Introducción al método de los elementos finitos

Ventajas del método de los
elementos finitos (EF)
Introducción al método de los
elementos finitos
Mallas no estructuradas:
dominios con contornos
irregulares, adaptatividad
Métodos Numéricos 2
Las condiciones de contorno se imponen de forma
sistemática (sin casuística)
Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)
Programas de EF con rutinas generales: cálculo
Dep. de Matemàtica Aplicada III
Universitat Politècnica de Catalunya
sistemático de todo, describiendo de forma adecuada
los datos del problema (geometría, condiciones de
contorno...) un solo código de EF permite resolver
varios problemas de contorno.
www--lacan.upc.es
www
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Problema mecánico (I)
Principio de los trabajos virtuales
Problema mecánico (II)
Residuos ponderados
Ecuación de equilibrio
Premultiplicando por v tal que v=0 en Γd
Considerando
para cualquier desplazamiento virtual v (con v=0 en Γd)
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Residuos ponderados
Utilizando el teorema de la divergencia de Gauss
Problema modelo
Forma fuerte
con
Dado que v=0 en Γd, σ—n=t en Γn y σ es un tensor
Premultiplicando por una función de test v tal que
v=0 en Γd
simétrico
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Forma débil
utilizando
“Encontrar u∈
u∈H1(Ω) tal que u=ud en Γd y
para cualquier función de test v∈
v∈H1(Ω) tal que
Bilineal,
v=0 en Γd” , donde
simétrica y
coerciva
aplicando el teorema de la divergencia de Gauss
dado que v=0 en Γd y u—n=gn en Γn
Es fácil demostrar que la forma fuerte y la forma
débil son equivalentes.
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Interpolación seccional (Spline)
Valores prescritos
Se considera una interpolación seccional (lineal C0,
Se fijan los coeficientes que corresponden a valores
cúbica C1,...)
conocidos por las condiciones de contorno esenciales
Ni(x)
– uh(x) verifica (salvo error asociado a la
interpolación) la condición de contorno esencial
u=ud en Γd
– Ni(x)=0 en Γd para i∉
i∉B (funciones de test v)
Existen otras técnicas: multiplicadores de Lagrange,
métodos de penalización, método de Nitsche...
Ventajas:
– soporte compacto (bases locales) ⇒ matrices casicasi-vacías
– fácilmente integrable
– coeficientes ui con significado físico
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Ejemplo 1D (con spline lineal C0)
Discretización de la forma débil
Imponiendo la forma débil para v=N
v=Ni(x) con i∉
i∉B y
sustituyendo la interpolación uh(x)
Interpolación:
Sistema lineal de ecuaciones
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Sustituyendo la aproximación y v=Ni para i=1...5
o, equivalentemente,
La matriz del sistema es tridiagonal (en general es
Sistema lineal 5×
5×5:
una matriz con pocos coeficientes no nulos)
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Cálculo de integrales: cuadratura
compuesta
Hay que calcular integrales
con funciones polinómicas a trozos (un polinomio en
cada elemento)
Se usa una cuadratura de Gauss compuesta
(cuadratura de Gauss en cada elemento)
Matriz simétrica y diagonalmente dominante:
matriz simétrica y definida positiva
Si la forma bilineal a(—,—) es simétrica y coerciva, la
matriz resultante es simétrica y definida positiva.
El coeficiente (i,j) de la matriz es no nulo sólo si los
nodos i y j pertenecen al mismo elemento: matrices
casi--vacías
casi
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Matrices elementales
Ejemplo
Ensamblado de matrices elementales
La matriz elemental Ke contiene la contribución del
elemento Ωe a la matriz total
Definición de la
geometría
donde (—) denota número de nodo local y nnode es
el número de nodos del elemento. La matriz de
conectividades da la correspondencia entre número
de nodo local y número global.
K=
(matriz de conectividades)
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(#) numeración local
K1=
K=
×
K2=
K=
×
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Matriz simétrica y
semidefinida positiva
(falta imponer
valores prescritos)
K3=
K4=
K=
K=
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Cálculo de la matriz elemental
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Cuadrilátero de 4 nodos Q1:
bilineal, {1,x,y,xy}
Transformación
isoparamétrica
Funciones de forma
(x3,y3)
(x2,y2)
Ni(x)=?
Cuadratura numérica
Cuadrilátero de 9 nodos Q2:
bicuadrático
Ωe
(x4,y4)
(x1,y1)
Elemento de
referencia
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Elemento bilineal Q1
Elemento bicuadrático Q2
N1
N2
N3
N4
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N1
N2
N8
N9
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Triángulos
Triángulos::
Tetraedro de 4 nodos lineal
{1, x, y, z}
P1
– Coordenadas de área
– Puntos de
integración
específicos para
triángulos
– Interpolación lineal
(P1, {1, x, y}),
cuadrática (P2, {1, x,
y, xy, x2, y2}) ...
P2
Hexaedro de 8 nodos trilineal
{1, x, y, z, xy, xz, yz, xyz}
P3
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Observaciones finales
Para realizar los cálculos sólo es necesario definir:
Forma débil del problema de contorno
La geometría o malla de elementos finitos:
– coordenadas nodales X
– conectividades T
El elemento de referencia:
– puntos y pesos de integración (cuadratura de
Gauss)
– valor de las funciones de forma y derivadas en los
puntos de integración
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