1 formulación de un modelo del comportamiento del

FORMULACIÓN DE UN MODELO DEL COMPORTAMIENTO DEL OXÍGENO
DISUELTO FRENTE AL EFECTO DEL VIENTO EN UN LAGO ESTRATIFICADO
TÉRMICAMENTE
José Vargas Baecheler (*)
Universidad de Concepción, Campus Concepción, Chile
Ingeniero Civil y Doctor en Ciencias Ambientales. Profesor Asociado del Departamento de
Ingeniería Civil, Universidad de Concepción, Profesor Invitado del programa de Doctorado en
Recursos Hídricos de la Universidad de Concepción, Chillán. Ha publicado más de 10 artículos
científicos en revistas chilenas y extranjeras. Miembro de AIDIS-Chile, Sociedad Chilena de
Ingeniería Hidráulica y otras asociaciones. Consultor en el área de Ingeniería Hidráulica y
Ambiental.
Diego Rivera Salazar
Universidad de Concepción, Campus Chillán, Chile
Dirección del autor principal (*): Departamento de Ingeniería Civil –Barrio Universitario– Concepción – Chile. Casilla
160-C, Correo 3, Concepción, Chile. Tel.:56-41-204764 Fax: 56-41-252524. e-mail: [email protected]
RESUMEN
El presente trabajo propone un modelo de calidad de aguas para lagos, que considere el efecto del viento. Para ello, se
propone la utilización de la concentración de oxígeno disuelto como un indicador de la salud del cuerpo de agua,
considerando procesos de eutrofización cultural. Se entregan conceptos preliminares relacionados con la zonificación de
las agua en el lago, la relación entre la eutrofización y la calidad de agua y la estratificación térmica que se produce en
lagos de regiones templadas. Se propone un modelo de oxígeno disuelto para lagos estratificados térmicamente
utilizando la ecuación Advección-Difusión-Reacción. El término reactivo es separado de los términos advectivo y
difusivo. Para el estudio del término reactivo se analizan algunos modelos existentes de las fuentes y consumos dentro
del lago para lagos mezclados, adaptando y desarrollando ecuaciones de balance de masa para fósforo, nitrógeno,
fitoplancton, demanda bioquímica de oxígeno, reaireación y demanda de oxígeno de los sedimentos; se desarrolla un
modelo conceptual para las fuentes y consumos involucradas, incluyendo las diferentes reacciones y relaciones entre
ellas y su relación con el oxígeno disuelto. Para el problema hidrodinámico, se estudia la circulación inducida por el
viento, como principal aporte de energía al lago, para un lago rectangular sin considerar la rotación de la Tierra ni el
efecto de las ondas estacionarias dentro de éste. Además, se muestra la influencia del viento en la reaireación. El modelo
presentado es separado en un problema hidrodinámico y uno físico químico biológico, desacoplados en el tiempo. Con
lo anterior se muestra que es posible modelar los procesos físico-químico-biológicos que intervienen en la dinámica del
oxígeno disuelto, incorporando el efecto del viento, incluyendo las ecuaciones básicas. Así, el principal efecto del viento
dentro del lago estratificado es producir una circulación de dos celdas con bajas velocidades verticales. El viento inclina
la superficie libre y la interface entre estratos. Respecto de su relación con el OD, el viento entrega ECT que es utilizada
en mezclar el epilimnion y genera una alta turbulencia en la superficie del lago que favorece de manera importante la
entrada de oxígeno al lago, manteniendo alta la concentración de OD; este aumento en la reaireación puede incluso
aumentar en más de un orden de magnitud el coeficiente de reaireación, frente a condiciones de flujo donde el viento no
es predominante (Mattingly, 1977). Este ingreso de OD es pobremente aprovechado en el hipolimnion en condiciones de
fuerte estabilidad de la columna de agua. El modelo propuesto consta de 39 ecuaciones, 30 para el OD y 9 para el efecto
del viento; 34 variables, 30 para el OD y 4 para el efecto del viento, y 83 parámetros, 74 para el OD y 9 para el efecto
del viento.
