Desarrollo multipolar del potencial

Desarrollo multipolar del
potencial
• Introducción
• Desarrollo multipolar del potencial escalar
correspondiente a una distribución de carga
• Momentos multipolares
• Potencial y campos originados por un dipolo
eléctrico
• Distribuciones de dipolos
Introducción
•
•
•
•
Necesidad del dipolo eléctrico (¡La materia es neutra!).
¿Cómo se ve el dipolo eléctrico a grandes distancias?
Necesidad de introducir distribuciones de dipolos.
Momento dipolar. ¿Y si el momento dipolar es nulo?
p~
El dipolo puntual
Consideremos dos cargas, una positiva y otra negativa. Sea z el eje que une
ambas cargas y situémoslas en +d/2 y –d/2 sobre el eje z (sin pérdida de
generalidad). El potencial de las dos cargas es:
q
V (~r) =
4πε0
"
q
V (~r) =
4πε0
"
q
4πε0 r
"
V (~r) =
1
1
p
−p
2
2
2
x + y + (z − d/2)
x2 + y 2 + (z + d/2)2
1
1
p
p
−
2
2
r − zd + d /4
r2 + zd + d2 /4
#
#
1
1
p
−p
1 − zd/r2 + d2 /4r2
1 + zd/r2 + d2 /4r2
#
¡Esto no es
un dipolo
puntual!
El dipolo puntual es un ente formado por dos cargas puntuales infinitamente
próximas. Se define el momento dipolar de estas dos cargas como:
p = lim qd
d→0
q→∞
Reescribamos la expresión del potencial en la forma:
V (~r) =
q
4πε0 r
"
1
1
p
−p
1 − zd/r 2 + d2 /4r2
1 + zd/r2 + d2 /4r2
#
Hagamos un desarrollo en serie tomando d/r muy pequeño:
q
V (~r) ≈
4πε0 r
∙µ
¶ µ
¶¸
zd
zd
qzd
d2
d2
1+ 2 − 2 − 1− 2 − 2
=
2r
8r
2r
8r
4πε0 r3
Generalizando a una dirección cualquiera,
p~ · ~r
V (~r) ≈
4πε0 r3
Momento dipolar de una
distribución de carga
El potencial de una distribución de carga es:
1
V (~r) =
4πε0
ZZZ
ρ(~r0 ) 3 0
d ~r
0
|~r − ~r |
Si desarrollamos hasta primer orden en r’/r el denominador,
1
1
= s
µ 0 ¶2
|~r − ~r0 |
r
~r · ~r0
r 1+
−2 2
r
r
de donde
1
1
≈
|~r − ~r0 |
r
µ
¶
~r · ~r0
1+ 2
r
"
µ 0 ¶2 µ ¶ µ 0 ¶#
1 r
~r
1
~r
1−
·
≈
+
r
2 r
r
r
Sustituyendo en la ecuación del potencial, en primer orden,
1
V (~r) ≈
4πε0 r
∙Z
~r
0 3 0
ρ(~r )d ~r + 2 ·
r
Z
~r0 ρ(~r0 )d3~r0
¸
El primer término es la carga. Comparando con la expresión del potencial
de un dipolo puntual podemos asignar la segunda integral al momento
dipolar de la distribución de carga:
p~ =
Z
~rρ(~r)d3~r
Si la distribución de carga consistiera en dos cargas, una positiva y otra
negativa, separadas una distancia d, la distribución sería:
~
~
ρ(~r) = qδ(~r − d/2)
− qδ(~r + d/2)
Sustituyendo en la ecuación de arriba comprobamos que el dipolo puntual
no es más que un caso particular de momento dipolar.
