El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para

El aprendizaje de la función lineal,
propuesta didáctica para estudiantes
de 8° y 9° grados de educación básica
Edwin Oswaldo Roldán Cruz
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Bogotá, Colombia
2013
El aprendizaje de la función lineal,
propuesta didáctica para estudiantes
de 8° y 9° grados de educación básica
Edwin Oswaldo Roldán Cruz
Trabajo final presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Directora:
Doctora Clara Helena Sánchez Botero
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Bogotá, Colombia
2013
A
Mis hijos Juan Camilo y Andrés Felipe.
Mis Padres Hermelinda y Hernando.
Mis Hermanos Exary, Raul, Edisson.
Mi Abuela Emma.
Mi tío Arturo.
Mi Anny.
Agradecimientos
A la Universidad Nacional de Colombia en especial a los profesores de la Maestría en
Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales por su compromiso con los educadores
de Colombia.
A la Profesora Clara Helena Sánchez por su constante asesoría y dirección del presente
trabajo.
A la comisión ampliada de profesores del Colegio Luis Carlos Galán Sarmiento JT por su
apoyo y comentarios pertinentes.
A la vida por la oportunidad, la espiritualidad y la tenacidad.
A la vida en familia.
Resumen y Abstract
IX
Resumen
El aprendizaje de la función lineal hace grandes aportes al desarrollo del pensamiento
variacional que a su vez resulta fundamental en procesos de generalización y desarrollo
del pensamiento abstracto. El presente trabajo versa sobre los aspectos que inciden en
la consolidación del concepto de función: histórico, disciplinar, pedagógico y didáctico.
Como propósito se tiene el hacer una propuesta didáctica que permita que los
estudiantes manejen a cabalidad el concepto de función lineal y puedan aplicarla en
situaciones de la vida real. Como resultado del análisis histórico, disciplinar y pedagógico
se construyó una secuencia didáctica completamente original en la que se plantean tres
tipos de actividades con las que se potencia la experimentación como vehículo de
aprendizaje y la elaboración de modelos matemáticos, que en conjunto dan como
resultado el aprendizaje de los elementos relacionados con la función lineal.
Palabras clave: Función lineal, Función lineal y afín, Historia del concepto de función,
Modelización matemática, Enseñanza de la función lineal.
Abstract
The learning of linear function has made great contributions to variational thinking
development that is in turn essential in generalization processes and abstract thinking
development. This paper talks about the aspects that affect the function concept
understanding: historical, disciplinary, pedagogical and didactic. The purpose is to make
a didactic proposal to allow students to handle the linear function concept and applying it
in everyday life. As a result of the historical, disciplinary and pedagogical analysis, a
completely original didactic sequence was constructed. In this sequence can be find three
types of activities that promote experimentation as a learning vehicle and the elaboration
of mathematical models. Finally, the result is the learning of the elements related to linear
function.
Keywords: Linear function, linear and affine function, Function concept history,
Mathematical modeling, Linear function teaching.
Contenido
X
Contenido
Pág.
Resumen......................................................................................................................... IX
Lista de figuras ............................................................................................................. XII
Lista de tablas .............................................................................................................. XIII
Introducción .................................................................................................................... 1
1.
Aspectos Históricos ................................................................................................ 3
1.1
Edad Antigua ................................................................................................... 3
1.1.1
Los babilonios ....................................................................................... 3
1.1.2
Los Griegos .......................................................................................... 7
1.1.3
La Trigonometría .................................................................................. 9
1.2
Edad Media ....................................................................................................10
1.2.1
Fibonacci .............................................................................................10
1.2.2
Aporte de las primeras universidades europeas ..................................11
1.2.3
Representación del cambio..................................................................11
1.3
Edad Moderna ................................................................................................12
1.3.1
El movimiento ......................................................................................12
1.3.2
La geometría analítica .........................................................................14
1.3.3
La aparición de la ecuación de la recta “y=mx” ...................................17
1.4
Edad Contemporánea ....................................................................................18
1.4.1
La invención del cálculo .......................................................................18
1.4.2
El cálculo de Newton ...........................................................................18
1.4.3
El cálculo de Leibniz ............................................................................19
1.4.4
Las primeras definiciones ....................................................................20
1.4.5
Nuevos problemas, nuevas definiciones. .............................................22
1.4.6
La continuidad .....................................................................................24
1.4.7
Último desarrollo: La Teoría de Conjuntos ...........................................26
1.4.8
Definiciones abstractas y generalizadas ..............................................26
2.
Aspectos Disciplinares...........................................................................................29
2.1
Concepto de función ......................................................................................29
2.1.1
Notaciones y representaciones de función...........................................34
2.1.2
Diagramas sagitales ............................................................................35
2.1.3
Conjunto de pares ordenados ..............................................................36
Contenido
XI
2.1.4
Tablas ................................................................................................. 36
2.1.5
Plano Cartesiano................................................................................. 37
2.1.6
Ecuaciones y fórmulas ........................................................................ 38
2.2
Función lineal ................................................................................................ 38
2.2.1
Gráfica de una función lineal ............................................................... 38
2.2.2
Pendiente ............................................................................................ 39
2.2.3
Interceptos .......................................................................................... 41
2.2.4
y-intercepto ......................................................................................... 41
2.2.5
x-intercepto ......................................................................................... 41
2.2.6
El álgebra lineal y la función lineal y afín ............................................ 41
2.2.7
Función lineal y proporcionalidad ........................................................ 44
3.
Aspectos Pedagógicos .......................................................................................... 47
3.1
El Aprendizaje del concepto de Función lineal ............................................... 47
3.2
Comprensión y didáctica del concepto de función lineal ................................ 50
3.3
Modelación matemática ................................................................................. 52
3.4
Variación y función lineal ............................................................................... 54
4.
Aspectos Didácticos .............................................................................................. 57
4.1
Propuesta Didáctica ....................................................................................... 58
4.1.1
Contexto Matemático: “Cada quien con su pareja” .............................. 58
4.1.2
Contexto Matemático: “Cosas de familia” ............................................ 60
4.1.3
Contexto matemático: “¿Es función? método de la recta vertical” ....... 62
4.1.4
Análisis de situación: “La rueda panorámica” ...................................... 66
4.1.5
Análisis de situación: “El celular” ......................................................... 68
4.1.6
Práctica experimental: “Temperatura del agua” ................................... 69
4.1.7
Práctica Experimental: “Las velas” ...................................................... 73
4.1.8
Análisis de Situación: “Enfriamiento de una bebida” ............................ 77
4.1.9
Análisis de situación: “Entrenamiento de atletismo” ............................ 78
4.1.10 Análisis de situación: “salario de un vendedor”.................................... 79
4.1.11 Contexto matemático: “Tabla de valores” ............................................ 80
4.1.12 Contexto matemático: “Hallar pendiente” ............................................ 81
4.1.13 Contexto matemático: “Hallar pendiente 2” ......................................... 83
4.1.14 Contexto matemático: “Hallar y-intercepto” ......................................... 84
4.1.15 Contexto matemático: “Familia de funciones” ...................................... 86
4.1.16 Práctica experimental: “Geometría dinámica” ...................................... 88
4.1.17 Práctica experimental: “Geometría dinámica 2” ................................... 90
4.1.18 Análisis de situación: “Informe meteorológico” .................................... 91
4.1.19 Análisis de situación: “Dosificación de un medicamento” .................... 92
4.1.20 Análisis de situación: “Producción de una máquina” ........................... 93
4.1.21 Práctica experimental: “las sombras” .................................................. 93
5.
Conclusiones y recomendaciones ........................................................................ 95
Bibliografía .................................................................................................................... 97
XII
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
Lista de figuras
Pág.
Gráfica 1. Tablilla Plimpton No 322, tomada de
http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html ................................... 5
Gráfica 2. Representación del movimiento y la variación del mismo introducida por
Nicolás Oresme. ............................................................................................................. 12
Gráfica 3. Tomada de (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007). ............................. 13
Gráfica 4. Representación de coordenadas según Pierre Fermat. ................................. 16
Gráfica 5. Relación entre dos cantidades denominadas A y E ........................................ 17
Gráfica 6. Representación de una línea poligonal sobre una curva. ............................... 19
Gráfica 7. Analogía de la noción de función como transformación con una maquina ..... 34
Gráfica 8. Diagrama sagital de una función entre los conjuntos A y B ............................ 35
Gráfica 9. plano cartesiano, tomado de www.elplanocartesianofernando.blogspot.com/2011/09/e.html ........................................................................... 37
Gráfica 10. Gráfica cartesiana de una función lineal mostrando parejas ordenadas que la
componen. ...................................................................................................................... 39
Gráfica 11 . Gráfica ilustrativa de los incrementos horizontal y vertical de a, b, f(a) y f(b)
....................................................................................................................................... 40
Gráfica 12. Modelo gráfico de un proceso de modelización, adaptado de (Blomhøj, 2004)
....................................................................................................................................... 54
Contenido
XIII
Lista de tablas
Pág.
Tabla 1. Suma de cuadrados y cubos transcritos de una tablilla babilónica: tomada del
libro: Funciones un paseo por su historia (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007). . 4
Tabla 2. Transliteración de la Tablilla Plimpton No 322 al sistema de numeración
decimal. Tomado de: http://cambridge.academia.edu/EleanorRobson ............................ 6
Tabla 3. Serie de Fibonacci como solución al problema de las parejas de conejos. ....... 11
Tabla 4. Correspondencia entre cada número natural y su cuadrado. ............................ 14
Tabla 5. Representación en una tabla de algunos valores que satisfacen la función y =
f(x) =2x. ........................................................................................................................... 37
Tabla 6. Traducciones entre las representaciones de función, Janver (1978) tomada del
texto Funciones y Gráficas. ............................................................................................ 49
Introducción
El concepto de función que hoy se maneja en matemáticas; una relación (de
correspondencia, asociación) entre dos conjuntos no vacíos, es bastante reciente, viene
del siglo XIX con Dirichlet (1805,1859). Pero el concepto de función como fórmula, o
simplemente como una tabla que asocia ciertos datos de variables diferentes ya se
encuentra en culturas tan antiguas como los babilonios. Desde hace un tiempo se
considera que el concepto de función debe ser abordado en la escuela secundaria. Las
diferentes investigaciones que se han hecho muestran la dificultad en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de este concepto.
En este trabajo se hace una propuesta didáctica para la comprensión del concepto de
función lineal en estudiantes para grados 8° y 9°. En mi práctica docente con ellos he
observado mucha dificultad en el paso de una representación a otra en el caso de una
función en general debido a que una fórmula como f ( x)  x 2 representa una función,
mientras que otra como f ( x) 
x 2  1 no lo es y en ambas se relacionan elementos de
R , el conjunto de los número reales. Desde el punto de vista didáctico he observado la
ambigüedad con que se presenta el concepto de función lineal en diferentes textos, a
veces es una función f : R  R tal que f ( x)  mx . Y a veces es una función
f : R  R tal que
f ( x)  mx  b , caso particular de la anterior, que se llama con
frecuencia función afín.
Otro problema importante desde la didáctica es el de dotar de sentido y significado al
concepto de función lineal, y mas cuando se trata de niños entre los 13 y 16 años. Por
eso se hace entonces necesario:
1. Proponer actividades de la vida cotidiana y de las mismas matemáticas que den
sentido o significado a la función cuya gráfica es una recta; y también a los
elementos, atributos o parámetros que la constituyen; estos son la inclinación y
los interceptos con los ejes X y Y.
2
Introducción
2. Mostrar el por qué de la ambigüedad en el tratamiento de la función lineal y
plantear una propuesta de clarificación del concepto.
En los Lineamientos curriculares del Ministerio de educación Nacional (1998) para el área
de matemáticas, se resalta la importancia del estudio de la variación de manera paulatina
a lo largo de toda la escuela. En el documento se sugiere la enseñanza de este tópico a
través de elementos que permitan cuantificar el cambio (pendiente, razón de cambio,
etc.) y la forma como se relacionan las variables.
Por otro lado las investigaciones didácticas existentes sobre la enseñanza-aprendizaje
del concepto de función plantean en sus propuestas la intervención a través de tareas
que permitan al estudiante transitar entre los diferentes sistemas de representación, y no
privilegiar alguno en particular. Los contextos de aplicación que trabajan son de carácter
teórico que son modelizables mediante funciones lineales y afines. El presente trabajo
propone una alternativa de intervención didáctica que parta del análisis de situaciones
con contexto matemático y cotidiano, y la experimentación y vivencia de “prácticas de
laboratorio” o experiencias para ser matematizadas, con el fin de desarrollar el concepto
de función lineal en la escuela secundaria.
La propuesta didáctica pretende abordar el concepto de función lineal como dependencia
de variables y como correspondencia y destaca los elementos que subyacen a este
objeto matemático. Como son: razón de cambio, pendiente, variación, proporcionalidad.
La propuesta se encamina a dotar de una visión aplicable y útil del conocimiento
matemático para desarrollar algunos elementos del pensamiento variacional, a partir del
concepto de función lineal.
Al plantear una alternativa de intervención didáctica para la enseñanza-aprendizaje del
concepto de función lineal, la propuesta se enfatiza en crear situaciones de
experimentación en los que el estudiante realice: medición, estimación, conteo, registro, y
que este proceso sea el gestor de las ideas y nociones de este objeto matemático.
En el primer capítulo se abordan los aspectos históricos relacionados con el desarrollo y
consolidación del concepto de función. En el segundo capítulo se encuentran los
aspectos disciplinares del concepto de función y función lineal, en este se tratan las
definiciones formales de ambos conceptos, las diferentes formas de representación de
una función, los atributos presentes en la función lineal, la ambigüedad entre función
lineal y función afín, finalmente se establece la relación entre proporcionalidad y función
lineal. El tercer capítulo trata sobre los aspectos pedagógicos, en él se recogen algunos
temas pertinentes en torno a la enseñanza del concepto de función y función lineal que
sustentan los planteamientos hechos en la propuesta didáctica. El cuarto capítulo se
dedica a los aspectos didácticos, en este se hace la propuesta formada por 21
actividades. Finalmente el quinto capítulo cierra el presente trabajo con algunas
reflexiones propias producto de la elaboración del mismo a manera de conclusiones y
sugerencias.
1. Aspectos Históricos
En este capitulo se realiza un recorrido por la evolución historia del concepto de función,
haciendo énfasis en algunos elemento de la génesis de este concepto que lejos de ser
mas importantes que otros que voluntariamente se omitieron brindan un campo
conceptual propio y enriquecen esta monografía en lo epistemológico y, en lo didáctico.
El propósito de analizar la evolución histórica del concepto de función es tomar algunos
aspectos mencionados a lo largo del capitulo para plasmarlos en la propuesta didáctica
así como para ser tenidos en cuenta en el momento de su desarrollo, implementación y
aprendizaje en el contexto de educación básica.
El capitulo se divide en cuatro secciones: edad antigua, edad media, edad moderna y
edad contemporánea, en cada una de ellas se analizan los hechos y personajes más
relevantes del periodo histórico que aportaron a la consolidación, fundamentación,
definición, formalización y legitimación del concepto de función.
1.1 Edad Antigua
1.1.1 Los babilonios
Datar específicamente el nacimiento del concepto o noción de función es una labor tan
titánica como ubicar el mismo inicio de las matemáticas. Las investigaciones hechas por
Collette (1979), Boyer (1958), Hofmann (1963), Bell (1940) sugieren que una primera
aparición de ideas matemáticas que se pueden relacionar con de este concepto se sitúan
en la antigua Babilonia.
Los babilonios desarrollaron un sistema de numeración “mixto” (aditivo-posicional)
empleando dos símbolos, uno para la unidad y otro para el agrupamiento de diez
unidades, hasta el 59 era aditivo y de ahí en adelante el sistema pasaba a su versión
posicional. Empleando este sistema sexagesimal dejaron evidencia en tablillas de arcilla
de sus hallazgos matemáticos en diversas actividades de su cotidianidad: comercio,
agricultura, astronomía, calendarios, entre otras.
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
4
Tablillas de este tipo fueron dadas a conocer por el arqueólogo Edgar James Banks,
alrededor de 1929; aunque desde mucho antes se conocía la escritura empleada en la
cultura babilónica debido a los hallazgo hechos en 1835 por Henry Rawlinson, y las
traducciones hechas por él y Edward Hincks. Entre las tablillas con mayor interés desde
el punto de vista matemático se pueden mencionar las que relacionan los cuadrados de
los números naturales hasta 59 y de los cubos hasta 32. En el libro de Sánchez y Valdés
(2007) se muestra la transcripción de una tabla babilónica como la siguiente en la que
aparece la suma de cuadrados y cubos de algunos enteros positivos. (Tabla 1).
n
n3+n2
n
n3+n2
n
n3+n2
n
n3+n2
1
2
7
392
13
2366
19
7220
2
12
8
576
14
2940
20
8400
3
36
9
810
15
3600
30
27900
4
80
10
1100
16
4352
40
65600
5
150
11
1452
17
5202
50
127500
6
252
12
1872
18
6156
Tabla 1. Suma de cuadrados y cubos transcritos de una tablilla babilónica: tomada del libro:
Funciones un paseo por su historia (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 20).
Esta tabla puede considerarse como uno de los avances de esta civilización en la
aritmética. Aunque es inmediato apreciar la correspondencia entre las columnas después
de haber sido descifradas surge la pregunta: ¿Para qué construir una tabla de suma de
cuadrados y cubos? Las respuestas dadas a este interrogante van en dos vías.
1. Para poder realizar la multiplicación por medio de sumas y restas con “fórmulas” que
requieren del uso de esas potencias como las siguientes:
( a  b) 2  a 2  b 2
2
2
( a  b)  ( a  b) 2
a b 
4
a b 
Esta explicación ha sido cuestionada por los historiadores dado que si lograban realizar
la multiplicación de un entero positivo por si mismo podrían replicar el método para
realizar la multiplicación de dos números diferentes y por tanto no complicar el cálculo
con el empleo de las anteriores fórmulas.
Capítulo 1: Aspectos Históricos
5
a2
)c que es obtenida de la
b3
transformación de una ecuación cúbica mixta de la forma ax 3  bx 2  c  0 . Esta es
considerada como la razón para la construcción de la tabla de potencias (Sánchez
Fernandez & Valdés Castro, 2007).
2. Para hallar las soluciones de la expresión y 3  y 2  (
Otra de las tablas encontradas es la llamada Tablilla Plimpton 3221. En esta los registros
están organizados en quince filas y cuatro columnas que se leen y numeran de derecha a
izquierda (Gráfica 1).
Gráfica 1. Tablilla Plimpton No 322, tomada de http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m44603/pl322/pl322.html
Después de la decodificación por parte de Neugebauer y Sach se han identificado
errores en las cifras de la columna 2 fila 2 y en la columna 3 filas 9 y 13, la transliteración
al sistema de numeración decimal con correcciones y completando los valores que faltan
entre paréntesis se muestran en la Tabla 2.
La columna I enumera las filas, los números de la columna IV aparecen en orden
descendente, un análisis detallado de las columnas II y III evidencia una relación entre
ellas de modo que cuando se calculan los cuadrados de los números de la columna II y
1
La Tablilla Plimpton No 322 data según (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007) de entre los
años 1800 y 1650 A.C. Nombrada así por el número que lleva en la colección Plimpton de la
Universidad de Columbia. La tablilla Plimpton 322 está parcialmente rota, mide aproximadamente
13 cm de ancho, 9 cm de alto y 2 cm de grosor. George Arthur Plimpton compró la tablilla a Edgar
James Banks, cerca del año 1922.
Recuperado de www.cambridge.academia.edu/EleanorRobson
6
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
se resta de cada uno el cuadrado del número correspondiente de la columna III, se
obtiene un número cuadrado.
El análisis anterior sugiere que se trata de las conocidas triplas Pitagóricas, es decir
números que satisfacen la ecuación x 2  y 2  z 2 . Los datos indicarían las longitudes
de la hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo; la tablilla presenta un
alto grado de exactitud en los datos, motivo por el cual se descarta que se trate de
registros de mediciones reales hechas sobre triángulos rectángulos. De hecho si h es la
hipotenusa, a y b son los catetos de un triángulo ABH la información incluida en las
columnas II, III y IV serían la hipotenusa h, cateto a, y el cociente h2/b2 respectivamente.
2
Dos hechos se destacan: 1. La columna IV corresponde a la razón sec A , y 2. El
cociente es calculado con el cateto que no aparece explícito en la tabla, lo cual conduce
a pensar que esta no fue elaborada por ensayo-error, y según los investigadores
Neugebauer y Sachs, fue por el conocimiento de las relaciones generadoras a  2mn ,
b  m 2  n 2 , c  m 2  n 2 (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007).
IV
1.9834
1.9416
1.9188
1.8862
1.8150
1.7852
1.7200
1.6928
1.6427
1.5861
1.5625
1.4894
1.4500
1.4302
1.3872
III
119
3367
4601
12709
65
319
2291
799
(541) 481
4961
45
1679
(25921) 161
1771
(56)
II
169
(11521) 4825
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
75
2929
289
3229
(53) 106
I
1
2
3
4
(5)
(6)
7
8
9
10
11
12
13
14
( ) 15
Tabla 2. Transliteración de la Tablilla Plimpton No 322 al sistema de numeración decimal. Tomado
de: http://cambridge.academia.edu/EleanorRobson
En consecuencia podrían considerarse estas tablillas como una de las primeras muestras
claras de la aparición de una idea, aunque primitiva, de función como la relación entre
números o cantidades de cada una de las columnas. Esto sugiere, entonces, que
“durante la antigüedad prehelénica se estudiaron diferentes casos de dependencia entre
dos o mas magnitudes y se expresaron a través de tablas numéricas” (Sánchez
Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 24-25). Se entiende que el nivel alcanzado por los
babilonios en el desarrollo del concepto de función y la importancia de resaltarlo no
radica en el hecho de que hubiesen hecho representaciones tabulares; se trata del
Capítulo 1: Aspectos Históricos
7
soporte que originó tales construcciones, es decir de la observación sistemática de
regularidades y del uso de interpolaciones y extrapolaciones. (Azcárate Giménez &
Deulofeu Piquet, 1996).
