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Semana 7
Propiedades de la radicación
Semana 7
Propiedades de la radicación
Seguimos en esta sesión con el tema de la radicación, pero esta vez analizaremos sus propiedades, las construiremos con los conocimientos
que poseemos acerca de la potencia, realizaremos ejercicios relacionados con la aplicación de
la radicación en la vida cotidiana, entre ellos la
planificación de proyectos; también, veremos
relaciones entre la matemática y la armonía de
sonidos que producen bienestar emocional.
Al finalizar esta semana estarás en capacidad de resolver ejercicios aplicando las
propiedades de la radicación en expresiones matemáticas más complejas.
¡Áreas enraizadas! Se muestran dos problemas de áreas, con cuatro alternativas y
sólo una es correcta. Intenta resolverlos con lo estudiado hasta ahora y luego contrasta tu solución con las planteadas.
1. ¿Cuál es el área de la figura 49?
a) 6 +1
b) 4 6 +1
c) (4) 6 +1
d) 2 ( 6 +2)
8
12
8
Figura 49
2. El área de un cuadrado inscrito en un círculo es 36m2. ¿Cuál será el radio de la
circunferencia? (figura 50).
a) 4
2 m
b) 3
2 m
c) 6m d) 6 12
Figura 50
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Propiedades de la radicación
Propiedades de la radicación
1. Raíz de un producto
¿Cómo se podría calcular la raíz cuadrada de 2500? Una opción es utilizando la calculadora o nuestros conocimientos de potenciación para preguntarnos ¿qué número
elevado al cuadrado da 2500? Pero, si observamos el número y recordamos nuestros
conocimientos sobre el sistema numérico decimal, 2500 lo podemos escribir como 25
x 100, ambos cuadrados de 5 y 10, respectivamente, de manera que se puede escribir
como 52 x 102 y, utilizando propiedades de potenciación, esto es (5 x 10)2 = 502. Ahora,
nuestra respuesta podemos escribirla así: 2500 = 25 x 100 = 52 x 102
Observemos que la raíz cuadrada del producto 25 x 100 es igual al producto de la
raíz cuadrada de 25 por la raíz cuadrada de 100
Puedes hacer el procedimiento anterior para cualquier índice de la raíz.
La raíz enésima del producto de dos o más números es igual
al producto de las raíces enésimas de cada uno de los facton
n
n
res. Se expresa así ab = a b
Fíjate que cuando lees la igualdad anterior de derecha a izquierda, expresa que el
producto de raíces con igual índice es igual a otro radical de igual índice cuya cantidad
subradical es el producto de las cantidades subradicales.
2. Raíz de un cociente
Cómo podrías calcular esta raíz cuadrada:
36
81
Una manera sería realizar la división y luego “sacar” la raíz cuadrada, pero al realizar
la división obtienes un número decimal y por ahora no hemos visto ningún procedimiento para hallar raíces de números decimales. Podemos hallar por separado la raíz
del dividendo (36) y la raíz del divisor (81), y nos planteamos qué número elevado al
cuadrado da 36 y 81 respectivamente, ¿ya lo tienes? Podemos expresar lo anterior
así:
36
36
62
=
=
81
81
92
La raíz enésima del cociente de dos números es igual al cociente de la raíz enésima del numerador entre la raíz enésima
del denominador. Se expresa así:
n
a
b
n
=
n
a
, b ≠ 0
b
3. Potencia de una raíz
3
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¿Cuál es el valor de ( 5 )4 ? Al aplicar la definición de potencia, tenemos que la base
se repite cuatro veces, así (3 5 ) x (3 5 ) x (3 5 ) x (3 5 ). Ahora aplicamos la propiedad
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mostrada en la raíz de un producto:
3
3
3
5 x 5 x 5 x 5 = 54, luego ( 5 4). En general:
Para efectuar la potencia de una raíz, se eleva la cantidad subradical a dicha potencia y se conserva el mismo índice de la
n
n
raíz. Se expresa así: ( a )m = a m
4. Raíz de una raíz
3
¿Cuál es el valor de 729? Seguramente habrás pensado en calcular la raíz cúbica
de 729 y al resultado de ésta hallarle la raíz cuadrada. Esa opción es correcta y el resultado obtenido es 3 y -3, pero ¿habrá otra forma de calcularla? Reflexiona: en base
al resultado anterior ¿cuántas veces debes multiplicar el número 3 ó -3 para obtener
729? ¡Exacto! Ese número representa el índice de la raíz. Así que podemos establecer:
3
729
=
6
729
Detalla que en el primer miembro los índices son 2 y 3, mientras que en el segundo
el índice de la raíz es 6; éste último se ha obtenido de la multiplicación de 2 x 3 = 6. Es
decir:
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de
las raíces y se conserva la cantidad subradical. Se expresa así:
n
m
a
n·m
=
a
Veamos algunos ejemplos:
a) 50
b)
3
-8000
c)
2 · 14 · 3
d)
3
480
e)
2250
2560
f)
3
32 · a6
Las expresiones radicales se simplifican buscando en el radicando factores que son
cuadrados perfectos o descomponiendo el número en factores primos.
