15.4 Polos indeseables en lazo cerrado El siguiente Lema resume

15.4 Polos indeseables en lazo cerrado
En la práctica se hace distinción entre los polos estables y los no
deseables. Por ejemplo, un par resonante altamente amortiguado
podrían ser estables pero probablemente no deseables. Podemos
decir que la planta en lazo abierto contiene algunos polos
indeseables (incluyendo los inestables). La sola forma de
removerlos desde la sensibilidad complementaria es escogiendo
un Q(s) que contenga estos polos como ceros. Esto resulta en una
cancelación de estos polos en el producto Q(s)Go(s) y por lo tanto
de So(s) y To(s).
Vemos que los polos cancelados podrían aparecer como polos de
la sensibilidad nominal de entrada Sio(s), dependiendo de los ceros
de (1- Q(s)Go(s)). Es decir, los ceros de So(s). Para eliminar estos
polos en Sio(s) es necesario asegurar que los polos indeseados
sean ceros de So(s).
El siguiente Lema resume las observaciones anteriores:
Lema 4. Considere un lazo de control realimentado nominal con
un grado de libertad y asuma que Go(s) contiene polos en lazo
abierto no deseables (inclusive inestables). Entonces tenemos lo
siguiente:
a) Cada una de las funciones de sensibilidad To(s), So(s), Sio(s)
y Suo(s) no tendrán polos indeseables si y solo si el
controlador se escribe como:
Q(s )
(*)
C(s ) =
1 − Q(s )G o (s )
Donde Q(s) satisface las siguientes condiciones:
1) Q(s) es propio, estable y tiene sólo polos deseables.
2) Los polos indeseables de Go(s) son ceros de Q(s) teniendo al
menos la misma multiplicidad que en Go(s).
3) Los polos indeseables de Go(s) son ceros de (1-Q(s)Go(s))
teniendo al menos la misma multiplicidad que en Go(s).
b) Cuando las condiciones (2) y (3) son satisfechas entonces
todas las cancelaciones ceros-polos inestables en C(s)
inducidas por (*) deberán ser realizadas analíticamente, antes
de la implementación.
15.5 Caso lazo abierto inestable.
C(s) se puede parametrizar para satisfacer el Lema 4
automáticamente considerando el siguiente Lema:
Lema 5. Considerar un lazo de control con un grado de libertad
para la planta con modelo nominal Go(s) = Bo(s) / Ao(s).
Supongamos que Ao(s) y Bo(s) son polinomios coprimos y que
Go(s) podría contener polos no deseables (incluyendo polos
inestables).
Entonces el lazo cerrado nominal será internamente estable y
todas las funciones de sensibilidad contendrán sólo polos
deseables si y sólo si es parametrizado por:
A (s )
P(s )
+ Q u (s ) o
E(s ) P(s ) + Q u (s )A o (s )
E(s )
C(s ) =
=
B o (s ) L(s ) − Q u (s )B o (s )
L( s )
− Q u (s )
E(s )
E(s )
Donde:
a) Qu(s) es una función de transferencia propia que tiene polos
deseables, y
b) P(s) y L(s) son polinomios que satisfacen la siguiente
ecuación de asignación de polos:
A o (s )L(s ) + B o (s )P(s ) = E(s )F(s )
Donde E(s) y F(s) son polinomios de grado aceptable que tienen
ceros en la región deseable del plano complejo sino de otra
manera son arbitrarios.
Los diagramas del controlador generalizado son:
R(s)
E(s)
+
-
P(s )
+
E( s )
U(s)
E( s )
+
Planta
Y(s)
L(s )
Qu(s)
Ao ( s )
+
Bo ( s )
+
E(s)
E( s )
P(s)
L(s )
R(s)
E(s)
+
-
U(s)
Ao ( s )
L(s)
Bo (s )
L (s)
Qu(s)
+
+
+
+
Planta
Y(s)
Ejemplo:
Considerar el modelo nominal dado por:
G (s )
5
(s − 1)(s + 5)
Suponga que el ruido de medición limita la banda del lazo cerrado
a w = 10[rad/s].
Determine un controlador usando el método de parametrización
de Youla.