Finalmente, en el caso de los investigadores Neugebauer y Sachs quienes publicaron en
1945 la interpretación de la tablilla Plimpton No 322 se resalta la importancia del hecho
de “aprender a descifrar el enigma de las tablas numéricas de la antigüedad significa
descubrir las relaciones funcionales escondidas entre los elementos que conforman la
tabla.” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 24). A pesar de las dificultades
para la interpretación de tablillas de este tipo y las múltiples conjeturas que en torno a
ellas sea posible elaborar “si los investigadores no hubieran encontrado la clave, (…)
sería desechada como una simple tabla de transacciones comerciales y temas
administrativos, y no tendría ningún interés histórico ni cultural.” (Sánchez Fernandez &
Valdés Castro, 2007, p. 24). Esto sugiere que actividades del tipo observar, decodificar,
descifrar relaciones, interpretar tablas, descubrir y describir (con lenguaje cotidiano o
formal) relaciones entre números o cantidades resulta un ejercicio interesante de llevar al
aula con el fin de desarrollar nociones o ideas sobre función.
1.1.2 Los Griegos
Son considerados como cuna de la civilización occidental y tradicionalmente se les ha
atribuido iniciar el tratamiento sistemático de la ciencia; en esta civilización pierde
protagonismo el empirismo o matemática práctica, para iniciar el proceso de reflexión
sobre el pensamiento matemático, se considera que fijaron las bases de la hoy conocida
ciencia deductiva (Collette, 1998). Son herederos de las matemáticas egipcias y
babilónicas, por lo tanto “no es posible dejar de considerar que el “milagro griego”2 tuvo
como antecedentes el saber que desarrollaron países como Egipto y la Mesopotamia.”
(Rey Pastor & Babini, 2000, p. 35). La comunidad académica acepta que son variados
los campos de las matemáticas en los que incursionaron pese a la forma como se ha
compilado la información producida por los helenos; ya que de las no muy numerosas
producciones matemáticas que han sobrevivido hasta hoy, solo se dispone de copias y
compilaciones tardías a veces posteriores en varios siglos. Cuando no solas
traducciones. Su relación con el origen del concepto de función se tiene principalmente
en la aparición de la inconmensurabilidad y la proporcionalidad (Azcárate Giménez &
Deulofeu Piquet, 1996).
2
J. Burnet plantea la llamada tesis del "milagro griego". Según esta hipótesis la filosofía habría
aparecido en Grecia de una manera abrupta y radical como fruto de la genialidad del pueblo
griego. Esta hipótesis prescinde de los elementos históricos, socioculturales y políticos, por lo que
termina por no explicar nada, cayendo en un círculo vicioso: Los griegos crean la filosofía porque
son geniales, y son geniales porque crean la filosofía. en "La Aurora de la filosofía griega" (1915).
8
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
La proporcionalidad y la inconmensurabilidad están fuertemente ligadas. En los libros V y
VI de los Elementos de Euclides se plantea la teoría de las proporciones de Eudoxo. Las
ideas griegas basadas en la concepción Pitagórica de que “todo es número” se verán
invalidadas con la aparición de la inconmensurabilidad, es decir la posibilidad de realizar
comparaciones entre dos magnitudes y expresarlas mediante la razón de dos enteros
positivos se viene al piso, debido a la imposibilidad de encontrar una unidad capaz de
medir al lado y la diagonal del cuadrado. Algunos autores sostienen que se originó en la
imposibilidad de encontrar una unidad común para el lado y la diagonal del pentagrama3.
Sea cual sea el origen, la idea se aplica a múltiples casos; otro de ellos es el de la razón
entre el perímetro y el diámetro del círculo. Esta anomalía frente a las ideas pitagóricas
provoca la diferenciación entre magnitudes discretas y magnitudes continuas. Esta
diferenciación transforma el manejo dado a la proporcionalidad; debido a que las
magnitudes a comparar deben ser de la misma naturaleza, longitudes con longitudes,
áreas con áreas, volúmenes con volúmenes; tomando un nuevo sentido las proporciones,
pues serán exclusivas para el uso de las magnitudes y su comparación. A esta dificultad
es posible atribuir el hecho de que en el período helénico el desarrollo del concepto de
función no haya sido mayor (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996).
Dado el tratamiento numérico actual en la enseñanza de las proporciones o
proporcionalidad en la educación básica “cuando se trabaja con proporciones es difícil
distinguir la relación que existe entre magnitudes distintas” (Azcárate Giménez &
Deulofeu Piquet, 1996) lo cual puede ser considerado como un obstáculo en el desarrollo
del concepto de función, aunque pienso que la proporcionalidad es un elemento que
aporta al desarrollo del concepto de función lineal, debido a que esta lleva implícita la
idea de dependencia entre magnitudes de distinta o igual naturaleza y, la de incrementos
iguales por unidad o igualdad en su variación, esto es la razón de cambio constante.
Las dificultades evidenciadas durante este período radican básicamente en el tratamiento
geométrico que tuvo la matemática y, la carencia de un lenguaje apropiado para expresar
ideas desde el punto de vista aritmético. Estas dificultades causan retrocesos y avances
en el desarrollo del concepto de función, la generalización totalmente geométrica del
teorema de Pitágoras es muestra de ello. Pues puede considerarse como un avance,
pero ya se expuso que civilizaciones prehelénicas tenían conocimiento de él y, sin
embargo no se encuentra evidencia de haber sido expresado en un lenguaje que
fortaleciera el desarrollo aritmético del mismo desacelerando el desarrollo del concepto
de función. En el siglo III es Diofanto de Alejandría quien con un pensamiento divergente
retoma el trabajo aritmético. Se cree que trabajó dentro de la tradición del álgebra
babilónica y la introdujo en las matemáticas griegas con casos como el de las fórmulas
3
Llamado también pentagrama místico Pitagórico, se considera como símbolo de identificación de
la Escuela Pitagórica, encierra entre sus elementos la proporción áurea, su construcción se hace
inscribiendo un pentágono regular en una circunferencia y trazando sus diagonales. (véase
Euclides, Elementos, proposición XX libro IV).
Capítulo 1: Aspectos Históricos
9
para generar triplas pitagóricas. Estas relaciones numéricas y el rescate del enfoque
aritmético es lo valioso del trabajo de Diofanto, aunque no es posible considerarlo como
pieza clave que precisa el aporte de los griegos al desarrollo del concepto de función.
1.1.3 La Trigonometría
La trigonometría ha estado presente en el desarrollo de las matemáticas desde tiempos
muy remotos, se empleó en construcciones egipcias y en la organización de datos
astronómicos y astrológicos en los babilonios o, como la mencionada tablilla Plimpton
322 en la que se hace referencia a la secante (Collette, 1998).
Los primeros tratamientos sobre la trigonometría se evidencian en el estudio de la
relación existente entre los arcos cuerdas de un círculo puestas en correspondencia en
tablas de datos organizadas y conocidas prácticamente desde la época de Hipócrates4.
Sin embargo, quien es reconocido como padre de la trigonometría es Hiparco de Nicea
quien organizó en 12 libros el tratamiento de cuerdas y arcos así como su relación de
dependencia. (Collette, 1998). Se cree que Tolomeo de Alejandría se basó en las
observaciones de Hiparco para desarrollar las tablas en las cuales también relaciona los
arcos y cuerdas de los ángulos centrales de un círculo en intervalos de medio grado,
(Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007).
Las transformaciones introducidas por astrónomos y
maestros
hindúes a las
elaboraciones de Hiparco consistieron básicamente en trabajar con semicuerdas en lugar
de las cuerdas completas de los arcos, esta transformación posibilitó el hecho de trabajar
con triángulos rectángulos dando paso a las razones trigonométricas (Sánchez
Fernandez & Valdés Castro, 2007), aporte significativo a la noción de función como
relación y dependencia entre dos magnitudes; en este caso del círculo o del triángulo
rectángulo según sea el caso.
En conclusión, los tres aportes más significativos desde la trigonometría al desarrollo del
concepto de función se encuentran en 1. hacer evidente la relación de dependencia
entre elementos de la circunferencia, 2. la organización sistemática y estudios de la
dependencia para la determinación de regularidades que a la postre desencadenaría la
elaboración de toda una teoría basada en las mediciones de arcos y cuerdas de una
circunferencia, y 3. finalmente introducir ideas aunque mínimas sobre la variabilidad de
las cantidades empleadas en la elaboración de sus tablas.
4
El subrayado es mío.
10
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
1.2 Edad Media
El período comprendido desde la caída del imperio Romano hasta la del Bizantino con el
desplome de Constantinopla se conoce como Medioevo u oscurantismo. Pese a las preconcepciones sobre esta época de casi inexistente producción académica, artística o
científica, es en el ocaso de esta época que el desarrollo del concepto de función tiene
un avance significativo. En este sentido se resaltan los aportes de Leonardo de Pisa
(1170,1250), Thomas Bradwardine (1290,1349) y Nicolás Oresme (1320,1382) quienes
sin proponérselo ni hacerlo directamente dejan su huella en la historia del concepto de
función.
1.2.1 Fibonacci
Leonardo de Pisa, reconocido por el uso enfático de los números indoarabigos en su libro
de 1202 Liber Abaci (libro del ábaco), titulo engañoso por cierto, ya que su tema central
resulta siendo los métodos algebraicos. En este se reconoce la relación álgebrageometría que ya había puesto en evidencia el celebre Al-Jwärizmï, también aparece el
tratamiento de diversos problemas que fortalecen o privilegian el uso de los números
indoarabigos, justamente la formulación de unos de estos celebres problemas es la pista
encontrada en su trabajo para el aporte al desarrollo del concepto de función (Boyer,
1999).
En palabras de C. Boyer (1999, p.329) “el problema del Liber Abaci que más ha inspirado
a los matemáticos posteriores” y más que el mismo problema es sobretodo el
planteamiento de su solución lo que hace aparecer un destello del concepto de función.
El problema es el siguiente.
¿Cuántas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja
única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez
desde el segundo mes?
La solución a este problema originó la conocida sucesión de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…
En la que cada término se obtiene como suma de los dos anteriores a partir de los dos
primeros: an  an1  an2 para n  3 .
La interpretación de esta sucesión como solución del problema es que a cada mes le
corresponde una cantidad de parejas de conejos, cada uno de los meses puestos en
correspondencia con la cantidad de parejas de conejos origina una relación funcional de
números naturales en números naturales. En la tabla 3 se indica la correspondencia de
meses y cantidad de conejos.
Capítulo 1: Aspectos Históricos
Meses
1
Parejas de conejos 1
11
2
1
3
2
4
3
5
5
6
8
7
13
8
21
9
34
Tabla 3. Serie de Fibonacci como solución al problema de las parejas de conejos.
El estudio de la solución del problema como ya se mencionó lo continuaron varios
matemáticos encontrando entre otras, propiedades de primalidad, relación con la razón
áurea, la filotaxis y el crecimiento de seres vivos, tendencias de cambio del mercado en
economía entre otros. Además naturalmente del estudio en si misma como sucesión
numérica.
1.2.2 Aporte de las primeras universidades europeas
Con la fundación de las universidades de Oxford, Paris y Cambridge durante los siglos
XII y XIII, el interés de académicos se centra en comprender el movimiento y el cambio.
El estudio cuantitativo de la variación es el aporte de Jordanus Nemorarius (1225, 1260).
El de Thomas Bradwardine consiste en plantear una teoría de proporciones en la que el
trasfondo es la idea de variación, este trabajo lo plantea a partir del desarrollo de un
andamiaje matemático empleando el cálculo de potencias y raíces enésimas (Collette,
1998).
1.2.3 Representación del cambio
Nicolás Oresme fue un intelectual del siglo IV, amplió los trabajaos de Bradwardine al
incluir en las proporciones potencias fraccionarias, de hecho dio reglas similares a las
actuales para el trabajo con potencias racionales. El aporte al desarrollo del concepto de
función mas significativo es el planteamiento para representar relaciones de cambio
mediante gráficas “Aquí vemos, desde luego, una sugerencia primitiva de lo que ahora
llamamos la representación gráfica de funciones” (Boyer, 1999, p. 339). Bajo la influencia
del estudio de la cuantificación de la variabilidad de situaciones como la velocidad de un
cuerpo móvil o la variación de la temperatura planteó un método para hacer estas
representaciones. Decía Oresme: “todo lo que varía se sepa medir o no, lo podemos
imaginar como una cantidad continua representada por un segmento uniforme” (Boyer,
1999, p. 339).
Para el caso de un movimiento uniformemente acelerado Oresme plantea un segmento
horizontal en el cual se indican los diferentes instantes el cual designa con el nombre de
longitud, y a cada uno de ellos le hace corresponder un segmento rectilíneo
perpendicular denominado latitud. La longitud representa la velocidad en ese instante,
en este caso todas las latitudes cubren el área de un triángulo el cual corresponde a la
distancia conocida y por tanto se constituye en una verificación geométrica de la regla del
12
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
Merton College (Gráfica 2): cuando la velocidad de un objeto crece por igual en intervalos
de tiempo iguales desde cero hasta una velocidad v en un intervalo de tiempo t, entonces
la distancia recorrida es igual a la mitad de la distancia recorrida por un objeto que se
mueve con velocidad constante v en ese intervalo de tiempo t; la cual se puede escribir
en notación moderna s(t )  1 vt . En forma general Oresme “consideraba que para medir
2
la intensidad de cierta cualidad de un objeto era necesario medir su extensión… (en
conclusión) la dependencia entre la intensidad y la extensión de una forma se representa
por una figura plana acotada superiormente por una curva que Oresme llama línea de las
intensidades” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 53).
Gráfica 2. Representación del movimiento y la variación del mismo introducida por Nicolás Oresme.
Esto se constituye en un aporte significativo dado el uso que se le dio a las
representaciones gráficas para el análisis de la relación entre magnitudes variables. La
importancia radica en: 1. El hecho de asignar medidas a magnitudes físicas mediante
segmentos de recta, 2. Resaltar el estudio de las relaciones funcionales entre las
magnitudes. Y, 3. Convertir los atributos cualitativos del movimiento en medidas para
plasmar en gráficas que representaran la relación de cambio (Sánchez Fernandez &
Valdés Castro, 2007). Sin embargo estas representaciones no reflejan la idea de
dependencia que en la actualidad hace una representación cartesiana; para ello sería
necesario considerar solamente la frontera superior de la región sobre la que Oresme
realiza el estudio y no todos los componentes como en realidad lo hace (áreas de los
rectángulos por ejemplo).
1.3 Edad Moderna
1.3.1 El movimiento
Para esta época el estudio del movimiento ocupa un lugar protagónico como motor de las
ideas científicas, ya se mencionó el caso de Oresme. Galileo Galilei (1564,1642) estudia
también el movimiento en el libro de titulo original: Discorsi e dimostrazioni matematiche,
intorno à due nuove scienze (Discursos y demostraciones matemáticas sobre dos
nuevas ciencias). En este libro Galileo considera que el movimiento puede ser
Capítulo 1: Aspectos Históricos
13
representado mediante curvas las cuales se emplean como representación del trazo que
“dejaría” una “partícula” al moverse, con este nuevo punto de vista llamado cinemática
“se considera una curva como la trayectoria de un punto móvil” (Sánchez Fernandez &
Valdés Castro, 2007, p. 56).
Uno de los principales aportes al estudio de la función que hace Galileo es basar sus
trabajos en observaciones y mediciones hechas al experimentar con el movimiento de
caída de cuerpos; de esta forma, incluye en sus trabajos la medición como argumento y
elemento para describirlo (el movimiento) a diferencia de las descripciones cualitativas
del movimiento hechas por sus antecesores. Este nuevo tratamiento permitiría expresar
las relaciones encontradas entre las mediciones por medio de fórmulas.
Galileo plantea el estudio de la caída de un cuerpo partiendo de un movimiento
horizontal, encuentra que siempre su trayectoria resulta en una parábola, para este
hallazgo “descompone el movimiento en uno uniforme horizontal y otro vertical
uniformemente acelerado y probó que, si se desprecia la resistencia del aire, la
trayectoria resulta siempre en una parábola.” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro,
2007, p. 58). La representación de dicho movimiento se observa en la gráfica 3, en ella
se cumplen las igualdades bc=cd=de, fd=4ic, he=9ic. Galileo concluye que en el instante
d el móvil tendrá la posición f y, en el instante e la posición será h, debido a la naturaleza
uniforme del movimiento horizontal y acelerado del vertical se obtiene:
(hl ) 2 lb

( fg ) 2 bg
( fg ) 2 gb

(io ) 2 bo
Con la relación entre las mediciones verticales y horizontales y, el planteamiento de las
anteriores proporciones se concluye que los puntos i,f,h están sobre una parábola:
Tiempo
Posición
Gráfica 3. Tomada de (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 58).
14
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
En este tratamiento al problema del movimiento se ve por un lado una clara referencia a
la visión de correspondencia entre conjuntos; en este caso de los puntos que representan
las posiciones del movimiento descompuesto en horizontal y vertical. En segunda medida
se evidencian los primeros esbozos de la idea de indivisible e infinito, “tratamos con
infinitos e indivisibles, los cuales nuestra mente finita no puede entender debido a la
inmensidad de unos y a la pequeñez de los otros” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro,
2007, p. 59). El trabajo sobre cinemática de Galileo y la forma de realizar su
representación es sin duda una versión mejorada de la de Oresme e implica la
correspondencia entre conjuntos. Galileo hace un planteamiento paradójico sobre el
conjunto de números naturales dejando en entredicho la premisa de que el todo es mayor
que sus partes pues pone en correspondencia cada número natural con su cuadrado
mostrando a través de esta biyección que por cada natural hay exactamente un
cuadrado, es decir establece una correspondencia uno a uno entre un conjunto y una
parte de él.
número
1
2
3
4
5
6
…
cuadrado
1
4
9
16
25
36
…
Tabla 4. Correspondencia entre cada número natural y su cuadrado.
En conclusión dos hechos se destacan de los aportes al concepto de función por parte de
Galileo, por un lado la apertura de una nueva perspectiva al tratamiento de la
representación del movimiento como trayectoria y la descripción de sus mediciones con
relaciones matemáticas expresadas con fórmulas o proporciones, y por otro lado la
importancia de resaltar el origen y contexto científico físico en el que se realiza este
aporte dando la idea de que al igual que la astronomía, la física se convierte en cuna del
concepto de función lo cual puede ser considerado como elemento didáctico en su
enseñanza en niveles de educación básica.
1.3.2 La geometría analítica
Con el estudio del movimiento y los planteamientos hechos por Galileo y su aporte en
cuánto a una representación más cuantitativa que la de Oresme el estudio de las ciencias
y en particular de las matemáticas se centraría en buscar métodos más adecuados para
este propósito (descripción del movimiento). Un primer elemento a destacar que aporta
significativamente en el desarrollo del concepto de función es empezar a abordar el
problema del lenguaje adecuado para expresar las ideas matemáticas; en este sentido
François Viète (1540,1603) al advertir una diferenciación entre variable y parámetro de
una ecuación propicia por medio de este enfoque que la idea de función tenga aparte de
Capítulo 1: Aspectos Históricos
15
representaciones en tablas y esquemas un nuevo representante, la ecuación. El aporte
de Viète marca el camino para salir del álgebra sincopada de Diofanto; sin embargo no
es posible afirmar que sea definitivo el paso al álgebra simbólica5 o que este estudio
contribuya al progreso de la idea de variabilidad. (Sánchez Fernandez & Valdés Castro,
2007)
La intersección entre álgebra y geometría se debió en gran medida a la conveniencia de
las matemáticas para el estudio de la mecánica. La “nueva” álgebra permitía gran avance
para la realización de cálculos; al confluir en la mecánica análisis algebraico y
representación del movimiento por medio de curvas, nace la geometría analítica. Es
René Descartes (1596,1650) en su Geométrie, como uno de los apéndices de su obra
El discurso del método publicada en 1637 a quien se atribuye su inicio. La geometría
analítica puede considerarse como un instrumento para abordar problemas geométricos
que utiliza como herramienta básica el álgebra al establecer una correspondencia entre
pares ordenados de números reales con los puntos del plano, lo que posibilita una
asociación entre curvas del plano y ecuaciones en dos variables. De modo que cada
curva del plano tiene asociada una ecuación y, de forma recíproca, cada ecuación en
dos variables define una curva.
Para el desarrollo del concepto de función este trabajo es muy importante dado que en él
se funden los que pueden ser considerados tres pilares de la representación de
funciones que hasta el momento se han presentado, la tabla, la gráfica y la ecuación. En
la Geométrie de Descartes “aparece por primera vez el hecho de que una ecuación en x
e y es una forma para expresar una dependencia entre dos cantidades variables, de
manera que, a partir de ella, es posible calcular los valores de una variable que
corresponden a determinados valores de la otra” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet,
1996, p. 47). Claro que en el libro de Descartes no aparece por ningún lado un “eje
cartesiano” ni aparecen mencionadas ecuaciones para una recta o una sección cónica.
La importancia de Descartes6 radica en haber logrado emplear los avances del álgebra
en los que había incursionado Viète para el análisis de los problemas geométricos
provenientes del movimiento y en segundo lugar homogenizar el tratamiento frente a las
magnitudes, esto lo hizo convirtiendo cada expresión en segmentos; así por ejemplo a,
b2, c3,ab podrían representarse mediante segmentos, con lo cual se interpretaba una
ecuación como una relación entre números y no entre cuadrados o cubos (geométricos).
5
El Arrte anlítico de Viète todavía carece de la simbología adecuada y sigue siendo bastante
3
retórico. Por ejemplo, la ecuación x +3Bx=D en la logística especiosa de Viète seria: A cubus + B
plano in A aequari D solido. (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007)
6
A René Descartes es atribuida gran parte de la notación que empleamos actualmente en las
matemáticas, por ejemplo el uso de las últimas letras del abecedario para las incógnitas de una
ecuación y de las primeras para los coeficientes y como ya se dijo la transformación del álgebra
de magnitudes de Viète en un cálculo de segmentos.
16
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
Quien realmente estuvo mas próximo a la idea de geometría analítica que manejamos en
la actualidad es sin duda para este período de tiempo Pierre Fermat (1601,1665), quien
escribió un pequeño artículo sobre geometría publicado póstumamente en 1679 titulado
Ad locos planos et sólidos isagoge (Introducción a los lugares geométricos planos y
sólidos), en el que hace un análisis de problemas de lugares geométricos, de hecho se
propone hacer un análisis más general de estos. En esta obra Fermat enuncia el principio
fundamental de la geometría analítica: “Cuando una ecuación contiene dos cantidades
desconocidas, hay un lugar correspondiente, y el punto extremo de una de estas
cantidades describe una línea recta o una línea curva.” (Collette, 1998, Vol. 2, p.23) En
esta proposición no solo se evidencia el nacimiento de la geometría analítica sino que se
introduce la idea de variable algebraica. Fermat no emplea ejes cartesianos de hecho las
representaciones son oblicuas Gráfica 4.
