Vectores 1 VECTOR FIJO Un vector fijo AB es un segmento

Vectores 1
VECTOR FIJO
Un vector fijo AB es un segmento orientado de origen A y
extremo B,
Nota que los vectores fijos AB y BA son distintos.
En todo vector fijo distinguimos:
€
€
€
El módulo del vector fijo AB , denotado por AB es la longitud del segmento de
extremos A y B.
La dirección determinada por la recta que contiene a AB y sus paralelas.
El sentido que va del origen al extremo.
COMPONENTES DE UN VECTOR FIJO
Las componentes del vector fijo AB se obtienen,
restando las coordenadas del extremo a las del
origen (nunca al revés):
AB(b1 • a1 , b2 • a 2 )
Ejemplos:
AB(3 • 2,4 • 1) ‚ AB(1,3) Nota que para desplazarte desde A hasta B nos “movemos” 1 unidad
a la derecha (positiva) y 3 unidades hacia arriba ( positivas)
CD (•2 • (•6),5 • 6) ‚ AB(4,•1) Nota que para desplazarte desde C hasta D nos “movemos” 4
unidades a la derecha (positivas) y 1 unidades hacia abajo ( negativa)
Vectores 2
Ejercicios:
1.-Determina las coordenadas del extremo del vector fijo
coordenadas de A son (-2, 7)
AB (3,5) sabiendo que las
2.-Halla las componentes de los vectores fijos cuyo origen y extremo son:
a) Origen (-1,3), extremo (0,6)
2,1).
b) Origen (2,-1), extremo (1,1)
c) Origen (5,1), extremo (-
3.-Halla las coordenadas del extremo del vector AB (-2,5) sabiendo que A tiene de
coordenadas (1,1)
4.-Halla las coordenadas del origen de AB (3,-4) sabiendo que B tiene como coordenadas (3,2).
VECTORES LIBRES. OPERACIONES
Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, misma dirección y mismo
sentido.
€
Un vector libre v es el conjunto de vectores fijos equipolentes a uno dado AB . Cada uno de
€
los vectores fijos de ese conjunto es un representante del vector libre v .
Ejemplo:
€
Los tres vectores fijos representan un mismo vector libre v puesto que son equipolentes.
Observa además que tienen las mismas componentes.
Un vector libre ( a partir de ahora diremos simplemente vector) queda determinado por sus
€
€
componentes. En nuestro ejemplo, el vector v tiene de componentes v (4,-1)
€
Un representante de un vector v queda determinado al fijar su origen o su extremo. Así, el
€
vector fijo AB es el único representante de v con origen en (-6,6), o con extremo en (-2,5).
SUMA DE VECTORES
€
€
€ €
€ €
Dados los vectores u (3,3) y v (5,•2) entonces u ƒ v ‚ (3 ƒ 5,3 ƒ (•2)) „ u ƒ v ‚ (8,1)
Vectores 3
Gráficamente:
1ª Forma:
€
Tomaremos un representante de u con origen en el
•
origen de coordenadas y otro de v con origen el
€
extremo de u :
v
u
u+v
2ª Forma:
€
•
Tomaremos dos representante de u y v con
orígenes en el origen de coordenadas, construimos
un paralelepípedo. La diagonal de dicho
paralelepípedo determinará el vector suma.
u
u+v
v
PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR
•
•
•
Sea € un número real y v un vector, €v es otro vector con módulo el de v multiplicado por el
•
•
valor absoluto de € , dirección la de v y sentido el mismo que el de v si € … 0 y sentido
contrario si € † 0 .
Ejemplos:
€
€
€ ‚ •1 u (3,3) „ €u ‚ (•1) ‡ (3,3) ‚ (•3,•3)
€
€
€ ‚ 2 v (2,•1) „ €v ‚ 2 ‡ (2,•1) ‚ (4,•2)
€ €
Si € ‚ 0 „ 0 ‡ u ‚ 0 obtenemos el vector nulo.
Vectores 4
Ejercicios:
1.-Determina las coordenadas de los puntos que dividen al segmento de extremos A(-1,5) y
B(2,3) en tres partes iguales.
2.- Determina las coordenadas de los puntos que dividen al segmento de extremos A(-1,5) y
B(2,3) en dos partes iguales.
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
€
•
Dados dos vectores u y v , una combinación lineal de los dos es toda expresión de la forma
€
€
‚u ƒ •v siendo ˆ y ‰ números reales.
