modelado sólido B-Rep

diseño asistido por computador
Modelado sólido
departamento
de ingeniería de sistemas
y automática
ALÁMBRICOS
MODELADORES
GEOMÉTRICOS
SUPERFICIES
SÓLIDOS
poliédricas
libres
barridos
instanciación y parametrización
descomposición espacial
CSG
B-Rep
diseño asistido por computador
2
modelado geométrico
índice
>  MODELADO SÓLIDO
>  REPRESENTACIÓN DE SÓLIDOS
>  MODELADORES DE SÓLIDOS
  Barridos
  Instanciación y parametrización
  Descomposición espacial
  CSG
  B-Rep
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3
conceptos básicos del CAD
bibliografía
>  Geometric Modeling
M.E. Mortenson
John Wiley & Sons. 1997.
>  Geometric & Solid Modeling. An Introduction
C.M. Hoffmann
Morgan Kaufmann Publishers, Inc. 1989.
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4
modelado geométrico
  modelado sólido
diseño asistido por computador
5
modelado geométrico
  modelado sólido
Objeto sólido
>  un conjunto de líneas y/o curvas 2D no describe
necesariamente un área cerrada
>  una colección de planos y/o superficies 3D no encierra
necesariamente un volumen
>  necesidad de distinguir entre interior, exterior y superficie
de un objeto
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6
modelado geométrico
  modelado sólido
Propiedades deseables de un modelador de sólidos
>  Debe poder establecer los límites o fronteras (boundary) del
objeto de cara a definir el interior y exterior del mismo
>  El modelo debe contener una cantidad de información finita
>  La frontera del objeto debe estar siempre en contacto con su
interior
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modelado geométrico
  modelado sólido
Modelo sólido de un objeto
>  Resuelve las limitaciones de modelos alámbricos
>  Representación completa de un objeto
>  Geometría 3D implícita
>  Conjunto de puntos
Objeto sólido: Conjunto de puntos en el espacio Euclídeo 3D
Modelador sólido: Capaz de codificar el conjunto de puntos
infinito en un modelo compatible para el almacenamiento en un
ordenador
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8
modelado geométrico
  representación de sólidos
MODELOS CONSTRUCTIVOS
• modelo = combinación de primitivas básicas
• primitiva = instancia de un sólido básico bien definido
• CSG (Geometría de Construcción de Sólidos)
MODELOS DE ENUMERACIÓN ESPACIAL
• descomposición del modelo en células
• célula = estructura geométrica y topológica simple
MODELOS DE REPRESENTACIÓN DE FRONTERAS
• definición del modelo en base a sus fronteras
• Modelo jerárquico (caras – aristas – vértices)
• B-Rep (Boundary-Representation)
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9
modelado geométrico
  modelado sólido mediante barridos
Traslación (extrusión)
>  sobre cualquier dirección o vector
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10
modelado geométrico
  modelado sólido mediante barridos
Rotación (revolución)
>  sobre cualquier dirección o vector
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11
modelado geométrico
  modelado sólido mediante barridos
Problema
>  dominio limitado
Barrido generalizado
>  barrido de cualquier contorno o área sobre cualquier trayectoria libre
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12
modelado geométrico
  modelado sólido mediante barridos
Extensiones al barrido generalizado
>  variaciones de parámetros
•  del punto de contacto
•  de la orientación
•  del contorno del área
>  características:
•  modelador potente y versátil
•  valores de defecto
•  dominio amplio
•  problema: objetos sin utilidad
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante barridos
Problemas del barrido generalizado
>  intersecciones consigo mismo
>  áreas como resultado
>  no hay formulación simple del resultado
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14
modelado geométrico
  modelado sólido mediante barridos
Aplicaciones de los barridos
>  mecanizados
•  efectos del corte
•  generación de trayectorias
•  cálculo de velocidades
>  ensamblajes
•  simulación de interferencias
>  otros
•  distancias de seguridad
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante instanciación y parametrización
Instanciación
>  escalado en cualquiera de los ejes
primitiva
instancia
(escalado diferencial)
instancias
(escalado uniforme)
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante instanciación y parametrización
Parametrización
>  variación de dimensiones clave
a
t
r2
r1=t
r2=2t
r1
c
d
b