Palabras clave: Oxígeno disuelto, lago, estratificación, viento, calidad de aguas
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INTRODUCCIÓN
En las últimas décadas el monitoreo y gestión de los recursos hídricos cada vez más escasos, en su dimensión
económica, ecológica y social, busca mantener niveles de salud aceptables en cuerpos de agua intervenidos y la
mantención de los pocos no intervenidos. Los lagos y lagunas son una reserva de agua dulce y un receptor de desechos
urbanos e industriales, por lo que la aplicación de modelos predictivos y de diagnóstico, como los modelos de calidad
de aguas, son una herramienta importante en la gestión de los ecosistemas. El uso de modelos de calidad de aguas
permite predecir condiciones futuras respaldar decisiones. Para el caso de los lagos, existen variados modelos de calidad
de agua, diferenciados en su aplicabilidad temporal o espacial y en las variables de salida, orientados en general a
geometrías grandes y pasos de tiempo mensuales, estacionales o anuales. El oxígeno disuelto es un buen indicador de la
salud de un cuerpo de agua, debido a la importancia que posee dentro del ciclaje de materia dentro de un ecosistema
acuático. La utilización del oxígeno como indicador del estado del lago es asociada a eutrofización cultural. Como
indicador, debe conocerse la evolución temporal y espacial del oxígeno, por lo que la ecuación de conservación de masa,
considerando los procesos relacionados con la hidrodinámica y los procesos relacionados con la naturaleza reactiva del
oxígeno, es la herramienta físico-matemática utilizada en los modelos de calidad. Así, el principal objetivo del presente
trabajo es la formulación de un modelo matemático para el estudio de la contaminación en lagos, que contemple el
efecto del viento sobre la superficie del lago y el comportamiento del oxígeno en las capas superiores.
CONCEPTOS PRELIMINARES
Para el presente análisis, la ecuación de conservación es separada en sus términos reactivos y de transporte,
estudiándolos de manera separada. Las reacciones en las que se ve involucrado el oxígeno disuelto son de naturaleza
física, química y biológica. Todos estos procesos son a su vez influidos por condiciones ambientales como el viento, la
temperatura o la radiación solar. Los procesos involucrados están fuertemente relacionados, por lo que su formulación
matemática es acoplada en el tiempo. El problema hidrodinámico es tratado considerando el viento desacoplado del
problema reactivo. El viento es tratado como un agente externo que genera un esfuerzo de corte en la superficie del lago
y que a través de traspaso de momentum, es el principal factor que influye en la circulación en el lago, permitiendo
conocer los procesos de transporte. La ampliación a lagos estratificados se justifica por la naturaleza de los lagos en
regiones templadas, donde a diferencia de zonas cálidas o frías, debido a condiciones estacionales se produce
estratificación térmica con un débil intercambio entre estratos, produciéndose una condición de bajos niveles de
oxígeno disuelto, pudiendo incluso llegar a condiciones anaerobias. Un modelo para geometrías pequeñas permite la
aplicación a, por ejemplo, lagunas urbanas que generalmente reciben altas cargas de aguas de desecho provenientes de la
ciudad o de las industrias. A su vez, la elección de un paso de tiempo diario permite conocer en mayor detalle las
relaciones entre los distintos componentes del ecosistema.
La zonificación del lago considera una zona limnética eufótica llamada epilimnion, con una concentración alta de
oxígeno disuelto, bien mezclado por el viento y con una temperatura uniforme en su profundidad. Bajo el epilimnion
productivo se encuentra el hipolimnion que posee poca iluminación, una temperatura menor, débilmente mezclado y con
un gradiente de temperatura en profundidad mayor que el epilimnion, donde predomina la respiración y la
descomposición. Para el presente estudio, el epilimnion y el hipolimnion son definidos físicamente, como un estrato
superior y un estrato inferior, respectivamente, divididos por un plano a la profundidad de la termoclina. La zonificación
física deriva de las diferencias de densidad por temperatura o salinidad. Entre estos dos estratos bien diferenciados existe
un estrato de transición para el gradiente de temperatura o metalimnion. En general las modelaciones se realizan
considerando el metalimnion como una interface de espesor infinitesimal a la profundidad de la termoclina
El estado trófico quedará definido por la disponibilidad de nutrientes, aportes alóctonos y autóctonos de materia
orgánica y las dimensiones del lago. Los nutrientes llegan al lago por escorrentía superficial, cargas puntuales o difusas.
