1.5-Ejercicios sobre dominio

Ejercicio 7
Determinar y representar el dominio de la función
 4  x 2  y 2  
f ( x , y)  

arc sen 2x  3
a) Como en f1 se tiene una raíz cuadrada, el subradical de ser  0.
4 – x2 – y2  0

x2 + y2  4
Luego el Df 1 es el círculo de radio 2 con centro en el origen.
b) Como en f2 se tiene una función arco seno. La variable argumento
debe estar comprendida entre -1 y 1.
-1  (2x-3)  1

1 x 2
Luego el Df 2 es la región del plano comprendida entre +1 y +2 ambos
inclusive.
c) Finalmente, interceptando Df 1 con Df 2 se obtiene el dominio de f.
Df = Df 1 ∩ Df 2
Para x = 1 se tiene que
12 + y2 = 4 
y2 = 3  (1, 3)
(1, -3)
Ejercicio 8
Determinar y representar el dominio de la función
xy
dado que , el subradical debe ser  0 (y el
x
denominador diferente de cero) se tienen dos posibilidades:
f ( x , y) 
Posibilidad 1
x-y  0
x>0
Posibilidad 2
x-y  0
x<0
El dominio será la unión de
estos dos conjuntos definidos
por las condiciones dobles.
Ya que la imagen (x, y)
existe en ambos casos.
Ejercicio 9
Determinar y representar el dominio de la función
1  x 2  y2
f ( x , y) 
dado que , el subradical de ser  0 (y el
xy
denominador diferente de cero) se tienen cuatro posibilidades:
1- x2 - y2  0
xy > 0 
x>0

y>0
x<0

y<0
1- x2 - y2  0
xy < 0 
x>0

y<0
x<0

y>0
Las cuatro posibilidades son:
I
II
III
IV
1- x2 - y2  0
x>0
y>0
1- x2 - y2  0
x<0
y<0
1- x2 - y2  0
x>0
y<0
1- x2 - y2  0
x<0
y>0
El dominio será la
unión de estos cuatro
conjuntos definidos
por las condiciones
triples. Ya que la
imagen (x, y) existe
en los cuatro casos.
Ejercicio 10
Determinar y representar el dominio de la función
1  x 2  y2
f ( x , y) 
dado que , el subradical de ser  0 , y el
xy
denominador diferente de cero se tiene:
1- x2 - y2  0
x0
y0
Ejercicio 11
Determinar y representar el dominio de la función
2y  1
f (x, y)  L(1  x 2  y) 
El argumento de la función logarítmica debe ser > 0 , y la cantidad
subradical debe ser  0, por lo tanto:
1– x2 – y > 0  y < 1– x2
2y – 1  0

(2/2, 1/2)
y = 1- x2
y ½
(2 /2, 1/2)
Ejercicio 12
Determinar y representar el dominio de la función
 xy

y
f ( x , y)  

2
2
4

x

y








a) Como en f1 se tiene una raíz cuadrada, el subradical de ser  0.
(y el denominador diferente de cero) se tienen dos posibilidades:
Posibilidad 1
x+y  0
y>0
Posibilidad 2
x+y  0
y<0
El dominio será la unión de
estos dos conjuntos definidos
por las condiciones dobles.
Ya que la imagen (x, y)
existe en ambos casos.
b) f2 corresponde a la primera función del ejercicio 7
c) Finalmente, interceptando Df 1 con Df 2 se obtiene el dominio de f.
Df = Df 1 ∩ Df 2
Ejercicio 13
Determinar y representar el dominio de la función

 y 
arc
sen
 2


x

1


f ( x , y)  
 1 x2





a) En f1 se tiene una función arco seno, cuyo argumento debe estar
acotado entre -1 y 1, y el denominador del mismo, diferente de cero.
Esto es:
y
x 1
2
 1

x
2

1
 0
Y dado que (x2 + 1) es siempre mayor que cero se tiene:
y  x2 + 1

| y |  x2 + 1

y  -(x2 + 1)
El dominio Df 1 será la intersección de estos dos conjuntos de valores.
Cuya representación es la zona de color amarillo en la figura a
continuación.
b) Como en f2 se tiene una raíz cuadrada, el subradical de ser  0.
Entonces:
x 1
2
2
1-x 0 
x  1
 |x|  1 
x  -1
Luego el Df 2 es la región del plano comprendida entre -1 y +1 ambos
inclusive.
c) Finalmente, interceptando Df 1 con Df 2 se obtiene el dominio de f.
Df = Df 1 ∩ Df 2