a) Para simplificar 50, identificamos que 25 es cuadrado perfecto; lo reescribimos
así: 50 = 25 x 2 = 25 x 2 = 52 x 2 = 5 · 2 . La expresión 5 · 2 está en su forma
más simple.
Para el caso b) debemos identificar factores que son cubos perfectos, puesto que el
3
índice de la raíz es 3. Para simplificar -8000, identificamos que los números -8 y 1000
son cubos perfectos, así que la cantidad subradical la podemos expresar así:
3
-8000 =
3
-8 x 1000 =
3
-8 x
3
3
1000 = (-2)3 x
3
103 = -2 x 10 = -20
3
Analicemos ahora los resultados que hemos obtenido 52 = 5, (-2)3 = -2 ¿Qué patrones estas observando? Fíjate que si un número se eleva a una potencia n y luego se
extrae la raíz enésima, se obtiene el mismo número, por ello se dice que la potencia y
la radicación son operaciones inversas.
Así que la raíz ncúbica de -8, es
guiente forma: an = a
3
-8 =
3
(-2)3 = -2. Esto se puede generalizar de la si-
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Propiedades de la radicación
Cuando el índice de la raíz y el exponente
son iguales, el resultado de la radicación es la
cantidad subradical.
n
Sin embargo, an = a no siempre se cumple.
Por ejemplo (-9)2 = -9 ; pero este resultado es incorrecto, ya
que el orden de las operaciones establece que primero se debe
efectuar la potencia cuadrada y luego extraer la raíz cuadrada.
Resulta entonces (-9)2 = 81 = ± 9.
Por tanto
n
an = a es válido en los siguientes casos:
· Si a es entero positivo y n es cualquier entero positivo. Ejemplo:
4
94 = 9
3
· Si a es entero negativo y n es impar. Ejemplo: (-4)3 = -4
Para el caso c) aplicamos también la primera propiedad, pero de derecha a izquierda. La multiplicación de radicales podemos escribirla así: 2 · 14 · 3 = 2 · 14 · 3
= 84
Para resolver la raíz de 84 descomponemos el número en factores primos y obtenemos: 22 · 3 · 7. Si aplicamos nuevamente la propiedad de la raíz de un producto,
obtenemos 22 · 3 · 7 = 2 · 21
Ahora,
consideremos el caso d)
3
= 2 · 60
3
480 =
3
3
3
3
2 5 · 3 · 5 = 2 3 · 22 · 3 · 5 = 2 3 · 2 2 · 3 · 5
Primero se descompone 480 en factores primos; reescribimos 25 de tal manera que
n
uno de sus exponentes coincida con el índice de la raíz para utilizar an = a; luego
aplicamos la propiedad de raíz de un producto y simplificamos.
Ahora, justifica cada paso en los ejercicios e) y f )
225 152
2250
225 · 10
225 10
15
e) = =
===
·
256 162
2560
256 · 10
256 10
16
f)
4
32 · a6 =
4
25 · a6
=
4
24 · 2 · a4 · a2 =
4
4
4
24 · a4 · 2 · a2 = 2 · a
4
2 · a2
Observa en los ejemplos que, cuando el exponente de la cantidad subradical es
igual o mayor que el índice de la raíz, la cantidad subradical puede ser extraída total o
parcialmente de la raíz. Decimos que una expresión radical está simplificada cuando
su radicando no tiene factores que sean potencia de un número natural.