El nitrógeno ingresa en cantidades importantes al lago a través de la escorrentía superficial en la cuenca del lago debido
a que éste es fácilmente removible del suelo, contrariamente a lo que sucede con el fósforo que se mantiene en la cuenca
por su baja solubilidad y alta adsorción a los granos de suelo (Harper, 1992; Pérez, 1999). Así, generalmente en lagos el
factor limitante es el fósforo y en la tierra es el nitrógeno. Por lo anterior, las cargas de fósforo en un lago, superiores a
las naturales, provocan un crecimiento excesivo de fitoplancton. El principal problema a tratar con una modelación de la
calidad de agua en lagos es el fenómeno de la eutrofización, que es la carga excesiva, o sobre un umbral, de nutrientes
en el cuerpo de agua que produce un crecimiento excesivo de fitoplancton y macrófitas. Un lago puede llegar a un
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estado trófico alto, de alta productividad o eutrófico, siguiendo procesos naturales dependientes de las características
morfológicas, de la cuenca de drenaje sobre el lago y de las condiciones ambientales (Cole, 1979; Chapra, 1996; Harper,
1992). Cuando el lago es naturalmente eutrófico, se habla de eutrofización natural; donde aún cuando existan bajos
niveles de oxígeno disuelto en el lago, no existe una condición de mala salud. Si el lago ha llegado a un estado de
eutrofia debido a descargas humanas de cualquier tipo, se habla de eutrofización cultural, donde el cuerpo de agua no
presenta buenos indicadores de salud, debido la que el paso de un estado trófico de baja productibilidad a otro de alta
productividad se produce en un lapso pequeño, que no permite la adaptación de las especies. En el presente estudio, la
condición de salud es referida a eutrofización cultural, por lo que es posible utilizar la concentración de OD como
indicador de calidad de agua.
Gran parte de los procesos y reacciones que tienen lugar dentro del lago y que se relacionan con el oxígeno disuelto son
dependientes de la temperatura. La estructura térmica de un lago y su evolución temporal puede ser tomada como un
modelo auxiliar en la modelación del oxígeno disuelto. Variados investigadores como Findikakis y Law (1999), Frisk
(1982), Chau y Haisheng (1998), Chapra (1996), Thomann y Mueller (1987) de la Fuente y Niño (2001) han estudiado
los efectos de la temperatura en los diferentes procesos físicos, químicos y biológicos. Conocer la estructura térmica del
lago en su profundidad permite ajustar las reacciones dependientes de la temperatura y estimar la estabilidad de la
estratificación. La principal herramienta para entender el fenómeno de estratificación es realizar un balance de calor en
el lago y estimar la tasa de mezcla vertical (Chapra, 1996). El régimen térmico de un lago queda determinado
principalmente por la relación entre la transferencia de momentum y calor entre el ambiente y el lago a través de la
superficie de éste, y las fuerzas de gravedad que actúan como consecuencia de las diferencias de densidad en el lago.
Uno de los principales factores que tienen relación con la mezcla es el viento, que transfiere calor y momentum al lago,
entregando energía que queda disponible para la mezcla a través de un esfuerzo de corte en la superficie del lago. La
energía del viento debe vencer las fuerzas boyantes que se desarrollan en el lago debido a las diferencias de temperatura,
donde el estrato superior en contacto con el ambiente posee una mayor temperatura, y por lo tanto, este estrato “flota”
sobre el estrato inferior. La estratificación en verano es un problema desde el punto de vista de la calidad de agua debido
a que la estabilidad de la estratificación determina un débil intercambio entre el epilimnion y el hipolimnion, ya que se
inhiben los procesos de transferencia entre los estratos. Se genera así un epilimnion bien mezclado y un hipolimnion
estable, aislado de la superficie y de la zona de mayor producción, es decir, con pocas posibilidades de oxigenarse. Este
débil intercambio modifica la calidad de agua del lago (de la Fuente y Niño, 2001). La condición de estratificación
provoca que el hipolimnion deba consumir el oxígeno disuelto en su volumen para satisfacer los procesos que demanden
oxígeno, con una renovación extremadamente baja, pudiéndose generar condiciones anaerobias en este último. Por otra
parte, el epilimnion en contacto con el aire está bien oxigenado y el consumo de oxígeno puede ser suplido por el
ingreso desde la atmósfera.
OXÍGENO DISUELTO
La solubilidad oxígeno disminuye al aumentar la temperatura. Si aumenta la temperatura de las aguas, se acelera el
metabolismo de muchos de los organismos acuáticos a la vez que disminuye la cantidad de oxígeno disuelto, lo cual trae
consigo el incremento de su mortandad. Condiciones de hipoxia o anoxia en un lago donde naturalmente existían altos
niveles de OD, pueden provocar mortalidad de peces, malos olores y pobre estética del cuerpo de agua (Thomann y
Mueller, 1988). La naturaleza biológica del oxígeno, por su participación en el macrociclo de vida y muerte en la Tierra,
conlleva una gestión de lago de una manera sistémica, no controlando de manera aislada indicadores de la salud de lagos
y lagunas más allá del acatamiento de una norma medioambiental.