€
€
•
Diremos que un vector w es combinación lineal de u y v si existen dos números reales ˆ y
€
€
€
‰ tales que w ‚ ‚u ƒ •v
Ejemplo:
€
€
€
€
Dados los vectores u (3,3) v (2,•1) w(7,1) , w es
€ •
€
€
€
combinación lineal de u y v ya que w ‚ 1 ‡ u ƒ 2v :
€
1 ‡ (3,3) ƒ 2 ‡ (2,•1) ‚ (3,3) ƒ (4,•2) ‚ (7,1) ‚ w
€
€
•
Todo vector w se puede expresar como combinación lineal de dos vectores u y v no
paralelos:
Ejemplos:
Vectores 5
Ejercicios:
€ • €
1.Conocidos u , v y w representa sobre una cuadrícula los siguientes vectores:
€ €
a) u ƒ v
€ €
f) v • w
€ €
b) u ƒ w
€
g) 3u
€ €
c) v ƒ w
€ €
h) 2u • v
€ € €
d) u ƒ v ƒ w
€
€
i) v • 2 w
€ €
e) u • v
€ € €
j) 2u • v ƒ w
2. Utilizando los vectores que determinan los vértices y el centro del
hexágono de la figura, halla los vectores solución de las siguientes
operaciones:
a) AO ƒ OC
b) AO ƒ AB
c) FA ƒ ED
d) AB • OC
3. Halla el vértice D del paralelogramo ABCD que aparece en el
dibujo:
€
•
4. Dados los vectores u (3, •2) y v (•1,5) determina:
€
€
a) 3u • 2v
€ €
b) • u • v
€
€
c) 5u ƒ 2v
€
•
•
5.-Expresa el vector w(1,9) como combinación lineal de u (•1,3) y v (2,0)
€
€
d) u ƒ 3v
Vectores 6
BASES Y COORDENADAS
Un conjunto de vectores se dice linealmente dependiente si cualquiera de ellos es
combinación lineal de los otros.
€
Tres vectores en el plano con distinta dirección siempre son linealmente dependientes
Observa que dados tres vectores cualesquiera en el plano, cualquiera de ellos se podrá
“construir” con los otros dos, es decir, en el plano, todo vector es combinación lineal de otros
dos vectores linealmente independientes.
€
€
€
w ‚ ‚ 1u ƒ • 1 v
€
€
€
€
u ‚ ‚ 2v ƒ • 2w
€
€
€
v ‚ ‚ 3u ƒ • 3 w
Si dos vectores tienen la misma dirección son linealmente dependientes:
€
€
v ‚ €u
€ •
Condición de dependencia lineal entre dos vectores u y v :
v
u
• v ‚ Š ‡ u1
€
€
v
Šu 2
v ‚ €u „ (v1 , v 2 ) ‚ € ‡ (u1 , u 2 ) „ ( v1 , v 2 ) ‚ (Š ‡ u 1 , Š ‡ u 2 ) „ Œ 1
„ 2 ‚
„ 2 ‚ 2
v1 u 1
v 1 Šu 1
‹v 2 ‚ Š ‡ u 2
€
Si dos vectores tienen distinta dirección son linealmente independientes ya que ninguno
de ellos puede expresarse como combinación lineal del otro.
€
€
v Ž €u
Vectores 7
Ejercicio:
Comprueba si los siguientes pares de vectores son linealmente dependientes o linealmente
independientes.
€
€
a) u (1,2) v (3,5)
€
€
c) u (0,1) v (3,0)
€
€
b) u (2,3) v (4,6)
€
€
d) u (4,12) v (6,18)
€
•
Dos vectores u y v linealmente independientes diremos que forman una base del plano
€ €
(a partir de ellos se puede “construir” cualquier otro vector) y se representa por B ‚ •u , v •
€
Es decir, sea cual sea otro vector w podremos encontrar dos números reales ˆ y ‰ tales que
€
€
€
w ‚ ‚u ƒ •v
€
Diremos que € y • son las coordenadas de w en la base B.
Ejercicios:
1.- Los vectores OC y OD del hexágono forman una base del plano. Halla las coordenadas
en dicha base de los siguientes vectores:
a) FO
e) OB
b) OA
f) EB
c) AD
g) FC
d) ED
h) BC
€
€
2.-Dados los vectores u (•1,2) y v (1, •1)
a) Demuestra que son linealmente independientes.
