Expresiones algebraicas

CAPÍTULO 3
Expresiones algebraicas
3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Objetivos
Al terminar este capítulo , el lector podrá:
✓ Manejar expresiones algebraicas con
exponentes enteros positivos , negativos y
fraccionarios.
✓ Reducir, multiplicar, dividir y racionalizar
expresiones con radicales.
✓ Convertir expresiones con exponentes
fraccionarios a expresiones con radicales.
Estructura del capítulo
✓ Sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios.
Introducción
3.1. Potenciación.
3.2. Exponentes enteros.
3.3. Exponente cero y negativo.
3.4. Radicales.
3.5. Polinomios.
3.6. Aplicaciones.
3.7. Manejo de polinomios con Mathematica.
INTRODUCCIÓN
EN EL LENGUAJE de las matemáticas, los símbolos son elementos esenciales
para escribir expresiones en forma concisa y breve; esto nos permite plantear
y resolver diferentes tipos de problemas utilizando el mismo razonamiento. El
desarrollo de este lenguaje tuvo lugar al generalizarse de la aritmética al álgebra.
El álgebra , por lo tanto, tiene una estructura sencilla, caracterizada por un conjunto de operaciones : suma, resta, multiplicación , división, exponenciación y extracción de raíces, que se realizan de la misma forma que en la aritmética con
números, sólo que en el álgebra se utilizan símbolos.
Los números se usan , como en la aritmética, para representar cantidades determinadas y, generalizando, una letra representa una cantidad cualquiera. Asimismo, las
operaciones están sujetas a determinadas condiciones , llamadas propiedades o leyes.
Una expresión algebraica se obtiene al combinar una o varias de las operaciones mencionadas , con números o símbolos cualesquiera . Así, las siguientes expresiones son algebraicas:
3x:y; x2- 5xy+y4
así como también 3b -
y
1 05
106
Álgebra básica
Las expresiones algebraicas más sencillas se denominan términos y son aquellas en las que sólo intervienen números, letras y cualesquiera de las operaciones,
exceptuando la suma y la resta, como : 3x/2y, 5 /cib, 5x2y3.
Un solo término algebraico se denomina monomio,« pero si las expresiones están ligadas mediante las operaciones de suma o resta se denotan de acuerdo con el
número de términos utilizados.
Así, un binomio consta de dos términos, un trinomio de tres y un polinomio de
cuatro o más términos . Por ejemplo : -2x,' y + Z es un binomio , 4x2 - 5xy+y4 es
un trinomio y 3x4 + 5x3 - 2x2 +x- 3 es un polinomio.
Como resumen tenemos que:
• El álgebra es la parte de las matemáticas que trabaja con las propiedades
generales de los números y las generalizaciones que de éstas provienen.
• Las propiedades generales de los números y las generalizaciones se usan para
denotar números arbitrarios y establecer propiedades válidas en general.
• Una expresión algebraica es la combinación de una o varias de las operaciones , con letras o símbolos.
• Una ecuación es una proposición que establece la igualdad de dos expresiones algebraicas.
• Un término es una expresión algebraica en la que no intervienen las operaciones de suma o resta, como 3x2y o 58x3y8.
• Un monomio es una expresión algebraica con un solo término. El binomio
tiene dos términos , el trinomio tres y el polinomio consta de cuatro términos
o más, así 3x2y + 58x3y8 es un binomio y 3x2y - 58x3y8 + 347xyz es un
polinomio.
3.1. POTENCIACIÓN
La potenciación es una operación que consiste en tomar una expresión algebraica
como factor dos o más veces; al resultado de esta operación se le llama, potencia. Así:
Si x e R, n e Nentonces : x" = (x) (x) (x)... (x) = n-ésima potencia de x.
Al entero positivo n se le denomina exponente y a x se le llama base.
La primera potencia de una expresión es la misma expresión: x' = x.
La segunda potencia, o cuadrado de una expresión , es tomar dos veces como
factor a la expresión : x2 = (x) (x).
3. Expresiones algebraicas
107
3.1.1. Potencia de un monomio
Para elevar un monomio a un exponente, es necesario elevar el coeficiente a
dicho exponente y multiplicar el exponente de cada literal por el exponente de la
potencia.
Ejemplos de 3.1.1
1. (4 ab3)2= (42) (a2)( b3x2) = 16 a2b6 Q
(4 ab3)2= (4ab3)(4ab3) = 16a2b6
2. (-2 a2b4)2 =
(-22)(a2x2)(b4x2)
=4a 4 b'
Q
3. (-3X2 b')' = -33x6b9= -27x6b9
'
4.
4x
13
3a2)
3
64x
27a6
5. -5y2 2 = 25y4
7x3 49x6
En los ejemplos anteriores se presentan dos casos, cuando el monomio es negativo: 1) Si el exponente es par, el signo de la potencia es positivo; 2) Si el exponente es impar, el signo en la potencia es negativo.
3.2. EXPONENTES ENTEROS
3.2.1. Producto depotencias de igual base
Este producto es igual a la potencia que se obtiene de elevar la base común al
exponente que resulta de la suma de los exponentes de las potencias que se desean
multiplicar.
(a")(am) = a"*m
108
Álgebra básica
Ejemplos de 3.2.1
1. (22)(23)=22+3=25=32 9
2. (3-2)(34) = 3-2+4 = 32
3. (-2)4(-2)2 = (_2)4+2 = (-2)'= 64
4. (x-2)(x4)(x5) = x- 2+4+5
= x7
5. (xy)3(xy)2 = (_y)3+2 = (xy)5
3.2.2. Elevar una potencia a otra potencia
Esto es igual a la base elevada a un exponente, que se obtiene de multiplicar los
exponentes originales.
(an)m = a(n)(m)
Ejemplos de 3.2.2
1. (42)3 = 4(2)(3) = 46
2. (x5)4 = x(5)(4) = x20
3. [(-1)3]4 = (-
1)(3)(4) = (_1)12 = 1
4. [(xy)2]3 = (xy)(2)(3) = (xy)6 JJ
5. [(-ab)2]2 = (-ab)(2)(2) = (-ab)4
3.2.3. Producto elevado a una potencia n
Este producto es igual al primer factor elevado a esta potencia por el segundo
factor elevado a la misma potencia.
3. Expresiones algebraicas
109
((a)(b))n = (an)(bn)
Ejemplos de 3.2.3
1. ((2)(5))3 = (23)(53)
2. (4xy)Z = (42)(xz)(y2)
3. (-3ab )4 = (-3)4(a4)(b4) = (81 )(a4)(b4) Q
4. (1/2 ab)3= (1/2)3 (a3)(b3)
5.
(3x2)2 =
(32)(x2 )2 = (32)(x4)
3.2.4 Elevar un cociente a una potencia n
La operación de elevar un cociente a una potencia n es igual a elevar por separado
el numerador y el denominador a esa potencia.
n
( a ^ _a
b b"; si b:Pl- 0
(
Ejemplos de 3.2.4
1.
5\4
3)
54
34
2 z z
^x - .
x_'2
y2
U) y
¡3x4 - (3x)4
3.
\a)
4.
C
a4
4xy1 - (4xy)5
3ab) (3ab)5
110
AÍlgebra básica
(mx)3
5. ( nx-
ny (ny)'
3.2.5 Cociente de dos potencias de igual basey exponente diferente
Este cociente es igual a elevar la base a la potencia que resulta de la diferencia
entre los exponentes. Los resultados posibles son:
Ejem píos de 3.2 5
1.
2.
16x
4
8x
24x4
4-3)(X4- 1
=
) = 2 x '
2'x
5x4
5'x4
1
1
25x'
5'x'
(
5x-
4
3. a
a
4.
27x' 3'x3
3x 3x
7x2
7'x2
343x4
7 3x4
- -')(x31)=3 2 x 2 =9x 2
1 1 1
(731)(x4-2)
7 2x2
49x2
3. Expresiones algebraicas
111
3.3. EXPONENTE CERO Y NEGATIVO
3.3.1. Exponente cero
Se obtiene de dividir potencias iguales y con la misma base
z
a 2-2 0
a
2
=a =a
donde toda cantidad elevada a cero equivale a 1.
a°=1;si at- 0
E^enrplos de 3.3. I
1. 5 °= 1
5
2.
X
X
5
= x
5-
3. (ln3 )( in(')= 1713+° = m3
4. (n5)(n °)= n`+° = ns
5. (x4)(x°)=(x4)(1)=x4
3.3.2. Exponente negativo
Se obtiene de dividir dos potencias de igual base, con exponente mayor en el divisor y menor en el numerador.
9
a` 2-3
-1
=a` = a
a
si a:0, entonces l es conocido como el inverso multiplicativo de a.
a
a_1 1
112
Álgebra básica
Por ejemplo:
a_ 3 = a(-I)(3) = (a- 1)3
= al a3 a-'
C13 - ^a} ka) ka} a
Toda cantidad elevada a un exponente negativo es igual a tener en el numerador
el 1 y en el denominador la base con el exponente positivo. Si a es un número real
diferente de cero y n es un entero positivo:
a =
1
a
Ejemplos de 3.3.2
3.
4.
5.
C2 ^ly
'y = -1 =512
1J
3
4 m 5n2=
r
1
(2
L^3 j
1 ]=
23x23=23^12 13
C
rm5Jrn2-i 2 1 5 z 16m1n2
3) m n
3
-2
x y x y
Q
3. Expresiones algebraicas
Ejercicios de 31, 3.2y 3.3
1. (-4a)3
2. (-6azb)z
3 . (4ab4 c 3 ) 2
2ab
4.
212
3m3i
5
5. í-'a2b3)
6 . (a5+ 7b4 )2
7 . (3x4- 5 xy 3 ) 2
8. (2a+ 3b )3
9. (4a- 3b 2)3
10. (-x3)3
11 . [( -2 ) 3 ] 4
R. -64a3
R. 36 a4b2
R. 16 a2b8c6
R.
