(2315-405) Dados un triángulo ABC, un punto W y una

Ejercicio 108 Triángulos
Applet CabriJava
(2315-405)
Dados un triángulo ABC, un punto W y una recta ` en su plano, se consideran los puntos D = AW ∩ `,
E = BW ∩ ` y F = CW ∩ `. Entonces, para que los puntos PA = P D ∩ BC, PB = P E ∩ CA y
PC = P F ∩ AB estén alineados (en la (W, `)–recta de Simson-Wallace) es suficiente que P esté en la cónica
circunscrita a ABC, que pasa por los puntos A0 = BF ∩ CE, B 0 = CD ∩ AF y C 0 = AE ∩ BD.
Cuando W = H es el ortocentro y ` es la recta del infinito se obtiene al recta de Simson-Wallace.
SOLUCIÓN:
En coordenadas baricéntricas relativas al triángulo ABC, sea W (u : v : w) y ` : px + qy + rz = 0, entonces
AW : wy − vz = 0,
D = AW ∩ ` (−qv − rw : pv : pw),
BW : wx − uz = 0,
CW : vx − uy = 0,
E = BW ∩ ` (qu : −pu − rw : qw),
F = CW ∩ ` (ru : rv : −pu − qv).
Para un punto P (x0 : y0 , z0 ):
P D : p(wy0 − vz0 )x + (−pwx0 − qvz0 − rwz0 )y + (pvx0 + qvy0 + rwy0 )z = 0,
P E : (qwy0 + puz0 + rwz0 )x + q(−wx0 + uz0 )y + (−pux0 − rwx0 − quy0 )z = 0,
DF : (−puy0 − qvy0 − rvz0 )x + (pux0 + qvx0 + ruz0 )y + r(vx0 − uy0 )z = 0,
P D ∩ BC = PA (0 : pvx0 + qvy0 + rwy0 : pwx0 + qvz0 + rwz0 ),
P E ∩ CA = PB (pux0 + rwx0 + quy0 : 0 : qwy0 + puz0 + rwz0 ),
P F ∩ AB = PC (pux0 + qvx0 + ruz0 : puy0 + qvy0 + rvz0 : 0).
Los puntos PA , PB y PC están alineados si P (x0 : y0 : z0 ) satisfacen a la siguiente ecuación:
¡
¢
(pu + qv + rw)(px + qy + rz) u(qv + rw)yz + v(rw + pu)zx + w(pu + qv)xy = 0.
Si W está en `, los puntos PA , PB y PC están en la recta P W ; P está en la recta `, ellos están en `; y también está
alineados si P está en la cónica de ecuación:
u(qv + rw)yz + v(rw + pu)zx + w(pu + qv)xy = 0.
(1)
Se trata de una cónica circunscrita a ABC y que pasa por los puntos
A0 = BF ∩ CE (qru : −r(pu + rw) : −q(pu + qv)),
B 0 = CD ∩ AF (−r(qv + rw), prv, −p(pu + qv)),
C 0 = AE ∩ BD (−q(qv + rw), −p(pu + rw), pqw).
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Su centro es:
³
u(qv + rw)(pu(v + w) + qv(w − u) + rw(v − u)) : v(rw + pu)(qv(w + u) + rw(u − v) + pu(w − v)) :
´
w(pu + qv)(rw(u + v) + pu(v − w) + qv(u − w)) .
Observaciones adicionales.• Este resultado es la generalización proyectiva del teorema de Simson-Wallace:
”Sean PA , PB y PC los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto P a los lados de un triángulo; entonces,
la condición necesaria y suficiente para que PA , PB y PC estén alineados es que P se encuentre sobre la circunferencia
circunscrita a ABC”.
Para ver que este resultado es un caso particular del enunciado en el ejercicio, se toma W = H(SB SC : SC SA :
SA SB ) el ortocentro de ABC y como recta ` la del infinto, x + y + z = 0.
La cónica circunscrita (1) cuando se toma como recta ` la del infinito es
u(v + w)yz + v(w + u)zx + w(u + v)xy = 0.
Si además, W = H, queda
(SB + SC )yz + (SC + SA )zx + (SA + Sb )xy
=
a2 yz + b2 zx + c3 xy = 0,
que es la ecuación de la circunferencia circunscrita a ABC.
• Que el resultado del ejercicio es una generalización proyectiva del Teorema de Simson-Wallace, surge de que en
éste se trazan rectas por P que cortan a la recta del infinito en el mismo punto que las cevianas de H (alturas de
ABC). En la generalización se toma, en vez de la recta del infinito, una recta cualquiera ` y, en vez de las cevianas
de H, las cevianas de un punto W , cualquiera.