P1
P3
P2
E1
E3
E2
A
O
C1
C2
C3
Gráfica 4. Representación de coordenadas según Pierre Fermat.
En el gráfico el extremo superior del segmento E i representa la coordenada y , es decir
el segmento Ei  Pi Ci
( 1  i  n ) donde yi  longitud de Pi C i . La coordenada x está
determinada por la longitud del segmento Ai , es decir el segmento Ai  OCi ( 1  i  n )
donde xi  longitude de OCi .
El modelo para representar la “dependencia” entre
cantidades consiste en tomar un eje horizontal sobre el cual se miden las cantidades y, a
cada una se le hace corresponder otra cantidad representada por un segmento (oblicuo)
cuyo extremo trazará la curva que indica la relación entre las dos cantidades
representadas por los dos segmentos. Del aporte de Fermat se destaca que no emplea
coordenadas negativas, no tiene explícito el eje Y, y que entre los segmentos E i y Ai se
evidencia una relación o dependencia que origina un lugar geométrico al cual es posible
asociar una ecuación y, ni Descartes ni Fermat emplean en sus tratados el término
“sistema de coordenadas”.
Capítulo 1: Aspectos Históricos
17
1.3.3 La aparición de la ecuación de la recta “y=mx”
Gráfica 5. Relación entre dos cantidades denominadas A y E
Fermat introduce el estudio de la ecuación lineal utilizando las vocales (A y E)
para representar como lo había hecho Viète, las cantidades desconocidas.
Partiendo de una recta NZM donde N es fijo, toma NZ como la cantidad
desconocida A y el segmento ZI, aplicado sobre la recta con un ángulo NZI, como
igual a la otra cantidad desconocida E. Cuando “D in A æquatur B in E” es decir,
DA = BE donde D y B son constantes, el punto I describirá un lugar geométrico
representado por la semirrecta NI.
La ecuación lineal mas general de la forma Dx + By = c2, donde x = A e y = E
corresponde a la recta MI con MZ = c2/D – A. Fermat enuncia que todas las
ecuaciones de primer grado representan líneas rectas7 (Collette, 1998, Vol. 2, p.
24-25).
Con los aportes descritos, Descartes y Fermat colocaron las bases de la hoy conocida
geometría analítica, que en adelante se convertirá en importante objeto de estudio en las
matemáticas. La asociación entre expresiones analíticas y objetos geométricos resultó
ser tan sumamente fructífero que aun forma parte de la matemática actual. Pese a que
hasta ese momento no se había enunciado una definición formal de función con los
avances hechos, los progresos en el concepto de número (configuración de los reales), la
aparición de los números imaginarios, el avance del álgebra simbólica en lo referente al
empleo de signos y letras para las cantidades, todo estaba listo para la producción de
ideas que llevaran al nacimiento del concepto formal (riguroso) de función.
7
El subrayado es mío
18
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
1.4 Edad Contemporánea
1.4.1 La invención del cálculo
Es conocido por la comunidad académica y científica que a mediados del s. XVII por
caminos diferentes tanto Isaac Newton (1642,1727) como Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646,1716) crearon el cálculo infinitesimal. Newton consideró las curvas como
representaciones del movimiento de un punto, y sobre ellas realizó sus estudios sobre
tangentes, normales y áreas bajo la curva. Leibniz empleó los trabajos de Fermat sobre
la obtención de la tangente, pensando la curva como una poligonal de infinito número de
lados.
1.4.2 El cálculo de Newton
Newton plantea su método basado principalmente en dos elementos matemáticos que a
la postre resultarían fundamentales, los cuales habían sido trabajados por él
previamente: uno, el teorema del binomio y otro, el análisis de series infinitas. El aporte
más significativo a la evolución del concepto de función es el tratamiento geométrico cinemático del que parte para realizar su método. Para Newton, la trayectoria de un
punto móvil producía una curva; este movimiento se daba por la composición de dos
movimientos uno horizontal y otro vertical; así cada posición del punto estaba
determinada por un par de coordenadas, esta posición variaba en función del tiempo.
Newton llama a sus variables fluentes desde el punto de vista geométrico y cinemático de
una cantidad experimentando cambio continuo. Las variables son implícitamente
consideradas como funciones de tiempo. El otro concepto básico de Newton es el de
fluxión que nota x y es la tasa de cambio instantánea (la velocidad instantánea) de la
fluente x , en nuestra notación
dx
(Kleiner, 2009). Es decir, analiza “cantidades” como
dt
desplazamiento, velocidad y cambio de velocidad de un punto, las cuales dependen del
tiempo así establece una correspondencia entre unas y otras. Las fluentes dependen del
tiempo mientras que las fluxiones dependen de las fluentes; lo cual evidencia una
correspondencia entre ellas.
Newton hace la construcción de su análisis básicamente a partir de dos problemas; el
primer problema consiste en encontrar la velocidad del movimiento de un punto en un
tiempo dado, dada la longitud del espacio recorrido. El segundo problema es la inversa
del primero. Al respecto Jean Collette (1998) cita a Newton en lo que puede ser
considerado el párrafo que describe sus concepciones sobre este tópico.
Considero que las magnitudes matemáticas no están formadas de partes, por
muy pequeñas que sean, sino que son descritas mediante un movimiento
continuo. Las líneas son descritas y engendradas, no por la yuxtaposición de sus
Capítulo 1: Aspectos Históricos
19
partes, sino por el movimiento continuo de sus puntos, las superficies por el
movimiento de las líneas… Considerando, pues que las magnitudes que crecen
en tiempos iguales son mayores o menores según que crezcan a una velocidad
mayor o menor, busqué un método para determinar las magnitudes a partir de las
velocidades de estos movimientos, mientras que las magnitudes engendradas se
llamarían fluentes, encontré hacia 1665-1666 el método de las fluxiones, del que
hare uso en la cuadratura de las curvas (Collette, 1998, Vol. 2, p. 112-113).
1.4.3 El cálculo de Leibniz
Leibniz inicialmente centró su interés en las series infinitas; el más importante avance
que hizo al desarrollo del concepto de función y a la vez del cálculo infinitesimal fue
advertir la reciprocidad que hay entre los problemas de la obtención del área bajo la
curva y su tangente. En 1673 “se dio cuenta que la determinación de la tangente a una
curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y de las abcisas (sic)
cuando estas tienden a cero, así como el cálculo de áreas depende de la suma de las
ordenadas o de los rectángulos cuya abcisa (sic) tiende a cero y que ambos son
problemas inversos” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996).
Y
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x3 )
f ( x6 )
f ( x4 )
f ( x5 )
X
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Gráfica 6. Representación de una línea poligonal sobre una curva.
En la gráfica 6 se observa el tratamiento que le dio Leibniz a estos problemas. Él
consideró una curva como una línea poligonal8 en la que las abscisas de los vértices de
dicha poligonal equidistan exactamente una unidad. Al calcular el área de múltiples
8
Línea formada por segmentos rectos consecutivos, es decir que el extremo de cada uno
de ellos coincide con el origen del segmento que le sigue.
20
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
rectángulos cuyos vértices son xi , xi 1 , f ( xi 1 ), f ( xi ) , ( 1  i  n ) logró estimar el área
bajo la curva. Así mismo al calcular las diferencias de las ordenadas consecutivas se
tiene también una aproximación a la pendiente de la tangente. “Es geométricamente
evidente que estas aproximaciones mejoran en la medida que las diferencias entre
abscisas consecutivas se tomen cada vez mas pequeñas y, por tanto, resuelven los
problemas de tangentes y de cuadraturas cuando se considera que el polígono tiene
infinitos lados infinitamente pequeños” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p.
96).
Otro de los aportes de Leibniz consiste en la formulación de un lenguaje efectivo y
sencillo de emplear con el que términos como constante, variable, coordenadas y
parámetro fueron generalizados de acuerdo a como se conocen hoy; así mismo la
simbología empleada por él permanece casi invariante para el diferencial y la integral.
Finalmente el término “función” se encuentra por primera vez en un manuscrito de
Leibniz aunque haciendo referencia a un problema de ordenadas a partir de tangentes.
“La correspondencia con Jean Bernoulli muestra como el deseo para expresar mediante
una palabra cantidades que dependen de una cierta variable se encuentra todavía
restringida a las expresiones analíticas” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996). En
esta interpretación de advierte una superación del concepto de variable ligada al
movimiento o a la cinemática y aparece la idea de variable en un conjunto numérico
cualquiera.
En resumen la invención del cálculo en cuánto al concepto de función amplió la idea de
variables dependientes como elementos centrales en el análisis de curvas, dio un sentido
mas general a la correspondencia vinculo la pendiente de la tangente como elemento de
análisis y medición del cambio, el término función no tiene el sentido actual y por tanto
esta pendiente en esta época una definición formal para la idea de función. Es importante
para reparar en que el cálculo de Newton es un cálculo de variables y ecuaciones
relatando estas variables; No es un cálculo de funciones. De hecho, la noción de función
como un concepto explícito de matemática surgió sólo en los inicios del siglo 18.
1.4.4 Las primeras definiciones
Con la aparición del cálculo se supera el tratamiento exclusivamente mecánico y
geométrico del movimiento, del cambio y principalmente de la variabilidad. El interés se
centra en el estudio de esta nueva forma de concebirlos; surge así una nueva disciplina:
el análisis; en el que el estudio se hace sobretodo desde la aritmética o el álgebra, fue
tal el auge del cálculo durante este tiempo que el desarrollo no solo de la noción de
función sino en general de las matemáticas cambio los roles protagónicos entre
geometría, cinemática, aritmética y álgebra; “hasta el punto que podemos hablar casi de
una inversión en el sentido que el análisis no solo se convierte en una disciplina
independiente sino que la mecánica, de cuyos problemas había partido, llega a ser
considerada como una parte de aquel” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996).
Capítulo 1: Aspectos Históricos
21
Quien inicialmente propone una definición de función es Jean Bernoulli 9 (1654,1705) en
1718 para quien “una función arbitraria de x es una cantidad formada de manera
cualquiera a partir de x y de constantes” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996)
con esta definición es posible interpretar que la “manera cualquiera” se refiere a una
ecuación algebraica o trascendente, también se lee entre líneas la idea planteada
anteriormente de cambio de la mecánica al análisis en el interés del estudio de las
matemáticas.
La segunda definición en aparecer es la hecha por Leonard Euler (1707, 1783) quien
define función así: “una función de una cantidad variable es una expresión analítica
formada de cualquier manera a partir de esta cantidad variable y números o cantidades
constantes” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, 1996), el mismo Euler emprende la
tarea de aclarar el sentido que tiene el término “expresión analítica” como operaciones
algebraicas y trascendentes luego amplia la idea a funciones obtenidas en el cálculo pero
no determina con claridad los alcances del término por lo que tal definición se ve
transformada.
La tercera definición dada en 1755 al concepto de función corresponde nuevamente a
Euler; esta nueva definición se aleja de la anterior entre otras cosas porque desaparece
la idea de expresión analítica y, aparece la idea general de correspondencia entre
variables como elementos pertenecientes a conjuntos. Alrededor de esto Euler planteó
que algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las últimas,
las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las
últimas. Una cantidad puede ser determinada por otras, así “si x es una cantidad variable,
entonces toda cantidad que dependa de x de cualquier manera o que esté determinada
por aquél [x] se llama una función de dicha variable” (Azcárate Giménez & Deulofeu
Piquet, 1996, p. 51). Esta definición plantea la idea de que una función se origina cuando
en un sistema de coordenadas es posible asignar a ella una curva cualquiera.
A Euler se debe la introducción de la notación empleada en la actualidad f(x) para
referirse a la función f aplicada sobre el argumento x. Además de elevar a estatus de
función matemática trascendente el cálculo del seno y coseno que pasaron de ser
considerados como correspondencia entre magnitudes angulares y magnitudes lineales a
correspondencia entre valores numéricos con idénticas dimensiones; al trabajar en
exclusividad con la llamada circunferencia goniométrica, Euler realiza el estudio
sistemático de la geometría analítica comenzando con la recta, pasando a las cónicas
después a curvas de tercer grado, etc. Deja entrever una idea de correspondencia entre
ecuaciones y curvas que fortalece la idea de función “dada una función, puede trazarse la
curva correspondiente y señala que… cada función de x… dará una línea recta o curva,
9
Jacob I Bernoulli
22
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
cuya naturaleza dependerá de la función y“ (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007,
p. 117).
Bajo la idea de que el estudio de las curvas en si mismo había hecho tomar este camino
al desarrollo del concepto de función la aparición de nuevos retos en esta materia harían
que fueran creadas nuevas “fórmulas” que lograran describirlas. El cambio o “evolución”
de las definiciones dadas a función no eran caprichosas, el trasfondo de este proceso
radica principalmente en que la definición dada logre encerrar “todas” las diferentes
funciones descubiertas hasta el momento sean de tipo algebraico o trascendente, que
sea operativa y que permitan resolver los problemas planteados con suficiencia.
Entre varios problemas de la época sobre curvas, los considerados catalizadores del
avance conceptual de función son dos: el primero es “encontrar la forma que toma una
cuerda (o cadena) perfectamente flexible y homogénea por la acción solo de su peso, si
ella es fijada en sus extremos A y B” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p.
103). Este problema dio origen a la curva conocida como catenaria la cual aunque se
parece a una parábola solo coincide en los puntos A y B y en su vértice. La ecuación que
e x  ex
; sin embargo en la época no se disponía
2
de lenguaje simbólico adecuado para esta expresión y el problema se resolvió por
cuadratura, es decir área bajo la curva. El segundo: “dados dos puntos A y B en un plano
vertical, hallar el camino AMB por el que una partícula M, descendiendo por su propio
peso, iría de A a B en el menor tiempo posible” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro,
2007, p. 109). Este es conocido como el problema de la branquisona, y la solución es
una curva que para la época era conocida y estudiada por la comunidad científica, la
cicloide, que es una curva descrita por una circunferencia que rueda, sin deslizarse.
describe la catenaria es: y  cosh x 
Las soluciones y sobre todo los métodos planteados en situaciones como éstas
repercutieron en la formulación cada vez mas adecuada de definiciones de función, lo
cual como afirma Youschkevitch (1976) en el articulo The Concept of Function up to the
Middle of the 19th Century, el concepto de función como expresión analítica ocupó el
lugar central en el análisis matemático. Bajo esta óptica era ya evidente que el estudio
geométrico y mecánico del movimiento quedaba en un segundo plano. Con estos
problemas la noción de curva se transforma, pasa de ser considerada como elemento
representativo o como solución de problemas a convertirse en si misma como la
incógnita para hallarla solución de un problema.
1.4.5 Nuevos problemas, nuevas definiciones.
El conocido problema de la cuerda vibrante originó entre Leonard Euler, Johann
Bernoulli, Daniel Bernoulli (1700,1782) y Jean Le Rond D’Alembert (1717,1783) una
tensa polémica debido a sus propuestas de solución. La tensión entre la generación de
series infinitas, series trigonométricas, y la idea de función como expresión analítica
Capítulo 1: Aspectos Históricos
23
terminó por producir una nueva definición en la que tuviera lugar las nuevas
concepciones sobre este aspecto; para esta nueva definición se debía tener en cuenta
que para la época era posible expresar toda curva mediante una función, cada función
venia dada por una expresión analítica o fórmula, toda representación analítica era única
para todos los valores de la variable, se aceptaba el desarrollo de una función en series
de potencias pero no en series de funciones. Con el aporte de de Joseph Louis Lagrange
(1736,1813) quien logró obtener una forma totalmente analítica para representar las
series de funciones trigonométricas se postula una nueva definición del concepto de
función: “llamamos función a toda expresión matemática de una o varias cantidades en la
cual estas aparecen de cualquier manera, relacionadas o no con algunas otras
cantidades que son consideradas como constantes, mientras las cantidades de la función
pueden tomar todos los valores posibles” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p.
128).
Lagrange además planteó que las funciones auténticas del análisis o funciones analíticas
son justamente aquellas que pueden expresarse mediante serie de potencias, también
enfatizaba “la necesidad de desarrollar una teoría autónoma enmarcada en su propio
entorno lógico” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 127) refiriéndose al
análisis, es decir separarlo de cualquier elemento geométrico o mecánico.
Así como el problema de la vibración de una cuerda dio origen a una nueva definición de
función, Joseph Fourier (1768,1830) dio solución a otro problema de la física sobre la
propagación del calor en una lámina; la conocida ahora serie de Fourier fue concebida
como solución al conflicto entre las series de potencias y trigonométricas. Además de
esto Fourier también planteó en su trabajo el desarrollo de una función como serie
trigonométrica con lo cual unificaba las soluciones planteadas por Euler, Lagrange y
Bernoulli. El concepto de función que dio Fourier es:
Ante todo debe notarse que la función f(x) para la cual esta prueba se presenta,
es enteramente arbitraria, y no está sujeta a una ley de continuidad… En general,
la función f(x) representa una sucesión de valores dados para las abcisas (sic) x…
No suponemos que estas ordenadas estén sujetas a una ley común; se suceden
una a la otra de cualquier manera, y cada una de ellas está dada como si fuera
una sola igualdad (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007).
Las diferentes soluciones propuestas a problemas de la física ampliaron la visión sobre el
concepto de función, de la misma manera exigieron definiciones cada vez mas precisas y
que permitieran incluir los nuevos avances en este aspecto como series de potencias,
series trigonométricas, funciones continuas, etc. “Es interesante notar que fueron los
problemas de la física relacionados con la propagación del sonido, del calor y, en
general, con los fenómenos susceptibles de una modelación como movimiento
ondulatorio, los que estimularon las precisión en las principales nociones relacionadas
con la representación de las funciones”
(Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007,
p. 133).
24
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
Con estas nuevas definiciones aparece un nuevo elemento en el desarrollo del concepto
de función la clasificación entre continuas y discontinuas. Al respecto Youschkevitch
(1976) afirma:
Esta terminología, que para Euler tenía un sentido especial, insólito para nosotros,
se utiliza hasta la época en que Bolzano en 1817 y Cauchy en 1821 atribuyeron a
las expresiones continuas y discontinuas el significado que en la actualidad ha
sido adoptado de manera generalizada; a veces se utiliza incluso hasta en épocas
posteriores.
En el sentido de Euler, continuidad significa invariabilidad, inmutabilidad de la ley
de la ecuación que determinaba a la función a lo largo de todo el dominio de
valores de la variable independiente, mientras que la discontinuidad en una
función significaba el cambio de la ley analítica, es decir, la existencia de dos
leyes distintas en dos o más intervalos de ese dominio. Las curvas discontinuas,
explicaba Euler, están compuestas por partes continuas, siendo ésta
precisamente la razón por la que se les denomina mixtas o irregulares; a veces,
también llamaba a estas curvas mecánicas. En geometría, según Euler, se
estudian principalmente las curvas continuas (es decir, las analíticas).
Las funciones discontinuas o mixtas, así como las curvas del Volumen 2 de la.
Introductio (de L Euler), corresponden a nuestras funciones analíticas por
intervalos; en consecuencia, su inclusión en el análisis matemático no ofreció
ninguna ampliación esencial del concepto de función.
En torno a esta discusión (sobre continuidad) se encamino el desarrollo del concepto y
también de las definiciones posteriores, así de la transición entre series de potencias y de
funciones trigonométricas y la inmutabilidad a la expresión analítica de la función se pasa
al análisis de la misma en el sentido de esta primer clasificación formal que tiene, se
observa en esto una relación directa con el desarrollo de la idea de continuidad en los
números reales.
1.4.6 La continuidad
El estudio sobre la continuidad, la clasificación de funciones, la expresión o no en series
de Fourier entre otros fueron los temas principales que motivaron la consolidación en
algunos casos y la transformación en otros de las definiciones dadas. La última definición
y mas general dada por Euler fue motivo de reflexión y se empleo como base para las
nuevas, sin embargo paulatinamente el camino en la evolución del concepto de función
tomo nuevos rumbos.
Después de la definición de Fourier, Nikolái Ivánovich Lobatchevsky (1792,1856) y
Gustav Lejeune Dirichlet (1805,1859) publicaron definiciones mucho más extensas.
Capítulo 1: Aspectos Históricos
25
Lobatchevsky escribía en 1834 “El concepto general exige que se denomine función de x
a un número que esté dado para toda x y que cambie gradualmente junto con x. El valor
de la función se puede dar, ya sea mediante una expresión analítica, o a través de una
condición que ofrezca un medio para probar todos los números y seleccionar uno de
ellos; o, finalmente, la dependencia puede existir, pero permanecer desconocida.”
(Youschkevitch, 1976, p.32) En esta definición se devela las ideas sobre funciones
continuas y discontinuas y la exclusión definitiva del condicionante de única expresión
analítica para dar la dependencia entre las magnitudes, cantidades o variables.
Con el propósito de seguir analizando la continuidad de funciones y ampliar o mejorar la
definición; Augustin Louis Cauchy (1789,1857) realiza un aporte planteando “Cuando
hay cantidades variables, de tal modo vinculadas entre sí, que estando dado el valor de
una de ellas se pueden determinar los valores de todas las demás, por lo común se
concibe a estas diversas cantidades como expresadas por medio de una de entre ellas,
que entonces toma el nombre de variable independiente; y las demás cantidades
expresadas por medio de la variable independiente son lo que se denomina las funciones
de esa variable” (Youschkevitch, 1976, p.32). Aparece explícitamente en esta definición
el elemento de correspondencia entre variable independiente y dependiente (función), así
paulatinamente se abre camino esta concepción y su inclusión para la definición de
función.
El profundizar en el estudio de problemas de la física en temas como termodinámica,
ondas y electromagnetismo y la imposibilidad de modelarlos mediante funciones
continuas o no analíticas motivó que los matemáticos se interesaran en ampliar el
alcance de las nociones y definiciones del concepto de función. Uno de estos
matemáticos fue Dirichlet quien insatisfecho por los planteamientos de Fourier para las
series y los inconvenientes que estas presentaban en algunos aspectos de continuidad e
integrabilidad desarrolló su versión de la definición de función que ampliaba el alcance
para incluir la integral para funciones con un conjunto infinito de puntos de
discontinuidad. En 1837 escribe la definición:
Designemos por a y b dos valores fijos y por x una magnitud variable, situada
entre a y b . Si a todo x corresponde un valor finito y=f(x) que varía de manera
continua cuando x varía también de manera continua de a a b , diremos que y
es una función continua para este intervalo. Aquí no es en absoluto necesario que
y se exprese en función de x según una misma ley sobre todo el intervalo; no es
necesario incluso que se posea una expresión algebraica explicita entre x e y
(Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007).