4a2b4
9m
R. - 1 alob15
32
R. a10+ 14a5b4+ 49b8
R. 9x8 - 30x5y3+ 25x2y 6
R. 8a3 + 36a2b+ 54ab2 + 27b3
R. 64a3 - 144a2b2 + 108ab4 - 27b6
R. (-x)9
R. (-2) 12
Descomponer en factores
12.013X)2
13. (4xy)3
14. (-2mn)3
15-(2)(7)1
R. (1/3)2(x)2
R. (43)(x3)(Y1)
R. (-2)3(m3)(n3)
R. (2)(7)5
Elevar un cociente a una potencia
16 .
4x 4
(4x) 4
3b )
R. (3b) 4
Exponentes fraccionarios y negativos
z
17. 4y
256y5
18.
81x2 v 3
9xy2
R.
1
64y3
R. 9xy
z
y
6561y 8
19. -81
81y6
113
Álgebra básica
114
x2y3
20. 2
xxy y
R. 1
Exponentes cero, fraccionarios y negativos
21. m4
( M 21
R. m4
\.m2 )
22. b -3
23.
C
R. b--1 3
,
4 j2
24. 31X-1y-2
1.^ 16
R.
l4)
27
R. 3 2
X y
n2 9n22
25.
R. ^1I2
m
3
m3
^,3
3.4. RADICALES
Radical es la raíz de una cantidad denotada por el signo n¡-, que consta de un
índice y una cantidad subradical, a la que se le extrae la raíz indicada por el índice.
3.4.1. Exponente fraccionario
Se obtiene de extraer una raíz a una potencia
conaeR+yn:#0
3. Expresiones algebraicas
115
donde:
n es el índice de la raíz
a la cantidad del subradical
símbolo del radical
Ejemplos de 3.4.1
1. 16y = 4 116=2
2. 16Y
= 3%a
3. 4ay2=4'
4. 8y =3.T8=2
5. (-8)Y = 'JA = -2
6. (0)//" 0=0
Si el índice es un número par, entonces la raíz es un número positivo , que satisface:
[T=b<=^> b"=a
como b"= a y n es un entero positivo, entonces bes una raíz n-ésima de a.
7. (-4)2 = 16, la raíz de 16 es +4 y -4
2í!6=+ 4
8. (-3)2 = 9, la raíz de 9 es +3 y -3
^l9 =+ 3
9. (-2)3 = -8, la raíz cúbica de -8 es solamente -2
oír 8 = - 2
Álgebra básica
116
De los ejemplos anteriores se puede afirmar que:
1
Es negativa si a es negativa
y n es impar
Es positiva y negativa si
a es positiva y n es par
Toda potencia fraccionaria min, m y n enteros, con una base a diferente de cero
(a :Pl- 0) se expresa en forma de radical, en donde n es el índice del radical, a es el
subradical y in es exponente de este último.
n
an = "a
10.
11. 2m` =2 ni
12. 5m 7sa
= 5 5 ni` ;'n5
13. 3ah'3 = 3a'rbi
3. Expresiones algebraicas
117
3.4.2. Radicales semejantes
Son los que tienen el mismo índice (n) y la misma cantidad en el subradical.
Ejemplos de 3.4.2
1.
m-T3, x,/
2. 2-15, x15
Radicales semejantes
3. b-/95, abc -í95, c-í95
4. a-J2, m-✓8, x-13
5. 23!5, x -,,_5
Radicales no semejantes
6. b-J-93, abc 9 , c4J95
3.4.3. Simplificación de un radical
Para simplificar radicales es necesario extraer la raíz de cada uno de los factores,
hasta llevarlos a su mínima expresión.
Ejemplos de 3.4.3
1. 318á =
3;'2 a á2 = 2a3/
2. ,%108a5b'
2
2
!(6 (3)(a4ab4b2b = 3a2b3 -.í3ab
3. 33,116 = 3 3,,/(23)(2) = (3)(23j2) = 6312
118
Álgebra básica
3.4.4. Introducción de un coeficiente dentro de un radical
Se eleva el coeficiente a una potencia igual al índice del radical.
Ejemplos de 3.4.4
1. 4 ix=.'42x= I1 6x
2. 2x2 a2b = 22(x5)2a2b = ' 4x4a2b
2
3. 2msm =
m3m2=
8m' !--
4. (a + b) a = (a + b)2a
a+b)=,ia +ab
j(a+b) (a+b)
3.4.5.. Suma de radicales semejantes
Se suman algebraicamente los coeficientes y la suma de éstos es el coeficiente del
radical común.
Ejemplos de 3.4.5
1. 2 ;4+3
4+3 i4=(2+3)!4=5:4
2. 4,3a+ 8 ' 3a=(4+8 )-J3a=12-J3a
3. 3, 7-4- ,17=(3-4)J7=-i/-7
Q
4. 5a ':5-8a 3^5=(5a-8a) ^./5=-3a 5á5 Q
3. Expresiones algebraicas
119
3.4.6. Conversión de radicales distintos a otros,
con índice igual al m. e. m. de los índices
Se obtiene el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los índices, se divide entre cada
índice, y el subradical se eleva al cociente calculado.
Ejemplos de 3.4 .6
,
El m.c.m. de los índices (3, 4, 2) = 12
índice común- 12 12 12= 6, 4, 3
índice del radical 2 ' 3 ' 4
12, 26 14 12;23
l^/-729, T_256, tz g
2.
313x2y,
18y2z
El m.c.m. de los índices es el 6
índice común _ 6 6 6
índice del radical 2' 3' 6
6 (2x) , 6 (3x2Y)2, 618y2z
3.4.7 Suma y resta de radicales
Para sumar y restar radicales, primero se operan los radicales semejantes y después se simplifican los radicales no semejantes.
120
fllgeba básica
Ejemplos de 3.4.7
1. 25+9 12-7'48+8-:5
(2 + 8) 5 + 9 (22)(3) - 7-:(24)(3)
1 05+1 8 - ,3-2 8 -3
105-103
12
6
3
2.
2 (22) (3)
2
48
24
12
6
3
45- 27-- 20
(32)(5)-. (32)(3)-.(2 (5)
3 5-3 3-2-,5
5-3 3
45
15
5
3
27
3
20
3
9
3
3
10
(32) (5) (32) (3)
5
(22) (5)
3. 80 - '63 - 180
(24)(5) - í(22)(32)(55
4 '5-37-6-.5
-2-'5-3 7
2
2
121
3. Expresiones algebraicas
3.4.8. Multiplicación de radicales del mismo índice
Se multiplican los subradicales, el resultado queda dentro del radical con el índice
de la raíz.
Ejemplos de 3.4 .8
1. (3-/10)(2-/15)
(3)(2) ,^ (10)(15) = 6-/150 = 6 -^Í(2)(3)(52) = 30 ^6
2. (4-11"3)(3-/f2) = (3)(4) 3)( 12) =12-x'36 = 72
3.
3
3a^ (8'!9ab2) = 28 'i/27áb' = 63/(3 )(a,)(b?) =18a ^ib
8
4.
5. (2x-./2a
( 56
3z6 J = l5324ax=153/(21)(3 a x
42 )( )( ) =6x
a6x 10a2
a a
6. (53F2-á)(-/"zíá ) = 53
303 3ax=
5
42 7
/3ci,x
Q
10)(a2) = 6x-10
=5(2a)=10a 9
3.49. División de radicales del mismo índice
Se obtiene un radical del mismo índice con el cociente de ambos subradicales.
Álgebra básica
6x
3',' 3x
x2
-1
x+1
2 48x 3y
3.
=
4'3xy 3
2
X' = '1x'=2x3Jx
3
x -1)(x + 1)
x+1
- =_1
-2
l) _ 2x
¡48x-y
1 ,16x y _ ( 4xy_
3xy3 2 2 y
3x y 4 3x4y2 2
3 2 6 x2
4
3'
3x2yz
JLJ
2xy r3
3
3.410. Potenciación de radicales (radical elevado a una constante)
En este caso, se eleva a la potencia cada uno de los valores que se encuentra fuera
y dentro del subradical.
( a9 M "'
ni n/ _nF
= a
Ejemplos de 3.4.10
1. (a", b)" = (ab '/„ ) ` = a'nb
2
2. (5.12x ) 2 = {5(2x )3] = 52(2x)3/ = 25 ,(2x) 2 = 25(2x) = 50x
3. [23/2x2y)]4 = 24 ^•/(25) 4 = 32x2y 3i2x 2y
4. (418x3)2 = 4Í(8x3)2 =2x ✓2x Q
=192xy
5. (46;'9x3y4)3 =4 3 6 (9x 3y
4)3 2 ix
3. Expresiones algebraicas
123
3.4.11. Radicación de radicales
La raíz de una raíz se resuelve mediante el producto de los índices de cada una,
mismo que se convierte en el nuevo índice de la segunda raíz.
Ejemplos de 3.411
1. 3,/729=/'x729=3
Q
a2 -:!4á ='J43.!a 9
4. ',,1^024='ó^1024=2 P
5.
_
.'
(6)(6) _ 1J6 = -'6
3.4.12. Racionalización del denominador cuando es un monomio
La racionalización consiste en eliminar los radicales de una fracción, ya sea que
éstos se encuentren en el numerador o en el denominador.
Si la fracción tiene un monomio con un radical en el denominador, para racionalizarla se multiplican tanto el numerador como el denominador por el radical
que desea eliminarse.
Ejemplos de 3.412
1. 2 2)(,2)
2. 8x 8x
42_2,/2
/8x - J2x 4 Q
J2x -[2x -.2x 2x
124 Álgebra básica
3.