€
€ €
b) Calcula las coordenadas de w(3,5) en la base B ‚ •u , v •
Caso particular:
€
Los vectores i (1,0)
base canónica.
€
j (0,1) son linealmente independientes por tanto forman una base llamada
Cualquier vector se puede expresar de forma evidente como combinación lineal de la base
€ €
B ‚ •i , j •:
€
€
€
€
Por ejemplo w(3,5) „ w ‚ 3 ‡ (1,0) ƒ 5 ‡ (0,1) ‚ 3i ƒ 5 j
Observa que si tomamos la base canónica, las
coordenadas de cualquier vector en la base canónica
coinciden con sus componentes
Vectores 8
ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES
Para obtener el ángulo determinado por dos vectores necesitamos saber cómo calcular el
módulo de un vector y la distancia entre dos puntos.
a) Módulo de un vector
€
Si consideramos el vector v (3,4) de la figura,
€
observamos que el módulo v ‚ 32 ƒ 2 2 ‚ 25 ‚ 5 .
€
€
2
2
En general si v( v1 , v 2 ) „ v ‚ v1 ƒ v 2
b) Distancia entre dos puntos A y B
La distancia d que hay desde los puntos A(2,1) a
B(6,5) de la figura vendrá determinado por el módulo
del vector AB(4,5)
d ‚ AB ‚ (6 • 2) 2 ƒ (5 • 1) 2 ‚ 4 2 ƒ 4 2 ‚ 32 ‚ 4 2
En general, dados dos puntos A(a1,a2) y B(b1,b2). La
distancia de A a B es:
d ( A, B) ‚ (a1 • b1 ) 2 ƒ (a 2 • b2 ) 2
Una vez conocido cómo obtener el módulo de un vector y la
distancia entre dos puntos, vayamos a lo que nos ocupa que es el
cálculo del ángulo entre dos vectores pero antes de nada observa
que dos vectores definen dos ángulos, nos quedaremos siempre
con el menor.
Vectores 9
€
Calculemos el ángulo a que forman los vectores u (1,3) y
€
v(4,7) de la figura. Para ello usaremos el teorema del coseno:
€2 €2
€ €
d 2 ‚ u ƒ v • 2 u ‡ v ‡ cos ˆ „
d2 ‚
„
‘
9 ƒ 16
‘ 1 ƒ3 ’ ƒ‘ 4
2
2
‘ (1 • 4)
’
2
2
2
2
ƒ (3 • 7 ) 2
ƒ 72
’ • 2‡
2
12 ƒ 3 2 ‡ 4 2 ƒ 7 2 ‡ cos ˆ „
’ ‚ 10 ƒ 65 • 2 ‡
2
10 ‡ 65 ‡ cos ˆ „
‚ 10 ƒ 65 • 2 ‡ 10 ‡ 65 ‡ cos ˆ
25 ‚ 75 • 2 ‡ 10 ‡ 65 ‡ cos ˆ
2 ‡ 10 ‡ 65 ‡ cos ˆ ‚ 75 • 25 „ 50,99 ‡ cos ˆ ‚ 50 „ cos ˆ ‚
50
„ cos ˆ ‚ 0,98 „ ˆ ‚ 11, 47º
50,99
Mediante este ejemplo hemos obtenido el ángulo que forman dos vectores, generalicemos este
procedimiento:
€
€
€2 €2
€ €
€ €
Dados dos vectores u (u 1 , u 2 ) y v( v1 , v 2 ) entonces d 2 ‚ u ƒ v • 2 ‡ u ‡ v ‡ cos(u , v)
Desarrollando esta fórmula:
‘ (u
2
2
1 • v1 ) ƒ ( u 2 • v 2 )
’ ‚‘ u
2
2
1
ƒ u 22
’ ƒ‘ v
2
2
1
ƒ v 22
’ • 2 ‡ u€ ‡ v€ ‡ cos(u€ , v€ )
2
€ €
€ €
(u 1 • v1 ) 2 ƒ (u 2 • v 2 ) 2 ‚ u 12 ƒ u 22 ƒ v12 ƒ v 22 • 2 ‡ u ‡ v ‡ cos(u , v)
€ €
€ €
u 12 ƒ v12 • 2u 1 v1 ƒ u 22 ƒ v 22 • 2u 2 v 2 ‚ u 12 ƒ u 22 ƒ v12 ƒ v 22 • 2 ‡ u ‡ v ‡ cos(u , v)
€ €
€ €
• 2u 1 v1 • 2u 2 v 2 ‚ •2 ‡ u ‡ v ‡ cos(u , v)
€ €
€ €
• 2 ‡ (u 1 v1 ƒ u 2 v 2 ) ‚ •2 ‡ u ‡ v ‡ cos(u , v)
€ €
€ €
u 1 ‡ v1 ƒ u 2 ‡ v 2 ‚ u ‡ v ‡ cos(u , v)
€ €
u ‡v ƒu ‡v
cos(u , v) ‚ 1 1€ € 2 2
u‡v
Vectores 10
Ejercicios
€
1.-Sean los vectores u ( 3 ,1)
€
v(• 3 ,1)
€
y w (1,•2)
a) Halla el módulo de cada uno de ellos.