El análisis de la continuidad de funciones se encaminó hacia la idea de diferenciabilidad;
en este campo se produjo gran cambio al pasar de la idea de que toda función continua
era diferenciable, hasta que en un intervalo una función continua podía no tener derivada
en algunos puntos; finalmente Karl Weiertrass (1815,1897) empleando la función
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
26

f ( x)   b n cos(a nx)
demostró que una función puede ser continua y no tener
n
derivada en ningún punto. El descubrimiento de que las funciones pueden tener cualquier
tipo de comportamiento causó que las funciones fueran estudiadas no solamente dentro
del cálculo o el análisis sino que sus límites se ampliaran. (Sánchez Fernandez & Valdés
Castro, 2007)
Estas curvas suavizadas sin derivada en ninguno punto dieron origen a dos elementos.
La geometría fractal; cuyo desarrollo ha sido acelerado debido en parte a la evolución
computacional y la aplicación de esta en campos como medicina, biología o geografía,
por otro, lado la física continúa ligada como siempre a la evolución del concepto de
función, pues si se atiende al llamado movimiento browniano que describe por ejemplo
una partícula sumergida en un fluido viscoso se puede observar que se corresponde con
una función cuya curva es continua pero sin tangente en ningún punto.
1.4.7 Último desarrollo: La Teoría de Conjuntos
Con la creación de la teoría de conjuntos creada en gran medida por Goerg Cantor
(1845,1918) el concepto de función siguió evolucionando, de esta manera se amplio para
incluir todas aquellas correspondencias arbitrarias que cumplan o satisfagan la propiedad
de unicidad lo cual significa o implica que en una correspondencia entre por ejemplo dos
conjuntos A y B a cada elemento del conjunto A este relacionado con único (uno y solo
uno) elemento del conjunto B, lo cual usualmente se simboliza f : A  B . Bajo este
predicado se observa claramente que la noción correspondencia para el concepto de
función migró al de relación siendo este último concepto o noción próxima al de función
principalmente bajo la óptica conjuntista. A la par de la idea de relación nace la de
asociación por medio de una expresión analítica para vincular elementos de conjuntos
numéricos, esta última idea ha tenido un lugar fundamental en la práctica matemática
inclusive en la actual (Youschkevitch, 1976).
1.4.8 Definiciones abstractas y generalizadas
El método analítico de la introducción de funciones que revoluciono las matemáticas y
que debido a su eficacia aseguro un lugar central en el estudio del concepto de función
procuró el desarrollo de este concepto a formas tan diversas y variadas como complejas.
Al respecto de esto es pertinente considerar la reflexión:
En diferentes textos didácticos (del s. XX) sobre análisis matemático podemos
encontrar todavía la vieja idea de identificar las funciones con las expresiones
analíticas sin hacer referencia a correspondencias arbitrarias entre conjuntos
abstractos. Realmente para el análisis matemático y su concepción moderna de
Capítulo 1: Aspectos Históricos
27
teoría de funciones, continúa siendo suficiente asociar este concepto al de
expresión analítica (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007).
En esta última parte de desarrollo histórico que ha presentado el concepto de función se
presentaran algunas precisiones y definiciones dadas en el siglo XX
El primero en formular una definición basada en la idea de conjuntos abstractos fue
Richard Dedekind (1831,1916); en su definición él llama sistema a lo que se conoce hoy
como conjunto, y a función la denomina representación:
Por una representación φ de un sistema dado entendemos a una ley, de acuerdo
a la cual a cada elemento determinado s del sistema se le asocia un determinado
objeto que se denomina imagen de s y se denota por el símbolo φ(s); es posible
decir que φ(s) corresponde al elemento s, o que φ(s) se obtiene de s por medio
de la representación, o que s es transformado en φ(s) por la representación φ
(Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007).
Con el fin de resolver las dificultades y criticas hechas a las definiciones dadas por
Cantor y Dedekind respecto a la aparición de las nociones no definidas conjunto o
sistema y aplicación o representación, en 1911 Giuseppe Peano (1858,1932) brinda una
nueva definición, en esta se parte de la definición de producto cartesiano entre conjuntos
dejando como única noción indefinida conjunto, así producto cartesiano X × Y =
𝑥, 𝑦 : 𝑥 ∈ X, 𝑦 ∈ Y luego da la definición de relación como subconjunto del producto
cartesiano R  X  Y , finalmente define función como una relación especial “si dos
pares ordenados (x,y) y (x,z) con el mismo primer elemento están en relación funcional f
entonces necesariamente y=z” (Sánchez Fernandez & Valdés Castro, 2007, p. 163).
Basados en la teoría de conjuntos el colectivo francés autodenominado Nicolás Bourbaki
plantea hacia 1939 una definición de función teniendo como eje conceptual la
correspondencia entre conjuntos al igual que Cantor y Dirichlet, la definición dada es:
Sean E y F dos conjuntos, que pueden o no ser distintos. Una relación entre un
elemento variable x de E y un elemento variable y de F, se llama relación
funcional en y, si para todo x en E, existe un único y en F el cual está en la
relación dada con x. Damos el nombre de función a la operación que, de esta
forma, asocia cada elemento x en E con el elemento y en F que está en relación
con x, se dice que y es el valor de la función en el elemento x, y se dice que la
función está definida por la relación dada. Dos relaciones funcionales
equivalentes determinan la misma función. (Sastre Vázquez, Rey, & Boubée,
2008, p.152).
En la actualidad esta definición es aceptada como una de las más formales para el
concepto de función.
2. Aspectos Disciplinares
2.1 Concepto de función
El recorrido por la historia del concepto de función permite identificar su evolución desde
los babilonios hasta la definición que se usa actualmente y que se debe esencialmente al
colectivo Nicolás Bourbaki. Esta definición se da rigurosamente dentro de la teoría de
conjuntos teniendo como soportes principales tres pilares o conceptos previos: pareja
ordenada, producto cartesiano y relación. Por ejemplo la definición que aparece en el
libro Introducción a la Teoría de Conjuntos de (Muñoz Quevedo, 2002) es la siguiente
“una función es simplemente un conjunto de parejas ordenadas tal que en estas todas
sus primeras componentes son distintas”. La cual evidentemente requiere de la definición
precisa de los tres conceptos antes mencionados.
La idea intuitiva que se tiene de pareja ordenada es un par de objetos (números,
elementos, cantidades, razones, etc.) de índole matemático (o no) en los que se
distingue e indica el orden establecido correspondiente; así se señala un “primer
elemento” y un “segundo elemento”. A cada uno de los dos elementos se le denomina
coordenada o componente. La notación convencional empleada determina que la pareja
ordenada con primera componente x y segunda componente y se escribe ( x, y) .
Una observación pertinente para hacer es que la pareja ordenada ( x, y) es diferente del
conjunto x, ydebido a que un conjunto se define por los elementos que lo componen
mientras que en la pareja ordenada el orden hace parte de la definición. Por ejemplo
x, y  y, x porque tienen los mismos elementos; mientras que ( x, y)  ( y, x) si x  y
porque aunque tienen los mismos elementos difieren en el orden. De la observación
anterior se obtiene que ( x, y)  (w, z) si y solamente si ( x  w) y ( y  z ) (evidentemente
en la misma posición relativa dentro de la pareja).
Kazimierz Kuratowski (1896,1980) planteó la siguiente definición para pareja ordenada:
30
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
Definición 1: El conjunto
x, x, y se
ordenada con primera componente
x
designará por x, y  y se llamara la pareja
y segunda componente y .
Para el concepto de función, como ya se mencionó es fundamental el concepto de
producto cartesiano entre dos conjuntos.
Definición 2: Se denomina conjunto producto cartesiano entre el conjunto A y el
conjunto B al que contiene todas las posibles parejas ordenadas que pueden formarse
tomando su primera componente en el conjunto A y su segunda en el conjunto B , es
decir Para cualesquiera dos conjuntos
A, B se tiene que el producto cartesiano
A  B  ( x, y) / x  A y y  B .
Con esta definición ahora es fácil definir el concepto de relación entre dos conjuntos.
Definición 3: Una relación R de A en B es cualquier subconjunto del producto
cartesiano entre A y B , esto es R  A  B . Si la pareja ordenada ( x, y) pertenece a la
relación R entonces se dice que x esta relacionado con y mediante R y usualmente se
escribe xRy ó R( x, y) . Comunmente al conjunto A se le llama conjunto de salida y a B
conjunto de llegada. Otros nombres usuales para A y B son dominio y codomínio de la
relación.
Estamos entonces listos para dar la definición del concepto de función.
Definición 4: Una función es una relación en la cual no existen dos o más parejas
distintas con la misma primera componente, es decir, f es una función, si y solo si f es
una relación y para todo x, y, z , si ( x, y)  f y ( x, z )  f entonces y  z .
En la definición anterior si se recolectan en un conjunto las primeras componentes se
tendrá el dominio de f , y si se recolectan las segundas se tendrá lo que se llama el
rango de f .
Definición 5: se llama recorrido o rango de una función f al conjunto de las segundas
componentes de las parejas ordenadas de f ; se denota por R( f ) . Y es subconjunto
del conjunto de llegada antes mencionado.
Sin embargo en la definición de función generalmente se establecen de antemano el
conjunto de salida y el de llegada. Tenemos entonces:
Definición 6: Una función f de un conjunto A en un conjunto B es un subconjunto del
producto cartesiano A B con la condición de que para todo x  A existen y, z  B de
tal manera que si la pareja ( x, y)  f y ( x, z)  f entonces y  z
Capítulo 2: Aspectos Disciplinares
31
En resumen, dados dos conjuntos A y B , una función f de A en B que se nota
f : A
 B es una relación en la que todo elemento de A esta relacionado por f con
un único elemento de B . El conjunto A se llama dominio de f y el conjunto B
codomínio de
f . Usualmente al único elemento y  B relacionado con algún elemento
x  A se nota f (x) . De esta forma es habitual escribir y  f (x) en lugar de ( x, y)  f . Es
también común mencionar que y es la imagen de x , o que f (x) es la imagen de x , o
que el valor tomado por f en x es f (x) .
Las formas convencionales para notar una función de A en B además de f : A 
 B
son:
f

B
1. A 
f : A  B,
2.
x  f ( x)
Debido entre otras cosas al nivel de complejidad, el carácter abstracto y el lenguaje
simbólico empleado, la definición dada anteriormente para función resulta inconveniente
para el desarrollo del concepto en la educación básica. Se hace necesario entonces
adecuar este concepto y buscar una definición pertinente al nivel de estudiantes de
grados 8 y 9 con edades entre 12 y 16 años. El planteamiento que se hace en adelante
busca responder ¿Qué es función? en términos e ideas claras, entendibles, posibles de
emplear pero con cierta rigurosidad que permitan tal logro. Como se anotó en el capítulo
anterior la definición de este concepto ha tenido un desarrollo histórico ligado a las
necesidades de cada época; estas serán parte de las directrices utilizadas para
responder a la pregunta.
Las diferentes definiciones dadas al concepto de función a través de la historia han
cambiado producto del interés y solución de problemas de las ciencias como la física. La
evolución de las definiciones creó una tensión entre formalismo y utilidad debido a que
plantear definiciones bastante intuitivas provenientes de tales problemas carecen de
formalidad, plantear definiciones con alto nivel de formalismo y consistencia alejan tal
definición de utilidad frente al problema por hacerse más generales.
Los problemas estudiados que aportan al desarrollo del concepto de función
generalmente tratan de relaciones entre magnitudes, estas al ser abordadas
numéricamente permiten la identificación de correspondencias. Desde este punto de
vista plantear situaciones que en el trasfondo encierren relaciones de dependencia
entre magnitudes o cantidades brinda una aproximación a la noción de función.
Entre estas situaciones se encuentran:
La temperatura y presión de un gas; desplazamiento y presión de un émbolo; elongación
y tiempo de un péndulo; posición y tiempo de un móvil, son ejemplos entre muchas
opciones. Aunque de acuerdo a la amplísima aplicación de las funciones también son
32
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
empleadas en la modelación de situaciones geográficas, económicas, biológicas,
estadísticas, etc.
Estas relaciones de interdependencia llevan implícito el concepto de variable y de
función. Para el tema central del presente trabajo, función lineal, se pueden mencionar
situaciones de dependencia entre magnitudes como: 1. la distancia d recorrida en un
tiempo t. 2. Un movimiento uniformemente acelerado donde el tiempo y la velocidad son
variables; y la segunda depende del primero. 3. La ley de Ohm que relaciona la
intensidad (I), resistencia (R) y voltaje (V) mediante la ecuación V  R  I . Todas estas
expresiones que evidencian dependencia entre magnitudes de la física son posibles de
generalizar bajo la expresión y  m  x (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, Funciones
y Gráficas, 1996).
Al indagar sobre las primeras definiciones dadas para el concepto de función que
aparecen en textos; el libro Funciones y Gráficas (1996) las clasifica en 5 definiciones
cuyo orden cronológico es el siguiente:
1. Si existe una correspondencia entre los valores de una variable independiente x y
otra variable y, dependiente de aquella, de tal modo que a cada valor de x
corresponde un valor de y, se dice que y es función de x (Rey Pastor-Puig Adam,
1938.)
2. Sea C un subconjunto del producto cartesiano A x B, diremos que C define una
función entre los conjuntos A y B si a cada elemento de A se le asigna aquel o
aquellos elementos de B que formen un par con él en uno de los elementos de C
(Ediciones SM, 1967.)
3. Una relación entre dos conjuntos A y B se dice que es una aplicación cuando a
todo elemento de A le corresponde un elemento de B y sólo uno. Una aplicación
de un conjunto numérico en otro se denomina función (Marcos de Lanuza, 1970.)
4. En general diremos que y es función de x y lo escribiremos y = f(x) cuando, para x
variable en un determinado conjunto, a cada valor de x le corresponde un solo
valor de y; los valores de y constituyen otro conjunto. A y se le da el nombre de
variable dependiente, porque depende de los valores que toma la x: en cambio x
es la variable independiente (Lombardo Radice-Mancini Proia, 1977)
5. La característica esencial de una función o aplicación es la dependencia entre dos
variables. Una función o aplicación está formada por:
a) Conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.
b) Conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente.
c) Regla que asigna a cada elemento del conjunto de salida uno y sólo uno del
conjunto de llegada (Grup Zero. 1981.)
Estas definiciones tienen como características generales presentar el concepto de
función desde las nociones de: correspondencia entre valores variables, dependencia
Capítulo 2: Aspectos Disciplinares
33
entre variables, correspondencia entre elementos de conjuntos y conjunto de pares
ordenados, lo cual coincide globalmente con la evolución histórica del concepto de
función presentada en el capitulo 1.
Considero la definición mas adecuada, con lenguaje formal pero manejable por parte de
los estudiantes y sobretodo aplicable al trabajo de aula en grados 8 y 9 la que aparece en
el texto Teoría de Conjuntos y Temas Afines escrito por Seymour Lipschutz que es la
siguiente:
Si a cada elemento de un conjunto A se le hace corresponder de algún modo un
elemento único de un conjunto B, se dice que esta correspondencia es una
función. Denotando esta correspondencia por f, se escribe f : A 
 B
que se lee “f es una función de A en B” el conjunto A se llama dominio de
definición de la función f , y B se llama codomínio de f . Por otra parte si a  A ,
el elemento de B que le corresponde a a se llama imagen de a y se denota por
f (a) que se lee “f de a” (Lipschutz, 1964).
El sentido que tiene la correspondencia ya sea entre números, variables o magnitudes
está dado por la idea de vincular dos de estos elementos de acuerdo con un criterio
específico de asignación. En la cotidianidad se tienen situaciones como: a cada persona
le corresponde un documento de identificación, a cada auto le corresponde una matricula
(placa), a cada predio de corresponde una dirección, etc. Que son ejemplos de
funciones. Identificar la correspondencia entre los dos elementos que están relacionados
permite ordenar información, analizarla y establecer procesos de predicción.
En la noción de correspondencia queda implícita la idea de fijar una regla que se asuma
como criterio para realizar la asignación entre los elementos a vincular. Esta regla es el
sustento de las regularidades que observan los estudiantes que son las que permiten el
proceso de predicción o extrapolación en las situaciones alrededor de las funciones
planteadas. Por ejemplo si un banco fija una tasa de interés para sus préstamos a cada
capital prestado le corresponde un monto de intereses, esta correspondencia entre
capital e intereses o cada par de valores vinculados en cualquier otra situación se
expresa mediante la determinación de pares ordenados en los que la primera y segunda
componentes satisfacen la regla dada. (Barnett, Ziegler, & Byleen, 2000). Es imposible
definir todas las correspondencias por medio de reglas absolutas o universales. Por
ejemplo “a cada niño le corresponde una madre” es una correspondencia en la que la
tarea de obtener una reglas de asignación o fórmula no tendría éxito, en consecuencia
toda regla establece una correspondencia, pero no toda correspondencia puede
expresarse mediante una regla.
Finalmente, los elementos que se hacen corresponder son cantidades o números
provenientes de cada una de las situaciones susceptibles de ser analizadas; en las que
la regla puede ser dada mediante una fórmula o ecuación. Sin embargo es pertinente
34
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
aclarar que como tal la ecuación o fórmula no es la función, de hecho, no toda función
puede ser expresada por una fórmula así como no toda fórmula define o es una función.
Casos como la circunferencia y su fórmula x 2  y 2  r 2 o una parábola horizontal de
fórmula o ecuación y 2  x son ejemplos de fórmulas que no definen funciones,
simplemente la ecuación o fórmula puede dar origen a una función y permite tener en
este caso una versión “analítica” de la correspondencia. La noción de correspondencia
permite elaborar las representaciones de relaciones y funciones por medio de pares
ordenados, diagrama sagital, ecuación o regla y gráfica o plano cartesiano.
Después de todo lo anterior puede decirse que responder la pregunta ¿Qué es una
función? requiere para su respuesta considerar el nivel académico o escolar de quien
hace la pregunta, no se trata solamente de dar una visión simplista como “una ley que
regula la dependencia entre cantidades u objetos variables” (Azcárate Giménez &
Deulofeu Piquet, Funciones y Gráficas, 1996), porque como ya se evidencio son varias
las nociones, ideas, conceptos y requisitos en general que se necesitan tanto para
definirla como para su proceso de enseñanza-aprendizaje.
2.1.1 Notaciones y representaciones de función
De acuerdo con la definición de función que se tomó para el presente trabajo cuando se
trata de funciones entre números reales es usual que se emplee la notación de función
así:
f :RR
x  y  f (x)
Es también común encontrar la notación de conjunto para una función de esta forma:
f  ( x, y) / y  f ( x), x  R, y  R
En algunos textos se presenta la noción de “transformación” para el concepto de función
haciendo una analogía con una máquina: una función puede considerarse como un
artefacto que transforma valores, el cual al ser alimentado con un número lo transforma
en otro. En la gráfica se muestra esta analogía
x
f
f (x)
Gráfica 7. Analogía de la noción de función como transformación con una maquina
Capítulo 2: Aspectos Disciplinares
35
En general, las distintas formas de notar una función están asociadas a la noción o idea
de las que parten ya sea correspondencia, transformación, dependencia, aplicación. Por
otro lado, las funciones pueden ser representadas de múltiples formas10 cada una de
ellas favorece una noción, característica o elemento particular del concepto de función.
Una función puede tener múltiples representaciones, entre ellas se encuentran:
diagramas sagitales, conjunto de pares ordenados, tablas, ecuaciones o fórmulas,
diagramas de coordenadas (plano cartesiano). Tradicionalmente se han privilegiado las
últimas tres.
2.1.2 Diagramas sagitales
La representación de una función mediante un diagrama sagital necesita de la
determinación de dos conjuntos A y B así como de su representación en diagramas de
Venn, usualmente el primer conjunto A es el dominio y es el conjunto de salida, B es el
codomínio llamado también conjunto de llegada. Los elementos de B que son
“compañeros” de algún elemento de A un subconjunto B llamado Rango de la función o
conjunto de imágenes. Cada elemento del conjunto de salida se vincula mediante una
flecha con un elemento del conjunto de llegada. De esta manera se establece la función
entre los dos conjuntos mediante la correspondencia establecida. Para esta
representación si los conjuntos a trabajar son infinitos ante la imposibilidad de escribir
todos los elementos se deben tomar algunos. La gráfica 7 muestra una función
representada por medio de diagrama sagital.
f
A

B
0.
1.
.0
.1
.2
.3
2.
3.
4.
.4
Rango
(Conjunto de
imágenes)
.5
.6
.
.7
.8
.
DOMINIO
(Conjunto de salida)
CODOMINIO
(Conjunto de llegada)
Gráfica 8. Diagrama sagital de una función entre los conjuntos A y B
10
En el siguiente capitulo se analiza las implicaciones didácticas asociadas a estas
representaciones y demás aspectos pedagógicos concernientes a la representación de funciones.
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
36
2.1.3 Conjunto de pares ordenados
En esta representación se hace explícita una a una cada pareja ordenada ( x, y ) de la
función. La primera componente pertenece al conjunto de salida o dominio y la segunda
componente pertenece al de llegada o codomínio y es el valor el valor de la función en
“ x ” o f (x) y las parejas ordenadas serian entonces de la forma ( x, f ( x)) . Al igual que
con el diagrama sagital los conjuntos infinitos quedan representados de forma parcial por
algunos elementos únicamente; de ahí que sea necesario hacer la expresión del conjunto
de parejas por comprensión por ejemplo f  {( x, y)  R 2 , y  x 3 } , mientras que las
funciones entre conjuntos finitos son posibles de representar por completo si no son muy
grandes. Por ejemplo a continuación se muestra una función entre conjuntos finitos
representada como conjunto de parejas ordenadas por extensión.
EJEMPLO
f  (0,0)(1,2)(2,4)(3,6)(4,8)(5,10)
1.
En este caso el dominio de la función f
es el conjunto D( f )  {0,1,2,3,4,5} y el codomínio Cod ( f )  {0,2,3,6,8,10}
2.1.4 Tablas
Esta forma de representar, mostrar y expresar funciones fue la primera conocida por el
hombre. En la cotidianidad es una de las formas naturales y más útiles que se tiene para
la organización de datos de estudios, prácticas experimentales, etc. En ella se ordena la
información para presentar la correspondencia entre cantidades en dos filas o columnas;
la primera corresponde al conjunto de salida y la segunda al de llegada. Esta
representación de relaciones funcionales tiene las mismas restricciones presentadas
para los diagramas sagitales y pares ordenados con respecto al manejo de los conjuntos
finitos e infinitos. Una de las ventajas que presenta elaborar tablas es que: “permite
descubrir regularidades como son diferencias constantes, diferencias que crecen (o
decrecen) regularmente, productos o cocientes constantes, etc.” (Azcárate Giménez &
Deulofeu Piquet, 1996). Así el poder evidenciar la variación entre las cantidades del
conjunto de imágenes posibilita la formulación de un modelo matemático11. La
representación de la función f ( x)  2 x empleando el registro tabular se muestra en la
tabla 4.
