Procesado óptico de objetos en color basado en el efecto Talbot

Procesado óptico de objetos en color basado en el efecto Talbot con luz blanca
E. Bonet1, G. Mínguez-Vega2, E. Tajahuerce2, M. Fernández2, V. Climent2 y P. Andrés3
1
Departamento de Física Aplicada, Universidad Politécnica de Valencia, E-46071 Valencia.
2
Departamento de Ciencias Experimentales, Universitat Jaume I, 12080 Castellón.
3
Departamento de Óptica, Universidad de Valencia, 46100 Burjassot.
1. Introducción
El efecto Talbot o fenómeno de autoimágenes es una propiedad bien conocida del campo
electromagnético por la que los objetos periódicos, al ser iluminados coherentemente, son
capaces de proporcionar su propia imagen en una serie de planos paralelos por propagación
libre [1]. Estas señales generan, además, otros patrones denominados imágenes de Fresnel, en
los que la distribución de amplitud es una versión del objeto periódico de partida con la misma celda unidad aunque con un periodo menor [1]. Este último fenómeno es conocido como
efecto Talbot fraccional. Estas propiedades pueden emplearse en muchas operaciones de procesado de información en la región de Fresnel, de entre las que destacamos la restauración de
objetos periódicos imperfectos [2], la síntesis de imágenes [3] y la inversión de contraste [4].
El empleo de luz blanca permite realizar este tipo de procesado sobre señales en color.
Sin embargo, la propagación de la radiación electromagnética en el espacio libre es un fenómeno físico que depende explícitamente de la longitud de onda, y el uso de luz de banda ancha provoca el emborronamiento cromático de los patrones de difracción. Por ello, los resultados monocromáticos no se pueden extender automáticamente al caso policromático.
En esta contribución se presenta una técnica que permite realizar estas operaciones de
procesado óptico basadas en el efecto Talbot a partir de señales periódicas en color empleando luz temporalmente incoherente. La clave consiste en el empleo de dispositivos ópticos
híbridos (difractivos-refractivos) capaces de compensar la dispersión cromática asociada al
fenómeno de la difracción en la región de Fresnel [5,6]. Estos sistemas acromáticos proporcionan autoimágenes e imágenes de Fresnel de la señal de entrada en color que se localizan en
un mismo plano y poseen la misma escala para todas las componentes espectrales de la luz
incidente. Las operaciones presentadas consisten en la restauración de objetos periódicos en
color y en la síntesis de objetos mediante la mezcla aditiva y sustractiva de colores. En ambos
casos se muestran resultados experimentales obtenidos con luz blanca.
2. Procesador de Fresnel acromático
El procesador de Fresnel acromático utilizado se muestra en la Fig.1 [6]. Está constituido por
tres lentes difractivas, DL1, DL2 y DL3, con distancia focal imagen Z o , Z o′ y Z o′′ , respectivamente, para el número de onda σo, y un objetivo refractivo no dispersivo, L, de distancia focal
f. El diseño se realiza partiendo de un transformador de Fourier acromático, constituido únicamente por las lentes LD2, L y LD3, que proporciona el patrón de difracción de Fraunhofer
del objeto de entrada en el mismo plano, y con una escala acromática, para todas las componentes espectrales de la fuente [6]. Para ello, la lente difractiva LD3 se sitúa coincidiendo con
la imagen de LD2 a través de L, y con una longitud focal de signo contrario. De este modo, la
acción de las dos lentes difractivas se cancela y el patrón de Fraunhofer se obtiene en una posición independiente de la longitud de onda, en el plano imagen de S a través del objetivo L.
La posición del objeto viene determinada por la condición de acromatismo para la escala.
Puede demostrarse que añadiendo
una lente difractiva, DL1, sobre el objeto
(ver Fig.1), en el plano de salida se obtiene un patrón de difracción de Fresnel
acromático, con un índice Ro dado por
Ro = − Z o .
Fuente de luz
blanca
Lente
difractiva
Pantalla
difractante
Lente
difractiva
y
Plano de Fresnel
acromático
Lente
y
difractiva
x
S
Objetivo
no dispersivo
x
(1)
LD2
d
LD 1
a
L
Este índice caracteriza al patrón de Fresl
nel que, por propagación libre, aparece a
LD
d'
una distancia Ro de la transparencia objel'
to cuando ésta es iluminada con una onda
Figura 1. Procesador de Fresnel acromático.
plana monocromática de número de onda
σo. Así, basta modificar el valor de la
distancia focal, Z o , de LD1 para cambiar el perfil del patrón de Fresnel que se acromatiza.
3
2. Restauración de objetos periódicos en color
Considérese un objeto periódico en color, como el mostrado en la Fig.2(a). Salvo defectos,
podemos representar la transmitancia en amplitud del objeto mediante la convolución
+∞
t ( x , y ; σ) = t c ( x, y ; σ) ⊗
+∞
∑ ∑ δ( x − m p , y − m p ) = t ( x , y; σ) ⊗ F ( x , y ; p )
c
,
(2)
m = −∞ n = −∞
donde tc(x,y;σ) es la transmitancia de la celda unidad (ver Fig.2(b)), F(x,y;p) es la función de
muestreo y p es el periodo. Con iluminación paralela monocromática de número de onda σ,
las autoimágenes e imágenes de Fresnel del objeto aparecen a distancias R(σ) dadas por
N
σ