• Si tomamos las cevinas de un punto W en vez de las cevinas de H, se obtiene una generalización afı́n del teorema
de Simson-Wallace. En este caso, los puntos A0 , B 0 y C 0 son los que completan los paralelogramos BW CA0 , CW AB 0
y AW BC 0 , y el centro de la cónica circunscrita, u(v + w)yz + v(w + u)zx + w(u + v)xy = 0, es el complemento de
W (u : v : w):
¡
¢
v+w :w+u:u+v ,
es decir, el extremo del segmento con uno de sus extremos en W y tal que el baricentro G de ABC lo divide en tres
parte; estando G más lejos del extermo W que del otro extremo.
Esta cónica es una elipse si las coordenadas homogéneas absolutas de W no tiene componentes negativas o tiene
dos negativas; es una hipérbola si hay una negativa; y son parábolas (degeneradas) si W está en los lados de ABC o
en la recta del infinito. Todo esto se sigue de que los puntos del infinito de la cónica son
³
´
p
p
2uw ± −uvw(u + v + w) : 2vw ∓ −uvw(u + v + w) : −2(u + v)w
En el caso de las elipses, sólo hay un punto W para el cual sea una circunferencia: es cuando los puntos del infinito
son los puntos cı́clicos (SB ± iS : SA ∓ iS : −c2 ), ya que entonces, (u : v : w) = (SB SC : SC SA : SA SB ), que es el
ortocentro. La cónica es la circunferencia circunscrita (teorema de Simson-Wallace).
En el caso de las hipérbolas, éstas son equiláteras si W está en la circunferencia circunscrita; ya que las ası́ntotas
son perpendicualres si
p
p
SA (2uw + −uvw(u + v + w))(2uw − −uvw(u + v + w))+
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SB (2vw −
p
−uvw(u + v + w))(2vw +
p
−uvw(u + v + w)) + SC (−2(u + v)w)(−2(u + v)w) = 0,
es decir,
¡
¢
4(u + v)w (SA + SB )uv + (SA + SC )uw + (SB + SC )vw = 0,
a2 vw + b2 wu + c2 uv = 0.
• Los triángulos ABC y A0 B 0 C 0 son perspectivos, con centro de perspectividad en
¡
¢
qr(qv + rw) : rp(rw + pu) : pq(pu + qv) .
Para el caso del Teorema de Simson-Wallace, éste conincide con el centro (circuncentro) de la circunferencia
circunscrita. Y para la generalización afı́n (` recta del infinito), el centro de perspectividad coincide con el centro de
la cónica circunscrita, que es el complemento de W (u : v : w), y los triángulos son simétrico respecto a la centro de la
cónica.
Para el caso general, el centro de perspectividad de ABC y A0 B 0 C 0 está en la recta del infinito si W está en la
recta de ecuación
p2 (q + r)x + q 2 (r + q)y + r2 (p + q)z = 0.
Esta recta es paralela a `, px + qy + rz = 0, ya que tienen el mismo punto del infinito (q − r : r − p : p − q).
(Applet CabriJava)
• Cuando la recta ` : x/u + y/v
¡ + z/w = 0 es la polar trilineal de W (u¢ : v : w), la cónica circunscrita es
uyz + vzx + wxy = 0 con centro en u(−u + v + w) : v(u − v + w) : w(u + v − w) . Y el centro de perpspectividad de
los triángulo ABC y A0 B 0 C 0 es el propio W .
• Los pies PA , PB , PC de las perpendiculares trazadas a los lados de un triángulo ABC desde un punto P (x : y : z),
forman un triángulo (pedal de P ) de área:
¡ 4
¢3/2 ¡
¢
−a + 2b2 a2 + 2c2 a2 − b4 − c4 + 2b2 c2
yza2 + c2 xy + b2 xz
.
16a2 b2 c2 (x + y + z)2
Para que este área sea igual a una cosntante k, el punto P ha de estar en la circunferencia de ecuación
a2 yz + b2 zx + c2 xy − k
16a2 b2 c2
(−a4 + 2b2 a2 + 2c2 a2 − b4 − c4 + 2b2 c2 )
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(x + y + z)2 = 0.
Para determinar su centro, usamos la exprexión del centro de una circunferencia:
¡ 2
¢
a SA + SB (r − p) − SC (p − q) : b2 SB + SC (p − q) − SA (q − r) : c2 SC + SA (q − r) − SB (r − p) ,
siendo p, q y r, en este caso, los coeficientes que aparecen en la ecuación de una circunferencia general a2 yz + b2 zx +
c2 xy − (x + y + z)(px + qy + rz) = 0. Con lo que centro en este caso es el circuncentro O(a2 SA : b2 SB : c2 SC ).
http://webpages.ull.es/users/amontes/pdf/ejtr2315.pdf
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