11
Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de
las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta
fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático
es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.
Capítulo 2: Aspectos Disciplinares
x
y  f ( x)  2 x
3
2
2
4

1
1
2
37
1
2
2
2

0
1
1
2
2
1
3
2
2
5
2
2
2 2
4
4 2
x
Tabla 5. Representación en una tabla de algunos valores que satisfacen la función y = f(x) =2 .
2.1.5 Plano Cartesiano
Gráfica 9. plano cartesiano, tomado de www.elplanocartesiano-fernando.blogspot.com/2011/09/e.html
Se forma al trazar dos rectas numéricas reales una horizontal y otra vertical llamadas
ejes formando cuatro ángulos rectos. El punto donde se cruzan los dos ejes recibe el
nombre de origen del sistema y se representa con 0, usualmente de este punto hacia la
derecha y arriba se consideran las direcciones positivas y abajo e izquierda negativas; el
eje horizontal denominado de las abscisas se conoce como eje x, el eje vertical
denominado de las ordenadas se conoce como eje y. De esta manera se hace
corresponder cada componente de una pareja ordenada con los ejes así: la primera
componente con el eje x y la segunda con el eje y.
Cada punto P del plano cartesiano se representa por medio de una pareja ordenada de
números reales (x,y) llamados coordenadas del punto P. La que la primera componente
representa la distancia medida sobre el eje horizontal desde el origen hasta el punto P,
esta es la abscisa. La segunda componente llamada ordenada representa la distancia
medida sobre el eje vertical desde el origen al punto P.
Si en el punto P con coordenadas ( x, y) x  0 y y  0 entonces P se ubica en el primer
cuadrante, si x  0 y y  0 entonces P se ubica en el segundo cuadrante, si x  0 y
y  0 entonces P se ubica en el tercer cuadrante, si x  0 y y  0 entonces P se ubica
en el cuarto cuadrante, si x  0 y y  0 entonces P es el origen. Dos parejas ordenadas
38
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
( x, y) y ( x1 , y1 ) representan el mismo puntos si y solo si x  x1 y y  y1 . En la gráfica 8 se
muestra un plano cartesiano con la indicación de los cuadrantes y la ubicación de las
parejas ordenadas según las condiciones dadas.
2.1.6 Ecuaciones y fórmulas
Es la forma de representar una función por medio de una expresión escrita en la que se
explicita la relación entre las variables, esta expresión analítica puede ser algebraica
(polinómica) o no y, corresponde a la regla de correspondencia o dependencia entre
cantidades o magnitudes. Las dos formas que más se emplean son:

y  ax n  bx m ...

f ( x)  ax n  bx m ...
Con estas tres ultimas representaciones se forma una triada que está mutuamente
vinculada; así cada ecuación genera una y solo una gráfica cartesiana que se
corresponde unívocamente con un conjunto de parejas ordenadas, pero a su vez una
ecuación produce un conjunto de parejas ordenadas posibles de disponer parcialmente
en una tabla que a su vez origina una y solo una gráfica cartesiana.
2.2 Función lineal
Una función lineal tiene la expresión analítica y  f ( x)  mx  b , Donde
m
y
b son
números reales y m  0 .
m es la pendiente o razón de cambio de y
con respecto a
x
y, b es la intersección
de la gráfica con el eje vertical.
2.2.1 Gráfica de una función lineal
La gráfica de una función lineal se considera como la representación geométrica de la
misma, es importante debido a la posibilidad de análisis y la observación de atributos de
la función como son la pendiente (inclinación) e interceptos con los ejes.
Para realizarla se establece una correspondencia del producto cartesiano entre números
reales     ( x, y) / x  , y   y los puntos del plano cartesiano; de tal manera que
a cada elemento de
   cuya forma es ( x, y) se le asigna un punto P del plano
cartesiano, entonces los valores de la abscisa y la ordenada del punto P son
respectivamente x y y .
Capítulo 2: Aspectos Disciplinares
39
Como en una función lineal se tiene que y  mx  b se obtiene que las componentes o
coordenadas de las parejas ordenadas ( x, y) de una función lineal son x y mx  b es
decir de la forma ( x, mx  b) siendo estas subconjunto de    . Se sabe por geometría
plana que por dos puntos P1 : ( x1 , mx1  b) y P2 : ( x2 , mx2  b) pasa una sola recta.
Cualquier otro punto Pn que pertenezca a la recta y por tanto a la función tiene
coordenadas Pn : ( xn , mxn  b) En la gráfica 9 se muestra la ubicación de algunos puntos
de una función lineal de forma generalizada.
EJE
Y
P1=(x1 , mx1+b)
P2=(x2 , mx2+b)
P3=(x3 , mx3+b)
P4=(x4 , mx4+b)
P5=(x5 , mx5+b)
EJE X
Gráfica 10. Gráfica cartesiana de una función lineal mostrando parejas ordenadas que la componen.
2.2.2 Pendiente
La inclinación de una recta esté o no graficada en un plano cartesiano es un atributo
posible de ser caracterizado y determinado desde naciones primitivas producto de
experiencias vividas o la sola intuición producto de la observación, dicho atributo es la
pendiente o razón de cambio de la función lineal; la cual se entiende como la razón entre
la elevación y el avance.
m
elevación
avance
40
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
Esto es posible de interpretarse de por lo menos 2 formas, como la variación vertical por
unidad de cambio horizontal o en términos generales el cambio vertical sobre el cambio
horizontal.
m
cambio vertical
cambio horizontal
Tanto el cambio vertical como el horizontal son posibles de calcular mediante la
diferencia entre las componentes respectivas de dos puntos o parejas ordenadas de la
forma (a, f (a)) (b, f (b)) pertenecientes a la función.
El cambio horizontal se calcula mediante la diferencia entre las primeras componentes de
cada punto, usualmente esta diferencia se nota y calcula mediante x  x 2  x1  b  a , el
cambio vertical se calcularía mediante la diferencia entre las segundas componentes de
cada punto, usualmente esta diferencia se nota y calcula: y  y 2  y1  f (b)  f (a) , por lo
tanto la pendiente es posible de calcular mediante la fórmula siguiente:
y f (b)  f (a)
. Este cociente de diferencias es de notable importancia en el
m

x
ba
estudio del cálculo, solo se menciona pues no es tema del presente trabajo.
f (b)
(b, f (b))
y
x
f (a)
(a, f (a))
a
b
Gráfica 11 . Gráfica ilustrativa de los incrementos horizontal y vertical de a, b, f(a) y f(b)
Concluyendo, la pendiente permite determinar si una función es lineal ya que tiene como
propiedad que las diferencias entre los valores de la variable y (dependiente) son
constantes para iguales diferencias de la variable x (independiente).
Se tiene que si m<0 se obtiene una recta cuya inclinación es también negativa y su
gráfica es decreciente, por el contrario si m>0 entonces la recta tiene inclinación positiva
y su gráfica es creciente.
Capítulo 2: Aspectos Disciplinares
41
2.2.3 Interceptos
Una recta ubicada en un sistema de coordenadas cartesianas tiene como una de sus
características que si m  0 entonces la recta corta o interseca al eje vertical y al
horizontal, es decir al eje Y y eje X respectivamente; a cada uno de estos dos interceptos
se denomina y-intercepto y x-intercepto.
2.2.4 y-intercepto
El cruce entre el eje vertical y la gráfica de una función lineal determina el punto (0,f(x))
que pertenece a esa función.
En la función lineal de forma y  f ( x)  mx  b se tiene que si x  0 entonces
y  f (0)  m  0  b , es decir
y  f (0)  b lo que significa que la pareja (0, b) esta en
la recta que representa a la función y que justamente el valor de b es el y-intercepto.
2.2.5 x-intercepto
El cruce entre el eje horizontal y la gráfica de una función lineal determina el punto (x,0)
que pertenece a la función.
En la función lineal de forma y  f ( x)  mx  b se tiene que si y  0 entonces
y  f ( x)  0  mx  b , es decir x   b lo que significa que la pareja (  b ,0) esta en
m
m
b
la recta que representa a la función y que justamente el valor de
es el x-intercepto.
m
2.2.6 El álgebra lineal y la función lineal y afín
Una de las características principales por las que se reconoce una función lineal es la
forma que toma al ser graficada en el plano cartesiano. Sin embargo esta forma de
caracterizarla produce una ambigüedad, debido a que tanto la expresión y  f ( x)  mx
como la expresión y  f ( x)  mx  b tienen como gráfica cartesiana asociada una línea
recta. Es decir a veces una función lineal tiene la forma:
f :RR
x  y  mx  b
42
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
Y a veces tiene la forma:
f :RR
x  y  mx
Caso particular del anterior; a la primera definición se le llama con frecuencia función
afín.
La ambigüedad descrita se presenta en diversos textos tanto de nivel básico, técnico o
profesional. El concepto de función lineal se presenta en algunos como una función cuya
gráfica es una línea recta (cualquiera), en otros, como casos particulares de rectas que
pasan por el origen.
Se tiene en Cálculo de Hughes Hallett, Gleason, & al., (1997) que se define la función
lineal como aquella que tiene forma y  f ( x)  b  mx se aclara que su gráfica es una
línea con las condiciones de que m es la pendiente o razón de cambio y b es la
intersección vertical. En el mismo texto se distingue la proporcionalidad como caso
particular de la función lineal definiendo que si y es directamente proporcional se
cumple que y  k  x . En El Cálculo de Louis Leithold (1998) se define análogamente la
función lineal y además hace explicito el caso de una función lineal particular f ( x)  x
planteando ser llamada identidad. En Cálculo y Geometría Analítica de Larson,
Hostetler, & Edwards (1999) se trabaja la recta presentando diferentes elementos y
formas analíticas de mostrarse, no se menciona en el apartado la palabra función y se
emplea: ecuación lineal. En el texto Cálculo de Tom Apóstol (1988, pág. 66) se
menciona: “una función g definida para todo real x mediante una fórmula de la forma
g ( x)  ax  b se llama función lineal porque su gráfica es una recta. El número b es la
ordenada en el origen, es la coordenada y del punto (0, b) en el que la recta corta al
eje y . El número a es la pendiente de la recta” (Apostol, 1988, p. 66).
Como se observa, en este texto la función lineal aparece argumentada desde la
obtención de una recta como gráfica y se distinguen dos atributos principales: el corte
con el eje y , y la pendiente, sin embargo no se definen estos dos conceptos. Así pues
en este documento no aparece mencionada la llamada función afín.
En la pagina www.wikipedia.org consultada ampliamente por estudiantes de secundaria
se plantea la definición de la función lineal desde dos elementos principalmente: 1. su
expresión algebraica representa un polinomio de primer grado y 2. Su representación
gráfica cartesiana es una recta: “una función lineal es una función polinómica de primer
grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea
recta.” Sin embrago esta definición no puntualiza ni desambigua el concepto, de hecho
en los párrafos siguientes menciona: “Algunos autores llaman función lineal a aquella
con b = 0 de la forma: f ( x)  mx mientras que llaman función afín a la que tiene la
Capítulo 2: Aspectos Disciplinares
43
forma: f ( x)  mx  b cuando b es distinto de cero” dejando abierta la opción de aceptar
o no tal clasificación.
El tratamiento dado al concepto de función lineal difiere de textos a textos; ninguno de
ellos aporta significativamente a desambiguar función lineal y función afín. Con el
propósito de dar argumentos claros que brinden claridad respecto a esta situación es
necesario recurrir al tratamiento que se hace del tema en el álgebra lineal.
La confusión tiene su origen en la no distinción de función lineal y transformación lineal;
concepto este último que en el álgebra lineal está muy claramente definido. En el
álgebra lineal se emplea el concepto de Transformación Lineal. Como noción o
preconcepto de “anclaje” se utiliza el concepto de función, al dar una explicación se dice
que una clase importante y especial de funciones entre espacios vectoriales se llaman
“Transformaciones Lineales”, que tienen su mayor campo de aplicación en computación y
geometría de fractales. En el libro Álgebra Lineal de Stanley l Grossman (1996) se define
transformación lineal como sigue:
Definición 7. Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de
V en W es una función que asigna a cada vector v  V un vector único Tv  W y que
satisface, para cada u y v en V y cada escalar  .
1. T (u  v)  Tu  Tv
y
2. T (v)  T (v)
En esta definición la primera condición implica que la transformación de una suma es la
suma de las transformaciones. La segunda condición que la transformación de un escalar
por un vector es igual que el escalar por la transformación de un vector. A partir de la
definición dada para trasformación lineal se empieza a elaborar la aclaración de la
ambigüedad presente en varios textos entre función lineal y función afín. En el texto de
Grossman aparece con precisión tal confusión plenamente aclarada.
No toda transformación que se ve lineal es en realidad lineal. Por
T :    por Tx  2 x  3 . Entonces la gráfica de
ejemplo, defina
{( x, Tx) : x  } es una línea recta en el plano xy ; pero T no es lineal por
y
T ( x  y)  2( x  y)  3  2 x  2 y  3
Tx  Ty  2 x  3  2 y  3  2 x  2 y  6 . Las únicas transformaciones lineales de
que
 en  son función es de la forma f ( x)  mx para algún número real m . Así,
entre todas las funciones cuyas gráficas son rectas, las únicas que son lineales
son aquellas que pasan por el origen. En álgebra y cálculo una función lineal con
dominio  esta definida como una función que tiene la forma f ( x)  mx  b .
[Como ya se había definido en el presente trabajo] Así se puede decir que una
44
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
función lineal es una transformación de  en  si y solo si b (la ordenada al
origen) es cero (Grossman, 1996).
Así pues queda establecido el origen de la ambigüedad y su clarificación. Desde este
punto de vista al momento de la intervención pedagógica para el proceso enseñanzaaprendizaje del concepto de función lineal es posible decidir claramente cual definición
escoger.
2.2.7 Función lineal y proporcionalidad
Uno de los elementos conceptuales implícitos en el concepto de función lineal es el de
proporcionalidad directa. En el estudio de la proporcionalidad hay algunos elementos que
no se definen ni desarrollan y que se dan por sentados, son ellos razón, proporción y
solución de problemas de proporcionalidad. Para el tema del presente trabajo resulta
importante aclarar el significado de que una magnitud sea proporcionalmente directa a
otra.
Entre los elementos que dan claridad a esta última frase se encuentran los expuestos por
María Luisa Fiol y Josep fortuny en el texto Proporcionalidad directa, la forma y el número
(1990) que son una buena presentación de aspectos comunes entre la proporcionalidad
directa y la función lineal.
Los términos de razón, proporción y proporcionalidad adquieren un significado
unificado con la noción de función lineal. Esta noción es un modelo que sintetiza
diversos lenguajes, situaciones, expresiones y fenómenos. La función lineal
puede considerarse como la matematización de las nociones cotidianas y
utilitarias de la proporcionalidad.
La función lineal representa la estructura de la proporcionalidad, sirve para
visualizar los diferentes estados de variación, es decir expresa su comportamiento
cualitativo.
La función lineal tiene su origen en el punto de vista geométrico de la
proporcionalidad cuyo esquema grafico base corresponde al esquema PROP12.
Se comprueba que la transformación multiplicativa (multiplicar por una constante)
12
El esquema PROP corresponde al clásico diagrama de dos rectas paralelas y un haz de rayos
que parten del mismo punto.
Capítulo 2: Aspectos Disciplinares
45
así como también la comparación de rectángulos semejantes se pueden expresar
de esta forma.
La proporcionalidad entre dos magnitudes puede interpretarse bajo el concepto de
función como una cantidad variable que depende de otra cantidad variable (Fiol &
Fortuny, 1990).
La representación cartesiana de la proporcionalidad origina una serie de puntos
colineales de tal forma que tal función es lineal. De hecho dos medidas de dos
magnitudes directamente proporcionales tienen asociada una expresión de la forma
y  k  x en la que el valor de k es la constante de proporcionalidad y la ecuación
coincide con la de una función lineal. Esta fórmula origina pares de números de la forma
( y, x) que cumplen:
1.
y
y1 y 2 y3


 ...  n  k
x1 x2 x3
xn
2. La pareja ordenada (0,0) aparece en toda expresión de proporcionalidad, por ello
la gráfica siempre pasa por el origen del sistema.
3.
f ( k  x )  k  f ( x)
4.
f ( x1  x2 )  f ( x1 )  f ( x2 )
Las características 3 y 4 se mostraron en el apartado anterior como propiedades
fundamentales de las funciones lineales, de esta forma se muestra la relación existente
entre la proporcionalidad directa y la función lineal.
3. Aspectos Pedagógicos
3.1 El Aprendizaje del concepto de Función lineal
Algunas investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de la función han
evidenciado que existen dificultades relacionadas principalmente con las
representaciones y el significado de los atributos (coeficientes), por ejemplo: Azcárate
(1992-1996), Sierpinska (1985-1988), Ruiz (1998) han manifestado que tradicionalmente
en la escuela los maestros centran su interés en mostrar el aspecto algebraico del
concepto dejando de lado en muchas ocasiones un análisis profundo y detallado sobre
los elementos propios que permitan consolidar un concepto con suficiente significado
para ser aprendido convenientemente. Consecuencia de esto es que los estudiantes en
muchos casos terminan teniendo la posibilidad de repetir rutinas sobre objetos
algebraicos que poco sentido tienen para ellos.
En el libro Hacia la noción de función como dependencia y patrones de la función lineal
(1997) los autores resaltan la importancia de los diferentes tipos de representaciones de
las funciones en el proceso enseñanza aprendizaje; “distintas investigaciones han
determinado que las representaciones asociadas al concepto [de función] ponen de
relieve diferentes aspectos, así como distintos objetos que le subyacen” (García,
Serrano, & Espitia, 1997, p. 3). Las implicaciones didácticas son inmediatas debido a que
de acuerdo al interés de la intervención pedagógica una u otra representación potencia
una u otra noción relacionada con el concepto de función. Por lo tanto al diseñar y
ejecutar una secuencia didáctica para el aprendizaje de la función lineal como es el caso
del presente trabajo se deben tener en cuenta diferentes tipos de representación de este
concepto, como lo menciona García et al “el privilegio de un único sistema de
representación crea significaciones restringidas del concepto, y oculta la riqueza
y complejidad de su noción como objeto matemático” (García, Serrano, & Espitia,
1997, p. 3).
Es evidente que existe gran diferencia
entre el objeto matemático y sus
representaciones asociadas; estas pueden ser empleadas como “camino” para llegar al
objeto. De no presentarse distinción entre objeto matemático y representación puede
caerse en la situación de que dicha representación limite el concepto al contexto en el
48
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
que fue producido y obstaculice la extrapolación de la misma o aplicación fuera en otros
contextos.
Con relación al desarrollo del concepto de función así como sus representaciones y el
paso de una a otra es interesante el análisis de Anna Sfard sobre la reificación la cual
expone como "el acto de creación de entidades abstractas adecuadas" (Sfard,
2009, p. 52) lo cual está en correspondencia con el significado etimológico: convertir una
abstracción en un objeto concreto (considerar el concepto abstracto como si fuese algo
concreto o físicamente existente). Desde la teoría de Sfard existen dos formas para la
concepción de la función: procedimental u operacional y estructural o conceptual; (Sfard,
2009, p.53) “interpretar una noción como un proceso implica manejarlo de una manera
potencial más que como una entidad real, que adquiere existencia como elemento de
una sucesión de acciones… ver una noción como “objeto” significa ser capaz de
reconocer la idea “de un vistazo” y manipularla como un todo, sin reparar en los
detalles...” (Sfard, 2009, p. 53). La transición desde la concepción “proceso” a la
concepción “objeto” es lenta y difícil. En el escenario de las funciones lineales y en sus
representaciones asociadas las acciones concretas de construcción de representaciones,
análisis de las mismas, paso de una a otra así como el abordaje del concepto desde
diversas nociones (dependencia, correspondencia, transformación, etc.) aportan
significativamente en el paso de “proceso” a “objeto” de la función lineal.
La importancia de las representaciones radica en que la capacidad de reconocerlas e
interpretarlas es una de las formas que tiene el ser humano de adquirir un concepto.
Generalmente los conceptos matemáticos no están aislados; por el contrario tienen una
red de nociones y elementos interrelacionados que en conjunto “forman” el concepto. Las
representaciones asociadas al concepto de función lineal que hacen parte del presente
trabajo y “que permiten expresar un fenómeno de cambio, una dependencia entre
variables” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, Funciones y Gráficas, 1996, p. 61-62)
son las que se mencionan a continuación.
1. Modelo físico o simulación: es el lenguaje más cercano, menos simbólico y que
aparece inmediato al realizar un experimento o una simulación en computador.
2. Descripción verbal: utiliza lenguaje común para hacer una descripción generalmente
cualitativa.
3. Tabla de valores: presenta una visión cuantitativa, interpretable desde la
correspondencia, se identifican los pares ordenados, es parcial debido a la
imposibilidad de mostrar la totalidad de datos.
4. Gráfica: da una visión global y completa de la función a nivel cualitativo como
cuantitativo, permite la generación de modelos, posibilita “ver” características de
variación, crecimiento, continuidad, concavidad, máximos, mínimos, periodicidad,
cambio, etc.
5. Fórmula o ecuación: brinda una visión cuantitativa y cualitativa general de la función,
también permite observar las características de variación, crecimiento, continuidad,
Capítulo 3: Aspectos Pedagógicos
concavidad,
algebraicos.
máximos,
49
mínimos,
periodicidad,
cambio
empleando
métodos
Estas dos últimas representaciones son las de mayor abstracción y por tanto son las más
complejas, proporcionan más y mejor información que las anteriores. La representación
algebraica requiere del conocimiento de los símbolos empleados y el empleo de ellos
para interpretar conceptos abstractos, la ecuación permite la determinación de valores de
forma precisa y la gráfica por su lado da valores aproximados y permite la observación de
atributos de forma más intuitiva.
Como ya se dijo “el aprendizaje de las funciones [incluida la función lineal] pasa, en
primer lugar, por un conocimiento de cada uno de estos lenguajes de representación, es
decir, por la adquisición de la capacidad para leer e interpretar cada uno de ellos y
posteriormente para traducir de uno a otro” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet,
Funciones y Gráficas, 1996, p. 62-63). Cada una de las traducciones entre las
representaciones presupone una acción o procesos que aportan a la reificación del
concepto de función. A continuación se muestra en la tabla 5 el planteamiento que hace
Janvier (1978) sobre las acciones que se deben ejecutar para realizar el paso de una a
otra representación.