Problemas del cálculo de la raíz cuadrada en la vida diaria
1. El consejo comunal ha elaborado un proyecto para la construcción de un complejo deportivo para la recreación de los jóvenes del barrio, a fin de integrarlos en una
dinámica social productiva para mejorar su calidad de vida. Se están haciendo las diligencias pertinentes para conseguir los recursos económicos. Si el consejo comunal ha
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adquirido un terreno cuadrado de 1225 m2 de área, ¿cuál es el costo total de la cerca?
El metro tiene un costo de Bs.60.
A = L2
La figura geométrica asociada es un cuadrado; la fórmula de su área es
donde L representa el lado del cuadrado (terreno).
En este problema hay que hallar cuál es el costo de la cerca; para ello debes saber
cuánto mide el perímetro de ésta. De los datos mostrados, ¿sabes cuánto mide el lado
del terreno?, ¿qué operaciones harás para encontrar la medida del lado?
Observa la fórmula; tienes que despejar la letra L; fíjate que lo único que le “estorba”
a L es el exponente 2 ¿cómo harías para eliminarlo? Debes aplicar la operación contraria a la potencia,
Aplica la operación contraria de la potencia; en este caso es
la raíz cuadrada.
n
2
Aplicamos an = a
A = L A = L2 A = L
A=L L= A
Ahora sólo tienes que sustituir en la fórmula los datos proporcionados por el ejercicio. L = A
L = 1225m2
L = 1225 · m2
L = 35m .
Justifica el procedimiento (sugerencia: revisa las propiedades de las raíces).
Cada lado del terreno mide 35m y, dado que el terreno tiene cuatro lados, el perímetro es la suma de los lados; al realizar la operación da 140m. Ahora si podemos
calcular cuánto es el costo de la cerca; sólo hay que multiplicar 140m por Bs. 60, eso
da Bs. 8400.
Saber más
Visualiza más ejercicios en la siguiente dirección web: http://student_star.
galeon.com/expyrad02.htm
1. Aplica la propiedad correspondiente y resuelve.
a) 300
b) 9 · x4 f ) 76 · x2
32
k) 500
g)
l)
4
p) ( 3x )
2 5
125 · m9 · n12
48
32
5
3
3
q)
c) 45 3
x3
m) x·y
x60 r)
4 3
35 · 23
d) 3 · 27 h)
81
361
n)
3
i)
27 · x6 · y4 e) 5b ·
64
289
j)
15b
27
75
3
o) ( 24 )5
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Propiedades de la radicación
2. Halla 49, 490,
4900,
49000,
490000,
4900000
¿qué patrón observas?
Música y matemáticas
Fue Pitágoras quien descubrió que existía una relación numérica entre tonos que
sonaban “armónicos” y fue el primero en darse cuenta de que la música, siendo uno de
los medios esenciales de comunicación y placer, podía ser medida por medio de razones de enteros. Sabemos que el sonido producido al tocar una cuerda depende de la
longitud, grosor y tensión de la misma. Entendemos que cualquiera de estas variables
afecta la frecuencia de vibración de la cuerda. Lo que Pitágoras descubrió es que al
dividir la cuerda en ciertas proporciones era capaz de producir sonidos placenteros al
oído. Eso era una maravillosa confirmación de su teoría. Números y belleza eran uno.
El mundo físico y el emocional podían ser descritos con números sencillos y existía
una relación armónica entre todos los fenómenos perceptibles.
Continúa esta lectura en el CD multimedia del IRFA de este semestre y en la siguiente dirección web: http://www.elementos.buap.mx/num44/htm/21.htm
Resuelve el siguiente problema: una compañía siderúrgica fabrica tubos de acero
para el sector petrolero, gasífero, industrial y de construcción, para el mercado venezolano y para exportar. Si el volumen de un tubo de acero galvanizado para la conducción de agua, gas o vapor, es 0,066 m3 y una longitud de 6,4m., ¿cuál será la medida
de su radio? Si se almacenan en estantes de 6,4m de largo, 6,9 de alto y 2,3 de ancho,
¿cuántos tubos caben en el estante?
La salud es la unidad que da valor a todos los ceros de la vida.
Bernard Le Bouvier de Fontenelle
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