Las ecuación básica que gobiernan la dinámica del oxígeno disuelto en el lago es la de conservación de la masa de una
sustancia considerando las fuentes y consumos de OD. Las principales fuentes de OD son la producción de oxígeno por
parte de los organismos autótrofos a través de la fotosíntesis, la reaireación del lago a través de su superficie libre y las
entradas de OD a través de tributarios al lago (Thomann y Mueller, 1988). La fotosíntesis dependerá de la cinética de
crecimiento de fitoplancton, y por ende de la disponibilidad de nutrientes y condiciones climáticas de luz y temperatura;
la reaireación dependerá de factores meteorológicos como el viento y la temperatura relativa entre el agua y el aire, y de
las condiciones de concentración de OD en el lago. Los consumos o demandas de OD serán la oxidación del material
orgánico de las descargas al lago, la oxidación de compuestos nitrogenados, la demanda de oxígeno para la
estabilización del material depositado en el fondo del lago o sedimentos, y el uso de oxígeno para la respiración de las
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plantas acuáticas y plancton (Thomann y Mueller, 1988). Se presentan a continuación breves descripciones de las
demandas y fuentes de OD modeladas en el presente estudio.
El nitrógeno, por causa de la escorrentía superficial y la infiltración se convierte en una carga contaminante difusa,
afectando el agua subterránea, cauces y lagos. Las descargas puntuales de desechos industriales y urbanos también lo
contienen. La carga excesiva de nitrógeno en los cuerpos de agua es uno de los responsables del proceso de
eutrofización. El ciclo del nitrógeno en el agua puede, en general, ser dividido en un problema de nitrificación y otro de
eutrofización. Ambos problemas están relacionados y su impacto en la concentración de OD puede llegar a ser
determinante. Si se consideran las cargas difusas provocadas por la agricultura, el problema puede llegar a ser
extremadamente crítico (Chapra, 1996). El modelo de balance de masa para el nitrógeno dado por Thomann y Mueller
(1988), es de características estacionales o anuales, con procesos a gran escala y no se considera el proceso de
desnitrificación. El planteamiento de Chapra (1996) propone una modelación de decaimiento de primer orden que
engloba las pérdidas por sedimentación, nitrificación y reacciones. Para un lago estratificado, se propone un
planteamiento similar al desarrollado por Pérez (1999), incluyendo el modelo de nitrificación de Chapra (1996).
El fósforo es un nutriente importante en el crecimiento de fitoplancton, en la conformación del ADN de los organismos
vivos y en el almacenamiento de la energía celular. La utilización masiva de fosfatos como fertilizantes agrícolas ha
tenido un impacto significativo en el ciclo del fósforo, pudiendo provocar eutrofización en cuerpos de agua, por carga
directa o por escorrentía superficial. El problema del fósforo debe ser estudiado con especial cuidado, debido a que sus
escalas de tiempo son diferentes a las de otros procesos, como la nitrificación o la fotosíntesis. En general puede hacerse
una aproximación estacional o anual, como el modelo de Vollenweider (1976; citado por Chapra, 1996). Chau y
Haisheng (1998) considera la relación entre los nutrientes y el fitoplancton, incluyendo la dependencia del tiempo y la
tasa de liberación de nutrientes desde los sedimentos. Seo y Canale (1999) muestran, que la tasa de liberación es una
variable importante a considerar. Se utiliza en este estudio la ecuación propuesta por Seo y Canale (1999) donde el
reciclaje de fósforo queda determinado por las tasas de cambio de fósforo disuelto a fósforo particulado (captación de
los ortofosfatos por parte del fitoplancton) y de fósforo particulado a fósforo disuelto (procesos de descomposición) y la
liberación desde los sedimentos. Para considerar los efectos del OD se aplica la función propuesta por Frisk (1982)
donde los procesos de liberación desde los sedimentos se activan con una concentración de 1.5 mgO L-1.