Hacia Descripción
Desde
verbal
Descripción
verbal
Tabla
Gráfica
Fórmula
Medida
Boceto
Modelo
-
Trazado
Ajuste
Tabla
Lectura
Gráfica
Interpretación Lectura
-
Ajuste
Fórmula
Interpretación Cómputo
Gráfica
-
Tabla 6. Traducciones entre las representaciones de función, Janver (1978) tomada del texto
Funciones y Gráficas.
Es tradicional que los ejercicios propuestos, tanto en textos, como por profesores en
ejercicio, sean del tipo: obtenga la gráfica de la ecuación y=2x+3. Este tipo de actividades
busca que el estudiante elabore de la ecuación una tabla y de ella una gráfica; lo cual
evidentemente privilegia únicamente dos acciones de las descritas en la tabla 5 Cómputo
y Trazado. La reiteración de este tipo de ejercicios desencadena aprendizajes
mecánicos sin mucha comprensión y poca interpretación, conduciendo al estudiante a
una serie de concepciones erróneas sobre el significado de la gráfica entre los que se
encuentran los relacionados con su lectura e interpretación.
50
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
Leer e interpretar una gráfica son acciones diferentes, mientras la lectura se refiere a
acciones como identificar variables, dar significado al origen, la unidad y la graduación de
los ejes, calcular valor de variables correspondientes, verificar si un punto pertenece o no
a la grafica, interpretar una gráfica exige tareas mas complejas encaminadas a interpretar
globalmente la función representada, variaciones que presenta, analizar variación por
intervalos y no por puntos.
Algunos de los procedimientos que aparecen en la tabla son difícilmente
abordables en un nivel introductorio, dado que precisan de un trabajo previo sobre
los modelos y un cierto dominio de los mismos, pero otros como la lectura y
construcción de tablas y la lectura e interpretación de gráficas son perfectamente
abordables y permiten una interesante introducción al concepto de función a partir
de situaciones reales, externas a las matemáticas, que sirven de soporte concreto
para la elaboración del concepto. (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet,
Funciones y Gráficas, 1996, p. 63)
En consecuencia resulta pertinente plantear tareas de paso de una a otra representación
en diferentes sentidos y por diferentes rutas sin privilegiar un único camino. Esas tareas
deben ser planteadas en contextos ricos de relaciones en las que los elementos de las
funciones analizadas cobren sentido y sean fáciles de comprender por el estudiante y
estén lejos de cualquier tipo de ejercicios rutinarios que no aporten al aprendizaje de la
función.
3.2 Comprensión y didáctica del concepto de función
lineal
La
literatura
coincide
en
varios
elementos
que
resultan
decisivos
para una profunda comprensión del concepto de función, los elementos más destacados
son:
1. Interpretación de funciones representadas por gráficas: Como ya se mencionó
potenciar el análisis global de la función extrayendo no solo información explicita
sino en análisis más complejos como variación y análisis de intervalos.
2. Descripción de situaciones, fórmulas y tablas: emplea el lenguaje verbal cotidiano
para enunciar propiedades, regularidades y observaciones propias de las
representaciones mencionadas y las diferentes relaciones que son posibles de
descubrir entre ellas.
3. Modelación de situaciones del mundo real: al observar la evolución histórica del
concepto de función se observó que en gran medida uno de los motores de ese
desarrollo fue la ciencia y las necesidades originadas por ella. Emplear este
recurso redunda en beneficio para el estudiante entre otras cosas debido a la
Capítulo 3: Aspectos Pedagógicos
51
naturalidad con la que surge la información del contexto, el sentido de los
elementos del modelo funcional en la situación; por ejemplo, para el caso de la
función lineal la pendiente, el y- intercepto y el x-intercepto.
4. Transferencia entre las múltiples representaciones de las funciones: sin caer en la
mecanización descrita en la que el tránsito se hace siempre en el mismo sentido y
por las mismas rutas o representaciones, planteando tareas en las que la
representación surja naturalmente como la mejor opción para presentar la
información obtenida.
5. Análisis de los efectos de cambio en los elementos de las gráficas de las
funciones. Para el caso particular de la función lineal lo elementos a considerar
son la pendiente y los interceptos y como estos de acuerdo al valor modifican la
gráfica. (Díaz Gómez, 2008)
De estas cinco observaciones se desprenden, entre otras, las siguientes ideas para la
enseñanza del concepto de función:
1. La propuesta de Sierpinska de introducir el concepto de función a través de
una definición informal, que coincide con la opinión de Sfard de no utilizar una
descripción estructural para introducir una nueva noción matemática. Es decir,
más que desarrollar el proceso enseñanza - aprendizaje con definiciones formales
que contienen elementos no familiares para el estudiante; es preferible iniciar por
aproximaciones que construyan nociones y elementos conceptuales que tenga el
papel dual de ser familiar al alumno y propendan por un desarrollo matemático
posterior.
2. Introducir el concepto de función lineal a través de problemas prácticos
de la vida real, para que el estudiante pueda asociar los elementos principales del
concepto con valores, cantidades o magnitudes de la situación o contexto.
3. Hacer un uso selectivo de las diversas formas de representación asociadas al
concepto de función lineal, siguiendo como norma la evolución histórica del
concepto de función, la utilidad y pertinencia de la forma de representación según
el contexto de desarrollo; ya que estas han tenido papel protagónico como
instrumento de cognición a lo largo de la historia, y según dice Sierpinska
(1991) proporcionan contextos matemáticos dentro de los cuales se
hacen relevantes niveles más profundos de la noción de función.
4. Brindar a estudiante tareas en las que lea, confronte, analice, describa, interprete
diferentes formas de representaciones, y transforme o convierta unas en otras,
como sugieren; Sierpinska y Janvier.
52
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
3.3 Modelación matemática
Una de las principales herramientas a utilizar en la propuesta didáctica del presente
trabajo consiste en la obtención de modelos lineales como elementos generalizadores y
soporte teórico matemático de las situaciones analizadas y prácticas experimentales
diseñadas. El carácter modelizador de la función lineal promueve un proceso más
dinámico. Para este trabajo modelo matemático se concibe como un elemento teórico simbólico producto de la interrelación de las representaciones tabla, gráfica y ecuación
de función y que permite hacer la descripción y análisis total del fenómeno o situación
que se estudia y que además posibilita realizar predicciones en torno a la situación.
La modelización matemática, sin embargo, puede ser vista como una práctica de
enseñanza que coloca la relación entre el mundo real y la matemática en el centro
de la enseñanza y el aprendizaje, y esto es relevante para cualquier nivel de
enseñanza. Las actividades de modelización pueden motivar el proceso de
aprendizaje y ayudar al aprendiz a establecer raíces cognitivas sobre las cuáles
construir importantes conceptos matemáticos. (Blomhøj, 2004, p. 20)
Al respecto de modelo matemático en el articulo Modelización matemática: Una teoría
para la práctica se define como “una relación entre ciertos objetos matemáticos y sus
conexiones por un lado, y por el otro una situación o fenómeno de naturaleza no
matemática” (Blomhøj, 2004, p. 21). Lo cual da por hecho que dada una situación
cotidiana en la que se esta haciendo uso de las matemáticas implícita o explícitamente
involucra un modelo matemático; por lo tanto las condiciones para que un estudiante
manipule un modelo matemático son que reflexione sobre sus relaciones y que a su vez
sea capaz de entender la situación así como la matemática que esta lleva, y como a
pesar de ser distintas están relacionadas.
Usualmente se presentan situaciones que no son fáciles de analizar. Las matemáticas
intervienen aportando las relaciones y sus propiedades para comprender o construir
modelos que permitan describir y explicar la situación, verificar los datos y predecir
conclusiones. La modelación se convierte entonces en una herramienta poderosa para
motivar el aprendizaje de las funciones lineales, dado que a partir de contextos
matemáticos, análisis de situaciones cotidianas o practicas experimentales surge la
necesidad de relacionar variables, analizar correspondencias de datos, realizar
generalizaciones, predecir comportamientos, relacionar e interpretar representaciones,
entre otros procesos que aportan a la comprensión del concepto de función.
Detrás de cada modelo matemático existe un proceso de modelización, es decir, de
forma global un modelo se entiende como el producto de la modelización. “Esto significa
que alguien de manera implícita o explícita ha recorrido un proceso de establecer una
relación entre alguna idea matemática y una situación real”. (Blomhøj, 2004, p. 23) Para
Capítulo 3: Aspectos Pedagógicos
53
este autor un proceso de modelización matemática consiste en los siguientes seis subprocesos:
1. Formulación del problema: formulación de una tarea (más o menos explícita) que
guíe la identificación de las características de la realidad percibida que será
modelizada.
2. Sistematización: selección de los objetos relevantes, relaciones, etc. del dominio
de investigación resultante e idealización de las mismas para hacer posible una
representación matemática.
3. Traducción de esos objetos y relaciones al lenguaje matemático.
4. Uso de métodos matemáticos para arribar a resultados matemáticos y
conclusiones.
5. Interpretación de los resultados y conclusiones considerando el dominio de
investigación inicial.
6. Evaluación de la validez del modelo por comparación con datos (observados o
predichos) y/o con el conocimiento teórico o por experiencia personal o
compartida
Este proceso de modelización se sigue de forma global en las actividades “Práctica
Experimental” presentes en la propuesta didáctica (capítulo 4). Cada una de las partes
de la actividad trata de corresponder a los propósitos de los subprocesos descritos, a
manera de producto en cada una de las actividades se espera la obtención de una
expresión que corresponda a un modelo de función lineal; la cual como ya se dijo logra
describir junto con las demás representaciones –gráfica y tabla- lo más exacto y mejor
posible la situación de la cual surgió.
El proceso de modelización no debería ser entendido como un proceso lineal. Sin
embargo en la secuencia didáctica se dan planteamientos claros de acciones individuales
que al ser concatenadas logren la obtención del modelo. “Un proceso de modelización
siempre toma la forma de un proceso cíclico donde las reflexiones sobre el modelo y la
intención de uso de éste, conduce a una redefinición del modelo” (Blomhøj, 2004, p. 23).
Pese a que las “prácticas experimentales” conservan una estructura con secciones
similares también encierran en su diseño el objetivo de que el estudiante plantee
estrategias acondicionadas a su experiencia de tal modo que la construcción del modelo
lineal no necesariamente es secuenciado en orden jerárquico de acuerdo con los seis
subprocesos. En la gráfica 11 se observa un esquema planteado por Blomhøj (2004) en
el que se ilustra el carácter dinámico del proceso de modelización.
54
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
MUNDO
REAL
FORMULACION DEL PROBLEMA
VALIDACIÓN
DOMINIO
CONCEPTUAL
VERIFICACION
SISTEMATIZACIÓN
INTERPRETACIÓN- APLICACIÓN
MODELO
REPRESENTACIONES
MATEMATIZACIÓN
ANÁLISIS DEL SISTEMA
SISTEMA
MATEMÁTICO
Gráfica 12. Modelo gráfico de un proceso de modelización, adaptado de (Blomhøj, 2004)
3.4 Variación y función lineal
Las funciones lineales están consideradas en el escenario educativo colombiano dentro
del dominio conceptual denominado pensamiento variacional y sistemas algebraicos
como aparece en los documentos Estándares Básicos de Competencia en Matemáticas
(Ministerio de Educación Nacional de Colombia, 2006) y Lineamientos Curriculares
Matemáticas (Ministerio de Educación Nacional, 1998). En estos documentos se define el
pensamiento variacional como el que “tiene que ver con el reconocimiento, la percepción,
la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos,
así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o
registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos” (Ministerio de
Educación Nacional de Colombia, 2006).
A partir de la definición anterior la elaboración de la propuesta didáctica vincula estos
elementos desde las descripciones hechas previamente, de igual manera la propuesta
analiza situaciones cotidianas de diversos campos de aplicación como las ciencias y las
finanzas, plantea situaciones que potencian el uso de diferentes tipos de registro y
promueve su uso como estrategia de percepción, caracterización, descripción y
representación, privilegia el planteamiento de prácticas experimentales contextualizadas
principalmente en las ciencias y las emplea como recurso para la obtención de modelos
lineales, trabaja con contenidos matemáticos pertinentes para la construcción del
concepto de función lineal y de los elementos propios de este tópico para producir
Capítulo 3: Aspectos Pedagógicos
55
comprensión a partir del análisis y comparación de sus formas de representación –gráfica
cartesiana, tabla y ecuación-.
Igualmente, en el documento Estándares Básicos de Competencia en Matemáticas se
hace explícita la necesidad de continuar en la educación básica secundaria con el
desarrollo del pensamiento variacional mediante el empleo de modelos funcionales; para
el caso del presente trabajo función lineal y afín13 “nociones y conceptos propios del
pensamiento variacional, como constante, variable, función, razón o tasa de cambio,
dependencia e independencia de una variable con respecto a otra, y con los distintos
tipos de modelos funcionales asociados a ciertas familias de funciones, como las lineales
y las afines (o de gráfica lineal), las polinómicas y las exponenciales, así como con las
relaciones de desigualdad y el manejo de ecuaciones e inecuaciones.” (Ministerio de
Educación Nacional de Colombia, 2006)
La noción de función unifica elementos conceptuales “previos” como razón, proporción y
proporcionalidad. Existen planteamientos que indican que la función lineal es la
matematización utilitaria de la proporcionalidad, el proceso de relacionar números que
representan las medidas de objetos o cantidades aportan significativamente a la
construcción mental de función, por lo tanto si las relaciones encontradas entre esos
números son de proporcionalidad entonces directamente se aporta a la conceptualización
de función lineal. la proporcionalidad entre dos magnitudes puede interpretarse bajo el
concepto de función dado por Euler “si x denota una cantidad variable, entonces todas
las cantidades que dependen de x en cualquier forma están determinadas por x y se les
llama funciones de x” (Azcárate Giménez & Deulofeu Piquet, Funciones y Gráficas, 1996)
la que puede entenderse como una cantidad variable que depende de otra cantidad
variable; y lleva implícitas características como correspondencia, dependencia y
variables, así pues la proporcionalidad se comportaría como una correspondencia entre
dos cantidades. (Fiol & Fortuny, 1990).
Es importante distinguir las funciones lineales de las no lineales y conectar el
estudio de la proporcionalidad directa con las funciones lineales. Es importante
también tener en cuenta que las funciones permiten analizar y modelar distintos
fenómenos y procesos no sólo en problemas y situaciones del mundo de la vida
cotidiana, sino también de las ciencias naturales y sociales y de las matemáticas
mismas. (Ministerio de Educación Nacional de Colombia, 2006)
Una de las razones contundentes por las que se hace necesario en la educación
secundaria el estudio de la variación es debido a lo fundamental que resulta para los
procesos de generalización que inciden en la aplicación de capacidades a situaciones
abstractas. Es decir el desarrollo de un verdadero pensamiento abstracto.
13
La aclaración de la ambigüedad entre las dos (función lineal y función afín) se hizo en el
capítulo 2 por lo que se usa indistintamente los términos función lineal o función lineal y afín.
56
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
Las acciones concretas que los estudiantes al terminar grado noveno deben estar en
capacidad de realizar en las que la propuesta didáctica del presente trabajo hace su
énfasis (posiblemente aporta en una u otra medida en otras acciones) consignadas en el
documento Estándares Básicos de Competencia en Matemáticas
para noveno
principalmente son:
1. Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las
ecuaciones algebraicas.
2. Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba
conjeturas.
3. Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.
4. Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva
que representa en el plano cartesiano situaciones de variación.
5. Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación
algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que las
representan.
6. Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio
de funciones específicas pertenecientes a familias de funciones polinómicas,
racionales, exponenciales y logarítmicas.
4. Aspectos Didácticos
La propuesta de intervención pedagógica que se presenta a continuación recoge los
elementos analizados y descritos en los capítulos anteriores. La primera parte permite
aclarar el concepto de función con elementos conceptuales de correspondencia de
acuerdo con la definición dada en el texto Teoría de Conjuntos y Temas Afines de la
serie Schaum. En seguida se aborda específicamente el concepto de función lineal
desde la correspondencia, la dependencia y la transformación.
En el desarrollo de la propuesta se presentan las diferentes formas de representación de
función como tablas, gráfica cartesiana, fórmulas y se privilegia el paso de una a otra en
diferentes sentidos y por distintas rutas. Cada una de las actividades es escogida
teniendo como criterio fundamental el potencial que tenga de desarrollo de elementos
conceptuales propios de la función lineal que permitan al estudiante un aprendizaje
significativo del tema.
Se ha visto que un concepto no puede ser aprendido a partir de una sola clase de
situaciones, y que se requiere tratar todas aquellas situaciones en las que el concepto
interviene, las que le dan sentido. El aprendizaje se produce por adaptación al medio y la
situación juega el papel de medio con el que el alumno interactúa… la noción de
situación didáctica va mas allá de la idea de mera actividad práctica. Una situación busca
que el alumno construya con sentido un conocimiento matemático, y nada mejor para ello
que dicho conocimiento aparezca a los ojos del alumno como la solución optima del
problema a resolver. (Chamorro, 2003)
En la propuesta se plantean tres tipos de actividades: análisis de situaciones, contexto
matemático y práctica experimental. En las del primer tipo se plantean y abordan
escenarios simulados en contextos cotidianos o culturalmente conocidos y a partir de
ellos se potencia el análisis de los elementos conceptuales de la función lineal que se
están desarrollando. En las de segundo tipo el contexto del planteamiento es netamente
matemático; se abordan los principales elementos conceptuales de función lineal y sus
representaciones; en este tipo de actividades se presenta inicialmente el componente
“teórico” con el cual se debe desarrollar la actividad. En el tercer tipo de actividades
planteo algunas prácticas de ejecución simple y con materiales que se pueden conseguir
fácilmente. La ejecución, análisis y discusión de estos laboratorios dan paso a la
58
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
significación del concepto de función lineal, debido entre otras cosas, a que cada
elemento de la función lineal tiene un sentido y significado en la práctica.
Las actividades están diseñadas y redactadas para que sean abordadas autónomamente
por los estudiantes. Considero, sin embargo, como aporte en el proceso enseñanza
aprendizaje que la socialización y discusión de las actividades en forma de plenaria o
con compañeros generaría cuestionamientos que a la postre redundarían en mejor
aprendizaje del tema.
4.1 Propuesta Didáctica
4.1.1 Contexto Matemático: “Cada quien con su pareja”
Es usual representar funciones empleando diagramas sagitales en los cuales se señala o
indica explícitamente cada pareja que forma la función, mediante el uso de la flecha se
muestra la correspondencia entre cada elemento del conjunto de salida con el elemento
relacionado del conjunto de llegada. Por ejemplo:
Si A es el conjunto de los gases nobles y B es el conjunto de los símbolos de dichos
elementos:
A={helio, neón, argón, kriptón, xenón, radón}
B={He, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn}
Al hacer el diagrama sagital que muestra la correspondencia s entre el nombre del gas
con el símbolo químico se aprende a manejar la simbología de algunos elementos
químicos:
A
s
B
Helio
Rn
Neón
Xe
Argón
He
Kriptón
Kr
Xenón
Ar
Radón
Ne
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
59
EJERCICIOS
En cada caso elabore el diagrama sagital que muestre la correspondencia entre los
elementos de los conjuntos dados de acuerdo con el criterio dado.
1. A cada valor le corresponde una moneda.
A={50, 100, 200,500,1000}
B={
,
,
,
2. A cada vehículo o medio de transporte asocie un tipo de rueda.
A={
,
B={
,
,
,
,
,
,
}
,
}
3. A cada letra le corresponde una clasificación gramatical.
A= {q, i, d, b, n, o, e, s, l, j, t, x, a, h, g}
B= {vocal, consonante}
4. A cada número natural menor que 15 le corresponde una propiedad.
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}
B={primo, compuesto}
5. A cada figura geométrica le corresponde un nombre.
A={
,
,
,
,
}
B={círculo, rectángulo, rombo, pentágono, triángulo}
,
}
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
60
4.1.2 Contexto Matemático: “Cosas de familia”
El siguiente es el árbol genealógico de una familia, en este aparecen los nombres de los
miembros así como la edad de cada uno actualmente. Las líneas horizontales indican las
parejas de esposos y las verticales los hijos de cada una de las diferentes parejas. Emma
y Just tuvieron 4 hijos Hermelinda, Agustín, Gabriel y Arturo, los tres primeros se casaron
y tuvieron hijos.
JUSTINO
102
EMMA
98
105
98
HERNANDO
67
67
HERMELINDA
68
68
AGUSTIN
64
64
EXARY
48
48
RAUL
47
EDWIN
47
33
33EDISSON
GLORIA
60
60
WILSON
42
42
CLAUDIA
41
41
PETER
37
28
Preguntas
De acuerdo con el árbol genealógico responda:
1. ¿Cuántos hijos tienen Gabriel y Teresa?
2. ¿Quien es el menor integrante de la familia?
3. ¿Quiénes son los padres de Claudia?
4. ¿Quiénes son los hermanos de Raul?
5. ¿Cómo es el nombre del esposo de Gloria?
6. ¿Quienes son primos de Edwin?
7. ¿Quiénes son los sobrinos de Agustín?
8. ¿Quiénes son mayores que Exary?
9. ¿Quiénes son menores que Claudia?
10. ¿Entre Hermelinda y Gabriel que relación hay?
11. ¿Entre Arturo y Gloria que relación hay?
12. ¿Entre Johnatan y Peter que relación hay?
GABRIEL
60
60
TERESA
54
ARTURO
57
54
57
WILMER
29
29JOHNATAN
28
28
SERGIO
16
16
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
61
13. ¿Quiénes son tíos de Wilson?
14. ¿Quien es tía de Claudia y Sergio?
15. ¿Quien es mayor Edisson o Wilmer?
16. ¿Cuántos años de diferencia hay entre el integrante mayor y el menor?
17. ¿Cuántos nietos tienen Emma y Justino?
Es posible establecer múltiples relaciones entre los miembros de la familia. Por ejemplo
en el siguiente diagrama sagital se muestra la relación ser padre de que se escribe
P  {( x, y) : x es padre de y}
“Ser padre de”
Justino
Hernando
Agustín
Gabriel
Agustin
Raul
Exary
Edwin
Claudia
Johnatan
Sergio
Hermelinda
Edisson
Wilmer
Gabriel
Wilson
Arturo
Peter
De acuerdo con el ejemplo en la relación “ser padre de” denotada por P  {( x, y) : x es
padre de y} al conjunto A pertenecen los que son padres. A hace las veces de conjunto
de salida y se denomina dominio. El conjunto B hace de conjunto de llegada, está
formado por los que son hijos y en este caso el rango de P es igual al conjunto de
llegada.