6 3 3a2 63,'3a2 6 3 3a2 6-'í 3a2 - 2,, 2
3a a 3a
3, 9a 3i3a2 3,32a 3'3a2 3 3a3
6
36x 36x 4!23x2
4'2x2 a 2x2 á 23x2
36x 4,23x2 36x 4¡23x2 a' -2
a2xa _ =18-,j 8x 2x
3.4.13. Racionalización del denominador de una fracción cuando
es un binomio con raíces cuadradas
Se multiplica el denominador y el numerador de la fracción por el conjugado 0> del
denominador.
Ejemplos de 3.4 73
2--J2
1. ---- - p
2+5-i2
En general , el conjugado de (a+ b ) es (a- b ), y (a+ b) es el conjugado de (a- b);
así, el conjugado de (2 + 5 ./2) es (2 - 5 I2).
^2+5.5)2
2.
J
221 (5^%5)2^ 14-1252 141212
12
El conjugado de (-,, '15 es
2
5 + . 2 12(-J5 + 2) 12(-J5 +
52
5+ 2 (;5)2-( 2)2
( D El conjugado es una expresión que sólo difiere en un signo.
12(-/'5+-t2) r
3
125
3. Expresiones algebraicas
El conjugado de (— x - -J 33) es ( x + 3)
x-3 1ix + -13
X - 3 l-x + -T
(x-3)( +-J3)_(x-3)( /x+ !3)_
(^^x)2
3)2
(x -3)
Ejercicios de 3.4
Expresar con signo del -radical
1. xy
2. b3
3.8a5b5c%
Expresar con exponente fraccionario
R. 2
4. 2 4, a3
5.
x
3 5¡ya
5
3
4
6. 5a- x y z
R.x2y%
H
7.3`''a 5! b4
R. 5ax5y ,z%
R. 3a6b 5
Simplificar el subradical
8. '49x3y'
R. 7xy3 í xy
9. 3 250a3b8
R. 5ab2 3%2b2
10. 3 125mn6
5
R. 3n3 ✓ 5m
1x
+^I3
Álgebra básica
126
Introducir la cantidad dentro del radical
54
11. 3 6
R.
12. 5x2y2 3x
R.
¡'75xsy4
R.
1- a 2
13. (1-a)
1 +a
1-a
14. (x+1)
2x
x+1
R. 12x 3 +2x 2
Reducir los radicales semejantes
15. 8 5-10 5 R. -2 5
16. 33 2-1 32 R. 1 3 2
4
2
4
17.3 8- 8 R. -2 8
5
5
Reducir los radicales al menor índice
R. '16, ' 125 = ", (16) (125)
18.'4, 25
19.
48a2x3,
6
3a5,n4
20. 33á, 2 2b, 44.'5x2
R. 12 12a6x9 129alOm8
R. 3121a4, 21,2412l25x6
Sumar los radicales
21. 175+ 243- 63-2-:75 R. 2i7- 3
22. 3 80 - 4 320 - 5 800 + 7 450 R. 5 2 - 20 5
Multiplicar los radicales
23.
C
2
1 '
211 2 14
R.
24. (8 12) (3 75) R. 720
3. Expresiones algebraicas
25. (Vi 92b)(83✓ 3ab2 )
R. 96ab
26. (2-.'35 )(-✓14)(3-, 6)
R. 84-J15
Elevar los radicales a una potencia
27. (6-J2)2
R. 72
28. (2 r7)2
R. 28
29. (24 x )2
R. 8x-/2x
30. (46a3b4) 3
R. 192 ab2 ✓a
Radicación de radicales
31.-J3x
R. X
32. 4,/- ✓81
R. ✓3
33.
R. 61-25
34. 3!4;27ay3
R. 4I3ay
Rac i ona li zar e l d enom i na d or
35 .
6
53✓3a
5 + 2^ %3
36. --4 - /3
37.
,!2-3_r3
R . ` 39a2
5a
R. 2 + -f3
R.
19-7- 0
127
Álgebra básica
128
3.5. POLINOMIOS
3.5.1. Suma de monomios
En álgebra, la suma significa aumento o disminución, mientras que en aritmética
significa solamente aumento.
Para sumar dos o más expresiones algebraicas se debe escribir una a continuación
de la otra, con sus respectivos signos, y reducir los términos semejantes si los hay.
Son términos semejantes los que tienen factores literales idénticos, las mismas
letras elevadas a los mismos exponentes: 3abc, 8abc, -10cba.
Son términos no semejantes los que no tienen factores literales idénticos (por lo
menos uno difiere en los exponentes): 5abc, l0abx, -8abe, 4dab.
Sumar a y +b es igual a (a + b).
Sumar a y -b es igual a (a - b), que significa restar de a el valor absoluto de -b
(que es Ib1).
Sumar -a y -b es igual a (-a - b), que implica restar de a el valor absoluto de
-b (que es lb¡).
Ejemplos de 3.5.1
1. Sumar 3a, 6a, 8b Q
3a+ 6a+ 8b= 9a+ 8b
2. Sumar 5xy, -3a
5xy- 3a
3. Sumar 7x, 4a, 15x, 9a, -4 P
7x+4a+ 15x+ 9a - 4 = 22x + 13a-4
4. Sumar 7xy , 8yy, 3x^'2, 4y , 2z3 g
1/
2/
1/
2/
7x'2+8y^3 + 3x+4y 3+2z3
=10x72+l2y73+2z3
3. Expresiones algebraicas
129
3.5..2. Suma depolinomios
Para sumar polinomios se acostumbra colocar uno debajo del otro (o de los otros),
para que todos los términos semejantes queden en una sola columna y se procede a
hacer la operación con éstos.
Ejemplos de 3.5..2
1. Sumar 5a - 6b y -2a + 4b Q
Solución:
5a- 6b
-2a+ 4b
3a - 2b
2. Sumar2a -2b+cy6a+4b-3c
Solución:
2a- 2b+ c
6a+4b-3c
8a + 2b - 2c
3. Sumar 2x2 - 4xy + 2y2; -5xy + 8x2 - 4y2; -9y2 - 6xy - 9x2
Solución:
2x2 - 4xy + 2y2
8x2 - 5xy - 4y2
-9x2 - 6xy - 9y2
x2- 15xy- lly2
4. Sumar1x2+2xy;
Solución:
1 1
2x`+2xy
1 1
+4xy
+4y
1-
1 1
4xy+4y
p
Álgebra básica
130
5. Sumar 5aY -6by y -2ay + 3by
Solución:
5ay -6by
-2aY2 + 3b 4
3ay - 3by
Otra forma de sumar los polinomios es mediante el uso de la ley distributiva de
la multiplicación.
3.5..3. Ley distributiva de la multiplicación
Si a, b, c c= 9
a(a+b)=ab+ac
a(b - c) = a[b + (-c)] = ab + a(-c) = ab - ac
-a(b + c) _ -a(b) + (-a)(c) _ -ab - ac
-a(b - c) = (-a)(b) - (-a)(c) = -ab + ac
Ejemplos de 3.5.3
1. Sumar 4a - 3b y 8b - 2a
Solución:
(4a-3b)+(8b-2a) =4a-3b+8b-2a
_ (4a - 2a) + (-3b + 8b)
_ (4 - 2)a+ (-3 + 8)b
=2a+5b
2. Sumar-2b+3a+2cy4b+8a-6c
Solución:
(-2b+3a+2c)+(4b+8a-6c) =-2b+3a+2c+4b+ 8a--6c
= (3a + 8a ) + (-2b + 4b) + (2c - 6c)
_ (3 + 8)a + (-2 + 4)b + (2 - 6)c
= lla+2b-4c
3. Expresiones algebraicas
131
3. Sumar 2x2 + 2y2; 8x2-4y2; -9y2 - 6x2
Solución:
(2x2 + 2y2) + (8x2 - 4y2) + (-9y2 - 6x2) = 2x2 + 2y2 + 8x2 - 4y2 - 9y2 - 6x2
= (2x2 + 8x2 - 6x2) + (2y2 - 4y2 - 9y2)
=(2+8-6)x2 +(2-4-9)y2
= 4x2 - l ly2
4. Sumar lx2 3xy;2 2xy+3ly2
2 +3
Solución:
C
1
2 1
1
1 2
l
1
2
1
1
1
1 x +3xy I+ 2xy+3y I=2x +3xY+2xy+3y
2 x + 33y
=2
+
2
+3 y
1J
1 2 1 2 5
=2x
+3y
+6xy
5. Sumar -2by4 +3a"2+2c'4; 4br4+8a'2Solución:
(-2b, 4 + 3 aj12 + 2c ^) + (4 by + 8 ay -6c)
=-2by + 3ay +2cy +4b34 +8aV2 -6cy
_ (-2by + 4by)+ (3ay + 8ay)+ (2cy -6cy)
_ (-2 + 4)by + (3 + 8)a» + (2 - 6)cy
= 2b4 + 1 lay - 4cy
=11aY +2by -4cy
3.5..4. Sustracción de monomios
En álgebra, la sustracción o resta significa el aumento o disminución, mientras que
en aritmética significa disminución.
132
Álgebra básica
La operación de restar b de a significa que a es el minuendo que deseamos restar
de b (sustraendo) y se simboliza como a - b, esto es lo mismo que a+ (-b), en donde
para restar b de a sumamos el inverso aditivo (o negativo) de b al número a.
Ejemplos de 3.5..4
1. De (-5 ) restar 9
(-5)-(+9)=-5-9=-14
2. Restar 3a de 8a
(8a) - (3a) = 8a - 3a= (8 - 3)a = +5a
3. Restar (-5a) de 9a
(9a) - (-5a) = 9a + 5a = (9 + 5)a = 14a
4. Restar (4a) de (-7a)
(-7a) - (4a) = -7a - 4a = (-7 - 4)a= -1 la
Restar (-2a) de (-6a)
(-6a) - (-2a) = -6a + 2a = (-6 + 2)a = -4a
3.5.5. Sustracción de un polinomio
Se escribe el sustraendo con sus signos cambiados debajo del minuendo , de manera
que todos los términos semejantes queden en la misma columna. y se procede a
hacer la operación de éstos.
