elástico sin que éste
cambie ni de dimensiones y ni de volumen.
U d = U T − UV
E. de distorsión
E. Total
E. necesaria para un
cambio de volumen
1-
Calculemos el cambio de volumen de un punto elástico
sometido a las tensiones σ1 , σ2 , σ3 .
∆V = [(1 + ε 1 )(1 + ε 2 )(1 + ε 3 ) − 1] =
= 1 + ε 1 + ε 2 + ε 3 + ε 1ε 2 + ε 1ε 3 + ε 2ε 3 + ε 1ε 2ε 3 − 1 ≈
≈ ε1 + ε 2 + ε 3
Como quiera que:
ε1 =
ε2 =
σ 1 ν (σ 2 + σ 3 )
−
1
−
2
E
E
σ 2 ν (σ 1 + σ 3 )
E
E
σ 3 ν (σ 1 + σ 2 )
ε3 =
−
E
E
llegamos a que:
3
σ +σ
(
∆V =
1
2
+
σ
E
3
)(1− 2v )
2- Calculemos la tensión hidrostática que produciría la misma
variación de volumen (∆V):
3
∆V = 3ev = σ hidrostática (1 − 2ν )
E
3- Calculemos UT para
2
[
σ1 + σ 2 + σ 3
3
UT para un resorte :
el punto elástico :
11
σσ2 ∈ε2 + +σσ3 ∈ε3 ]
1 ++
UUTT ==2 [σσ1 ∈
ε
1 1
2 2
3 3
σ hidrostática =
]
Ut = F ⋅ x
2
K x2
Ut =
2
Utilizando las ecuaciones 1 , 2 y 3
UT =
1
2E
(σ + σ + σ ) (1 − 2v )
2
2
2
1
2
3
3
UV =
2E
4- Calculemos UV
UV =
σ (1 − 2v )
2
av
3 2
σ hidrostática (1 − 2ν )
2E
1
UV =
(1 − 2v )
6E
(σ + σ + σ
2
2
2
1
2
3
5- Despejemos Ud
+ 2σ 1σ 2 + 2σ 1σ 3 + 2σ 2σ 3
2
2
2
⎡
1 + v (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) ⎤
Ud = UT −UV =
⎢
⎥
3E ⎢
2
⎥⎦
⎣
1444444444444
424444444444444
3
A
)
6- Calculemos Ud cuando se produce la plastificación en un
ensayo de tracción:
11 +
+νvσ 2 2
U
=
U d d=
S
33EE y y σ y = límite elástico del material
1 44 2 4 4
3
B
7- Igualando las expresiones A y B
22 (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2
σSyy =
2⎡
S
=
σ y 2 ⎣(σ
8-
2
⎤
1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 )
⎦
2
2
2
1
2
1
2⎡
2
2
2
2
⎤
Llamando σ =
−
+
−
+
−
σ
σ
σ
σ
σ
σ
(
)
(
)
(
)
1
2
2
3
3
1
⎦
e
2 ⎣
σy y
9- La plastificación se produce cuando σe ≥ S
Tensión equivalente de Von Mises.
SUPERFICIE DE PLASTIFICACION DE VON MISES
σ3
3
R=
σy
2
s
σ
,
σ3
p
,
σ2
,
σ1
σ1
σ1
π
σ2
COMPARACIÓN ENTRE LOS LUGARES DE PLASTIFICACIÓN
DE TRESCA Y VON MISES:
,
σ2
Von Mises
Tresca
,
σ3
,
σ1
TENSIÓN EQUIVALENTE DE VON MISES
σ'=
1
2
⎡⎣(σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 ⎤⎦
PLASTIFICACIÓN:
σ′≤σy