Introducción a los grafos de flujo de señales y los teoremas de Mason

Introducción a los grafos de flujo de señales
y los teoremas de Mason
Jaime Glaría*
*
Departamento de Electrónica, Universidad Técnica Federico Santa María, Casilla 110-V, Valparaíso, Chile
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Resumen
Este es un apunte docente para introducir los grafos de flujo de señales, que se aplican a sistemas de ecuacio nes simultáneas lineales, y los teoremas de Mason, que se aplican a esos grafos. La partida se remonta al siglo 18.
Palabras claves. Grafos; grafos de flujo de señales; teoremas de Mason
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1.
El dilema de los puentes de Königsberg
La historia cuenta que durante los siglos 17 y 18, en lo
que ahora es Alemania y entonces era Prusia Oriental, sobre las riberas del río Pregel y la isla Kneiphof situada en
el río, se alzaba la ciudad de Königsberg con siete puentes
uniendo cuatro sectores que resultaban separados por la
geografía. Y la misma historia cuenta que, por aquellos
tiempos, las gentes se entretenían tratando de resolver un
dilema: cómo salir a pasear de uno de los cuatro sectores
de la ciudad, visitar los otros tres y volver al sector inicial
tras haber cruzado cada uno de los siete puentes una única
vez. La figura 1 esboza la situación de manera parecida a
la que usó Euler (1736) para dilucidar matemáticamente el
dilema concluyendo que es imposible resolverlo.
Fig. 1: Los puentes de Königsberg
Para justificar la imposibilidad, Euler declaró: “todo mi
método se apoya en el modo apropiado y conveniente con
que designé el cruce de los puentes, en que usé letras mayúsculas, A, B, C y D, para nombrar los diversos sectores
separados por el río”. Lo primero fue establecer cuatro recintos como elementos para la conciencia (lo que explica
el entusiasmo por cuatro letras mayúsculas).
Enseguida, Euler agregó: “así, cuando una persona va del
sector A al B a través del puente a o b, anoto este cruce con
las letras AB, la primera de las cuales designa el sector de
donde vino y la segunda el sector adonde llega después de
cruzar el puente”. Lo segundo fue ubicar siete pasadas
como relaciones (con letras minúsculas y en segundo
plano).
Fig. 2: Recintos y pasadas en el dilema de los puentes de
Königsberg
Euler no propuso una representación como la recién expuesta. Sin embargo, inspirados por su trabajo, otros matemáticos propusieron representaciones similares y dieron
comienzo a lo que denominaron teoría de grafos (Ore,
1963). He aquí algunas de sus primeras definiciones y un
teorema:
a) Def.: Segmento es cualquier parte de una línea a la que
pertenecen dos puntos terminales diferentes.
b) Def.: Nodo es cualquier punto terminal de un segmento.
c) Def.: Incidencia es cualquier situación en la cual un
nodo pertenece a un segmento; cuando ella ocurre se dice
que el nodo es incidido por el segmento.
d) Def.: Grafo es cualquier conjunto de segmentos cuyos
únicos puntos comunes son nodos.
e) Def.: Sub-grafo es cualquier grafo que es sub-conjunto
de otro dado.
f) Def.: (Sub-)Grafo conectado es cualquier (sub-)grafo
construído empezando por algún nodo y agregando sucesivamente segmentos diferentes, con la condición de que
cada uno incida por lo menos en un nodo ya dibujado.
g) Def.: Tren es cualquier sub-grafo conectado en que
cada segmento agregado incide en el último nodo dibujado
y en otro que pasa a ser el último.
h) Def.: Trayectoria es cualquier tren en el cual cada nodo
es incidido a lo sumo por dos segmentos.
i) Def.: Circuito es cualquier trayectoria en la cual cada
nodo es incidido por dos segmentos.
j) Def.: Árbol es cualquier sub-grafo conectado que incluye todos los nodos de] grafo (conectado) inicial, pero
ningún circuito.
k) Def.: Rama es cualquier segmento del árbol elegido.