Ejemplos de 3.5.5
1. De 2a - 3 b restar - a + 2b
Solución:
2a- 3b
+a - 2b
3a-5b
3. Expresiones algebraicas
133
2. De 8ab-2crestar4ab-5c+4
Solución:
8ab - 2c
-4ab+5c-4
4ab+3c-4
3. De 2x2 - 3x restar -5x2 + 6x
Solución:
2x2 - 3x
5x2-6x
7x2 - 9x
4. De -x3 - x2 + 6 restar 5x2 -3x+2 9
Solución:
-x3-x2+6
-5x2-2+3x
-x3-6x2+4+3x
Ordenando el polinomio se tiene: -x3 - 6x2+ 3x + 4
5. De 2ay - 3b y2 restar - a4 + b 2
Ll
Solución:
2ay - 3by
ay - by
3ay -4by2
Otra forma de realizar la sustracción de los polinomios es utilizando el inverso
aditivo, el cual se obtiene sumando los inversos aditivos de todos los términos del
polinomio.
6. De 6x - 7y restar 2x - 4y
Álgebra básica
134
Solución:
(6x - 7y) - (2x - 4y) = 6x - 7y - 2x + 4y
= (6x - 2x) + (-7y + 4y)
= (6 - 2)x + (-7 + 4)y
=4x-3y
7. De8a+6b-2restar2a-3b+8
Solución:
(8a+6b-2)-(2a-3b+8)=8a+6b-2-2a+3b-8
=(8a-2a)+(6b+3b)+(-2-8)
= (8 - 2)a+ (6 + 3)b- 10
=6a+9b-10
8. De 9xy- 2y+ 3 restar 6xy+ 2z-4 9
Solución:
(9xv-2y+3)-(6xy+ 2z-4)=9.xy-2y+3-6xy-2z+4
= (9xy - 6xy) - 2y - 2z + 7
=(9-6)xy-2y-2z+7
= 3xy- 2y- 2z+ 7
3
9. De 8x ' -7v
restar 2x-4y a 11
Solución:
(8x73 -7y/4) - (2x/3 -4y /4 ) = 8x/3 -7y /4 -2x /3 +4y
=(8x73-2x 3 )+(-7y74+4y,4)
=(8-2)x3 +(-7+4)y
3,
= 6x'3 -3y
3.5..66 Multiplicación
La multiplicación en aritmética y álgebra significa que, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, se encuentra una tercera cantidad conocida como
producto. Al multiplicando y multiplicador se les llama también factores del producto.
3. Expresiones algebraicas
Las siguientes son leyes de multiplicación:
1. Ley conmutativa:
2. Ley asociativa:
3. Ley distributiva:
4. Multiplicación de cantidades con signo :
135
ab = ba
a(bc) = (ab)c
a(b + c) = (b + c)a = ab + ac
(+a)(+b) = +ab
(-a)(+b) = -ab
(+a)(-b) = -ab
(-a)(-b) _ +ab
Los símbolos de agrupación son los paréntesis ( ), las llaves { } y el paréntesis
rectangular o corchete [ ]; se emplean para manejar las cantidades encerradas dentro de ellos (como una sola cantidad) de una manera más sencilla , cuando hay
necesidad de realizar más de una operación.
Ejemplos de 3.5..6
1. 2x- 4(x+ y)
Solución:
=2x-4(x+y)
=2x-4x-4y
_ -2x - 4x- 4y
_ -2x- 4y
2. 2x- (2y+ 4x) + 3(x- 6y) Q
Solución:
=2x-(2y+4x)+3(x-6y)
= 2x- 2y- 4x+ 3x- 18y
=x-20y
3. 3x+ 2 [2y- 3(3x- 5y)] SQ
Solución:
= 3x+ 2[2y- 9x+ l5y]
= 3x+ 2[17y- 9x]
=3x+34y- l8x
_ -15x + 34y
Álgebra básica
136
4. 6x-{2v+2[3-(x+y)+2(5x+1)]} Solución:
=6x- {2y+2[3 -x- y+ lOx+2]}
= 6x- {2y+ 6 - 2x- 2y+ 20x+ 4}
=6x-2y-6+2x+2y-20x-4
=-12x- 10
5. 2x 1/2 -9 (x2 + y^3)
Solución:
= 2x/2 -9(x/2
+y/3)
1/
2/
=2x2-9x 2-9y/3
=-7x/2 -9y
3.5 7. Multiplicación de monomios
Se multiplican los coeficientes y a continuación se escriben los factores en orden
alfabético, colocándole a cada uno su exponente, que se obtiene de la suma de los
exponentes de cada uno de los factores.
Ejemplos de 3.5..7
1. 2x2 por -3x Q°Solución:
(2x2)(-3x) = -6x2+' = -6x3
2. a2b3 por 3a2bx 11
Solución:
(a2b3)(3a2bx) = 3a2+2b3+ix
= 3a4b4x
3. Expresiones algebraicas
3. -4a2 por -5ab2c
Solución:
(-4a2)(-5ab2c) = +20a2+1b2c
= 20a3b2c
4. -x2y3z por 4y4z2 Q
Solución:
(-x2y3z)(4y4z2 ) = -4x2y3+4z'+2
= -4x2y7z3
5. 3an +4bn+1 por -4a n +2b -n +3
Q
Solución:
(3a+4bn +' )(-4a.n+2b-n+3)= -12a
= -
6.
---x2y
+4+n+2bn+l-n+3
12a2n
+6b4
por - x2y3
Solución:
7x2yJ( 4x2y3J=28x2+2 y1+3
21 4 4
=28x y
7. a3b/2 por 3a3b 3 c2
Solución:
(a/3b/2)( 3a'/.3b23 c/2) = 3a3+3b'/2+3c'/2
= 3abyc%
137
Álgebra básica
13 8
3.5.8. Monomio porpolinomio
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Ejemplos de 3.5.8
1. 3x2- 4x+ 9 por 4x2 Q
Solución:
(3x2- 4x + 9)(4x2) = 3x2(4x2) - 4x(4x2) + 9(4x2)
= 12x4 - 16x3 + 36x2
Otra forma de resolver el ejercicio es:
Multiplicando
Multiplicador
Producto o resultado
3x2 - 4x + 9
4x2
12x4- 16x3+ 36x2
2. 8x2y - 8y2 por 2axy Si
Solución:
(8x2y- 8y2)(2axy) = 8x2y(2axy) - 8y2(2axy)
= 16ax3y2 - l6axy3
Empleando la otra forma:
8x2y - 8y2
2axy
16ax3y2 - 16axy3
3. 3a- 5b- 8cpor
Multiplicando
Multiplicador
Producto o resultado
-3a2b2
4
Solución:
(3a-5b-8c)I -3 a2b2 3c(-3a2W 2 - 5bí - 3a2b2 -8cl 4a2b2
4
4
4
J
J
=-9a3b2 +15 a2b3 +24a2b2c
4 4 4
--9a3b2 +
15a2b3 +6a2b2
4 4
J
3. Expresiones algebraicas
139
4. xa+5 - 2x' + 3x°+3 por -2x2
Solución:
- 2x °+4 + 3x°+3
-2x2
-2x" 7 + 4x°+6 - 6xa+5
xa+s
Multiplicando
Multiplicador
Producto o resultado
5. 3x4 - 4x 4 + 9 por 4x 2
Solución:
(3xy -4x4 +9)(4x4)= 3x4(4x4)-4x4(4x4)+9(4x4)
=12x4
+Y
-16x 4+y + 36x4
=12x -16x4 + 36x4
3.5.-9. Multiplicación de dos polinomios
Se multiplican todos los términos del primer polinomio (multiplicando) por cada
uno de los términos del segundo polinomio (multiplicador).
Ejemplos de 3.5..9
1. Multiplicar (x - 3) por (4 + x) Q
Solución:
Los factores se ordenan con respecto a cada literal
x-3 Multiplicando
4+x Multiplicador
x(x) - 3x
+ 4x - 3(4)
x2 + x - 12
Producto o resultado
Otra forma de solucionarlo:
(x-3)(x+4) =x(x)+4(x)-3(x)-3(4)
=x2+4x-3x- 12
=x2+x- 12
140
Álgebra básica
2. 8x-3y por-2y+5x
Solución:
8x - 3y
5x - 2y
(5x)(8x) - 3y(5x)
- 2y(8x) - 3y(-2y)
Multiplicando
Multiplicador
Entonces:
8x - 3y
5x - 2y
40x2 - 15xy
- 16xy+ 6y2
40x2 - 31xy + 6y2
Producto o resultado
Otra forma de solución es:
(8x- 3y)(-2y+ 5x) = 8x(-2y) + 8x(5x) - 3y(-2y) - 3y(5x)
=-16xy+ 40x2+6y2- 15xy
= 40x2 + 6y2 - 16xy - 15xy
= 40x2+ 6y2- 31xy
3. x3 + 2x2 - x por x2 - 2x+ 5
Solución:
(x3 + 2x2 - x)(x2 - 2x+ 5) = x3(x2) + x3(-2x) + x3(5) + 2x2(x2) +2X2 (-2x) +
2x2(5) -x(x2) - x(-2x) - x(5)
=X'- 2x4 + 5x3 + 2x4 -4X3+ 1 Ox2 - x:'+ 2x2 - 5x
= x5 - 2x4 + 2x4 + 5x3 - 4x3 - x3 + 10x 2 + 2x2 - 5x
=X5+ 12x2 - 5x
4. 8x^2-3yy por -2yy+5xy
El
Solución:
(8x 2-3yy 4)(-2y'4+5x 2)_
=8x Y2 (-2y/
-'4 )+8x
8x(5x) - 3yy4(-2yy4)- 3y/
^4(5xy2)
-'4 +40xY+yí+6y/+j -15yYx
=-16x/2y/
3. Expresiones algebraicas
141
= 4 0 x +6y^/4 - l 6x yyY - 1 5 xyyY
=40x+6yy -31xyyY
3.5.10. División
La división consiste en obtener el cociente de dos términos a/b. Al primero (a) se
le llama dividiendo y al segundo (b) divisor.