Para el fitoplancton se utilizan balances de masa y modelos de estimación de las tasas de respiración y fotosíntesis. Para
un lago estratificado, se agregan términos que representan el transporte vertical entre el epilimnion y el hipolimnion. La
tasa de crecimiento de fitoplancton es considerada como cinética de crecimiento de primer orden y es determinada por
tres factores: radiación solar, disponibilidad de nutrientes y temperatura, tomando su efecto multiplicativo. Este tipo de
modelación tiene buenos resultados, como el trabajo de de la Fuente y Niño (2001. El desarrollo planteado por Chau y
Haisheng (1998) es utilizado en el presente estudio. Respecto a la fotosíntesis existen variados trabajos acerca de
estimación de la producción primaria, que dependen de la intensidad de la luz solar, la longitud de onda y otras variables
(Megard, 1972; Jassby y Platt, 1976; Behrenfeld y Falkowski, 1997). Jassby y Platt (1976), proponen la fórmula de la
tangente hiperbólica para calcular la productividad primaria, avalada por Dellarossa (1987).
La reaireación es un fenómeno estudiado extensamente en la literatura, con una gran cantidad de fórmulas que
correlacionan distintos parámetros distintivos de ríos y lagos. Estas fórmulas pueden presentar variaciones, de incluso de
varios órdenes de magnitud, en la estimación del coeficiente de reaireación. El viento cumple un importante papel en la
reaireación al aumentar la turbulencia interna que reduce el espesor del estrato en el cual se produce la difusión desde el
lago a la atmósfera. Un modelo simple de intercambio de gases está dado por el modelo de dos filmes o de dos
resistencias desarrollado por Whitman (1923; citado por Chapra, 1996). Respecto a las fórmulas propuestas en la
literatura, Broecker et al. (1978; citado por Chapra, 1996) considera una relación lineal entre el coeficiente de
transferencia y la velocidad del viento. Banks (1975; citado por Chapra, 1996) considera los diferentes regímenes de
turbulencia que se producen al aumentar la velocidad del viento. Wanninkhof et al. (1991; citado por Chapra, 1996) usó
gases traza para desarrollar su fórmula y considera el Número de Schmidt SC . La metodología de Gelda et al. (1996)
para estimar el coeficiente de reaireación, tiene un muy buen ajuste con la ecuación de Wanninkhof et al. (1991; citado
por Chapra, 1996) y con los datos de campo.
La demanda bioquímica de oxígeno es un fenómeno bien conocido y con formas de medición normadas. Thomann y
Mueller (1988) consideran que la materia orgánica particulada sólo sedimenta y que la materia orgánica disuelta
demanda oxígeno, por lo que para un balance de masa de materia orgánica oxidable es necesario incluir este término.
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Aún cuando es un proceso complejo, es posible medir e incorporar la DBO en el modelo de OD, considerando sólo una
tasa de desoxigenación y un balance de masa para el carbono.
Para una condición de estratificación, la demanda de oxígeno de los sedimentos, en adelante DOS, puede causar hipoxia
o anoxia en el hipolimnion. Otra condición en la cual los sedimentos provocan una disminución de OD es la
acumulación de material oxidable en el fondo, que al comenzar el proceso de mezcla provoca una demanda considerable
de oxígeno en el epilimnion. La medición de la DOS se dificulta debido a la variedad de procesos que ocurren en los
sedimentos, como la liberación de fósforo y nitrógeno y el proceso de nitrificación. El problema ha sido ampliamente
estudiado por autores como Nürnberg (1998), Chau y Haisheng (1998), Chapra (1996), Frisk (1982), Seo y Canale
(1999) y Thomann y Mueller (1988). En el presente estudio se utiliza el modelo de Chau y Haisheng (1998) donde la
DOS considera el consumo de oxígeno por descomposición de carbono orgánico y de otros compuestos, como el metano
disuelto.
El modelo conceptual para el balance de OD en el lago estratificado se muestra en la figura 1.
Figura 1 Modelo Conceptual para el término reactivo de OD.
