guía de introducción lenguaje algebraico, definiciones, términos

Liceo Industrial Benjamín Dávila Larraín
Unidad Técnica Pedagógica
Guía Nº 1(B)
ALGEBRA
I.
Identificación
Docente
Verónica Moya R.
Claudia Paez
Subsector/Módulo
Matemática
Email docente
• Escribir en símbolos matemáticos expresiones
verbales.
• Diferenciar una expresión algebraica de una
aritmética.
• Identificar los términos de una expresión.
• Distinguir los distintos elementos de un término.
• Identificar expresiones como: monomio, binomio,
trinomio y multinomio.
• Determinar el grado de un término o de una
expresión.
• Ordenar un multinomio.
• Evaluar expresiones algebraicas.
• Reducen términos semejantes.
• Eliminan paréntesis de una expresión y reducen
términos semejantes.
Curso (s) a los que 1º Medios: A – B –C –D – E – F
va
dirigida
la
actividad
Fecha
de Lunes
Publicación de la
actividad
Fecha y hora de 1º clase de la semana del 06 al 10 de Agosto 2012
entrega
de
la
actividad
Aprendizaje
Esperado
II.
Contenidos entregados por el (la) docente.
docente
Exposición de la profesora, guía, texto de estudio.
III.
Instrucciones
Presentarse a clases con esta guía ya que fuera de contener ejercicios
también está el contenido.
Ante cualquier duda pregunte a su profesora.
Esta guía contiene la introducción al algebra, trabaje a conciencia ya que
después nos manejaremos con este lenguaje.
IV.
Pauta de Evaluación.
Formativa, sumativa( la profesora acotara los contenidos de la 1º evaluación)
1
LICEO INDUSTRIAL BENJAMÍN DÁVILA LARRAÍN
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
GUÍA DE ESTUDIO: LENGUAJE ALGEBRAICO
Algebra:
El álgebra, a objeto de simplificar los resultados relativos a números, de enunciar con brevedad las reglas y de
generalizar los problemas, representa las cantidades por las letras del alfabeto, como signos más universales. En esta
notación se usan las letras aisladamente y en combinación con números
EXPRESIONES EN LENGUAJE
ALGEBRAICO
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
Un número cualquiera
El doble de un número
El triple de un número
La mitad de un número
x, y, z, m, n, etc.
2x, 2y, 2m, 2n, 2t, etc.
3r, 3u, 3z, etc.
El cuadrado de un número
La diferencia entre dos números
x , y , etc.
c - d, a - b, x - y
El cuociente entre dos números
Un número par
Un número impar
El doble de m aumentado en n
El doble, de m aumentado en n
El sucesor de un número
El producto entre un número y su antecesor
a/b, c/d, e/f
2n
2n - 1
2m + n
2(m + n)
n+1
k(k - 1)
p q m
, , , etc.
2 2 2
2
2
Expresión Algebraica:
Es el conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las
operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división).
Ejemplos:
2x+3y – 12, 5x: 5y, 2.(x-7y)+4
Término de una Expresión Algebraica:
Es una cantidad aislada o separada de otras por los signos de las operaciones aritméticas: suma(+) o
resta(-).
Ejemplos: Diga cuántos términos tienen las siguientes expresiones algebraicas:
Expresiones algebraicas
1) x2 + 8x + 5
2)
3)
N° de términos
Nombre Especial
2(3x + 4y)
7m2n – 6mn2
a+b+c
2
4)
5) 3ab – b + 2ab + b
2
2
6) 7(3x - 2x + 7) + (3x – 2x –8)
En todo término de una expresión algebraica hay que distinguir los siguientes elementos: signo,
coeficiente y factor literal:
a) Singo: este puede ser positivo o negativo.
b) Coeficiente: es el factor numérico que se escribe delante de las letras.
Nota: el coeficiente uno no se escribe.
c) Factor Literal: son las letras con sus exponentes.
Ejemplos: determine el signo, el coeficiente y el factor literal
Término
Signo
Coeficiente
Factor Literal
-x
x3 y 4
y 7 x 23
− 65
⋅ jah
52
− 3m
4
- 3z
2
2
Toda expresión algebraica recibe un nombre según la cantidad de términos que posea:
1) Monomio: es toda expresión algebraica que tiene un término
2
2
2
Ejemplos:
3x y,
2x (3x + 6y)
2) Binomio: es toda expresión algebraica que tiene dos términos.
Ejemplos:
vt +
1 2
at ,
2
3(a – b) + 2(c – d)
3) Trinomio: es toda expresión algebraica que tiene tres términos.
Ejemplo:
5a2 – 2bc – 3d, 7(a - 5b) + 8(4x – 5 + 8z) – (3x + 4y)
4) Multinomio: es toda expresión algebraica que tiene más de tres términos(también recibe el nombre de polinomio)
5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ), d4 – d3 – d2 + d – 1
Ejemplos:
Grado Relativo:
Se define como el exponente de una letra específica del término.