Dividendo
= Cociente o Dividendo = divisor = cociente
Divisor
ab
b
ab+ b = a
3.5.11. Propiedades de la división
Si a, b, c, d(=- Z, (2) todos los denominadores de las fracciones deben ser diferentes a cero.
1. a no está definida cuando b = 0
b
a
1.2.0 no es un número
1.3. 0 es indeterminado
0
a ac
2.
b bc
(')Números enteros Z= {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
142
Álgebra básica
3 a+b a+b
C c c
4.
5.
bd= C
b)\c
3.5.12. División de monomios
Primero se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor, después se escriben las letras en orden alfabético con su respectivo exponente, que se
obtiene de la diferencia del exponente del dividendo menos el exponente del divisor.
Ejemplos de 3.512
1. a = a7-5 = a2
a
8a4b3 _
2. b -4a4-2b3-1 =-4a2b2
-2a2
- 10x4, 3c2
3. -
-5 ab2c
= +2a4-iba-2c 2-1 =2a 3bC q
4. (a-1)s - 5-3 2
-(a-1) =(a-1)
(a-1)3
5.
-(x
+
2)
3 l 1
(x + 2)' (x + 2)7 - 3 (x + 2)4
w+3
6. a
aoi+1
7.
= a+3-(nF+1) = am+3-m-1 = a2
C2x4yZ21
óxy2
3
x322 3
x926
3y 27y3
3. Expresiones algebraicas
(2a2b2c3)3 _ 23a6b6c9 _ 8a4c'
8. (3ab4e)2
9.
32a2b8c2 9b2
ay4b- = aY2- Y4 b/-i4 = aYb)
ay b^
3.5.13. División de un polinomio por un monomio
Cada uno de los términos del polinomio se dividen entre el monomio.
Ejemplos de 3.5.13
Dividir y simplificar los siguientes polinomios
1
12a3 -6a2 +24a
6c.
Solución:
12a3 - 6a2 +24a
6a
2
3a3 -18a2b+27a2b4
_
12a3
6a
-
6a2 24a 2
+ = 2a
6a 6a
Q
3a
Solución:
3a'-18a 2 b + 27a'b 4 3a3 18a2b 27a2b4
- _
+ ----- = a -2
óab + 4
9ab
3a
3a
3a 3a
(3y+b)2 -a(3y +b)
l3y + b)
u
Solución:
(3y+b)2-a(3y+b)-(3y+b)2_a(3y+b)_
(3y+b) (3y+b) (3y+b) -(3y+b)-a=3y-a+b
143
Álgebra básica
144
4 12a z b m +8a x+l b nrl -4a x+2 b m-2
-2a3b4
Solución:
12axb` + 8ax
+Ibm
-I - 4ax+2bni-2
-2a3b4
12axbni
2a 3b4
8aA+lb ni -'
4a-Y +2 W1 -2
2a3b4
2a3b4
_ -6as-3 bm-4 -4a x-2bm-5 + 2ax-Ibm-6
5. x-5 2-2x4-x(2x+5)
X
Solución:
2x 4
z- -x(2x+5)
z
x x
=x2
=x3-2x2-2x2-5x
=x3-4x2-5x
6.
12a4 - 6a''2b + 24 a 2b 2
Q
6a^2
Solución:
12 a,4
6a Y2
6ay2b 24a^b^
_3/ _ I I' -I
+--- -- =2a 4 /2 -a2 2b+4a
Gay 6ay
2
=2ay -b+4a4/2bi/2
=2ay -b+4a2bY
Definición: El grado de un polinomio con respecto a una literal es el exponente
mayor de esta literal presente en el polinomio.
3. Expresiones algebraicas
145
3.5.14. División de dospolinomios
Para dividir dos polinomios se realizan los siguientes pasos:
1. Ordenar ambos polinomios en relación con una misma letra , en orden decreciente de potencias.
2. Dividir el primer término del dividiendo entre el primer término del divisor,
obteniendo el primer término del cociente.
3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del
divisor, el producto obtenido se resta término a término del polinomio original
(dividendo); para hacerlo , al producto obtenido se le cambian los signos y se
escribe cada término debajo de su semejante.
4. La diferencia obtenida es el nuevo dividendo ; se divide el primer término del
nuevo dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el segundo
cociente; se repiten los pasos anteriores hasta obtener el residuo igual a cero o
de grado menor al dividendo.
Ejemplos de 3.5..14
1. Dividir 3y2+ 2y- 8 entre y+ 2
Solución :
Paso 1
3yz +2y-8
y+2
Paso 2
3
y+2 3y2 +2y-8
Paso 3
y+2
3
3y +2y-8
-3y'-6y
0 -4y-8
Paso 4
3 -4
y+2) 3y +2Y-8
-3y2-6y
0 -4y-8
+4y+8
0 0
146 Álgebra básica
2. Dividir -x2 + x4 + 4 entre x - 1 Q,
Solución:
Paso 1
x4-x2+4
x-1
Paso 2
x
x-1)x4 -x2+4
x
Paso 3 x -1)
3
x4-xz+4
-x4+x3
0 +x3-x2+4
Paso 4
x3+z
x-1 x4-x2+4
-x4 +x3
0 +x3-xz+4
-x3+x2
0 0 +4
3. Dividir 6y4+ lOy+ 12y2+ 1 + 7y3 entre 2yz+y+ 4 Q
Solución:
Paso 1
Paso 2
6y4 +10y+12yz+1+7y3
2y2+y+4
3 2
2y2+y+4)6y4 +7y3+12y2+10y+1
3y
Paso3 2y2 +y+46y4+ 7y3+12yz+IOy+1
-6y4 - 3y3 -12yz
0 +4y3 + 0 +10y +1
3. Expresiones algebraicas 147
2
Paso4
+ -1
2y2+y+4 6y4+7y3+12y +10y+1
-6y4 -3y3 -12y2
0 +4y3 + 0 +10y+1
-4y3 - 2y2 - 8y
0
-2y2 + 2y+1
+2y2 + y+4
0
9
4. Dividir 6a3 - 17a2+ 16 entre 3a - 4
Solución:
P aso 1
6a3 -17a2 +16
3a-4
2
Paso 2
3a-4 6a -17a +16
2
Paso 3
3a-4 )6a ' -1 á +16
-6a 3
0
Paso 4
+ 8a2
- 9a2+16
c2a
3a - 4)6a3 - 17a + 16
-6a 3 +8a2
0
-9a2+16
+9a2 -12a
0 -12a+16
+12a-16
0 0
3y+5
148
íígebra básica
5. Dividir 2x4+ Ox3y - 13x2y2+ 14xy3 - 3y4 entre x2+ 2xy - 3y2 p
2x2 -4x^ +yz
x2+2xy-3y2} 2x +Ox y-13x y +14xy 3y4
-2x4 -4x3y+6xzyz
-4 X3y -7 X2y2 + 14xy3 - 3y4
+4x3y+8x2y2-12xy3
x z2+2xy3-3y4
y
-x2y2-2xy3+3y4
o o o
Ejercicios de 3.5
Sumar los monomios y polinomios
1 2 3
1. 2x+3y; -4x
2 1
R. 3y-4x
2. -8a2b, 5ab2; -a2b- llab2; -7b3
R. -9a2b - 6ab2 -7b 3
3. a2+1ab; --ab +--a2
R. 3a2-4ab
2
4. -5x4+6x3 - --x;x4-x2+5;
2x3-3x-3
3
8
R. 2x4+3x3-x2-9x--2
5 2 8
Restar los monomios y polinomios
5. De -4ab2 restar -6ab2
6. De 2a- 3b restar -a+ 2b
R. 2ab2
R. 3a- 5b
7. De x3 - 9x+ 6y2 - 19
restar -11x2 +21x-43+6X3
R. -5x3 - 11x2- 30x+ 6y2+ 24
8. De laz restar -lag -1ab+2b2
R. 3a2+1ab-2b2
2 4 3 5 4 3 5
5
9. De - xz-3y2 restar Sxy+_1 y2- 3 R. 5x2_5 xy-19y2+ 3
9 8 7 10 11 9 7 40 11
3. Expresiones algebraicas
Multiplicar los monomios
10. -8a2b3 por -9a2bx4
R. 72a4b4x4
11. -xm+lya+2 por 4xm -aya-5z2
R. -4x2m -2y2a-3z2
12. 3x'y3 por - -a2 x4y
R. -Sa2xbya
Multiplicar el monomio por el polinomio
13. x3 - 4x2y + 6xy2 por ax3y
14. -3x3 + 5x 2y - 7xy2 - 4y3
por 5a2xy2
15. 2x3+x- 3x2- 4 por 2y
R. ax6y - 4ax5y2+ 6ax4y3
R. 15a2x4y2 +25a 2X3y3 - 35a2x2y4 +
20a2xy5
R. 4x3y + 2xy - 6x2y - 8y
Dividir los polinomios y simplificar
16. ^-a)3
4
a
a
17. 36a'ob9
-12a4b8
18.
R. -3a6b
-3manbx3
R. -1 ma-2nG 2x2
5
15m2n2x
19.
R. +64x6
20. (4Xy2Z)4
(-2x2yz3)3
R. -
21. 3x3
-5xy2 -6x2b3
32y5
x2z5
R. -3x2+5y2+3xb3
-2x
ax-lby+2 - ax-2by+4
axby +
R.
