TP_MRP

METODOS NUMERICOS Y SIMULACION
Docentes: Dr. Mario Storti
Dr. Norberto Nigro
MSc. Gerardo Franck
TP
Método de los Residuos Ponderados
2006
1. Use una adecuada familia de funciones de interpolación polinomiales para
 
x  sobre el rango 0  x  1 . Use tanto una
2 
aproximar la función   1  sin 
función de peso de colovación puntual como una del tipo Galerkin e
investigue numéricamente la convergencia de las aproximaciones sucesivas
a la dada función.
2. Un experimento de laboratorio de conducción del calor estacionario
unidimensional produce las siguientes lecturas para la temperatura en
varios puntos:
Distancia
Temperatura
0
20
0.2
30
0.4
50
0.6
65
0.8
40
1
30
Ajuste mediante una curva suave este conjunto de datos usando el método
de Galerkin y un adecuado conjunto de funciones de interpolación.
3. La distribución de momento flector M de una viga sujeta a una carga por
unidad de longitud w(x) satisface la ecuación
d 2M
 w x
dx 2
Una viga de longitud unitaria esta simplemente apoyada en sus extremos
(M=0) y lleva una carga por unidad de longitud w(x)=sin(x).Usando un
espaciamiento de 1/4 y usando colocación puntual, Galerkin y mínimos
cuadrados y un adecuado conjunto de funciones de interpolación, comparar
las respuestas obtenidas con cada uno de los métodos frente a la solución
exacta de problema.
4. Un problema de transferencia de calor estacionario unidimensional está
gobernado por la ecuación:
d 2
  1  0
dx 2
 0
en x  0
d
 
dx
en x  1
Calcular una solución aproximada mediante el método de Galerkin e
investigue las propiedades de convergencia del método comparando los
resultados con la solución exacta.
5. En un cierto problema de conducción del calor estacionario bidimensional
sobre un cuadrado de lado unitario, la temperatura sobre los lados x  1
varía como 1  y 2 , mientras que la temperatura sobre los lados y  1 varía
como 1  x 2 Obtenga una solución aproximada a la distribución de
temperatura en el cuadrado usando el método de Galerkin, usando un
espaciamiento x  y  0.25
6. Obtener la formulación de residuos ponderados del problema de
conducción del calor bidimensional estacionaria en una región  sujeta a
las condiciones de contorno   
sobre  y 

 q  h   0  sobre  q .
n
Aquí  es la temperatura en cualquier punto,  es la conductividad térmica
del medio continuo y  , q , h y 0 son ciertas funciones dadas de la posición.
7. Mostrar que en el problema de determinar la deflección de una placa
delgada elástica cargada descripta por la ecuación diferencial:
 4
 4
 4 1

2


x 4
x 2y 2 y 4 D
con D la rigidez a la flexión, la condición de contorno
 2
 0 sobre  es una
n 2
condición de contorno natural del problema.
8. Resuelva el problema de la torsión de una barra descripto por la ecuación
 2  2

 2 en  3  x  3 y  2  y  2
x 2 y 2
  0 sobre 
usando el método de solución sobre el contorno.
Ayuda: Genere una base con funciones de variable compleja armónicas
9. Una placa cuadrada de lado unitario está empotrada a todo lo largo de su
contorno y soporta una carga unitaria de fuerzas externas por unidad de
area en ambas direcciones x e y. Obtener el campo de desplazamiento por el
método de los residuos ponderados.
10. En un problema de flujo de fluidos bidimensional, invíscido, irrotacional e
incompresible (flujo potencial) las componentes de velocidades (u,v) en las
direcciones x e y y el potencial de velocidad  satisfacen las ecuaciones
u


u v
; v
;
 0
x
y
x y
Construir aproximaciones para (u,v, ) de forma tal de determinar el campo
de velocidades sobre un dominio cuadrado definido como 1  x, y  1 sujeto
a las siguientes condiciones de contorno:
u  0 en x  1;
v  0 en y  1;
v  x en y  1;