€ €
b) Determina el ángulo que forman u y v
€
€
c) Lo mismo para v y w
2.-Se considera la perpendicular al eje OY que pasa por A(2,1). Halla las coordenadas de otro
punto B de esa misma perpendicular de modo que el ángulo AOB sea de 45º.
3.-Halla los ángulos del triángulo de vértices A(-5,6) B(3,5) y C(1,2)
Nota.- cuidado con los sentidos de los vectores.
4.-Se considera la recta perpendicular a OX que pasa por el punto A(1,2). Halla las
componentes de un vector OB que tenga su extremo en esta recta y que forme con OA un
ángulo de 45º.
VECTORES UNITARIOS
Diremos que un vector es unitario si su módulo es la unidad.
€
Nos podemos plantear el siguiente problema: dado un vector ¿cómo obtener el vector u
€
€
€
unitario de v ? es decir, ¿cómo obtener un vector u con la misma dirección y sentido que v
pero de módulo la unidad?
€
€ v
€ € €
v ‚ v ‡u „ u ‚ €
v
€
Para obtener el vector unitario de uno dado v , basta con multiplicar
€
dicho vector v por el inverso de su módulo.
€
€
Así, si v( v1 , v 2 ) entonces u ‚
˜
v1
v2
( v1 , v 2 ) ‚ –
,
2
2
2
2
2
–
v1 ƒ v 2
v1 ƒ v 22
— v1 ƒ v 2
1
•
“
“
”
Ejercicios:
€
1.- Obtén el vector unitario del vector v (4,2) . Una vez obtenido comprueba que su módulo es
la unidad.
2.- Representa el vector a (4, 3) . Pueden asociársele a él dos vectores unitarios u 1 y u 2
ambos en la misma dirección pero de sentidos opuestos.
a) Calcula las componentes de los dos vectores unitarios.
b) Determina Š 1 y Š 2 de modo que a = Š 1 · u 1
a = Š2 ·u2
PRODUCTO ESCALAR
Para obtener la fórmula del ángulo de dos vectores llegamos a la expresión
€ €
€ €
u 1 ‡ v1 ƒ u 2 ‡ v 2 ‚ u ‡ v ‡ cos(u , v) .
Vectores 11
€ €
Definiremos el producto escalar de dos vectores u y v como:
€ €
u ‡ v ‚ u 1 ‡ v1 ƒ u 2 ‡ v 2
€ € € €
€ €
ó también como u ‡ v ‚ u ‡ v ‡ cos(u , v)
Observa que del producto escalar se obtiene un escalar, es decir un número, no un vector.
Ejercicios:
€
€
1.-Halla el producto escalar de a (•6,4) y b( 4,5)
€
€
€ €
€ €
2.-Halla a ‡ b sabiendo que a (2,•4) y b ‚ 2 y el ángulo que forman a y b es 60º.
€
€
3.-Halla el producto escalar de los vectores v(3, 4) y w (•4,3) . ¿Cuánto vale el ángulo que
€
€
forman? Idem para v(a , b) y w (• b, a )
Interpretación geométrica del producto escalar
El valor absoluto del producto escalar de dos vectores es el producto del módulo de uno de
ellos por la proyección del otro sobre él.
Demostración:
€
Caso 1: el ángulo a es menor de 90º
€ € € €
a ‡ b ‚ a ‡ b ·cos ˆ
(1)
€
OH
Por otro lado cos ˆ ‚ € „ OH ‚ b ‡ cos ˆ
b
€
Sustituimos en la expresión (1) b ‡ cos ˆ por OH:
€
€ € €
€
a ‡ b ‚ a ‡ OH donde OH es la proyección de b sobre a .