22.
ax-3¿V,-I+ax-4¿,i+I-ax-5bi+3
a3b
23 .
2
3
8x -6x +18x
-2x2
R. -4x-9+3
x
149
Álgebra básica
150
24. 9(x
- a)2 + 3(x - a)2
R. 4x-4°
3(x - a)
25.
18a4-6a'+ 12a2
2a(3a-2)
R. 6a2 -2a+4
3a2
26.
27 .
28
28.
4x3-5x2+3x-2
x+1
11+17y+3y'+14y2
y+3
a6
R. 4x2 - 9x + 12
Residuo = 0
R . 3y2+ 5y+ 2
Residuo = 5
_b6
R. a5+ a
a-b
4b+
a3b2+ a2b3+ ab4+
b5
Residuo = 0
3.6. APLICACIONES
Entre las muchas expresiones algebraicas en economía podemos mencionar las
siguientes:
1. El consumo. En economía, el consumo depende del ingreso, y en su forma más
simple, la ecuación de consumo se representa mediante la fórmula:
C= a+ bY
en donde C= consumo
Y= ingreso
a = consumo autónomo
b = propensión marginal al consumo
2. La expresión
P(1 + ¡y
representa el valor obtenido al acumular un capital dado P, a una tasa de interés
i durante cierta cantidad de años t.
3. Expresiones algebraicas
151
3. La expresión algebraica
Aza,¿ fi
representa la producción obtenida con Ky L, insumos de capital y de mano de
obra, respectivamente.
Se dice que hay rendimientos a escala constantes si cuando se incrementan
todos los insumos en determinada proporción, la producción aumenta en el mismo
porcentaje. Si la producción aumenta, hay rendimientos crecientes a escala; y si
el crecimiento es menor que determinada proporción, entonces hay rendimientos
decrecientes a escala. Los rendimientos se pueden obtener de la suma de los
exponentes.
Si a+ /3 = 1, se tienen rendimientos a escala constantes.
Si a + /3 > 1 , se tienen rendimientos a escala crecientes.
Si a + /3 < 1, se tienen rendimientos a escala decrecientes.
Por ejemplo, en la expresión:
120Ko.6L o.a
a= 0.6
fi= 0.8
como a + /3 = 1.4 > 1 se tiene rendimientos a escala crecientes.
Pero si la expresión es 320Ko2L o.s
a= 0.2
/3 = 0.5
a+ /3 = 0.7 < 1 se tiene rendimientos a escala decrecientes.
Álgebra básica
152
3.7. MANEJO DE POLINOMIOS CON MATHEMATICA
Las operaciones que tiene disponibles el paquete Mathematica para manipular las
expresiones algebraicas son las siguientes:
Operaciones estructurales en polinomios
Nombre
Operación
Expand[polinomio]
Efectúa los productos y potencias indicados.
Factor[polinomio]
Simplify[polinomio ]
Together[polinomio]
Apart[polinomio ]
Cancel[polinomio ]
FactorTerms[polinomio ]
Collect[polinomio , x]
Realiza factorización completa.
Simplifica a la menor expresión.
Escribe los términos con común denominador.
Separa en términos con denominador simple.
Simplifica expresión fraccionaria.
Obtiene los factores comunes.
Acomoda el polinomio de acuerdo con la suma
de potencias de x.
Acomoda el polinomio de acuerdo con la suma
de potencias de x, y, ...
Collect[polinomio , {x, y, ...}]
PowerExpand[expresión]
Desarrolla expresiones de la forma (ab)' y (a°)`
Ejemplos (véase imagen 3.1)
In[l]:= (2 + 4 x^2)^2(x - 1)^3
Out[ 1]= (-1 + x3)(2 + 4x2)2
(Polinomio en una variable.)
In[2]:= t = Expand[%] (Lo presenta en términos simples.)
Out[2]= -4 + 12x - 2Sx2 + 52x3 - 64x4 + 64x5 - 48x6 + 16x'
In[3]:= Factor[t] (Lo factoriza completamente.)
Out[3]= 4(-1 + x)3(l + 2 x2)2
In[4]:= FactorTerms[t] (Calcula el factor numérico común.)
Out[4]= 4(-1 + 3x - 7x2 + 13x3 - 16x4 + 16x5 - 12x6 + 4x')
Cuando el polinomio contiene varias variables puede acomodarse de diversas
maneras, eligiendo la variable dominante.
3. Expresiones algebraicas
153
In[5]:= Expand [(1 + 3x + y)3]
Out[5]= 1 + 9x + 27x2 + 27x3 + 3y + 18xy + 27x2y + 3y2 + 9xy2 + y3
In[6]:= Collect[%, x] (Lo acomoda eligiendo x como dominante.)
Out[6]= 1 +27x3+3y+3y2+y3+x2(27+27y)+x(9+ l8y+9y2)
In[7]:= Collect[Expand[(1 + x + 2y + 3z)^3], {x, y}] (Desarrolla y lo acomoda
eligiendo x y después y
como dominantes.)
Out[7]= 1 + x3 + 8y3 + 9z + 27z2 + 27z3 + x2(3 + 6y + 9z) + y2(12 + 36z) + y(6 +
36z + 54z2 + x(3 + 12y2 + 18z + 27z2 + y(12 + 36z))
IMAGEN 3.1
h[1]:. (2.4x - 2>- 2 (x- 1) ^3
MII- (-1+x)' (2 +4x')'
hpl. Ext' axd[%]
Utpp -4+12x- 28x52X'-64x +64X' - 48 X 16 x'
ht31 Factor[%]
N[41= FactorTeras[%]
G. 4} 4(-1.3x-7x'+13x'-16x16x'-12 x1.4x1)
h [61.. Ezpaed ( ( 1. 3 x + y) 33
pu[[6)^ 1.9x+27x1 +27x'.3 y.18x y+27 X'Y+3 y'+9xy'+y'
h3l:- Collect[%, x]
GS[GI• la 27x'. 3 y+ 3 y'. y'ax' (27.27 y) +x (9.18 ya9y')
h[J- Collect [E,q, ((1ax + 2y a3 z)^3]. (x, y)]
ouph 1. x'+By'.9e+27 e '. 27 e'. ' (3+6y+9e )
Y'(12+36e ).y(6.36e+54e')
x (3.12y'.18 r.27 e'.y(12.36z))
Respecto a la estructura de los polinomios, existen las siguientes funciones:
Estructura de un polinomio
Nombre
Operación
PolynomialQ[expr, x]
PolynomialQ[expr, {x), x2, ...}]
Variables[polinomio]
Length[polinomio]
Exponent[polinomio, x]
Demuestra si la expresión es polimonio en x.
Prueba si la expresión es polinomio en x,.
Enlista las variables en el polinomio.
Muestra el número de términos.
Indica el máximo exponente de x.
Coefficient[pol, expr,]
Coefficient[pol, expr, n]
Señala el coeficiente de la expresión.
Indica el coeficiente de la expresión a la n.
Coefficient[pol, expr, 0]
CoefficientList[pol, {x), x2, ...}]
Da el término independiente de la expresión.
Ordena los coeficientes de x, en el polinomio.
154
Álgebra básica
Ejemplos
In[22]:= t = Expand[(1 + x)^3 (1 - y - x)^2]
Out[22]= 1 + x - 2x2 - 2x3 + x4 + x5 - 2y - 4xy + 4x3y + 2x4y + y2 +
3xy2 + 3x2y2 + x3y2
In[23]:= PolynomialQ[t,x]
Out[23]= True (Es verdad que tes un polinomio en x.)
In[24]:= PolynomialQ[x + Sin[x], x]
Out[24]= False (No es verdad que x+ Sin[x] es
un polinomio en x.)
In[25]:= Variable[t]
Out[25]= {x, y}
In[26]:= Length[t]
Out[26]= 14
(Enlista las variables en t.)
(Muestra el número de términos.)
In[27]:= Exponent[t, x] (Indica el mayor exponente de x en t.)
Out[27]= 5
In[28]:= Coefficient[t, x^2] (Da el coeficiente total de x2 en t.)
Out[28]= -2 + 3y2
Para solicitar el coeficiente de x2 se usa también: Coefficient/t, x, 2j. Así,
Coefficient/t x, Ojproporciona el coeficiente de x° en t, esto es: 1 - 2y+y2.
In[29]:= CoefficientList[1 + 3x^2 + 4x^4, x] (Enlista los coeficientes.)
Out[29]= {1, 0, 3, 0, 4}
In[30]:= CoefficientList[t, {x, y}] (Ordena los coeficientes de cada
potencia de cada variable.)
Out[301= {{l, -2, l}, {1, -4, 3}, {-2, 0, 3}, {-2, 4, 1}, {l, 2, 0}, {1, 0, 0}}
Si el polinomio es t= 1 + x - 2x2 - 2x3 + x4 + x5 - 2y - 4xy+ 4x3y + 2x4y + y2 +
3xy22 + 3x2y2 + x3y2, entonces el primer subconjunto corresponde a los coeficientes
de los términos con x°, que son: término independiente , término en y, término en
y2; el siguiente subconjunto son los coeficientes de los términos en x, en xyy en xy2;
3. Expresiones algebraicas
155
a continuación aparecen los coeficientes de los términos en x2 , x2y y x2 y2, y así
sucesivamente.
Las siguientes instrucciones corresponden a operaciones entre polinomios ordinarios, con exponentes enteros y coeficientes racionales:
Operaciones entre polinomios
Instrucción
PolynomialQuotient[pol„ pol2, x]
PolynominalRemainder[pol„ pol2, x]
PolynominalGCD[pol„ po12]">
PolynominalLCM[pol„ po12]
Operación
Da el cociente de dividir pol,(x)/pol2(x).
Proporciona el residuo de dividir pol,(x)/pol2(x).
Máximo común divisor.
