TEMA 5 SÓLIDO RÍGIDO CONSEJOS PREVIOS A LA

TEMA 5
SÓLIDO RÍGIDO
CONSEJOS PREVIOS A LA RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS
Ten presente la distinción entre velocidad angular ωZ y velocidad ordinaria vX. Si un
objeto tiene una velocidad vX el objeto en su totalidad se mueve a lo largo del eje X. Por el
contrario, si un cuerpo tiene una velocidad angular ωZ está girando en torno al eje Z, no
quiere decir que el cuerpo se mueva a lo largo del eje Z.
A veces por la
falta de costumbre
te
resulta
difícil
determinar el sentido
de ω y α. Para la
velocidad angular, ωZ
es la componente Z
de un vector de
velocidad angular ω
dirigido a lo largo del
eje de rotación. Como
puedes ver en la
figura, la dirección de ω está dada por la regla de la mano derecha. Si la rotación es en
torno al eje Z, ω sólo tiene componente Z, la cual es positiva si ω apunta en la dirección +Z
y negativa si ω apunta en la dirección –Z.
Del mismo modo, es muy útil trabajar con la aceleración
angular α. Matemáticamente, α es la derivada con respecto al
tiempo del vector velocidad angular ω. Si el objeto gira en torno a
un eje Z fijo, α sólo tiene componente Z; la cantidad αZ es
precisamente esta componente. En este caso, αZ apunta en la misma
dirección que ω si la rotación se está acelerando y en la dirección
opuesta si se está frenando.
La estrategia para resolver problemas de dinámica rotacional es muy similar a la
utilizada para problemas en los que interviene la segunda ley de Newton. En primer lugar,
deberás identificar los conceptos relevantes. La ecuación ΣM=Iα es muy útil en todos los
problemas en los que actúan momentos sobre un cuerpo rígido, es decir, cuando existen
fuerzas que al actuar sobre el cuerpo alteran su estado de rotación. A veces el problema
requiere un enfoque de energía; sin embargo, cuando la incógnita es una fuerza, un
momento, una aceleración, una aceleración angular o un tiempo transcurrido, casi siempre
es más eficiente usar la ecuación ΣM=Iα.
A continuación hay que realizar un esquema de la situación y elegir un cuerpo o
grupo de cuerpos que se analizarán.
Dibuja un diagrama de sólido libre para cada cuerpo, aislando el cuerpo e incluyendo
todas las fuerzas que actúan sobre él (y sólo ellas), incluido el peso. Marca las cantidades
desconocidas con símbolos algebraicos. Una nueva consideración es que se debe mostrar
con exactitud la forma del cuerpo, incluyendo todas las dimensiones y ángulos que se
necesitarán para los cálculos de los momentos. Resulta muy útil trazar paralelamente al
diagrama de fuerzas un diagrama del mismo sólido donde aparezcan la aceleración del
centro de masa del cuerpo y su aceleración angular. Así resulta más sencillo aplicar las
ecuaciones ΣF=maG y ΣMG=IGα. Además, el sentido de las aceleraciones a veces nos indica el
sentido de algunas de las fuerzas desconocidas.
Escoge los ejes de coordenadas para cada cuerpo e indica un sentido de rotación
positivo para cada cuerpo que gire. Si hay una aceleración lineal, lo más sencillo suele ser
escoger un eje positivo en su dirección. Si ya se conoce el sentido de α se simplificarán los
cálculos si se escoge ése como sentido de rotación positivo.
Para cada cuerpo del problema decide si sufre movimiento rotacional, traslacional o
ambos. Dependiendo del comportamiento del cuerpo, aplica ΣF=ma, ΣM=Iα o ambas al
cuerpo. Escribe ecuaciones de movimiento aparte para cada cuerpo.
Podría haber relaciones geométricas entre los movimientos de dos o más cuerpos,
como cuando un hilo se desenrolla de una polea girándola o cuando un neumático gira sin
resbalar. Exprésalas en forma algebraica, habitualmente como relaciones entre dos
aceleraciones lineales o una aceleración lineal y una angular.
Verifica que el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas. Resuelve
las ecuaciones para obtener la o las incógnitas.
Evalúa la respuesta. Comprueba que los signos algebraicos de tus resultados son
lógicos. Por ejemplo, supón que el problema se refiere a un carrete de hilo. Si se está
sacando hilo del carrete las respuestas no deberán decirnos que el carrete gira en el
sentido en el que el hilo se enrolla. Siempre que puedas, verifica los resultados para casos
especiales o valores extremos y compáralos con los que esperas intuitivamente. Pregúntate:
“¿es lógico este resultado?”
En una polea giratoria, con fricción entre la polea y el hilo para evitar
deslizamientos, las dos tensiones no pueden ser iguales. Si lo fueran, la polea no podría
tener aceleración angular. Marcar la tensión en ambas partes del hilo como T sería un grave
error. Cuídate de este error en cualquier problema que implique una polea que gira.
Es importante tener en cuenta que en ruedas la relación vcm=Rω sólo se cumple si
hay rodamiento sin deslizamiento.
En el caso de problemas de trabajo y energía, su resolución es análoga a los
problemas del tema de la partícula con algunas adiciones. Muchos problemas implican una
cuerda o cable enrollado en un cuerpo rígido giratorio que funciona como polea. En estos
casos recuerda que el punto de la polea que toca la cuerda tiene la misma velocidad lineal
que la cuerda, siempre que ésta no resbale sobre la polea. Así, podemos aprovechar las
ecuaciones v=rω y at=rα, que relacionan la velocidad lineal y la aceleración tangencial de un
punto de un cuerpo rígido con la velocidad y la aceleración angulares del cuerpo.