Caso 2: el ángulo a es mayor de 90º
€ € € €
a ‡ b ‚ a ‡ b ·cos ˆ
(1)
€
• OH
€ „ • OH ‚ b ‡ cos ˆ
b
€
Sustituimos en la expresión (1) b ‡ cos ˆ por OH:
€
€ €
€
€
a ‡ b ‚ •OH ‡ a donde OH es la proyección de b sobre a .
Por otro lado cos ˆ ‚
€ € €
Por tanto, sea cual sea el ángulo a se cumple a ‡ b ‚ a ‡ OH
€
Caso particular
Vectores 12
€
Supongamos que uno de los vectores es unitario (de módulo la unidad) , por ejemplo a ‚ 1 ,
entonces:
€ € €
a ‡ b ‚ a ‡ OH ‚ 1 ‡ OH ‚ OH , observamos que valor absoluto del producto escalar de dos
vectores, siendo uno de ellos unitario coincide con la proyección del otro vector sobre el vector
unitario.
Ejercicios:
1.-Halla el producto escalar de los vectores de la figura a) . Determina el ángulo que forman.
2.- Determina el ángulo que forman los vectores de la figura b)
3.-Halla las coordenadas de H en la figura c)
a)
b)
c)
4.- Halla cada uno de los ángulos del triángulo con vértices A( 0, 0) B (1, 3) y C(4, 1)
5.-Determina el ángulo que forman los vectores de la figura d)
6.-Calcula la longitud de O a H y las componentes de OH en la figura e)
7.-Calcula la longitud de l en la figura f)
d)
e)
f)
Vectores 13
VECTORES ORTOGONALES (perpendiculares)
El producto escalar de dos vectores es cero si y solo si son perpendiculares o alguno de ellos
es el vector nulo.
Demostración:
€
Demostremos que si es cero el producto escalar ocurre una de las dos condiciones:
€
€
• u ‚ 0 ó v ‚ 0 por tanto al menos uno de ellos es el vector nulo
€ € € €
€ €
u ‡ v ‚ u ‡ v ‡ cos(u , v) ‚ 0 „ Œ
ó cosˆ ‚ 0 „ ˆ ‚ 90º „ perpendicu lares
‹
€
El ver que si uno de los vectores es nulo o son perpendiculares el producto escalar es
cero es trivial.
Vemos que si el producto escalar es cero y ninguno de los vectores es nulo significará que son
perpendiculares. También podemos saber si el ángulo formado por dos vectores no nulos es
agudo u obtuso, observando simplemente el signo del producto escalar:
Si el producto escalar es positivo entonces el ángulo será agudo:
€ € € €
€ €
€ €
u ‡ v ‚ u ‡ v ‡ cos(u , v) … 0 „ cos(u, v) … 0 „ el ángulo es agudo.
Si el producto escalar es negativo entonces el ángulo será obtuso:
€ € € €
€ €
€ €
u ‡ v ‚ u ‡ v ‡ cos(u , v) † 0 „ cos(u , v) † 0 „ el ángulo es obtuso.
Ejercicios:
€
€
1.-Determina sin representarlos si u (•1,3) y v(1,5) forman un ángulo agudo u obtuso.
2.- Dados u (3, -4) y v (5, x) calcula x para que sean: a) Perpendiculares
3.- Halla un vector perpendicular a b (-4, 3) cuyo módulo sea 2.
b) Paralelos
Indicación: sistema de ecuaciones. Dos soluciones.
€
€
4.-Comprueba que el ángulo formado por los vectores a (3,1) y b(•8, 21) es obtuso.
Indicación: basta analizar el signo del producto escalar.
PROPIEDADES ALGEBRAICAS DEL PRODUCTO ESCALAR
€
€
€
€
€ € € €
Conmutativa: a ‡ b ‚ b ‡ a
€ € € € € € €
Distributiva: a ‡ b ƒ c ‚ a ‡ b ƒ a ‡ c
€
€ €
€ € €
Pseudoasociativa: € ‡ a ‡ b ‚ ‘€ ‡ a ’ ‡ b ‚ a ‡ € ‡ b
€2 € €
Relación módulo-producto escalar : a ‚ a ‡ a
‘
’
‘ ’
‘ ’
€ € € €
€ •
€ €
€2
Demostración: a ‡ a ‚ a ‡ a ‡ cos(a , a ) ‚ a ‡ a ‡ 1 ‚ a