Mínimo común múltiplo.
Otra instrucción útil en el caso de polinomios es la que permite evaluar el
polinomio en un valor dado para la variable. Esta operación se logra con "Expresión /. x - > valor". Por ejemplo:
In[21 ]:= 1+ x+ x^2/. x - > 3
Out[21]= 13
También puede utilizarse para lograr la composición de funciones . Sif(x) = 3 +
18x- 5x2 pero x = g(y) = 4y - 35, entonces f(g(y)) puede obtenerse con las instrucciones:
In[22]:= 3 + 18x - 5x^2.x - >4y - 35
Out[22]= 3 + 18(4y - 35) - 5(4y - 35)^2
Otro ejemplo con dos variables
In[23]:=(x+y)(x-y)^2/.{x->3,y-> 1-z}
Out[23]= (4 - z) (2 + z)2
La instrucción PolynomialQuotient proporciona el resultado de la división de
dos polinomios y Polynomiall?emainder devuelve el residuo. El máximo común
divisor de varios polinomios se obtiene a partir de PolynomialGCD y el mínimo
común múltiplo con Polynomia1LCM.
(3) Pueden incluirse más de dos polinomios.
Álgebra básica
156
Ejercicios del capítulo 3 resueltos con Mathematica
IMAGEN 3.2a
_ ❑ x
expresiones Racionales.nb
n [41 ]:= Expand [ ( 4 a b ^ 3) ^23
01(41)= 16 at b'
.[421= Epand [(- 2a^2b^4)^2]
0.142]= 4e4bs
^n[43]:= Expand[ (- 3x^2b^3)^3]
o,A143]^ -27b' x'
3.1.1. Ejercicios del 1 al 5
b]44]:= Expand [(- 4 xl(3a ^ 2))"3]
0.144]= -
64x4
27a'
m[45p= Expand[(-5 y^21 ( 7x^3))^2]
25 y4
O. pS]= 49x°
1,]46]:• 2^2 R 213
3.2.1. Ejercicio 1
0.1461= 32
m[4?]:= - 2^4r-2^2
3.2.1. Ejercicio 3
0.[47]= 64
1,449]= x^ - 2vx^4.x^5
3.2.1. Ejercicio 4
^J
9 1l
JI
IMAGEN 3.2b
_ ❑ x
E: Fx ¡xasinnex Racianme . nh
!n ]95]. ( xy)^3w (xy)"2
3.2.1. Ejercicio 5
Jl
0.150]= xs ys
3.2.2. Ejercicio 4
0.[51]= xs ys
x452]:• (-3ab)"4
3.2.3. Ejercicio 3
1.
0.452]= 81 a^b^
!n ]531:= (4x
y
1 ( 3ab))"5
3.2.4 . Ejercicio 4
i f
1024 xs ys
0.[537•
f
243 as bs
16x " 4/ (ex)
0.4551' 2 x3
!n [504:= 7x ^ 21 (343x^4)
0.]56 ]
1 i
49 x
Í
3.2.5. Ejercicios 1 y 5
1
157
3. Expresiones algebraicas
IMAGEN 3.2c
In[58):= (2/ 3)^-4*n ^ 5.x"-2
3.3.2. Ejercicio 4
81 a5
16 n1
'!( b(50]:= 2 " 3xx^-2*y^-3
3.3.2. Ejercicio 5
Oa[59p xt y=
' I In(G0]:= 8^(113)
3.4.1. Ejercicio 4
upo]= 2
In(0l):= x"(314)
3.4.1. Ejercicio 10
001)8)? X214
b)82]:= (Sgrt[188 a^5 b ^7] ) x (1/ 2)
3.4.3. Ejercicio 2
Out)82? 3 -13 as b°
In(80):' 35grt [ 7] - 4Sgrt[7]
3.4.5. Ejercicio 3
001)85)= _Y +
„'.
In)86]:= 5a ( 5"(113)) -8a(5^(1/3))
001)80)= -
3.4.5. Ejercicio 4
3 5111 a
IMAGEN 3.2d
ú Ex]1l esinnes Ftacion4(O1. tl
OÑ[7i]=...-2 ./ 5 ~3V7
n(70( (3/ 8) .(3a^2)^(1 / 3) •8w (fa b^2)"(1/3)
3.4.8. Ejercicio 3
oa(755. 9 (as)' ( abt)''
m(7*] (3/7) (4 a)^(113 ) . (5/6) (6x ) ^(113)
3.4.8. Ejercicio 4
Out[76? 5 3113 a" x111
7
In[77]= 5 (2a )^( 1/3) (4a " 2)^(1/3)
3.4.8. Ejercicio 6
001(77)= 10 a1n (at)u1
In[85]:= 2 sgrt [48 x^3 y] / (4 Sgrt[3 xy "31)
3.4.9. Ejercicio 3
x y1
In [9o):= (Sgrt[ 720])^(1/3)
3.4.11. Ejercicio 1
Ou[)00)' 3
1191):=
s grt [ ( 4 a ^2) "(113 )] 3.4.11. Ejercicio 3
011 )01f= 2112
(
91)116
'1
Jl
Álgebra básica
158
IMAGEN 3.2e
_ ❑ x
w Expresiones Raciotiales.nh'
~3]= Xz - 15 X Y- 11 yt
b[94] = -2b +3a+2c+4b+8a-6c
3.5.3. Ejercicio 2
Out(04]= ll a+2b-4c
(1/ 2) x^2+ (113) xy + (112 ) xy+ (113) y 12
3.5.3. Ejercicio 4
x6 5xy y1
2
6
3
- 2b^(3/4 ) + 3a"(1/2 ) + 2c^(1/4 ) + 4b^(314 ) + 8a^(1/2) -6c^(1/4)
3.5.3. Ejercicio 5
0ut[d6]= 11 + 2b2"- 4,111
8x^ ( 2/3)-7y "( 314) - (2x ^ ( 2/3) -4y"(3/4))
ou<[9ip 6 xt!)
3.5.5. Ejercicio 9
3 y''1
n[9a] (x^( a+5)-2x ^( a+4) + 3x ^( a+ 3)) (-2x^2)
onP)a1= -2 x= (3x3+,-2x,'+x6;')
n[99]:= Expand[%]
4 inn[39p -6x6}t+4x6+, -2xr++
IMAGEN 3.3a
x
Simplify [112q,1[3x4y 2J J t ti J 4)kgr L[ x 2J J ttJ rn [slu 4.... un 3.4 9)
omk
2 x,y1
7 17
xi
". mn]n]= 2xy
(5 Sgrt[2x])^ 2 (ejemplo 2 sección 3.4 . 10)
omp t]= SO X
`. inOs7= (2 ( 2 x^2 y ) ( 1/3))^4
nut]t5]= 32 211' (x' y) 11'
mnpe]= 32 21J' xt y (+' y)
((8x^3)^(114 ))^ 2 (ejemplo 4 sección 3.4. 10)
On D"1° 2 x'
(4 (9x^3y " 4)^(1/6))^3
0.122]= 192 x7 y1
° 0')' 192x11, y'
( ejemplo 5eccióx 3.4 19)
3. Expresiones algebraicas
159
IMAGEN 3.3b
(Sgrt [ a])"(1/3) (Ejemplo 2sección3.4.11)
O1[26]= a116
(Sgrt [1024 ]) " (115) (Ejemplo 4 sección 3.4 .11)
Outrz]= 2
(6Sgrt[6] )^( 113) (Ejemplo 5 sección 3.4 .11)
otr4,=
41 (Sgrt[2]) (Ejemplo lsección 3.4 .12)
Out[29]= 2 l f-2
8x1 (Sgrt[2x ]) ( Ejemplo 2sección3.4 .12)
U¡18]= 4
6/(9a)"(113 ) ( Ejemplo 3 sección 3.4. 12)
2 3113
Out[3lj=
a113
Ii
2 31)3 ( 36)113
Oal J2]=
a
IMAGEN 3.3c
(36x)1 (2x^2)•(1/4) ( e3tmVlo4seoolon 3.4 .12p
18 23!4 x
XL
O.141= 18 2"' fx
(2-Sgrt[2 ])/ 12+5Sgrt [ 2]) (ejeMlolsección3.4.13)
2+5^-2
O*[4.]- 1 {14-12.)
