Sucesiones y Límites

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Tema 8.- Sucesiones y Límites
Sucesiones
Conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro: a1 , a2 , a3 ,..., an
Operaciones
an =a1 , a2, a3 ,..., an
bn =b1 , b2 , b3 ,..., bn
Suma
Diferencia
(an )+(bn )=(an +bn )= a1 +b1 , a2 +b2, a3 +b3, ⋯,an +bn,
an -(bn )=(an -bn )= a1 -b1 , a2 -b2 , a3 -b3 , ⋯,an -bn ,
Producto
Cociente
an ∙(bn )=(an ∙bn )= a1∙b1 , a2 ∙b2 , a3 ∙b3 , ⋯,an ∙bn ,
Sólo cuando el denominador es inversible
an
1
=(an )∙
bn
bn
Sucesión inversible o invertible
Todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión an es inversible, su inversa es:
1
1 1 1
1
=
, , ,⋯,
an
a1 a2 a3
an
→
1
=(1,1,1,⋯)
an
an ∙
Tipos de sucesiones

Monótonas




Estrictamente crecientes: an+1 > an
Crecientes: an+1  an
Estrictamente decrecientes: an+1 < an
Decrecientes: an+1  an

Constantes: todos su términos son iguales: an = k  an = an+1

Acotadas inferiormente: todos sus términos son mayores o iguales que un cierto nº k (cota inferior): an  k.
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo. Si el ínfimo de una sucesión es
uno de sus términos se le llama mínimo.

Acotadas superiormente: todos sus términos son menores o iguales que un cierto número 𝑘 ′ , que llamaremos
(cota superior): an  k.
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo. Si el supremo de una
sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Convergentes: cuando tiene límite finito.

Divergentes: no tienen límite finito.

Oscilantes: no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa: 1, 0, 3,
0, 5, 0, 7,...

Alternadas: alternan los signos de sus términos:



Convergentes
Divergentes
Oscilantes






an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n
Creciente
Acotada inferiormente
Cotas inferiores: 1, 0, -1,...
Mínimo es 1
No está acotada superiormente.
Divergente