29x 2 y 3 , el grado relativo de x es 2 y en relación con la letra y es 3
− 5k 6m , el grado relativo de k es 6 y el grado relativo de m es 1
3,5a10 , el grado relativo de a es 10
Grado de un término (o Grado Absoluto)
El grado de un término que consta de una sola variable en forma entera, lo determina su
exponente entero no negativo.
Ejemplo: a)
x
es grado 1
2
b)
3y
es grado 2
0
c)
9
es grado 0, ya que 9x = 9. El 9 es una constante y podemos decir que el
grado de una constante es cero
El grado absoluto de un término que consta de dos o más variables viene dado por la suma de
los grados de cada factor.
2 5
Ejemplo:
a) 5x y
es de grado 7
( 2 + 5 = 7)
2 3
b) 2x y z
es de grado 6 (2 + 3 + 1 = 6)
Grado de un Polinomio( o Grado Absoluto)
El grado de un polinomio es el mayor de los grados que resulta al sumar los exponentes de
todas las letras que aparecen en uno de los términos.
Ejemplo: a)
es de grado 9 (4 + 5 = 9)
3 xy - 6 x 2 y 3 + 2 x 4 y 5
Análisis:
En el término 3xy el grado es 2
(1 +1 = 2)
2 3
En el término 6x y el grado es 5
(2 + 3 = 5)
En el término
2x 4 y 5 el grado es 9 (4 + 5 = 9)
b)
c)
d)
e)
5 + 3x
3xy + 2x – 48
3
2
9x + 5x – 1
3 2
3
2x y – 8x y + 7y
es de grado
es de grado
es de grado
es de grado
1
2 (1 + 1 = 2)
3
5 (3 + 2 = 5)
Ordenar un multinomio:
Es disponer los términos de modo que los exponentes de la misma letra, llamada ordenatriz,
aumenten o disminuyan sucesivamente. .
Ejemplo: Ordenar el siguiente multinomio
descendentes de “x” y luego a las de “y”
4
3 2
2
1 3
2
4
1 3
4
3 2
x y + y - 3x y + 5x - 7x y
de acuerdo a las potencias
4
5x - 7x y + x y - 3x y + y ordenado de acuerdo a las potencias descendentes de x
4
1 3
3 2
2 1
4
y - 3x y - 7x y + x y + 5x ordenado de acuerdo a las potencias descendentes de y
Ejercicios: Ordene los siguientes multinomios de acuerdo a las potencias descendente de la incógnita
2
3
4
a) 3x − 6x + 5x + x − 1
b) 7 − y3 + y + 5y5 + 9y 4 − 3y 2
2
4
3
c) z − 8z + 5z − 3 + 2z
d) 16a 2 b 2 − 9a 3 b + 4ab3 + 7a 4 + b 4
3
Ejercicios: Expresar en lenguaje matemático cada uno de los siguientes enunciados
1) El triple de a aumentado en el doble de b
2) El triple de a disminuido en el doble de b
3) La cuarta parte del producto entre el cuadrado de a
y el cubo de b
4) El cubo de la diferencia entre x e y
5) El cuadrado del doble de a
6) El doble del cuadrado de a
7) La suma de tres números pares consecutivos
8) El triple de la cuarta parte del cuadrado de b
9) El cuadrado de la cuarta parte del triple de b
10) El triple de un número equivale al doble del mismo
número aumentado en 15.
11) La suma de tres números consecutivos
12) La diferencia entre el quíntuple de x y la mitad de y
13) La suma de tres números impares consecutivos
Términos semejantes:
Dos o más términos son semejantes si tienen el mismo factor literal(letras y exponentes sin
importar el coeficiente).
Ejemplos: Determine a lo menos cinco términos semejantes a:
a)
5x
Respuesta:
0,3x; -1,5x;
b)
-3xyz
Respuesta:
xyz;
c)
a b
3
Respuesta:
d)
2 3
ab
3
Respuesta:
e)
0,5x y
Respuesta:
4 5
3
x ; x; -x
8
5 xyz; -4xyz; 7,3xyz;
−6
xyz
7
Reducción de Términos Semejantes:
Es reunir todos los términos semejantes en uno sólo.
Ejercicios: Reducir términos semejantes
1) 17m +3n –8m +2n =
3)
3 2
4 3
3 2
2)
3 2
4 3
5
5
5a b +3a b –7a b –3a b –12 a b –5ab –8ab =
7a –5b +7c +8a –20c – b +6b – c =
4) 3x a + 3 − 2y a −5 + 5x a + 3 + y a −5 + x a + 3 − 3y a −5 =
m 2m m
+
− =
2
3
4
5)
a2 + b2 – 2b2 – 3a2 – a2 + b2=
6)
m−
7)
0,2m – 0,02n + 1,07m – 1,03n – m – n=
8)
9)
2 2
3
3
2
1
1
x y + 31 + xy 2 − y 3 − x 2 y − xy 2 + y 3 − 6 =
5
8
5
5
5
4
3
1
5
1
3
1
1
− a2 + ab− b2 + 2 a2 − ab+ b2 − b2 − 2ab=
4
2
6
3
4
6
3
Ejercicios Propuestos
4
31) Determinar el perímetro (la suma de todos los lados) de
cada figura.
Paréntesis Múltiples
Suprimir paréntesis y reducir términos semejantes
15) 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) =
16) 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) =
17) -( x - 2y ) - [ { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) }] =
5
18) 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) =
19) 9x + 13 y - 9z - [7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z }] =
20) 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =
1
3
3
3
y + 6z - 2 x ) - ( -3 x + 20y ) - ( x + y + z ) =
2
4
5
4