121
12/(Sgrt[5] - Sgrt [2]) (ejempl o 2 sección 3.4 . 13)
O^n [337= 12
oin [44]= 4 ( * í-5 )
(x-3)/(Sgrt[x]-Sgrt[3]) ( ejemplo 3 sección 3.4. 13)
-3 +X
Uut]451=
0u3[46]= -í-3 .1-x
160
Álgebra básica
IMAGEN 3.4a
3a+6a +8b (ejido lsección3.5.1)
' ' . 0. 5,471= 9 . 8 b
7x+4a+15x + 9a-4 (e~lo3 sección 3.5 .1)
om4$)= -4+13a+22x
7x^(112 )+ 8y^(2/3 )+ 3x^(1/2 )+ 4y^(2/3) +2 z^3
(ejemplo 4 sección 3.5 .1)
946) = 10 . + 12 y", . 2 z °
(5a-6b ).(- 2a.4b ) ( ejemplo lsección 3.5.2)
Jf Ou1150i= 3a-2b
(2x^2-4xy + 2y12)+(-5xy + 8x^2-4y ^ 2)+(-9y^2 - 6xy-9x ^ 2) (e~lo 3 sección 3.5 .2)
Om)51]= x =-15xy-11y'
((112)x^2 + ( 112) xy ) + (( 114)xy + ( 1/4)y) (ejemplo 4 sección 3.5 .2
unns]=
xl y 3xy
2 + 4 + 4
(5a^(1/2 )- 6b^(1/4 ))+(- 2a^(1/2)+ 3b^ (1/4 )) ( ejemplo 51sección 3. 5.2)
W11531= 3',/ a - 3 b"
IMAGEN 3.4b
(2a-3b)-(-a+ 2b) (ejemplo l sección 3.5 .5)
~41= 3a-5b
(2x^2-3x )-(- 5x1 2+6x) (ejemplo 3 sección 3.5. 5)
0m¡55]= -9x+7x=
(-x^3-x^2+6 ) - ( 5x^2-3x . 2) (ejemplo 4 sección 3.5 .5)
(M]= 4.3x-6x'-x7
(2a^(1/4 ))-3b^(112))-(-a^(1/4)+b ^( 1/2)) (ejemplo 5 sección 3.5 .5)
nm)57]= 3 a114 - 4 y b
(6x-7y)-(2x-4 y ) ( ejemplo 6 sección 3.5.5)I
0m(53]= 4x-3y
(9xy-2y + 3)-(6xy + 2z-4) (ejemplo 8 sección 3.5.5)I
8x159)= 7-2y+3xy-2z
(8x^(2/ 3)-7y ^( 314)) -(2x ^( 2/3) -4y^(3/4))
0N(B0)= 6 XZ
12
- 3
y1 /4
(ejeilo 9seccián 3.5
.5)I
3. Expresiones algebraicas
IMAGEN 3.4c
2x-(2y.4x)+3(x- 6y) (ejegf1o2secciás3.5.6)
anpt]= -2 x+3 (x-6y) -2y
3x+(2y-3(3x-5y)) ( ejemplo3sección3.5.6)
Ut 2]= 3x-3 (3x-Sy) +2y
6x- (2y+2 (3-(x+y)+ 2 (5x+1 ))) (ejesplo4sección3.5.6)
Out(R31= 6x-2 (3-x+2 (1+5x) -y) -2y
2x^(1/2)-9(x^(1/2)+ y^(2/3)) (ejemplo 5sección3.5 .6)
an1547= 2 Jj - 9(NIX , yW)
2x^2 (-3x)
w(05]= -6
(ejemplo 1 sección 3.5
.7)I
xt
(a^2b^3) (3a^2bx) ( ejemplo 2sección 3.5.7)I
O*t961= 3a 4 b'x
(-x^2y^3 z) (4y^4z^ 2) (ejemplo 42 sección 3.5 .7)
U1871- -4 xt 3? ° z;
IMAGEN 3.4d
(3a^(n+1)b^(a+1)) (-4a^( a.2)b^(-n.3)) (ejemplo 5 sección 3.5.7)
s Out(s8l. - 12 ata n b4
(a^(2/ 3^)-b^(112)) (3a^(113) b^(2/ 3) c^ ( 1/ 2)) (ejemplo 7sección 3.5 .7)
0,n[80]- 3 ab^/6 y c
(3x^2-4x + 9) (4x^2 ) ( ejemplolsecciós 3.5 .t)
Out7O]= 4xt (9-4x+3xt)
In[72]:= Expand [4x^2 (9 - 4x. 3x^2)]
Cutf?21= 36x°-16x'+12x4
(82y- 8 y ^ 2) (2axy) (ejemplo 2 sección 3.5 .8)
0utF11= 2axy (8 xt y - 8 yt)
m73]:=
Etpand [ 2ax y
(t x2y -ay2 )l
Out[73]= 16 axyt-16 axyt
(x^(a+5) -2x ^( a+4)+3x ^( a+3)) (-2x ^ 2) (ejeplo4sección3.5.8)
Om[74l= -2 xt (3X'--2.4', x'-)
I*[75]:- Expand [- 2x2 (3 x3i - 2x"+x! )
Out(75]= - 6 xs+. + 4 x°+a - 2 xf+.
161
Álgebra básica
162
IMAGEN 3.4e
(x-3) (4+x ) ( ejealo lsección3.5.9)
O. R6]= (-3+x) (4+x)
h(771= Expand[o]
OUt)77i= -12+xx1
(8 x- 3 y) (-27+5x) (ejemplo 2 sección 3.5 .9)
en(8]= (-27+5x) (8x-3y)
': in[79]:= Expand[o]
"'. oropel= -216x+40x=+81y-15xy
(x^3+2x ^ 2-x) (-2x+5) (ejemplo 3 sección 3.5 9)
nm¡d01= (5-2x) (-x+2 x6+x2)
In^dt]n Expand[o]
'! 5 (7 p= -5x+12xt+x2-2x4
(¡8 x^(1/2)-3y ^( 3/4)) (-2y ^( 314)+5x ^( 1!2)) (ejesplo 4 sección 3.5 9)I
ol1,21= (81J-3 y24` (5 I-X - 2y1l4)
1
b [83], Expand [%]
0,*P31= 40x -31 ' y214 +6y°7=
IMAGEN 3.4f
a^7/a^5
( ejemplo 1sección3.5 .12)
O^p4]^ 82
(-18a^4b ^3c2) 1 (-5ab^2c ) ( ejeiip1o 3 sección 3.5 .12)
0u1(d6)= 2 a2 b c
-(x+2)^31( x+2)^1 (ejemplo 5 sección 3.5 .12)
1
omt:e1- -
(2 +x) 4
a^(m+3)1a^(m+1) (ejemplo 6 sección 3.5.12)
0u11a'7]= el
(2x^4yz ^ 2/6xy 1 2)^3 (ejesplol sección 3.5 .12)
0*11881= 1 x15 y6 Z6
27
(2a^2b ^2c^3)^31( 3 ab^4c )^ 2 (eje 2lo8 sección 3.5 .12)
O ¡é21=
]
1
8 4 11
9 b1
a^(1/2)b ^( 1/2)/a^(1 / 4)b^(1!4 ) ( ejemplo 9 sección 3. 5 .12)
Oro v,
1
8114 b 214
1
3. Expresiones algebraicas
IMAGEN 3.4g
(12 a^3 - 6a^2+24 a )/ ( 6 a) (ejerVlo l sección 3.5 .13)
u¡931=
24a-6 at+ 12 al
6a
m(94)= Sitplify[%]
out)14]= 4-a+2a2
(3a^3-18a ^ 2b+27a ^ 2b^4)/(3a) (ejeitlo 2sección3.5.13)
om19sj=
3a2- 18 al b +27 at b4
3a
m[s6J:= Singlify[%]
Out (96] = a (a - 6 b + 9 b4)
n(97] = Expand[%]
ut871= at-6ab+9ab4
((3y+b)^2 - a(3y+b))/(3y+b) (ejesplo3sección3.5.13)
ou^s1=
-a(b+3y)+(b+3y)2
b+3y
In[99]:= Sit4tlify[%]
0u(99]= -a+b+3y
IMAGEN 3.4h
(12a^xb ^ m+8a^(x + 1)b^(m-1 )- 4a^(x+2 ) b^(m-2))1 (-2a ^ 3b^4) (ejm 1o 4 sección 3.5 .13)
oup62j= -
-4at+.b-t+m+ 8 a'* ba+"+ 12 axb°
2a;b4
';i in(1531:= SinOlify[%]
'!''ou[io3]= 2a2+x b-5' (at-2ab -3 b2)
!'• In(t0<]= Expand[%]
Gu[104j= 2 a1+xb" -4 a4 b- s+"'-6aa+xb-4m
n:1o€i:= (x^ 5-2x^4 ) f x^2 - x (2 x+5)
0.1101= -x (5 + 2 x) +
-2x4+xs
In[109]:= Togetber [%]
Ox[1091= -5x-4 xt + xt
(12a^(3 / 4)-6a^(1 1 2)b+ 24 a ^( 512)lb 4 ( 1/2))/(6 a ^( 1/2)) (ejesttlo 6 sección 3 . 5 .13)1
12 a='4 -6/_. b + 48 Ba/2b
163
Álgebra básica
164
IMAGEN 3.4i
(12 a^(314 )- 6a^(1/2 ) h + 24 a ^ ( 5/2) b 4 ( 1/2))/ (6 a ^( 112)) (ejrnplo 6 sección 3 . 5 .1:';)
12 a=¡''-6'b + 48 a5^1b
01[110]
6ya
In )1111:= 511lV 1ify[%]
On11111= 2 al¡4-b« 8 at b
(3y^2+ 2y - 8) / (y+2) (ejemplo l sección 3. 5. 14)
8+2y.3y'
2+y
In(1 131= Si>iplify[%]
om[173)= -4. 3y
(-x^2+x^4+4)I(x-1 ) ( ejemAo2sección3.5.14)
4-x=+x4
0 1)114?
-1 +x
I.[115]:= Apart[%]
-1+x
Como se observa en el ejemplo , se usa Simples cuando la división es exacta, o
bien flpartpara que separe la parte entera de la fraccionaria . Puede utilizarse siempre la segunda instrucción ; cuando es exacta, reporta el cociente.
IMAGEN 3.5
(6y^4+l0y.12y ^ 2+1.7y ^ 3) / (2y-2 +y + 4) (ejemplo 3sección3.5 .13)
1 . 10y+ 12Y, + 7y'+ 6 y'
—[116)
4+y+2 ye
1l
11
-jl
0,1)1181= -1+2Y+3yp+ 6«3y
4.y+2 y1
(6a^3-17a ^ 2+16)/ (3a-4) (ejen,1o4secclón3.5.13)
C,^íl 1.91=
16- 17 a' + 6 al
-4+3a
"'. I,)120)= Apart [%1
0-1)120]= -4-3«2 n1
1y
J_
(2x^4+Ox ^ 3y-132y^2 .14x y ^ 3-3y^4 )/ ( x^ 2+2 xy - 3y^2) (ejemplo 5 sección 3 . 5 . 13)1
O1p2t)_
2x4-13x' yp+ 14x y1 -3 Y.
xp+2x y-3y1
In )112):= Apart[%]
n:-1)t221= 2 xp 4 xy+yt
1
1
3. Expresiones algebraicas
165
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