R (σ) = 2  Q +  p 2 σ = Ro
,
M
σo

(3)
siendo Q un número entero, N y M (con N < M) dos números naturales primos entre sí, y Ro el
índice del patrón de difracción de Fresnel correspondiente.
Las autoimágenes del objeto se obtienen a distancias dadas por la Ec.(3) con N=0. Bajo
iluminación policromática, estas réplicas del objeto se encuentran dispersadas cromáticamente
a lo largo del eje óptico del sistema, tal y como indica la Ec.(3). Sin embargo, el transformador de Fresnel de la Fig.1 es capaz de proporcionar una versión acromática de la autoimagen
con luz blanca. Basta escoger una lente DL1 con una distancia focal dada por la Ec.(2), donde
el índice Ro viene proporcionado por la Ec.(3). En la Fig.2(c) se muestra el resultado obtenido
(a)
R+G
R
B
R+G+B
(b)
(c)
Figura 2. Restauración de un objeto periódico en color mediante el efecto Talbot con luz blanca.
en el plano de salida de nuestro dispositivo para la autoimagen Q=1 del objeto de la Fig.2(a).
Puesto que la condición de formación de autoimágenes sólo la cumple la estructura periódica,
y no los defectos, en el plano de salida se obtiene una imagen restaurada del objeto original.
3. Síntesis aditiva y sustractiva de objetos en color
Las imágenes de Fresnel de un objeto periódico se obtienen a ciertas distancias entre autoimágenes proporcionadas por la Ec.(3) con N≠0. Podemos considerar estos patrones como la
superposición de un conjunto de réplicas del objeto original pero desplazadas y con la fase
alterada. La separación entre estas réplicas es p/r, donde r es igual a M cuando M es impar y a
M/2 cuando M es par. Supongamos que la Ec.(2) representa ahora la transmitancia del objeto
en color mostrado en la Fig. 3(a). La distribución de color de la celda unidad se representa en
la Fig.3(b). Con iluminación paralela monocromática de número de onda σ, la amplitud compleja de la imagen de Fresnel con N/M=1/2 puede escribirse de la siguiente forma
U ( x, y; σ) = A / 2 {t c ( x, y; σ) + i[t c ( x + p / 2, y; σ) + t c ( x, y + p / 2; σ)]
(4)
− t c ( x + p / 2, y + p / 2; σ)}⊗ F ( x, y; p) ,
donde A es una constante. Por supuesto, bajo iluminación policromática esta imagen de Fresnel se encuentra cromáticamente dispersada, tal y como indica la Ec.(3). De nuevo, el transformador de Fresnel de la Fig.1, corrige este error y proporciona una versión de la imagen de
Fresnel en un único plano, y con una escala acromática, para todas las componentes espectrales. El resultado experimental se muestra en la Fig. 3(c). La superposición coherente entre
réplicas del objeto con distintos factores de fase permite sintetizar colores no sólo por mezcla
aditiva sino también sustractiva. La celda unidad resultante se representa en la Fig.3 (d).
R+G
G+B
(a)
(b)
(c)
R/4+B/4
R/4+G+B/4
R/4+G+B/4
R/4+B/4
(d)
Figura 3. Síntesis aditiva y sustractiva de colores mediante el efecto Talbot fraccional con luz blanca.
Referencias
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
K. Patorski, Prog. Opt. 27 (1989) 3.
H. Dammann, G. Groh y M. Kock, Appl. Opt. 10 (1971) 1454
B. Packross, R. Eschbach y O. Bryngdahl, Opt. Commun. 56 (1986) 394
A. Kolodziejczyk, Optica Acta 33 (1986) 867.
J. Lancis, E. Tajahuerce, P. Andrés, V. Climent y E. Tepichín, Opt. Commun. 136
(1997) 297.
J. Lancis, G. Mínguez-Vega, E. Tajahuerce, M. Fernández-Alonso, V. Climent y P. Andrés, Opt. Lett. 27 (2002) 942.
E. Bonet, G. Mínguez-Vega, E. Tajahuerce, J. Lancis, V. Climent y P. Andrés, J. Mod.
Opt. (enviado, 2003).