Escribe las expresiones para las energías cinética y potencial iniciales y finales y
para el trabajo no conservativo (si lo hay). La novedad es la energía cinética rotacional, que
se expresa en términos del momento de inercia I y la velocidad angular ω del cuerpo
respecto del eje dado, en lugar de su masa m y su velocidad v. Sustituye las expresiones en
la ecuación de la energía y despeja las incógnitas. Como siempre, verifica que tu respuesta
sea lógica físicamente.
TEMA 5
SÓLIDO RÍGIDO
PROBLEMAS
1.- La placa de 45 kg con centro de masas en la
posición representada está suspendida mediante dos
varillas ligeras y paralelas, AD y BC, y puede oscilar
libremente en el plano vertical. ¿Para qué ángulo θ puede
soltarse la placa, partiendo del reposo, de tal manera que
inmediatamente después de hacerlo la fuerza en la varilla
BC sea cero? ¿Cuál es la fuerza en la varilla AD en ese
mismo instante?
(Sol: θ=56,75º; FAD=241,83 N)
2.- Se tiene una
placa
rectangular
de
dimensiones 40 cm x 20
cm a la que se ha
practicado un orificio
circular de 6 cm de radio
como indica la figura (1).
a) Si la placa está
construida de un material
de densidad superficial
σ=2 g/cm2, determinar la
posición del centro de masas; b) se apoya la placa tal como indica la figura (2), siendo la
pared vertical lisa y la horizontal rugosa, y la placa se mantiene en equilibrio. Determinar
mediante una sola ecuación de equilibrio la componente horizontal de la reacción de la
pared en B; c) plantear un sistema de ecuaciones de equilibrio para determinar las
reacciones de las paredes sobre la placa, en las que no intervenga ninguna ecuación de
fuerzas; d) se coloca la placa sobre una superficie horizontal rugosa de coeficiente de
rozamiento µ=0,7. Si aplicamos en el centro de masas una fuerza horizontal F de 4 N, ¿cuál
será el valor de la reacción del suelo y su línea de acción? e) ¿Para qué valor de F estaría la
placa a punto de girar en torno a su vértice, si ello fuera posible?
(Sol: a) xCM=0,988 cm, yCM=0 respecto de unos ejes con origen en el centro del
rectángulo; b) FrB=7,72 N; c) NA=7,72 N; NB=13,47 N; d) R=14,05 N; θ=106,54º; e) no puede
volcar)
3.- Las dos ruedas idénticas de radio 17,8 cm
están montadas sobre un armazón y ruedan sin
deslizamiento hacia la izquierda con velocidad
constante de v=2,4 m/s. La barra de conexión AB pesa
6,8 kg y está fija por A en la rueda delantera y el
perno B de la segunda rueda encaja en una pequeña
ranura horizontal lisa de AB. Determinar las fuerzas
totales ejercidas en la varilla por los pernos A y B para la posición θ=60º.
(Sol: A=103,19 N; B=53,39 N)
4.- Se tira hacia delante de la rueda
representada en la figura mediante una fuerza
constante P de 260 N. El peso de la rueda es de 375
N y su radio de giro respecto al eje de la rueda
(radio de giro centroidal) es de k=231 mm (IG=mk2).
La rueda va rodando sin deslizamiento por la
superficie horizontal y en la posición representada
lleva una velocidad angular de 15 rad/s en sentido
horario. Determinar: a) la aceleración angular de la rueda y las componentes horizontal y
vertical de la fuerza que le ejerce la superficie; b) el valor del mínimo coeficiente de
rozamiento que evita el deslizamiento; c) la velocidad angular de la rueda cuando ha dado
una vuelta completa.
(Sol: N=275 N; α=13.13 rad/s2; Fr=89.28 N; b) µ≥0.32; c) ω2=19.75 rad/s)
5.- El disco circular de la figura tiene una masa de
68 kg una vez practicado el orificio de 15,2 cm de diámetro.
Se suelta el disco partiendo del reposo sobre una superficie
horizontal en la posición indicada. Admitiendo que el disco
rueda sin deslizar, calcular: a) la fuerza de rozamiento
entre el suelo y el disco un instante después de soltar éste;
b) la máxima velocidad angular alcanzada por el disco
durante su movimiento; c) la fuerza de rozamiento en la situación b).
(Sol: a) Fr=14,62 N; b) ω=1,22 rad/s; c) Fr=0)
TEMA 5
SÓLIDO RÍGIDO
PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CASA Y ENTREGAR
1.- La barra de transmisión AC gira con una velocidad
angular constante ω=10 rad/s alrededor de un eje vertical fijo que
pasa por su centro O. Las barras uniformes AB y CD pesan cada
una 3.6 kg y se mantienen en la configuración mostrada mediante
una cuerda que permanece perpendicular a la barra giratoria AC.
Calcular la tensión T en BO y DO.
(Sol: T=27 N)
2.- Calcular la velocidad angular
inicial de la varilla OA de 29,2 kg en la
posición vertical, tal que alcance la posición
horizontal señalada con velocidad nula bajo
la acción del muelle. En la posición inicial el
muelle está sin deformar.
(Sol: ω=3,3 rad/s)