1) Def.: Cuerda es cualquier segmento del grafo inicial,
pero no del árbol.
m) Teor.: Si un grafo (conectado) tiene N nodos y S segmentos (1 < N, 0 < S, N∈Z , S∈Z ), toda elección de un árbol establece N-1 ramas y S-(N-1) cuerdas.
a) Def.: Tren cíclico es cualquier tren cuyo último nodo
es el primero.
b) Def.: Tren de Euler es cualquier tren cíclico que incluye todos los segmentos del grafo (conectado) inicial.
c) Def.: Grafo de Euler es cualquier grafo para el cual
puede construirse un tren de Euler.
d) Teor.: Todo grafo de Euler es conectado y cada uno de
sus nodos es incidido por una cantidad par de segmentos.
e) Teor.: Todo grafo conectado en el que cada uno de los
nodos es incidido por una cantidad par de segmentos, es un
grafo de Euler.
3.
Los grafos de flujo de señales
Cuando se tiene un sistema de ecuaciones simultáneas
lineales, de la especie de “z=a⋅x+b⋅y+...” donde a, b,... son
números dados, puede intentarse una resolución mediante
el método de despejes y reemplazos. Pero existe también
otro método basado en ciertos grafos que llevan el curioso
nombre de "grafos de flujo de señales", aunque las señales
no fluyen.
Mason (1953, 1956) propuso como grafo de flujo de
señales básico el de la figura 4 (para z=a⋅x+b⋅y).
Fig. 4: Grafo de flujo de señales básico
Fig. 3: Algunas definiciones de la teoría de grafos en el
dilema de los puentes de Königsberg.
Los nodos, que por definición serían puntos, han sido
exagerados en la figura 3. Esta es una costumbre que se
justifica porque, tratándose de figuras espaciales, puede
ocurrir que los dibujos de ellas (en páginas planas) resulten
con intersecciones de segmentos en puntos que no son nodos. Para evitar la confusión, hay que distinguir los nodos
y eso se logra agrandándolos.
2.
La conclusión de Euler
En espera de que el lector intente aclarar el dilema de los
puentes de Königsberg por sus propios medios, nada se ha
dicho sobre la conclusión de Euler. Pues bien, aquí está: de
cualquier sector al que se llegue sin pretensión de quedarse, hay que salir tantas veces como se entra; si las
entradas y las salidas han de hacerse por puentes distintos,
la cantidad de puentes usados para salir ha de ser igual a la
de los usados para entrar; en consecuencia, la cantidad de
puentes que inciden en el sector, ha de ser par. Ocurre que
en cada sector de Königsberg incidía una cantidad impar
de puen tes y, por tanto, que el dilema era insoluble.
En realidad, Euler dio una explicación más larga y general, que la teoría de grafos suele presentar actualmente mediante definiciones y teoremas como éstos.
Resulta evidente que se trata de un esquema abreviado y
un poco engañador, porque la ecuación “z=a⋅x+b⋅y” no establece dos dependencias entre z, x e y. Sin embargo, la
posibilidad de engaño se excusa porque el tipo de ecuaciones que describe el esquema es muy usual en las teorías
matemáticas lineales y, además, porque la descripción
misma constituye así un grafo.
Fig. 5: Tras el grafo de flujo de señales básico.
Aceptando el grafo de la figura 4, un sistema de ecuaciones como:
z=x-3⋅y
y=2⋅u
u=8⋅z
se transforma en el grafo de la figura 6.
Fig. 6: Grafo de flujo de señales compuesto
Obsérvese:
u=8⋅z=8⋅(x-3⋅y)=8⋅(x-3⋅(2⋅u))
∴u=8⋅x-48⋅u
∴49⋅u=8⋅x
∴u = 8 ⋅ x
49
Lo mismo puede deducirse de la figura 6, mediante un
teorema de Mason. Pero, para entender el teorema, hay
que agregar algunas definiciones a la teoría de grafos.
a) Def.: Segmento orientado es cualquier segmento con
un nodo estimado inicial y otro considerado final; lleva
una punta de flecha que apunta hacia el nodo final.
b) Def.: Trayectoria orientada es cualquier trayectoria de
segmentos orientados en la cual cada nodo es incidido a lo
sumo por un segmento como nodo inicial, y por un segmento como nodo final.
c) Def.: Circuito orientado es cualquier circuito de segmentos orientados en el cual cada nodo es incidido por un
segmento como nodo inicial, y por un segmento como
nodo final.