 1

1
 1

22) 9x + 3
y - 9z -  7 x − − y + 2 z −  5 x − 9 y + 5z − 3z  =
 3

2
 2


21) 8x - ( 1
Valorar Expresiones Algebraicas
Es reemplazar el valor numérico de cada variable en la expresión y luego efectuar las
operaciones indicadas. Ejemplos:
Calcular el valor numérico de las siguientes Expresiones Algebraicas., considere para
cada caso a = 2; b = 5; c = -3; d = -1 y f = 0
2
2
a) 5a – 2bc – 3d
4
3
2
d) d – d – d + d – 1
g)
3
2
b) 7a c – 8d
3
2
1
7
a− c− b+ f
4
5
2
8
e) 3(a – b) + 2(c – d)
h)
3
3
5
c) 2a – b – c – d
f)
(b + c )a
i)
c−d a+b
+
2
7
((a − b + c )
)
( 2 a −3d ) f
EL LENGUAJE ALGEBRAICO I (Soluciones)
Indica las expresiones algebraicas de las siguientes frases:
a) El doble de un número.
2x
b) El cuadrado de un número menos tres.
x2 − 3
c) La suma de dos números.
x+y
d) La diferencia de los cuadrados de dos números.
x2 – y2
e) La mitad de un número.
x
2
f) El cuádruplo de un número.
4x
g) La suma de un número y su cuadrado.
x + x2
h) El doble de un número menos cinco.
2x – 5
i) La tercera parte de un número.
x
3
j) El cuadrado de la suma de dos números.
(x + y)2
k) El doble de la suma de tres números.
2 (x + y + z)
l) El triple de la raíz cuadrada de un número.
3 x
m) La suma de tres números consecutivos.
x + (x + 1) + (x + 2)
n) Una cuarta parte de la suma de dos números.
x+y
4
ñ) Un número aumentado en cinco unidades.
x+5
6
o) El doble de un número menos el triple de otro.
2x – 3y
p) Las tres cuartas partes de un número.
3x
4
q) El cubo de la diferencia de dos números.
(x – y)3
r) El producto de dos números.
xy
s) La décima parte de un número más el quíntuplo de otro.
x
+ 5y
10
EL LENGUAJE ALGEBRAICO II
(Soluciones)
Enuncia las frases que traduzcan al lenguaje verbal las siguientes expresiones algebraicas:
1
a) x
Un cuarto de un número o la cuarta parte de un número.
4
b) (x − y)3
El cubo de la diferencia de dos números.
c) 3 (x + y)3
El triple del cubo de la suma de dos números.
3 x − 2y
3
d)
e) x +
Un tercio del triple de un número menos el doble de otro.
x
5
Un número más su quíntuple.
f) (x – y)2
x y
+
3 2
g)
x−y
h) 

 3 
i)
El cuadrado de la diferencia de dos números.
Un tercio de un número más un medio de otro.
2
1
(x − y )2
3
j) 4 (x – 2)
x
4
k) 2 x −
l) x2 + 2xy
m)
x −3
4
n) x · (x + 1) · (x + 2)
El cuadrado de la tercera parte de la diferencia de dos números.
Un tercio del cuadrado de la diferencia de dos números.
El cuádruplo de la diferencia un número menos dos.
El doble de un número menos su cuarta parte.
El cuadrado de un número más el doble producto de ese número por otro
Un cuarto de la diferencia de un número menos tres.
El producto de tres números consecutivos.
ñ)
(x )3
o)
( x)
El cubo de la raíz cuadrada de un número.
p)
3x − 5
12
La doceava parte de triple de un número menos 5.
3
La raíz cuadrada de un número al cubo.
7