VIENTO: SU RELACIÓN CON LA CIRCULACIÓN Y EL OD
El fenómeno de circulación se ve afectado por otros factores diferentes al viento, como la forma y orientación del lago,
que no se tratan en el presente estudio. La variabilidad del viento y su efecto en la circulación y reaireación en lagos han
sido estudiada por Safaie (1984), Mattingly (1977), Findikakis y Law (1999) y Reyes y Niño (2001). Los principales
fenómenos involucrados en la interacción aire-agua son la transferencia de masa, calor y momentum, a través de
procesos difusivos entre el flujo de aire y la superficie del cuerpo de agua (Monteith y Unsworth, 1990). En el presente
trabajo se estudia la transferencia de momentum entre el viento y el cuerpo de agua a través de un esfuerzo de corte en la
interface, además de los procesos de mezcla inducidos por viento y su efecto en la reaireación. Para el caso de
transferencia de momentum, el viento se considera sólo como un agente forzante para la circulación, a través de un
esfuerzo de corte en la superficie del cuerpo de agua. El viento además entrega energía cinética turbulenta, ECT, que
puede ser aprovechada en la mezcla del epilimnion. El metalimnion, debido a su alto gradiente de densidad se convierte
en una fuente importante de energía potencial para los procesos de mezcla (de la Fuente y Niño, 2001). de, proporciona
el campo de velocidades. La aplicación y posterior solución de las ecuaciones de momentum entregan los términos
advectivos de la ecuación A-D-R (campo de velocidades), para el OD y reactivos.
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Sobre la base de estudios de campo y laboratorio, Safaie (1984) entrega una ecuación de tipo potencial dependiente de la
velocidad, para el coeficiente de arrastre, que tiene buen ajuste con los datos de campo y laboratorio. Los valores de
coeficiente de arrastre de Safaie (1984) son concordantes con los utilizados por Wüest et al. (2000).
Para encontrar el campo de velocidades se utiliza la solución de Heaps (1984), donde se define un lago rectangular con
dos estratos homogéneos que difieren en la densidad, sin considerar el efecto de la rotación de la Tierra. Aún cuando los
efectos de la rotación son pequeños a escala local, para grandes escalas espaciales o tiempos prolongados, este fenómeno
puede influenciar notoriamente la circulación dentro del lago. No considerar la influencia de la rotación de la Tierra
limita la utilización de las ecuaciones de movimiento a lagos pequeños o angostos. Se consideran, en las fronteras,
condiciones cinemáticas y condiciones dinámicas, que se aplican a la interface aire-agua (superficie libre) y a la
interface agua-fondo. Para el caso estratificado, se debe agregar una condición dinámica de continuidad de esfuerzos
para la interface entre el epilimnion y el hipolimnion, a la profundidad de la termoclina.
El viento provoca mezcla turbulenta en los estratos superiores de un lago. La turbulencia se encuentra en un estrato
relativamente delgado en la superficie. Mattingly (1977) muestra que este estrato corresponde a aproximadamente 1/25
de la profundidad, debido a una fuerte corriente horizontal; esta corriente se desarrolla en 1/20 de la altura en la
experiencia de Reyes y Niño (2001). El desarrollo de la turbulencia en la superficie favorece el intercambio gaseoso
entre el cuerpo de agua y la atmósfera. La variación de los patrones de viento, como los cambios de velocidad o de
dirección, pueden afectar significativamente la mezcla o la estabilidad de la estratificación en un lago, de modo que al
considerar viento constante se puede sub o sobrestimar la capacidad de mezcla y de traspaso de energía cinética. Wüest
et al. (2000) consideran un lago en el cual la principal fuente de ECT es el viento. Considerando el flujo de energía
vertical del viento P10 como referencia, un 3.2% de P10 ingresa al lago y un 1.9% de P10 queda disponible como ECT
para mezcla turbulenta. La mayor parte (80%) de la ECT que ingresa al lago es disipada dentro del estrato superficial y
un 20% ingresa al hipolimnion. Los resultados experimentales anteriores son consistentes con el trabajo de Reyes y Niño
(2001).
MODELO DEL COMPORTAMIENTO DEL OXÍGENO DISUELTO FRENTE AL EFECTO DEL VIENTO EN
UN LAGO ESTRATIFICADO
La principal ecuación para la solución de la evolución temporal de una sustancia reactiva es la ecuación AdvecciónDifusión-Reacción. Ésta ecuación es aplicada a un lago estratificado modelado como dos estratos homogéneos
diferenciados por la densidad. La ecuación A-D-R queda definida matemáticamente como:
∂C
∂ 2C
∂C
ecuación (1)
=E
− ui
+S
∂t
∂x i ∂x i
∂x i
En la ecuación (1) el primer término de la derecha corresponde al efecto difusivo-dispersivo en el lago, el segundo
término indica el efecto advectivo debido al campo de velocidades, y el tercero corresponde al término reactivo neto, es
decir, al efecto neto de fuentes y demandas para el OD. Para el caso en estudio, se considera un lago en un plano
vertical en el que el eje x corresponde a la dirección larga del lago y el eje z corresponde al eje vertical, positivo hacia
abajo con su origen en el nivel de aguas quietas. Extendiendo la ecuación (1) para un sistema estratificado en dos capas,
se obtiene la ecuación (2), en la cual los superíndices e y h corresponden al epilimnion e hipolimnion respectivamente.