EJERCICIOS:
De acuerdo con el árbol genealógico:
1. Determine el dominio y rango de la relación “ser tío de” notada por T  {( x, y) : x es
tío de y} . Luego elabore la representación sagital de la relación vinculando las
parejas que la cumplen entre los dos conjuntos.
62
2.
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
Determine las parejas que cumplen la relación
“ser esposos” notada por
E  {( x, y) : x es esposo de y} . Luego elabore la representación sagital. ¿en este
caso cual conjunto es el Dominio y Cual el Rango?
3.
Determine el dominio y rango de las parejas que cumplen la relación “ser primo de”
notada por R  {( x, y) : x es primo de y} . Luego elabore la representación sagital
de la relación.
4.
Determine el dominio y rango de las parejas que cumplen la relación “ser nieto de”
notada por N  {( x, y) : x es nieto de y} . Luego elabore la representación sagital
de la relación.
5.
Determinar las parejas que cumplen la relación “ser mayor que” notada por
M  {( x, y) : x es mayor que y} . Luego elabore la representación sagital determine
el dominio y el rango.
4.1.3 Contexto matemático: “¿Es función? método de la recta
vertical”
De manera informal es posible decir que la gráfica cartesiana de una relación consiste en
la disposición de los pares ordenados que la componen y que relacionan los dos
conjuntos en un plano de coordenadas ortogonal x y. Por ejemplo:
Dados los conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,} y la relación R de A en B dada por
R={(1,4)(2,6)(3,6)(4,5)(5,7)} su representación sagital es:
R
1
4
2
5
3
6
4
7
5
La representación cartesiana llamada plano cartesiano se elabora colocando los valores
del conjunto A en el eje horizontal y los del B en el eje vertical, y cada pareja ordenada
determinada por la relación se hace corresponder con un punto del plano cartesiano así:
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
63
Ahora bien en una función cada valor del conjunto A, denominado de salida y denotado
usualmente como X debe “corresponder” a uno y solo un valor de conjunto B,
denominado de llegada y usualmente denotado como Y. Esto implica que en la gráfica
cartesiana de una FUNCIÓN al trazar una recta vertical esta solo interseca un punto de
dicha gráfica; es decir, si es posible trazar una recta vertical sobre la gráfica cartesiana
de una relación que intercepte dos o mas puntos entonces la relación NO ES FUNCIÓN,
por el contrario, si al trazar cualquier recta vertical sobre la gráfica cartesiana de una
relación ésta solamente la intercepta en un solo punto entonces dicha relación ES UNA
FUNCIÓN. Por ejemplo, la siguiente gráfica cartesiana representa otra relación S
diferente entre dos conjuntos, en ella es posible trazar cualquier recta vertical sin que
intercepte mas de un punto de la gráfica cartesiana de la relación; por lo tanto esta
gráfica representa una función.
La gráfica sagital de esta función es:
64
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
S
-2
3
-0.5
1
0
0
0.5
2
2
-1
3
3
En cambio en la siguiente gráfica que también representa otra relación T entre dos
conjuntos, se observa que existe una recta que intercepta a dos puntos de la relación.
Por lo tanto esta gráfica no representa una función ni la relación determinada e una
función.
La gráfica sagital de esta relación es:
T
-1
-1
0
0,5
1
-0,5
2
1
3
-1,5
4
0
2
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
65
Este método para determinar si una gráfica cartesiana representa o no una función es
comúnmente llamado “de la recta vertical” y es de gran utilidad en el análisis de gráficas.
EJERCICIOS:
Empleando el método de la recta vertical determinar si cada una de las siguientes
gráficas representa una función.
66
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
4.1.4 Análisis de situación: “La rueda panorámica”
El jefe de mantenimiento de un parque de atracciones
mecánicas al supervisar el funcionamiento de la rueda
panorámica que mantiene el ritmo todo el tiempo verificó la
velocidad de la misma varias veces; él tomó datos del tiempo
que tarda en dar un número de vueltas o giros en cada una de
esas ocasiones. Al tratar de organizar la información en una
tabla se percató de que muchos de los datos estaban
incompletos pues registró en unos casos el tiempo pero olvidó el
número de giros o viceversa.
Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta la información anterior.
1. Complete la tabla teniendo la información presente en ella.
Tiempo en
Minutos
Número
de giros
12
3
20
…208
36
7
2. ¿Cuántos minutos tarda en dar 5 giros?
14
…35
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
67
3. ¿En 32 minutos cuantos giros da?
4. Explique el razonamiento que usted empleó para determinar el tiempo que dura al
dar 35 giros.
5. Explique el razonamiento usado para determinar cuántos giros da en 208 minutos.
6. Escriba una fórmula o ecuación que relacione el tiempo con los giros. Es decir que
permita calcular el número de giros para un tiempo empleado.
No. Giros
Tiempo (min)
7. Represente la información en un plano de coordenadas.
8. ¿Es continua la magnitud representada en el eje vertical? justifique
9. ¿Es continua la magnitud representada en el eje horizontal? justifique
10. ¿Que disposición tienen los puntos obtenidos?
11. ¿Qué información brinda cada uno de esos puntos?
12. ¿Cuántos giros exactamente da la rueda en 22 minutos? ¿coincide esta información
con la gráfica?
13. ¿es posible emplear solamente la gráfica cartesiana para responder la pregunta
anterior? Justifique
14. ¿Cuántos giros exactamente da la rueda en 23 minutos? justifique
15. ¿Cuántos giros exactamente da la rueda en 23,5 minutos? justifique
16. ¿Cuánto aumenta el número de giros cuando el tiempo aumenta de 4 a 8 minutos?
17. ¿Cuánto aumenta el número de giros cuando el tiempo aumenta de 8 a 12 minutos?
18. Cuando el tiempo aumenta de 60 a 64 minutos. ¿El aumento del número de giros es
igual que en los casos anteriores? (literales p y q).
19. Concluya una generalidad o conjetura y exprese mediante una relación matemática
(ecuación o fórmula) o con lenguaje escrito.
20. Calcule el cociente o razón entre cada par de valores correspondientes de la tabla
giros
miñutos
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
68
4.1.5 Análisis de situación: “El celular”
Experiencias de usuarios del móvil (celular) LG t395 indican que en estado de espera la
carga de la batería consume 1% en 50 minutos. Si uno de estos celulares se carga hasta
alcanzar el 100% de energía y se deja en reposo.
1.
2.
3.
4.
¿Qué porcentaje se descarga en una hora? Justifique
¿Cuánto tiempo tarda la batería en llegar al 80% de descarga? justifique
¿Cuánto tiempo tarda en llegar a 60% de descarga? justifique
¿Cuánto tiempo tarda en pasar de 100% a 80%? ¿Cuánto tiempo tarda en pasar de
80% a 60%? ¿Cuánto tardará en pasar de 60% a 40%? Justifique
5. ¿Cuánto tiempo tarda en descargarse totalmente?
6. Emplee el siguiente plano de coordenadas para representar el nivel de carga a
medida que pasa el tiempo hora tras hora. El tiempo t=0 corresponde a la carga
inicial (100%), de acuerdo con la respuesta de la pregunta anterior (literal d); ubique
para t=1 (tiempo de una hora) el nivel de carga -que será mas bajo-, a continuación
para t=2, t=3…etc.
Nivel de carga
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Tiempo
(Horas)
7. ¿Cual nivel de carga tiene el celular al cabo de 5 horas (en estado de reposo)?
8. ¿Cuál nivel de carga tiene el celular al cabo de 30 horas (en estado de reposo)?
9. ¿Cuál nivel de carga tiene el celular al cabo de 33 horas? Explique la estrategia u
operaciones que realizo para contestar las preguntas.
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
69
10. Utilice la estrategia anterior para contestar ¿Cuál nivel de carga tiene el celular al
cabo de 35,4 horas?
11. Organice mediante una tabla los datos del nivel de energía a medida que pasa el
tiempo en horas.
Tiempo (horas)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
Nivel de carga (%)
12. ¿En cuánto tiempo se habrá descargado por completo el celular? Justifique
13. ¿Es preciso este resultado?
4.1.6 Práctica experimental: “Temperatura del agua”
Parte A: comprensión de la situación y conjeturas.
Se toman 1000 cm3 de agua del grifo, se ponen a calentar. Se sabe por experiencia que
la temperatura aumentara.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
¿La temperatura del agua aumentara por minuto siempre lo mismo?
¿Cuánto tiempo tardara en bullir?
¿Qué tan rápido se aumentara la temperatura?
¿El aumento de la temperatura se da con la misma rapidez en todo momento?
¿Cómo expresar la rapidez con la que aumenta la temperatura?
¿Como predecir la temperatura aproximada del agua en un tiempo dado?
Si se representa mediante una gráfica la temperatura del agua a medida que pasa el
tiempo. ¿Cuál es el tipo de gráfico más conveniente? ¿por qué?
8. ¿Qué forma tendrá la gráfica si se emplea un plano de coordenadas como el
siguiente?
Temperatura del
agua en °C (y)
Tiempo en minutos (x)
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
70
Parte B: práctica experimental.
La práctica permitirá contrastar las respuestas y conjeturas anteriores con datos
obtenidos de la observación y medición hecha, para ello se debe contar con:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
un mechero.
un termómetro.
un cronometro.
un soporte (universal de laboratorio)
un recipiente (beaker)
soporte para el termómetro
papel para registrar la información.
papel para realizar las gráficas
La práctica consiste en medir la temperatura del agua a medida que pasa el tiempo, para
ello se hace un montaje así: se llena con 1000 cm3 de agua del grifo el beaker se coloca
sobre el soporte, bajo este se enciende el mechero y en contacto con el agua pero sin
que toque el beaker va el termómetro. (Para sostenerlo se emplea el soporte de
termómetro “pinzas”).(ver gráfico)
1. Antes de encender el mechero tome la temperatura a la que esta el agua.
2. Encienda el mechero y simultáneamente ponga a correr el cronometro.
3. Agite levemente el agua para que la temperatura sea homogénea más o menos cada
30 segundos durante toda la práctica
4. Al cabo de UN minutos registre la temperatura a la que se encuentra el agua.
5. Continúe registrando la temperatura del agua cada minuto hasta que burbujee
(empiece a hervir).
Parte C: análisis de la práctica.
Observe detenidamente los datos obtenidos y registrados del experimento, una
posibilidad es organizar esta información en una tabla de datos y representarlos en una
gráfica de coordenadas o plano cartesiano.
1. ¿En cuánto tiempo empieza a hervir el agua?
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
71
2. ¿De cuánto en cuánto aumenta la temperatura del agua? ¿Siempre aumenta lo
mismo?
3. ¿En promedio cuántos grados aumenta por cada minuto?
4. Empleando la tabla o la gráfica ¿aproximadamente Cuánta temperatura mide el agua
cuando han transcurrido 7 minutos? ¿Cuánto, cuando han pasado 8,5 minutos?
¿Cuánto, cuando han pasado 8,75 minutos?
Parte D: Elaborar una modelo.
Hasta el momento se han empleado los datos tomados de la experimentación, estos
muestran una tendencia lineal; por lo que permiten elaborar predicciones sobre la
temperatura del agua para determinado tiempo o, el tiempo de ebullición.
Al responder las preguntas de la parte C y sobre todo la 4, se advierte la necesidad de
refinar la estrategia, pasar de la observación de la gráfica al planteamiento de algunos
cálculos (lo más simplificados) que permitan contestarlas. Observar en la gráfica
determinado valor y traducir la información gráfica es posible para saber el tamaño
cercano para 7 minutos, este valor se encuentra en el punto medio de dos datos
conocidos, el de 6 minutos y el de 8. El tamaño para 8,5 minutos exige mayor
elaboración; pues este tiempo no es la mitad de dos datos conocidos; por lo que la
conclusión no es que la temperatura del agua sea la mitad de las mediciones hechas
entre los dos valores ya conocidos, aun mas con el tiempo 8,75 minutos la gráfica resulta
insuficiente; debido a la inexactitud que presenta.
Ahora cobra sentido la elaboración de un modelo que permita describir la situación lo
mas fiel posible y que permita responder con procesos menos intuitivos y mas deductivos
las preguntas hechas.
1. Utilice el siguiente diagrama para registrar los incrementos de la temperatura de
cada medición.
TIEMPO
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
TAMAÑO
AUMENTO
DE LA
TEMPERA
2. Para determinar
TURAcuánto se aumenta la temperatura del agua por minuto: se divide el
aumento de la temperatura entre el del tiempo transcurrido (un minuto), este valor
recibe el nombre de razón de cambio y se nota mediante la letra m. Registre los
resultados de cada división por cada tiempo.
72
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
Intervalo
de tiempo
Razón de
cambio
0-1
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
6-7
7-8
8-9
9-10
…
3. ¿Los valores de las razones de cambio se asemejan (son cercanos)?
4. Se obtiene ahora el valor promedio de las razones de cambio de cada intervalo de
tiempo. Este valor se denomina razón de cambio promedio y, representa el valor
teórico en grados que se espera debería aumentar la temperatura por cada minuto.
5. Empleando el valor de la razón de cambio promedio. ¿cuánto se espera que haya
aumentado la temperatura a los 8 minutos? Comparar la respuesta con la medición
hecha. Calcular le aumento de temperatura para varios tiempos.
6. Si ya es posible calcular el aumento de la temperatura del agua un tiempo arbitrario
¿Cómo calcular la temperatura teórica esperada del agua para un tiempo dado?
¿Como escribir empleando lenguaje algebraico esta respuesta? Escriba una fórmula
7. Empleando la fórmula. ¿Cómo calcular la temperatura esperada a los 7, 8,5 y 8,75
minutos? ¿se aproximan estos resultados a las observaciones y deducciones hechas
con la gráfica y la tabla de los datos tomados realmente?
Parte E: verificar el modelo.
1.
2.
3.
4.
Hacer el gráfico de la fórmula en el mismo plano donde se graficaron los datos.
Observar si la recta pasa sobre ellos, fuera de ellos, es decir describir su posición.
Verificar el tiempo teórico esperado de consumo total y el obtenido en la práctica.
Confrontar los resultados de cada estudiante o grupo de trabajo.
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
73
4.1.7 Práctica Experimental: “Las velas”
Parte A: comprensión de la situación y conjeturas.
Se tiene una vela de parafina corriente cuya altura es de 4,5 cm y su diámetro 4 mm. Al
encenderla es evidente que se consumirá. ¿Cuánto tiempo tarda en derretirse?
4,5 cm
4 mm
Al realizar un análisis sobre esta situación surgen interrogantes como:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
¿Qué tan rápido se consumirá la vela?
¿El desgaste de la vela se dará con la misma rapidez en todo momento?
¿Cómo expresar la rapidez con la que se desgasta la vela?
Al medir el tamaño de la vela gradualmente. ¿Disminuirá constantemente?
¿Como predecir la medida aproximada de la vela en un tiempo dado?
Si se representa mediante una gráfica el tamaño de la vela a medida que pasa el
tiempo. ¿Cuál es el tipo de gráfico más conveniente? ¿por qué?
7. ¿Qué forma tendrá la gráfica si se emplea un plano de coordenadas como el
siguiente?
Altura de la vela
en centímetros
(a)
Tiempo en segundos (t)
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
74
Parte B: práctica experimental.
La práctica permitirá contrastar las respuestas y conjeturas anteriores con datos
obtenidos de la observación y medición hecha, para ello se debe contar además de la
vela con:
a.
b.
c.
d.
e.
un encendedor o mechero.
un flexómetro, una regla metálica o de pasta.
un cronometro.
papel para registrar la información.
papel para realizar las gráficas.
La práctica consiste en medir la altura de la vela a medida que pasa el tiempo, dada la
dificultad para hacerlo estando encendida es conveniente simular la situación de
consumo de la vela; por lo tanto se debe asegurar que las mediciones tanto de tiempo
como de altura sean lo mas exactas posible.
Antes de empezar asegúrese de despejar el pábilo y que la superficie donde se
encuentra tanto el pábilo como la vela es horizontal (ver gráfico).
4,5cm
4,5cm
3mm
3mm
Vela con pábilo cubierto
Vela con pábilo descubierto
1. Tome la medida inicial de la vela sin contar el pabilo, en ese momento inicia el
experimento por lo que el tiempo en ese instante es cero.
2. Encienda la vela y simultáneamente ponga a correr el cronometro.
3. Cronometre 20 segundos y apague la vela.
4. Sacuda levemente el exceso de parafina derretida de la vela y mida la nueva altura
que esta tiene, registre el tiempo transcurrido y la altura de la vela.
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
75
5. Encienda nuevamente la vela, ponga a correr el cronometro; a los 20 segundos
apague, sacuda, mida y registre los datos.
6. Repita nuevamente la simulación teniendo en cuanta retirar el exceso de pabilo
quemado cada tres o cuatro encendidas.
Parte C: análisis de la práctica.
Observe detenidamente los datos obtenidos y registrados del experimento, una
posibilidad es organizar esta información en una tabla de datos y representarlos en una
gráfica de coordenadas o plano cartesiana.
1. ¿En cuánto tiempo se desgasta completamente la vela?
2. ¿De cuánto en cuánto disminuye el tamaño de la vela? ¿Siempre disminuye lo
mismo?
3. ¿En promedio cuántos centímetros disminuye por cada 20 segundos?
4. ¿Cuántos centímetros disminuye por segundo?
5. Empleando la tabla o la gráfica ¿Cuánto mide aproximadamente la vela cuando han
transcurrido 70 segundos? ¿Cuánto cuando han pasado 95 segundos? ¿Cuánto
cuando han pasado 100,5 segundos (100 segundos y medio)?
Parte D: Elaborar una modelo
Hasta el momento se han empleado los datos tomados de la experimentación, estos
muestran una tendencia lineal; por lo que permiten elaborar predicciones sobre el tamaño
de la vela para determinado tiempo o, el tiempo de consumo total.
Al responder las preguntas de la parte C y sobre todo la 5, se advierte la necesidad de
ampliar la estrategia, pasar de la observación de la gráfica al planteamiento de algunos
cálculos (lo más simplificados) que permitan contestarlas. Observar en la gráfica
determinado valor y traducir la información gráfica es posible para saber el tamaño
cercano para 70 segundos, este valor se encuentra en el punto medio de dos datos
conocidos, el de 60 segundos y el de 80. El tamaño para 95 segundos exige mayor
elaboración; pues este tiempo no es la mitad de dos datos conocidos; por lo que la
conclusión no es que el tamaño de la vela sea la mitad de las mediciones hechas entre
los dos valores ya conocidos, aun mas con el tiempo 100,5 segundos la gráfica resulta
insuficiente; debido a la inexactitud que presenta.
Ahora cobra sentido la elaboración de un modelo que permita describir la situación lo
mas fiel posible y que permita responder con procesos menos intuitivos y mas deductivos
las preguntas hechas.
76
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
1. Utilice el siguiente diagrama para registrar los incrementos de tiempo y las
disminuciones del tamaño entre cada medición.
INCREMENTO DEL
TIEMPO
TIEMPO
20
0
20
20
20 20 20
20 40 60 80 100 120 …
TAMAÑO
DISMINUCION DEL
TAMAÑO
2. Para determinar cuánto se consume la vela por segundo: se divide la disminución
del tamaño entre el incremento del tiempo transcurrido, este valor recibe el nombre
de razón de cambio y se nota mediante la letra m. Registre los resultados de cada
división por cada tiempo.
Intervalo de
tiempo
Razón de
cambio
0-20
20-40
40-60
60-80
80-100
100-120
120-140
.
.
.
3. ¿Los valores de las razones de cambio se asemejan?
4. Se obtiene ahora el valor promedio de las razones de cambio de cada intervalo de
tiempo. Este valor se denomina razón de cambio promedio y, representa el valor
teórico en centímetros que se espera debería disminuir la vela por cada segundo.
5. Empleando el valor de la razón de cambio promedio. ¿Cuánto se espera que halla
disminuido la vela durante 80 segundos? Comparar la respuesta con la medición
hecha. Calcular la disminución para varios tiempos.
6. Si ya es posible calcular la disminución de la vela para un tiempo arbitrario ¿Cómo
calcular el tamaño teórico esperado de la vela para un tiempo dado? ¿Como escribir
empleando lenguaje algebraico esta respuesta? Escriba una fórmula
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
77
7. Empleando la fórmula. ¿como calcular el tamaño esperado a los 70, 95 y 100,5
segundos? ¿se aproximan estos resultados a las observaciones y deducciones
hechas con la gráfica y la tabla de los datos tomados realmente?
Parte E: verificar el modelo
1.
2.
3.
4.
Hacer el gráfico de la fórmula en el mismo plano donde se graficaron los datos.
Observar si la recta pasa sobre ellos, fuera de ellos, es decir describir su posición.
Verificar el tiempo teórico esperado de consumo total y el obtenido en la práctica.
confrontar los resultados de cada grupo o estudiante.
Sugerencia: replicar la práctica y la obtención del modelo cronometrando de 30 en 30
segundos.
4.1.8 Análisis de Situación: “Enfriamiento de una bebida”
Se calienta una bebida hasta que alcanza los 87°C luego se expone al medio ambiente y
se deja en reposo para que se enfríe. La siguiente gráfica muestra la temperatura del
líquido dependiendo del tiempo.
Enfriamiento de una bebida
100
90
(0, 87)
Temperatura (°C)
80
70
60
(9, 51)
50
40
30
(18, 15)
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Tiempo (minutos)
1.
2.
3.
4.
¿A cuántos grados está la bebida después de 3 minutos?
¿Cuánto tiempo tarda la bebida en llegar a 35 grados?
¿Cómo se interpreta las coordenadas del punto (9,51)
¿Cuanta temperatura disminuye de 0 a 9 minutos?
15
16
17
18
19
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
78
5. ¿en cuánto tiempo la temperatura disminuye de 87°C a 51°C?
6. Calcule la razón de cambio de temperatura y tiempo (disminución de temperatura)
/ (tiempo transcurrido). ¿Cómo se interpreta ese valor?
7. Si el comportamiento de enfriamiento de la bebida continúa con la tendencia
mostrada en la gráfica ¿en cuánto tiempo se espera que tarde en llegar a 0°C?
8. Empleando la razón de cambio calcular la temperatura de la bebida a los 14
minutos. Explique el razonamiento y el procedimiento.