Además, conviene establecer algunas definiciones propias de la teoría de grafos de flujo de señales.
d) Def.: Ganancia de segmento (orientado) es cualquier
número dado que acompaña al segmento.
e) Def.: Ganancia de trayectoria (orientada) es el producto de las ganancias de los segmentos de la trayectoria;
se llamará T.
f) Def.: Ganancia de circuito (orientado) es el producto de
las ganancias de los segmentos de] circuito; se llamará C.
g) Def.: Determinante de grafo es el resultado de:
1− ∑ C j +
j
∑C
j, k
j
⋅ Ck −
disj
∑C
j ,k ,l
j
⋅ Ck ⋅ Cl + ...
disj
donde la primera sumatoria se refiere a todos los circuitos
orientados del grafo, la segunda a todos los pares de circuitos orientados disjuntos (que ni siquiera comparten un
nodo), la tercera a todos los tríos de circuitos orientados
disjuntos, y así sucesivamente; el resultado se llamará ∆.
4.
Privando al grafo de esa trayectoria no queda ningún circuito. Por tanto, ∆1=1. En resumen:
u=M ⋅x ∧ M =
Considérese otro ejemplo.
Supóngase el grafo de la figura 7.
Fig. 7: Grafo de flujo de señales.
En este grafo hay dos circuitos orientados. No son disjuntos. Así, el determinante es ∆=1-(4⋅2⋅(-3)+2⋅3⋅(-1))=31.
Hay una trayectoria orientada entre el nodo corres pondiente a r y el correspondiente a c. Por tanto, la ganancia
de trayectoria que importa es T1=1⋅4⋅2⋅3=24. Privando al
grafo de esa trayectoria no queda ningún circuito. Por
consiguiente, ∆1= 1. En resumen:
c = M ⋅r ∧ M =
y = M 1 ⋅ x1 + M 2 ⋅ x2 + ...
a) Teor.: Para cualquier grafo de flujo de señales con un
único nodo que no es el final de ningún segmento (y que,
por tanto, representa a una única variable netamente independiente) se cumple:
M=
24 ⋅1
31
Es interesante verificar este resultado planteando el sistema de ecuaciones correspondiente, y resolviéndolo por
los métodos algebraicos usuales.
Pero más interesante es agregar el teorema siguiente:
b) Teor.: Para cualquier grafo de flujo de señales con varios nodos que no son finales de ningún segmento (y que,
por tanto, representan variables netamente independientes)
se cumple:
Los teoremas de Mason
y =M⋅x ∧
8 ⋅1
49
∑k Tk ⋅ ∆ k
∆
(1)
donde:
x es la variable independiente (representada por el nodo
especial);
y es cualquier otra variable (representada por algún otro
nodo);
la sumatoria se refiere a todas las trayectorias orientadas
que empiezan en el nodo correspondiente a x, y terminan
en el correspondiente a y;
Tk es la ganancia de la k-ésima de esas trayectorias;
∆k es el determinante del grafo privado de la k-ésima trayectoria;
∆ es el determinante del grafo completo.
Tómese como ejemplo el grafo de la figura 6. Hay un
circuito orientado. Por consiguiente, el determinante es
∆=1-(8⋅2⋅(-3))=49. Hay una trayectoria orientada entre el
nodo correspondiente a x y el correspondiente a u. Por
tanto, la ganancia de trayectoria que importa es T1=1⋅8=8.
(2)
donde:
x1, x2,... son las variables independientes (representadas
por los nodos especiales);
y es cualquier otra variable (representada por algún otro
nodo);
M1, M2,... se calculan como M en el teorema anterior, refiriéndose las sumatorias a las trayectorias orientadas que
empiezan en los nodos correspondientes a x1, x2,..., respectivamente, y terminan en el correspondiente a y; ∆ es común a todos los cálculos).
Referencias
Euler, L. (1736). Solutio problematis ad geometrian situs
pertinentis, Comment. AcademiaeSci I. Petropolinae, 8, 128-140 (traducción al inglés: (1963)
Leonhard Euler and the Koenigsberg Bridges, Sci.
Amer., Jul., 66-70
Mason, S. (1953). Feedback theory: some properties of
signal flow graphs, Proc. IRE, 41-7, 1144-1156
Mason, S. (1956). Feedback theory: further properties of
signal flow graphs, Proc. IRE, 44-7, 920-962.
Ore, G. (1963). Graphs and their uses, Random House &
L.W. Singer Co., Nueva York, EE.UU.