bn = -1, -2, -3, -4, -5, ... -n
Decreciente
Acotada superiormente
Cotas superiores: -1, 0, 1,...
Máximo es -1
No está acotada inferiormente
Divergente
á
á
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Matemáticas _ B_ 4º ESO
Progresión aritmética
Sucesión de nº de modo que cada uno de ellos (excepto el primero) es igual al anterior más un nº fijo llamado
diferencia (d)
an = a1 + (n - 1) · d
d=
Suma de términos equidistantes de los extremos
b-a
m+1
a, b: extremos
m: términos a interpolar
Suma de n términos consecutivos
𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎𝑖 , . . . , 𝑎𝑗 , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛
𝑆𝑛 =
𝑎1 + 𝑎𝑛 · 𝑛
2
𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 = 𝑎1 + 𝑎𝑛
Progresión geométrica
Sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija llamada razón (r)
r=
an = a1 · rn - 1
Interpolación de términos
r=
m+1
Suma de n términos consecutivos
b
a
Sn =
Suma de los términos de una progresión geométrica
decreciente
S=
an
an-1
an · r - a1
r-1
Producto de dos términos equidistantes
a1 , a2 , ai ,..., aj , an-1 , an
a1
1-r
ai ∙ aj = a1 ∙ an
Producto de n términos equidistantes
P=±
a1 · an
n
Límite de una Sucesión
Límite finito de una sucesión
Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier nº positivo  que tomemos, existe un término ak, a
partir del cual todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que |an - L| < ε
lim an = L ↔ ∀ ε > 0
lim
ε = 0.01 → k >
∃ k ∈ N ∀n> k
an - L < ε
1
1
1
1
=0 ↔
-0 <ε→ <ε →k>
n
k
k
ε
1
→ k >100 → a partir de a101 su distancia a 0 es menor que 0.01
0.01
1
-0 <0.01 → 0.00990099 < 0.01
101
Mediante Entornos
Se dice que una sucesión an tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño
que sea su radio , existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho
entorno.
lim an = L ↔ ∀ ε>0
∃ k ∈ N ∀ n > k an ϵ Ε L , ε
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Tema 8.- Sucesiones y Límites
Límite infinito de una sucesión
+
Se dice que una sucesión an tiene por límite +∞ cuando para toda M > 0 existe un término ak, a partir del cual
todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an > M
lim an = +∞ ↔ ∀ M>0
∃ k ∈ N ∀ n>k
2
2
an > M
2
an =n2 →1 ,⋯,1.000.000 ,⋯,1.000.000.000 ,⋯ →
lim an = +∞
an > M→n2 > M→n> M= 1.000.000=1000→a partir de a1001 se superará el valor de 1.000.000
2
a1001=1001 =1.002.001
-
Se dice que una sucesión an tiene por límite −∞ cuando para toda N > 0 existe un término ak, a partir del cual
todos los términos de an, siguientes a ak cumplen que an <-N
lim an =-∞ ↔ ∀ M > 0
an =- n
2
∃ k ∈ N ∀ n>k
an <-N
→- 1 2 ,⋯,- 1.000.000 2,⋯,- 1.000.000.000 2,⋯ → lim an = -∞
an <-N→-n2 <-N→n> M= 1.000.000=1000→a partir de a1001 se superará el valor de-1.000.000
a1001=- 1001 2 =-1.002.001
Propiedades de los límites
1. Es único.
2. Si una sucesión an tiene límite, todas las subsucesiones tienen igual límite que an.
3. Todas las sucesiones convergentes están acotadas.
4 . Hay sucesiones acotadas que no son convergentes.
5. Todas las sucesiones monótonas y acotadas son convergentes.
6. Hay sucesiones convergentes que no son monótonas.
Infinitésimos
Sucesión convergente que tiene por límite cero
Propiedades
1. La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.
2. El producto de:
a.
un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo.
b.
infinitésimos es un infinitésimo.
c.
una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.
3. Si una sucesión an converge a L, la sucesión (an - L) es un infinitésimo.
4. Si una sucesión an es divergente, su inversa es un infinitésimo.
lim an = 0
á
á
Matemáticas _ B_ 4º ESO
Operaciones con límites
lim an +bn = lim an + lim bn
lim an -bn = lim an - lim bn
lim an ∙bn = lim an ∙ lim bn
lim
lim k·an =k· lim an
lim an = lim an
lim an
k=
lim an
lim an
an
=
bn
lim bn
k
lim loga an = loga lim an
Operaciones con infinito
Suma y Diferencia
∞±k=±∞
Producto
∞· ±k =±∞
División
0
=0
k
k≠0
∞+∞=∞
∞·∞=∞
k
=∞
0
∞-∞=Indeterminación
∞·0=Indeterminación
∞
=Indeterminación
∞
0
k
∞
k
0 si k>0
∞ si k<0
0
=Indeterminación
0
∞ si k>1
0 si 0<k<1
∞
=∞
k
k
-∞
k
=0
∞
=0
0 =Indeterminación
0
=0
∞
∞0 =Indeterminación
∞
=∞
0
0
∞
0 =0
∞∞ =∞
∞
1 =Indeterminación
Indeterminaciones
0/0
Se factoriza y se simplifica
 ·0
lim
f
1
lim (f · g) = ∞ · 0→se transforma en →
lim
=
g
∞
∞
g
0
=
1
0
f
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Tema 8.- Sucesiones y Límites
/

Método I.- dividir todos los términos entre la 𝑥 con mayor grado

Método II.a
Coeficiente Principal Numerador
b
Coeficiente Principal Denominador

Grado Numerador = Grado Denominador 

Grado Numerador > Grado Denominador    (coeficiente de mayor grado)

Grado Numerador < Grado Denominador  0
-
lim n4 -n2 -7 = ∞-∞
n→∞
lim
n→∞
→
n2 -1-n = ∞-∞ →
1 7
n2 n4
lim n4 1-
x→∞
lim
n→∞
n2 -1 - n ·
= ∞ 1 – 0 - 0 = +∞ ± coeficiente mayor grado
n2 -1+n
n2 -1+n
n2 -1
= lim
n→∞
n2 -1
2
- n2
= lim
n→∞
+n
1
n2 -1
+n
=0
1.- Tipo número e
1+
1
f(x)
f(x)
=e
Método I
lim
n→∞
n+1
n+4
n
2
∞
=1 → lim 1+
n→∞
= lim
n→∞
n+1
-1
n+4
1
1+
2n
-3
n
2
= lim 1+
n→∞
n 2n -3
· ·
2 -3 2n
=e
n+1-n-4
2n
n+1
→ lim
n→∞ n+4
n
2
= lim 1+
n→∞
n
2
=e
lim
n→∞
-3
2n
n -3
·
2 2n =
n
2
= lim
n→∞
e
1+
1
2n
-3
-3
2
Método II
n+1
lim
n→∞ n+4
n
2
=1
∞
n+1
→ lim
n→∞ n+4
n
2
=e
lim
n→∞
n+1
n
-1 ·
n+4
2
=e
lim
n→∞
-3
n
·
n+4 2
=e
lim
n→∞
-3n
2n+8
=e
-3
2
n
2
=
5