9. Plantee una ecuación o fórmula que permita calcular la temperatura de la bebida
en cualquier tiempo
10. Responda las preguntas 1 y 2 usando la ecuación. Compare las nuevas
respuestas con las que dio inicialmente.
4.1.9 Análisis de situación: “Entrenamiento de atletismo”
El entrenador de un atleta que se esta preparando para la maratón dando vueltas al
estadio esta registrando el tiempo transcurrido a medida que cumple cada giro. Los datos
los ordeno en la siguiente tabla.
Giro
tiempo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3,2
6,3
9,5
12,6
15,6
18,7
21,7
24,6
27,5
10
11
12
13
30,3
33,5
36
38,5
1. Elabore la representación en gráfica cartesiana.
Tiempo
Giros
2. De acuerdo con los datos de la tabla y la gráfica. ¿Es posible predecir el tiempo
empleado para dar por ejemplo 15 giros?
3. ¿La gráfica obtenida es una recta?
4. ¿Empleando la tabla o la gráfica es posible determinar el tiempo empleado para
dar 4 giros y medio?
5. ¿Los incrementos de tiempo de uno a otro giro se mantienen constantes?
6. ¿El tiempo que tarda en dar una vuelta es siempre el mismo? ¿Por qué cree que
sucede esto?
7. En la vuelta 20, 30 o 50 por ejemplo ¿el corredor mantendrá el ritmo constante?
Justifique su respuesta.
8. ¿Puede obtenerse un modelo lineal que describa la situación? Justifique.
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
4.1.10
79
Análisis de situación: “salario de un vendedor”
En un cultivo de café pagan a los recolectores un salario básico diario más una comisión
de acuerdo a la cantidad que recojan. El lunes Pedro recogió 20 kg y le pagaron $30.000
(incluido salario básico y comisión), el martes recogió 32 kg y le pagaron $36.000
(incluido salario básico y comisión).
1. Si el miércoles recoge 27 kg ¿Cuánto dinero en total le pagarán?
2. Elabore una gráfica cartesiana kg Vs Dinero total pagado.
Dinero total
pagado (d)
Kilogramos recogidos (kg)
3. ¿Cuánto dinero de diferencia le pagaron más el martes que el lunes?
4. ¿Cuántos kilogramos más recogió el martes que el lunes?
5. Utilizando la información anterior determine el dinero que le pagan por cada kg
recogido. Dividir el dinero de más entre el café recogido de más.
6. Usando el dinero por kilogramo que le pagan y sabiendo que por 20kg le pagaron
30.000 analice cuánto dinero le darían si recoge 19 kg, 18 kg, 17, 16 … 2,1,0 kg
7. ¿Cuál es el valor del y-intercepto? ¿Qué información brinda este valor en la
situación?
8. ¿Coincide el y-intercepto con el valor pagado por 0 kg de café?
9. ¿Cuánto le pagaron a Pedro por los 27 kg recogidos el miércoles? ¿Como es el
procedimiento para calcular este valor?
10. Plantee el procedimiento mediante una ecuación o una fórmula.
80
4.1.11
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
Contexto matemático: “Tabla de valores”
La siguiente tabla muestra la correspondencia entre algunos de los valores de x e y que
se relacionan mediante una función lineal.
X
Y
1
7
3
11
5
15
8
21
12
29
16
37
17
39
20
45
34
73
A partir de esta tabla se puede analizar algunos elementos de dicha función.
a. ¿Cuál será el valor de Y si el valor de X es 2?
Para analizar esta pregunta se puede considerar que cuando “x” aumenta de 1 a 3; “y” lo
hace de 7 a 11, y como el valor pedido es 2 y se encuentra en medio de 1 a 3; entonces
el valor correspondiente seria también el valor medio entre 7 y 11. Así se concluye que
para x=2, y = 9.
b. ¿Si “x” aumenta una unidad cuánto aumenta “y”?
Se debe tener en cuenta el análisis anterior, si se analiza los valores consecutivos 1, 2 y
3 para “x” y sus respectivos valores relacionados 7, 9 y 11 en “y” entonces es posible
concluir que por cada unidad de “x” el valor de “y” aumenta dos.
c. Si x = 0. ¿Cuánto vale “y”?
Teniendo en cuanta que los valores de “y” aumentan dos unidades por cada una de “x”, y
sabiendo que para x=1 el valor de y es 7 entonces para x=0 el valor de “y” seria dos
unidades menos es decir y=5.
d. ¿Cual es la ecuación que modela la tabla?
Como los incrementos de “y” son de dos en dos, la pendiente m=2. Como para x=0 el
valor de y = 5 entonces b=5 así la ecuación que modela la tabla es:
Y=2x+5
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
81
EJERCICIOS
Las siguientes tablas muestran algunos valores de una función lineal. Escriba los
números que faltan en cada casilla y obtenga su ecuación.
X
Y
3
5
5
X
Y
2
8
7
X
Y
0
X
Y
5
-9
X
Y
4
X
Y
4.1.12
-2
6
11
17
29
11
35
4
9
6
15
9
17
-15
10
-19
8
19
11
25
7
0
14
7
33
19
Contexto matemático: “Hallar pendiente”
Al graficar una función lineal en el plano cartesiano la recta obtenida presenta como una
de sus características que se encuentra inclinada. Desde el punto de vista geométrico en
las funciones lineales la pendiente es una cantidad que indica tal inclinación respecto al
eje X. La pendiente de la recta es un valor constante para cada función lineal que esta
dado por la expresión m  y . En esta expresión y es el cambio o diferencia (resta)
x
entre dos coordenadas sobre el eje Y; es común referirse a este cambio como
incremento vertical o incremento en el eje Y. x es el cambio o diferencia (resta) entre
dos coordenadas sobre el eje X; usualmente se conoce este cambio en el eje X como
incremento horizontal o incremento en el eje X14 (Weisstein).
14
Traducido y adaptado de www.mathworld.wolfram.com
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
82
En la siguiente gráfica cartesiana se presenta una función lineal y junto a ella esta su
ecuación. En esta gráfica se señala la correspondencia entre los valores para y y x
con los incrementos vertical y horizontal de la gráfica, de esta manera se hace explicita
una forma de interpretar la pendiente en la gráfica y de obtener una a partir de la otra.
10
9
(6, 9)
8
3
7
(4, 6)
6
2
5
4
3
x
2
(2, 3)
3
3
y  f ( x) 
2
2
1
(0, 0)
0
0
1
2
3
4
5
6
7
EJERCICIOS
Para realizar la siguiente actividad tenga en cuenta la explicación anterior o sea de
acuerdo con los valores de los incrementos vertical y horizontal (la pendiente). Relacione
cada gráfica con la ecuación que le corresponde:
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
83
(1
1
y  f ( x)   x
3
3
y  f ( x)  x
4
(4
2
x
3
4
y  f ( x)  x
3
y  f ( x) 
(2
2
y  f ( x)   x
5
(3
(5
4
y  f ( x)   x
3
(6
Contexto matemático: “Hallar pendiente 2”
4.1.13
En el ejercicio anterior se utilizaron valores para la pendiente de la forma
a
, en la
b
siguiente gráfica se muestra la misma interpretación de la pendiente de una función lineal
con valores enteros.
7
(3, 6)
6
5
y  f ( x)  2 x
(2, 4)
4
2
3
(1,2)
2
y  f ( x) 
1
1
(0, 0)
0
0
1
2
3
4
2
x
1
84
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
EJERCICIOS
Relacione cada gráfica con la ecuación correspondiente:
y  f ( x)  2 x
y  f ( x)  4 x
y  f ( x)  3x
y  f ( x)  5 x
4.1.14
Contexto matemático: “Hallar y-intercepto”
Una función lineal escrita de forma estándar como f ( x)  mx  b tiene explícitos dos de
sus principales atributos. La pendiente “m” que se analizo y utilizo en la actividad anterior,
y el segundo atributo es el llamado “y intercepto” cuyo valor esta dado por “b”, el yintercepto indica el punto sobre el eje Y en el cual la gráfica lo intercepta; es decir el
punto de cruce de la gráfica con el eje vertical del plano cartesiano, por ejemplo: como se
observa en la gráfica de la función lineal y  f ( x)  x  2 esta es una recta que cruza o
intercepta al eje vertical en el punto 2 de acuerdo con el valor de “b” en este caso, lo cual
implica que el punto (0, 2) esta en la gráfica de la función.
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
85
y  f ( x)  x  2
De esta manera teniendo en cuanta
el valor del “y-intercepto” es posible
determinar
la
gráfica
que
corresponde a una ecuación de
acuerdo al cruce de esta con el eje
vertical del plano cartesiano.
EJERCICIOS:
Determine cual ecuación corresponde a cada gráfica de acuerdo con el “y-intercepto”
y  f ( x)  x  1,5
y  f ( x)  3 x  1
y  f ( x)  2 x  5
y  f ( x)  3x  2,5
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
86
4.1.15
Contexto matemático: “Familia de funciones”
A continuación aparecen varias funciones lineales graficadas en un mismo plano
cartesiano que tienen el mismo valor del y-intercepto. ¿Cuál es la ecuación que
representa cada recta?
a.
f ( x) 
3
x2
2
f ( x)  2 x  2
f ( x)  3 x  2
1
f ( x)   x  2
3
f ( x) 
1
x2
5
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
87
b.
1
f ( x)   x  3
6
f ( x)  2 x  3
f ( x)  5x  3
1
f ( x)  x  3
4
f ( x)   x  3
f ( x)  x  3
A continuación aparecen varias funciones lineales graficadas en un mismo plano
cartesiano que tienen el mismo valor de la pendiente. ¿Cuál es la ecuación que
representa cada recta?
c.
f ( x)  2 x 
3
2
f ( x)  2 x  2
f ( x)  2 x  3
f ( x)  2 x  3
f ( x)  2 x
f ( x)  2 x  1
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
88
d.
1
f ( x)   x  1
2
1
1
f ( x)   x 
2
2
1
f ( x)   x  3
2
1
f ( x)   x  2
2
1
f ( x)   x
2
4.1.16
Práctica experimental: “Geometría dinámica”
Parte A: comprensión de la situación y conjeturas.
Un rectángulo como el de la gráfica tiene 24cm de perímetro.
7 cm
5 cm
5 cm
7 cm
1.
2.
3.
4.
Construya otros rectángulos con 24 cm de perímetro.
¿Todos los rectángulos de perímetro 24 cm tienen lados con medidas enteras?
¿Cuantos rectángulos mas cuyo perímetro es 24 cm existen?
¿Qué condiciones deben cumplir las medidas de los lados de los rectángulos
cuyo perímetro es 24?
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
89
5. ¿De que forma se pueden obtener diversas medidas de lados de rectángulos
cuyo perímetro sea 24?
6. Si el largo de un rectángulo midiera 7,5 cm ¿Cuánto debería medir el ancho para
que el perímetro me mantenga en 24 cm?
Parte B: práctica experimental.
La práctica permitirá contrastar las respuestas y conjeturas anteriores con datos
obtenidos de la observación, para ello se debe contar con:
a. Geoplano 12 x 12 mínimo.
b. Varias Bandas (pitas anudadas en los extremos) de 24 cm NO ELASTICAS
c. Hoja para registrar datos
La práctica consiste en tomar las bandas no elásticas de longitud constante 24 cm y
construir diversos rectángulos en el geoplano, la cuadricula debe ser de 1 cm cada lado.
Cada vez que se obtenga uno de los rectángulos registrar las medidas del ancho y largo.
Parte C: análisis de la práctica.
1. Organice los datos en una tabla, en una fila coloque las medidas del ancho y en la
otra el largo.
2. Represente en un plano cartesiano las dimensiones de los lados de los
rectángulos.
Ancho (a)
Largo (l)
3. Si hipotéticamente la cuadricula del geoplano fuera de medio centímetro.
¿Podrían obtenerse mas rectángulos diferentes con perímetro 24 cm?
4. Si el rectángulo mide de ancho 4,25 cm ¿Cuánto debería medir el ancho para que
el perímetro me mantenga en 24 cm?
5. Amplié la tabla de datos incluyendo los rectángulos que se pueden construir con
medidas de medio centímetro en medio centímetro. Construya una nueva tabla.
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
90
6. Sume el ancho más el largo correspondiente de cada rectángulo. ¿Qué valores
obtiene? ¿Cómo emplear este análisis para determinar las dimensiones de los
rectángulos de perímetro 24 cm?
7. Exprese el anterior razonamiento con una fórmula o ecuación.
8. Si el largo de un rectángulo mide 7,63 cm. ¿Cuánto mide el ancho? Explique el
procedimiento o razonamiento.
9. Plantee una ecuación que permita encontrar la longitud del ancho dependiendo
del largo.
4.1.17
Práctica experimental: “Geometría dinámica 2”
Parte A: comprensión de la situación y conjeturas.
Se tienen diversos círculos u objetos circulares, para cada uno de ellos es posible
determinar la medida de algunas de sus características por ejemplo perímetro, radio,
diámetro. Al comparar los tamaños y medidas se observa que entre mas diámetro tenga
la circunferencia mas perímetro también tiene surge entonces la pregunta ¿De que forma
se relaciona el perímetro de una circunferencia con el diámetro?
Parte B: práctica experimental.
La práctica propuesta conducirá a elaborar una modelo que permita describir la relación
entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia obviamente mediado por la
relación de dependencia que se de entre los dos. Para realizarla se necesita:
a.
b.
c.
d.
Varios círculos de diferente tamaño u objetos circulares.
Cinta métrica.
Cuerda no elástica.
Hoja para registrar información.
La práctica consiste en tomar cada objeto y empleando la cuerda y/o el metro medir el
borde o perímetro y el diámetro registrando las medidas de cada objeto.
Parte C: análisis de la práctica.
1. Organice de menor a mayor las medidas de cada objeto en una tabla así:
diámetro
perímetro
2. Grafique en un plano cartesiano ¿Qué tipo de gráfica es?
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
91
Perímetro
(p)
Diámetro (d)
3. Determine el incremento del diámetro del primero al segundo objeto, del segundo
al tercero, del tercero al cuarto…
4. Determine el incremento del diámetro del primero al segundo objeto, del segundo
al tercero, del tercero al cuarto…
5. Registre los resultados en una tabla como la siguiente.
Incremento
del diámetro
Incremento
del perímetro
6. Calcule el cociente o división entre cada incremento del perímetro con cada
incremento del diámetro respectivamente.
perímetro
diámetro
7. Compare los resultados de cada división ¿Qué tan cercanos entre si están?
8. El valor que se obtiene con estas divisiones corresponde a la razón de cambio o
pendiente, usando el promedio de las razones se puede obtener un único valor.
Calcule el promedio de las pendientes.
9. Empleando la pendiente plantee una ecuación que permita calcular el perímetro
de un objeto circular conociendo el diámetro.
10. ¿cuánto medirá el perímetro de un objeto circular cuyo diámetro es 6,254 cm?
4.1.18
Análisis de situación: “Informe meteorológico”
Una estación climatológica esta estudiando el comportamiento de la temperatura en
dicho lugar, dentro de los experimentos realizados esta el medir la temperatura a
diferentes alturas; para lo cual envían un termómetro ambiental sujeto a un globo que
registra la temperatura a medida que sube. A partir de los datos tomados se estableció
que la ecuación que modela la relación entre la altura y la temperatura esta dada por:
t 
2
 m  17 , donde t es la temperatura medida y m es la altura en metros que
300
sube. De acuerdo con la información dada en la ecuación responda:
92
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
1. ¿Qué temperatura marca el termómetro cuando el globo sube 100 metros, 300 m,
1000m?
2. ¿Qué temperatura marca el termómetro antes de que se suelte el globo?
3. ¿Cada cuantos metros la temperatura disminuye 1°?
4. ¿a que altura la temperatura es 0°?
5. En esta ecuación el valor de la pendiente es  2 . ¿Cómo se interpreta este valor
300
en el problema?
6. El valor del y-intercepto en la ecuación es 17. ¿Que información brinda este dato
en el problema?
7. Organice una tabla en la que relaciones metros vs temperatura represéntela en
gráfica cartesiana.
4.1.19
Análisis de situación: “Dosificación de un
medicamento”
La dosis (d) de cierto medicamento en mg depende del peso (p) del paciente en kg. La
ecuación con la que se determina la dosis para un paciente es d  7  p  200
1. ¿Qué dosis deben suministrar a un paciente de 65 kg?
2. si a un paciente dan una dosis de 379mg de medicina. ¿Cuál es el peso de esa
persona?
3. ¿Cuál es el peso mínimo desde el cual es posible suministrar este medicamento?
4. ¿Cómo se interpreta que en esta ecuación la pendiente sea 7?
5. Organice una tabla en la cual relaciones la dosis que debería darse a 10 personas
con diferentes pesos.
Peso (kg)
Dosis (mg)
6. Obtenga una representación cartesiana de la ecuación.
Dosis
(mg)
Peso (kg)
Capítulo 4: Aspectos Didácticos
4.1.20
93
Análisis de situación: “Producción de una máquina”
Una maquina produce 25 tuercas cada minuto, a las 9:00 pm se empaca la producción
dejando solo 1500 tuercas en el recipiente. Desde ese momento se inicia un nuevo ciclo.
1. Después de una hora ¿Cuántas tuercas habrá producido? ¿Cuántas tuercas
habrá en total en el recipiente?
2. ¿cuantas tuercas habrá a las 11:30 pm en el recipiente?
3. ¿en cuánto tiempo el recipiente contiene 6500 tuercas?
4. ¿Cuánto tiempo tarda para llenar el recipiente hasta las 10000 unidades?
5. ¿Cómo es la gráfica que representa la producción de la maquina?
6. ¿Cómo se interpreta el “25 tuercas por minuto” en un modelo, ecuación o en la
gráfica?
7. ¿Cómo se interpreta el “1500” en un modelo, ecuación o gráfica?
8. Plantee la ecuación que modela la situación.
4.1.21
Práctica experimental: “las sombras”
Parte A: comprensión de la situación y conjeturas.
A una misma hora en un mismo lugar, objetos de diferente tamaño dispuestos
verticalmente proyectan sombras de diferente tamaño. Por experiencia se sabe que entre
mas largos los objetos, las sombras proyectadas son mas largas también.
1. ¿Cómo se relaciona la longitud del objeto con la de la sombra?
Parte B: práctica experimental.
Con la práctica experimental se pretende encontrar la relación matemática entre la
longitud de un objeto y la sombra proyectada a una hora determinada. Para esta práctica
se necesita:
a.
b.
c.
d.
e.
Varillas u objetos de diferente tamaño. (que proyecten una sombra definida)
Metro.
escuadra
Superficie plana sobre la cual marcar
Hoja para registrar
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
94
La práctica consiste en colocar uno a uno los objetos seleccionados en una superficie
horizontal plana sobre la cual se proyecte la sombra y medir exactamente la longitud de
la sombra proyectada, para ello:
1.
2.
3.
4.
Tome un objeto o varilla.
Ubíquelo sobre la superficie plana.
Verifique que se encuentra completamente vertical empleando la escuadra.
Señale el punto donde se ubica el objeto y desde allí mida la longitud de la
sombra.
5. Registre el tamaño tanto del objeto como de la sombra.
6. Repita el procedimiento para el resto de objetos.
Parte C: análisis de la práctica.
1. Organice los datos tomados en una tabla como la siguiente.
longitud
sombra
2. Determine los incrementos o razones de cambio.
3. Utilice las razones de cambio para obtener una ecuación.
4. Emplee la ecuación: ¿Cuánto medirá la sombra proyectada por un objeto de 17,5
cm?
5. Conclusiones y recomendaciones
El concepto de función no aparece en el escenario de las matemáticas por mera
casualidad, surge como herramienta matemática para describir completamente diferentes
fenómenos principalmente de la física, posteriormente debido a su amplia aplicabilidad es
empleada en otras ciencias como la química, biología, economía o disciplinas
tecnológicas como computación, comunicación. Finalmente evoluciona hasta convertirse
en área de estudio dentro de las propias matemáticas.
La función lineal se constituye en excelente herramienta para estudiar y modelar
problemas de variación. Las cantidades empleadas varían en tiempo, espacio, con otras
cantidades, esta variación puede ser más rápida o más lenta, creciente o decreciente, sin
embargo mantiene tal ritmo de variación ante lo cual son fácilmente identificables
patrones y regularidades en ella. Estos aspectos desarrollan significativamente el
llamado pensamiento variacional.
Comprender lo que es función lineal requiere que el estudiante se aleje de la definición
formal que se da –en clase y en textos- de ella, y que a partir de la creación de modelos,
la relación de los mismos con datos teóricos y experimentales de situaciones que
representan, llegue a una definición propia con sentido que refleje su aprehensión de los
elementos teóricos que le subyacen. Es decir, Para que los estudiantes aprendan que es
función lineal deben no solo memorizar una definición dada, debe planteárseles
diferentes situaciones en las que apartar de la confrontación de datos y diferentes
representaciones generen modelos de función lineal en los que los elementos teóricos –
pendiente e interceptos tengan sentido.
La noción de correspondencia es relevante en las aplicaciones actuales de las
matemáticas; debido en gran parte a la importancia para la concepción y estudio de los
modelos matemáticos, y dado que prácticamente toda “aplicación” de las matemáticas
presupone el empleo de un modelo; entonces tiene valides presentar la función lineal
desde la correspondencia numérica entre variables.
La enseñanza de la función lineal debe articular de manera equilibrada las formas más
importantes de representación, es decir, las formas tabulares, gráficas cartesianas y
96
El aprendizaje de la función lineal, propuesta didáctica para estudiantes de 8° y 9° grados de educación básica
algebraicas sin dejar de lado la expresión verbal. Se debe fortalecer el paso de una a otra
forma de representación empleando diferentes contextos.
Las estrategias naturales de construir y analizar tablas, calcular valores numéricos,
desarrollar sentido cuantitativo, noción de aproximación aceptable e inaceptable son
aspectos de la competencia matemática que se logran de ser posible el tratamiento de
información concreta preferiblemente de situaciones reales con contextos enriquecidos
(como los que se plantean en la propuesta didáctica denominados “practicas
experimentales”) en los que los estudiantes puedan manipular, elaborar, relacionar,
medir, contar, calcular entre otras acciones mentales.
El empleo de recursos tecnológicos tienen un papel importante en el estudio de la función
lineal, es recomendable el uso de calculadoras graficadoras, software como hojas de
cálculo y trazadores gráficos que ayudan a desarrollar una comprensión mas profunda
del concepto, a la vez que facilitan la elaboración de conjeturas, la verificación de
generalizaciones y la resolución de problemas de aplicación en otros campos como los
ya mencionados.
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