Demostrar que el momento dipolar depende del origen
Campo eléctrico de un dipolo
El potencial del dipolo, en cartesianas, es
1 xpx + ypy + zpz
V =
4πε0 [x2 + y 2 + z 2 ]3/2
La componente x del campo eléctrico
∙
px
3 ~r · p~ 2x
1
−
Ex = −
4πε0 r3
2 r5
Por inducción:
2
3(~
r
p
~
)~
r
r
p~
1
·
−
~
E=
4πε0
r5
¸
Fuerza sobre un dipolo en un
campo exterior
Un dipolo eléctrico en un campo exterior
tiende a alinearse al campo (dado que las
dos cargas no pueden separarse). Aparece
un par de fuerzas
τ = (Fq d/2 − F−q d/2) sin θ
~
~τ = p~ × E
Energía potencial de un dipolo
• La energía de un dipolo eléctrico en un campo
exterior es
~0
U = −~
p·E
• Si el dipolo está alineado al campo la energía es
mínima
• Si el dipolo está orientado en sentido contrario al
campo la energía es máxima
Distribuciones de dipolos
Potencial de un dipolo en el origen de coordenadas:
1 ~r · p~
V (~r) =
4πε0 r3
Potencial de un dipolo en el punto
V (~r) =
~ri
1 (~r − ~ri ) · p~i
4πε0 |~r − ~ri |3
La contribución al potencial de un conjunto de dipolos en un elemento de
volumen conteniendo N dipolos es
N
1 X (~r − ~ri ) · p~i
1 (~r − ~r0 ) · P~ (~r0 )d3~r0
dV (~r) =
'
4πε0
|~r − ~ri |3
4πε0
|~r − ~r0 |3
i=1
Momento cuadrupolar de una
distribución de carga
A veces nos encontramos con moléculas neutras no polares y no polarizables,
es decir que no presentan carga ni momento dipolar. El primer término no nulo
del potencial sería el correspondiente al orden 2 en el desarrollo de r’/r. A este
término se le denomina momento cuadrupolar eléctrico. Para generalizar
imaginemos una distribución de carga genérica y desarrollemos el potencial
hasta segundo orden en r’/r.
⎡
1
1⎣
1
=
1−
|~r − ~r0 |
r
2
Ã
~r · ~r0
r0
−2 2
r2
r
!
0
02
2
31 1
+
2 2 2!
Ã
0 2
2
~r · ~r0
r0
−2 2
r2
r
1 ~r · ~r
3 (~r · ~r )
1
1r
= + 3 −
+
+O
r
r
2 r3
2 r3
|~r − ~r0 |
Ã
03
r
r3
!
!2
⎤
+ ...⎦
Separemos las variables sin prima de las con prima:
X
1
1 X
1 1 X 0 0
3 1 X
1
0
0
0
≈
+
x
x
−
x
x
+
x
x
x
x
i
i
j
i
i
i
i
j
|~r − ~r0 |
r r3 i
2 r3 i
2 r5 i
j
1
1 X
1 1 XX 0 0
3 1 XX
1
0
0 0
≈
+
x
x
−
x
x
δ
+
x
x
x
i
ij
i
j
i
i
j
ix j
0
3
3
5
|~r − ~r |
r r i
2r i j
2r i j
³
´
XX
1 X
1
1
1
2
0
0 0
0
+
≈
3x
x
x
+
x
x
x
−
δ
r
i
i
j
ij
i
i
j
|~r − ~r0 |
r r3 i
2r5 i j
El potencial adquiere la expresión:
i
⎧
⎫
R h 0 0
P
2
R
R
0
3
0
ρ 3xi xj − r δij d r ⎬
ij xi xj
1 ⎨ ρd3 r0 ~r ρ~r0 d3 r0
+
V =
+
3
⎭
4πε0 ⎩ r
r
2r5
En forma compacta:
⎧
⎨q
⎫
⎬
~r · p~
1
1 X
+ 3 + 5
V =
xi xj Qij
⎭
4πε0 ⎩ r
r
r ij
Qij =
Z
i
h
2
ρ 3x0i x0j − r 0 δij d3~r0
Desarrollo en serie de Taylor
Derivadas:
¯
¯
−1/2 ¯
y = (1 + x)
x=0
=1
¯
1
1
−3/2 ¯
y = − (1 + x)
=
−
¯
2
2
x=0
¶µ
¶
µ
¯
3
1
3
00
−5/2 ¯
−
(1 + x)
y = −
=
¯
2
2
4
x=0
0
Desarrollo de Taylor:
x2
x3
000
y(x) ≈ y(0) + y (0)x + y (0) + y (0)
2!
3!
0
00
3
1
5
y(x) ≈ 1 − x + x2 − x3
2
8
16