2 e,h
e ,h
e,h
∂Ce ,h
∂ 2 Ce , h
e,h ∂ C
e , h ∂C
e , h ∂C
= Ee,h
+
E
−
u
−
w
+ S e ,h
ecuación (2)
2
2
∂t
∂
x
∂
z
∂x
∂z
El término difusivo, dado por E( ∂ 2 C / ∂x i2 ) , corresponde a la distribución espacial de la concentración de OD dentro
del estrato con densidad homogénea. Para el caso de la dirección vertical z, el término difusivo determina el perfil de
concentración en la vertical. El término advectivo queda determinado por el campo de velocidades, que es diferente en
cada estrato y que es resuelto de manera independiente a la ecuación A-D-R, a manera de un modelo auxiliar. Para
efectos de resolución, dentro del paso de tiempo elegido los coeficientes se mantienen constantes.
El término S es la combinación de las cargas externas netas, flujos convectivos e intercambio vertical entre el epilimnion
y el hipolimnion. Los términos reactivos que consumen oxígeno poseen ecuaciones de balance de masa de estructura
similar a la ecuación A-D-R, aunque se considera que los procesos difusivos y dispersivos son casi instantáneos y no se
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incluyen en las ecuaciones de balance de masa para los reactivos. En general, la estructura de las ecuaciones de balance
de masa para los reactivos, que componen el término S de la ecuación A-D-R, es:
r
dC
= W(C, t , Q ) + J (u, t ) + E(Ce − Ch ) + R(T, t , C)
ecuación (3)
dt
El primer término corresponde a las cargas externas netas, que son dependientes de la concentración del afluente o el
efluente y de los caudales de entrada y salida, ambos parámetros dependientes del tiempo. Se considera que la variación
espacial es pequeña, por lo que las cargas difusas están distribuidas de manera uniforme. El flujo convectivo queda
definido por el campo de velocidades, que es dependiente del tiempo y de la fuerza externa provocada por el viento. Se
define entonces el término convectivo, para la sustancia Cn, dentro del estrato, según:
r
∂C
∂C
J ( u , t ) = −u n − w n
ecuación (4)
∂x
∂z
La ecuación (4) es parte de las ecuaciones de balance de masa para los nutrientes, fitoplancton y zooplancton y OD.
Para el caso del intercambio vertical, el gradiente vertical de concentración realiza el acople entre las ecuaciones A-D-R
para el OD. En el caso de los reactivos el intercambio vertical es parte del balance de masa, que se produce en una
interface a la profundidad de la termoclina debido a, mayoritariamente, procesos difusivos. Así E( C e − C h ) , es el
intercambio entre el epilimnion y el hipolimnion de OD y de otras sustancias. El traspaso de sustancias sedimentables, se
produce a la profundidad de la termoclina, a través de un plano de área A, en esa profundidad. El término advectivodifusivo en la dirección longitudinal, E( ∂ 2 C / ∂x 2 ) − u( ∂C / ∂x ) , considera que la distribución de la concentración en la
dirección x es conocida no así sus perfiles en la vertical. Por lo tanto, C =C(x), en el paso de tiempo considerado.
Los modelos auxiliares como luz solar, temperatura y campo de velocidades están desacoplados a la ecuación de balance
de masa de oxígeno y son resueltos de manera paralela. Las ecuaciones de balance de masa para los consumos y fuentes
de oxígeno se encuentran acopladas en el tiempo, entregando las concentraciones presentes de nutrientes, fitoplancton,
demanda de oxígeno de los sedimentos, etc., que son utilizadas en la ecuación de balance de OD. Las ecuaciones de
balance de masa acopladas a la ecuación de balance de OD son el balance para el nitrógeno, fósforo, carbono orgánico,
carbono sedimentado, fitoplancton y DOS. La conexión entre la ecuación de balance de masa del OD y los modelos
auxiliares son las correcciones a las constantes cinéticas. El campo de velocidades debido a viento es resuelto para
condiciones de viento constante en el tiempo, y entrega el esfuerzo de corte y velocidades en la vertical para las
direcciones x y z. La figura 2 muestra las relaciones entre los distintos términos.
