EXAMEN DE MATEMÁTICAS 2º Bach. –B 1) Sea la función calcula

EXAMEN DE MATEMÁTICAS
2º Bach. –B
1)
Sea la función
a)
b)
c)
d)
e)
f)
f ( x) 
x
4  x2
calcula:
Dominio.
Asíntotas.
Puntos de corte con los ejes.
Máximos y mínimos.
Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
Representación gráfica.
2)
Calcula las siguientes derivadas, procura dar el resultado lo más
simplificado posible:
2
1
a) f ( x)  6 x 3  x 4  5 x 4  2  8
5
x
b) f ( x)  e3 x  ln x
c)
5
f ( x)  Ln3 x 
d) f ( x) 
3)
5x  7 x
3 x 3
Estudia la continuidad y derivabilidad de la función:
 x 2  2 si x  2

f ( x)   x  4 si 2  x  5
1 si x  5

4) Halla dos números cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno de
ellos por el cuadrado del otro ha de ser máximo.
5) hallar la ecuación de la tangente a la curva f ( x) 
1
en x  2 .
x
Ejercicio 1:
a) Dom( f )    {2,2}
b) Asíntotas verticales: Las rectas x =2 y x= -2
Asíntota horizontal: la recta y =0
c) Corta a los ejes de coordenadas en el punto (0,0)
x2  4
d) f ' ( x) 
(4  x 2 ) 2
f ' ( x)  0 no tiene solución. Por tanto la función no tiene máximos ni
mínimos relativos.
e) Estudiando en el dominio de la función, el signo de la primera derivada,
vemos que ésta es siempre positiva, por lo que la función es creciente
siempre.
f) la gráfica es:
Ejercicio 2:
a) f ' ( x)  18 x 2 
8 3
4
2
x  5  3
5
5 x x
1
b) f ' ( x)  e 3 x (3 Ln x  )
x
c) f ' ( x) 
d)
5( Ln 3 x) 4
x
f ' ( x) 
5
x


3 

Ln 5  7 x Ln 7 3 x 3  5 x  7 x 3 x 3 Ln 3
x 3 2
Ejercicio 3:
Es continua en x = 2


lim  x 2  2  2
1º)
x2
por tanto, existe lim f ( x)  2
lim ( x  4)  2
x2
x2
2º) Existe f(2) y vale -2
3º) El límite coincide con el valor de la función en el punto
Es continua en x = 5
lim  x  4   1
1º)
x 5 
lim (1)  1
por tanto, existe lim f ( x)  1
x 5
x 5
2º) Existe f(5) y vale 1
3º) El límite coincide con el valor de la función en el punto.
No es derivable en x = 2:
lim
 ( 2  h) 2  2  2
 h 2  4h
 lim
 lim ( h  4)  4
h 0
h 0
h
h
lim
2h42
 lim (1)  1
h
h 0 
h 0
h 0
No es derivable en x = 5:
lim
5  h  4 1
1
h
lim
11
0
h
h 0 
h 0 
Ejercicio 4:
x  y  18
f ( x, y )  x  y 2
(máx.)
y  18  x
f ( x)  x(18  x) 2
(máx.)
f ( x)  x 3  36 x 2  324 x
f ´(x)  3 x 2  72 x  324
f ´(x)  0  x  6 y x  18 ( ptos. críti cos)
f ' ' ( x)  6 x  72
f ' ' (6)  36  0  hay un máximo en x  6 que vale f (6)  12
f ' ' (18)  0  hay un mínimo en x  18 (esta solución no nos int eresa )
Solución: los números buscados son 6 y 12.
Ejercicio 5:
f ( x) 
1
x
f ' ( x)  
f ( 2 )  
1
x2
1
2
f ' ( 2 )  
1
4
y  f (2)  f ' (2)( x  2)
1
1
y    ( x  2)
2
4
1
La recta tan gente es : y   x  1
4