Práctica 2.

ÁLGEBRA
Práctica 2
Combinatoria
(Curso 2008–2009)
1.– Queremos cubrir una quiniela de fútbol compuesta de 15 partidos.
(a) ¿Cuántas quinielas distintas podemos cubrir sin utilizar resultados múltiples?.
(b) ¿Cuántas quinielas distintas podemos cubrir si utilizamos tres resultados dobles y dos triples?.
2.– Se construyen matrices 3 × 3 de manera que entre sus elementos aparezcan todos los números
naturales del 1 al 9.
a) ¿Cuántas matrices distintas pueden formarse de esta manera?.
b) ¿Cuántas de las matrices anteriores tienen traza 8?.
(Examen de diciembre 2006)
3.–
(a) ¿Cuántas palabras de 10 letras se pueden formar con las letras de “MATEMATICA”.?
(b) ¿Cuántas palabras de 9 letras se pueden formar con las letras de “MATEMATICA”.?
(Examen extraordinario, septiembre 2006)
4.– Ocho equipos de fútbol van a emparejarse por sorteo libre para jugar eliminatorias a un solo
partido. ¿De cuántas formas distintas puede hacerse?.
(Examen de junio 2007)
5.– En un polı́gono regular de n lados formamos sus diagonales uniendo vértices no consecutivos.
¿Cuántas diagonales hay?. ¿Cuántos triángulos podemos formar uniendo tres vértices no
consecutivos dos a dos?.
(Examen final, diciembre 2007)
6.– Cada número de loterı́a puede representarse como una sucesión finita y ordenada de cinco
cifras del 0 al 9 inclusive.
(a) ¿En cuántos números las cinco cifras son distintas dos a dos?
(b) ¿Para cuántos números la sucesión de sus cifras es estrictamente decreciente?
(c) ¿Cuántos números capicúa hay? ¿Cuántos si excluimos el 00000 y no tenemos en cuenta los
ceros a la izquierda?
7.– Sea A un conjunto con n elementos. ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto A?. Probar que
el número de subconjuntos de cardinal par y el número de subconjuntos de cardinal impar
coinciden.
8.–
(a) Tres personas suben en la planta baja al ascensor de un edificio que tiene cinco pisos. ¿De
cuántas maneras diferentes pueden ir saliendo del ascensor si en ningún piso baja más de una
persona?. Resolver el problema tanto si se distingue como si no entre las personas.
(b) ¿De cuántas maneras pueden alinearse siete personas, si tres de ellas deben estar juntas?
(Examen parcial, enero 2004)
9.– Con 3 mujeres y 5 hombres
(a) ¿Cuántos grupos de tres personas que incluyan dos del mismo sexo se pueden formar?
(b) ¿Cuántas hileras de 8 personas se pueden formar si las mujeres no pueden ocupar ni el primer
ni el último lugar?
(c) ¿Cuántas hileras de 6 personas se pueden formar si personas del mismo sexo no pueden ocupar
lugares consecutivos?
(d) ¿De cuántas formas pueden repartirse 12 bombones?
(Primer parcial, febrero 2003)
10.– En una carrera deportiva participan cinco equipos de cuatro corredores cada uno. Para
contabilizar el resultado al primero se le adjudican cuatro puntos, al segundo dos y al tercero
uno.
(a) ¿Cuántos resultados distintos son posibles, con la condición de que los tres corredores sean de
tres equipos distintos?
(b) ¿Cuántos resultados distintos son posibles en la competición por equipos?
(Examen final, junio 2005)
11.– Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones:
(a) Un estudiante acude al comedor universitario, donde hay 3 primeros platos (uno vegetariano y
dos con carne), 2 segundos platos (uno vegetariano y otro con carne), tres postres y 3 tipos de
bebidas. ¿Cuántos menús distintos puede configurar si tiene que combinar un plato vegetariano
con otro con carne?
34
9
27
18
(b) Sean A y B dos conjuntos finitos de n y m elementos respectivamente, con n < m. El número
de aplicaciones inyectivas distintas que pueden formarse de A a B son:
nm .
mn .
m(m − 1) · · · (m − n + 1).
0.
ÁLGEBRA
Problemas adicionales
Combinatoria
(Curso 2008–2009)
I.– ¿De cuántas maneras podemos distribuir 8 bolas idénticas en 3 contenedores A, B, C de modo
que
a) ninguna caja se quede vacı́a?
b) ninguna caja se quede vacı́a y que el contenedor C contenga un número par de bolas?
(Primer parcial, enero 2008)
II.– En una cena de antiguos compañeros de clase hay doce comensales que han reservado una
mesa redonda en un restaurante de moda. Por una vieja rencilla dos de ellos no se tratan. El
organizador, preocupado por la situación, se pregunta:
(a) ¿De cuantas formas pueden sentarse a la mesa los doce comensales, de manera que los
enemistados no se sienten juntos?.
(b) ¿De cuantas formas pueden sentarse a la mesa los doce comensales, de manera que los dos
enemistados no se sienten uno enfrente del otro?.
(c) ¿De cuantas formas pueden sentarse a la mesa los doce comensales, de manera que los dos
enemistados no se sienten ni juntos ni uno enfrente del otro?.
(Examen final, junio 2004)
III.– Vives en una urbanización que se puede representar con el siguiente diagrama:
Una mañana te dispones a desplazarte desde A hasta B. Es claro que para hacerlo tendrás
que recorrer al menos 11 tramos (un “tramo” es la longitud del lado de una manzana).
(a) ¿Cuántos recorridos formados por 11 tramos llevan desde A hasta B?
(b) ¿Cuántos de 12 tramos?
(c) Si deseas evitar a toda costa la intersección C marcada en el dibujo (por motivos que no vienen
al caso), ¿cuántos recorridos de 11 tramos puedes seguir?
IV.– Tres personas se suben al ascensor en la planta baja de un edificio con 5 plantas más. Calcular
de cuántas formas pueden bajar del ascensor
(a) si distinguimos entre las tres personas
(b) si no distinguimos entre las tres personas
V.–
(a) ¿De cuántas maneras pueden entrar diez alumnos en tres aulas, si no se hace distinción de
personas?
(b) ¿Y si sı́ que se distingue entre personas?
(Examen extraordinario, diciembre 2005)
VI.– Un aspirante a ”hacker” quiere entrar en el correo electrónico de su vecino del quinto. Para
ello necesita conocer una clave de 10 caracteres, formada por 4 números y 6 letras.
(a) Teniendo en cuenta que hay 26 letras, ¿Cual es el máximo número de intentos que tendrı́a que
hacer?.
(b) Se entera de que su vecino ha formado la clave mezclando las 6 letras de su nombre (Iginio) y
las cuatro cifras de su año de nacimiento (1969). ¿Cuántos intentos tendrı́a que hacer ahora
como máximo?.
(Primer examen parcial, enero 2007)
VII.– ¿Cuántas matrices 5×5 distintas pueden formarse con exactamente tres unos y todos los demás
elementos nulos?.
¿Cuántas de estas matrices tienen rango 2?.
(Examen final, junio 2008)
VIII.– Se dispone de 10 candados con sus correspondientes 10 llaves. Además hay una llave maestra
adicional que abre cualquiera de ellos. Se cierra una caja con dos de esos candados.
(a) ¿Cuántos grupos distintos de 4 llaves pueden formarse?.
(b) ¿Cuántos de ellos nos aseguran poder abrir la caja?.
(c) ¿Con cuántos de ellos podremos abrir al menos uno de los dos candados?.
(Examen extraordinario, septiembre 2008)