Las ecuaciones que entregan el campo de velocidades son dependientes del esfuerzo de corte superficial, FS, entregado
por el viento, que a su vez es dependiente del tiempo y del espacio. Se considera conocido este esfuerzo de corte que
puede ser calculado según la ecuación de Safaie (1984). La distribución longitudinal del viento, las condiciones de
deslizamiento y sus parámetros son conocidas. Se recomienda utilizar la condición de no deslizamiento en el fondo.
Figura 2 Relaciones entre los distintos modelos y la ecuación A-D-R.
Las fórmulas desarrolladas en el presente estudio son la modelación matemática de los procesos físicos, químicos y
biológicos involucrados en la dinámica del OD, que nos permiten conocer el estado del lago respecto de la materia
orgánica presente. Además de lo anterior, el problema hidrodinámico es enfocado de manera simple, considerando el
viento como la principal fuente de energía necesaria para los procesos de circulación. Conocidos los fundamentos e
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interrelaciones entre los procesos involucrados, el modelo de OD cumple con la definición espacial y temporal de los
procesos de transporte de sustancias dentro del lago y de las fuentes y demandas que determinan la presencia de materia
orgánica. Se tiene entonces un modelo que puede implementarse, ya que cumple con las condiciones mencionadas por
Pérez (1999), que señalan que un modelo debe definir claramente los términos advectivos y difusivos, que corresponden
a los procesos de transporte, y el término reactivo de la ecuación de conservación de masa de cualquier sustancia
presente en el lago.
CONCLUSIONES Y COMENTARIOS
Existe una extensa literatura que muestra el marco teórico para las distintas fuentes y demandas de oxígeno disuelto.
Estos modelos difieren principalmente en las escalas de tiempo usadas y en su aplicabilidad espacial; algunos de estos
modelos son de escala temporal anual o estacional, asociados a balances de masa en los que se pierden los procesos que
ocurren en escalas de tiempo menores (Thomann y Mueller, 1988; Vollenweider, 1976; Chapra y Canale, 1991). Del
estudio de los modelos presentados en la literatura, se observa que es posible modelar matemáticamente los procesos
involucrados en el balance de masa de OD para escala de tiempo diaria y geometrías pequeñas y medianas en
condiciones de estratificación.
El principal efecto del viento dentro del lago estratificado es producir una circulación de dos celdas (epilimnion e
hipolimnion) de sentidos opuestos, con bajas velocidades verticales. El viento inclina la superficie libre y la interface
entre estratos. Respecto de su relación con el OD, el viento entrega ECT que es utilizada en mezclar el epilimnion y
genera una alta turbulencia en la superficie del lago que favorece de manera importante la entrada de oxígeno al lago,
manteniendo alta la concentración de OD; este aumento en la reaireación puede incluso aumentar en más de un orden de
magnitud el coeficiente de reaireación, frente a condiciones de flujo donde el viento no es predominante (Mattingly,
1977). Este ingreso de OD es pobremente aprovechado en el hipolimnion en condiciones de fuerte estabilidad de la
columna de agua.
La aplicación de las ecuaciones de balance de masa para el término reactivo de la ecuación A-D-R para el OD entrega
un modelo acoplado en el tiempo y el espacio, debido a las variadas interrelaciones entre las distintas variables de
estado. El problema hidrodinámico puede ser modelado considerando el viento como un agente externo, obviando su
alta variabilidad espacial y temporal. El modelo propuesto es aplicable para lagos pequeños (área superficial menor a 50
km2), debido a que no se considera los efectos de la rotación de la Tierra. Considerando que para estratificación térmica
se pueden producir condiciones anaerobias en el epilimnion y que esto representa una condición desfavorable para el
cuerpo de agua, las ecuaciones de balance de masa para el OD propuestas permiten conocer la concentración de OD en
cada estrato, al ser integradas en el espesor de cada estrato y no en la profundidad total del lago. Las ecuaciones A-D-R
del OD para el epilimnion y el hipolimnion se encuentran acopladas por el intercambio vertical. La distribución vertical
del OD es considerada independiente para cada estrato. La hipótesis de impermeabilidad entre los estratos no es violada
en el modelo, ya que no existe intercambio de masa de agua entre los estratos, es decir, sus volúmenes permanecen
constantes; sí existe intercambio de masa de OD y de las otras sustancias modeladas. El modelo propuesto permite
conocer la evolución temporal y espacial del OD bajo condiciones de viento constante, considerando a éste como la
principal fuente de energía al lago.
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