Septiembre 2007 2.1

Matemáticas II
Septiembre 2007
Problema 2.1. Dado el plano π : 2x + y + 3z – 1 = 0 y el punto Q = (2,1,3), se pide calcular :
a) La distancia del punto Q al plano π . (1,1 puntos).
b) El área del triángulo ∆ cuyos vértices P1, P2 y P3 son los puntos de intersección del plano π con los ejes coordenados.
(1,1 puntos).
c) El volumen del tetraedro de vértices P1, P2, P3 y Q. (1,1 puntos).
Solución:
a)
d (Q, π ) =
2 . 2 + 1 + 3. 3 − 1
2
2
2 +1 + 3
2
=
4 + 1 + 9 −1
4 +1+ 9
=
13
14
=
13
u.l.
14
b) Calculemos los puntos de corte del plano π con los ejes de coordenadas,
y = 0

z = 0
2 x + y + 3 z − 1 = 0

2 x + 0 − 3. 0 − 1 = 0
π I OX
y = 0
OX : 
z = 0
π : 2 x + y + 3z − 1 = 0
Debemos resolver el sistema:
2x − 1 = 0
2x = 1 → x =
1
2
1

P1  , 0, 0 
2

x = 0

z = 0
2 x + y + 3 z − 1 = 0

π I OY
x = 0
OY : 
z = 0
π : 2 x + y + 3z − 1 = 0
Debemos resolver el sistema:
2 . 0 + y − 3. 0 − 1 = 0
y −1 = 0
y =1
P2 (0, 1, 0 )
x = 0

y = 0
2 x + y + 3 z − 1 = 0

π I OZ
x = 0
OZ : 
y = 0
π : 2 x + y + 3z − 1 = 0
2 . 0 + 0 − 3z − 1 = 0
Debemos resolver el sistema:
3z − 1 = 0
3z = 1 → z =
1

P3  0, 0, 
3

Llamando A al área triángulo ∆ cuyos vértices son P1, P2 y P3
1
3
A=
→
1 →
P1P2 × P1P3
2
→
 −1 
P1P2  ,1,0 
 2

→
 −1 1 
P1P2  ,1, 
 2 3
→
→
→
i
j
→
→
−1
P1P2 × P1P3 =
1
2
−1
0
2
k
−1
−1
0 →
1 →1 →1 →1
1 0 →
 1 −1 1 
2
2
1
0 =i
− j
+k
= i − j +k = , , 
0
−1 1
−1
3
6
2 3 6 2
0
3
1
2 3
2
3
→
2
y
2
2
→
→
1 1 1
 1   −1  1 
P1P2 × P1P3 =   +   +   =
+
+ =
9 36 4
3  6   2
4 +1+ 9
14
14
=
=
36
36
6
Finalmente,
A=
1 14
14
=
u.a.
2 6
12
c)
1
0 0
2
1
V ( P1 , P2 , P3 , Q) = 1 0 1 10 =
61 0 0
3
1 2 1 3
1
1
0 0
1
2
1
1
= −1 0 0
−1 1
6
3
2 1 3
1
1
2
0
2
(desarrollando el determinante por la 3ª columna)
0
1
1  − 1   1 2 3  1 1 1 2 3 1 4 + 9 13
= − 1
− + + =
=
u.v.
− − −  =
3
6
36
 6  6 3 2 6 6 6 3 2 6 6
3