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  modelado sólido mediante instanciación y parametrización
Plantillas iniciales
>  semiespacios o medioespacios
Problemas
>  dominio restringido por el número de plantillas
>  valores de defecto al visualizar
>  posibilidad de datos no coherentes: validación de formas
Aplicaciones
>  tecnología de grupos (CAM): clases o familias de piezas con
variación de parámetros
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante descomposición espacial
Descomposición espacial
>  representación alternativa
>  limitaciones
>  aplicaciones especiales (elementos finitos, GIS…)
>  clasificación:
•  descomposición celular
•  enumeración de la ocupación espacial
•  octrees
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante descomposición espacial
Descomposición celular
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante descomposición espacial
Descomposición espacial
>  células disjuntas con caras, aristas y/o vértices comunes
>  no hay necesidad de ordenarse con la rejilla
>  las células no pueden tener huecos internos,aunque si los
objetos creados
>  a mayor diversidad de células, mayor dominio de objetos
>  útil para elementos finitos
>  operaciones lógicas costosas (descomposición)
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante descomposición espacial
Enumeración de la ocupación espacial
>  sencillo
>  las células (voxels) son cubos localizados en una rejilla
>  se marcan los cubos ocupados (1), frente a los no ocupados (0)
>  representación aproximada
>  precisión proporcional al tamaño de los cubos
>  requiere mucha memoria en objetos con superficies curvas
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante descomposición espacial
Octrees
>  enumeración de la ocupación espacial más eficiente
>  disminuye los cubos almacenados agrupándolos
>  resolución fina sólo en regiones necesarias
>  representación en árboles octales
>  modelos exactos en dominio limitado
>  equivalente 2D: quadtrees
>  proceso
•  subdividir cubos en llenos, vacíos y parcialmente llenos
•  subdividir cubos parcialmente llenos hasta que no existan cubos
parcialmente llenos o se alcance la resolución máxima
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante descomposición espacial
descomposición
celular
enumeración
de la ocupación espacial
octrees
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante descomposición espacial
© http://www.iberisa.com/images/caso2b.gif
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Geometría de Construcción de Sólidos (CSG)
−*
U*
*U
6 medioespacios planares
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Árbol CSG
−*
U*
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Sistemas de coordenadas locales
Z
a
r
Z
b
h
c
X
Y
caja (a, b, c)
Y
X
cilindro (r, h)
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Operaciones lógicas
UNIÓN
SUSTRACCIÓN
primitivas
INTERSECCIÓN
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Operaciones lógicas
A
A
B
A
B
A
B
B
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Operaciones lógicas regularizadas
*
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31
modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Operaciones lógicas regularizadas
1.  Calcular como teoría de conjuntos
resultado: volúmenes + elementos a eliminar
2.  Considerar el interior del resultado
3.  Formar la clausura de este interior, añadiendo los puntos
frontera adyacentes a las regiones interiores.
1
2
3
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32
modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Ejercicio CSG
Z
a
r
Z
b
h
c
X
Y
caja (a, b, c)
Y
X
cilindro (r, h)
x-desplaza(.,dx)
y-desplaza(.,dy)
z-desplaza(.,dz)
x-gira(.,alfa)
y-gira(.,alfa)
z-gira(.,alfa)
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Ejercicio CSG
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34
modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Ejercicio CSG
caja (a,b,c)
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35
modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Ejercicio CSG
caja (a,b,c)
cilindro (r,h)
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36
modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Ejercicio CSG
x-desplaza (.,a/2)
caja (a,b,c)
cilindro (r,h)
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37
modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Ejercicio CSG
y-desplaza (.,b/2)
x-desplaza (.,a/2)
caja (a,b,c)
cilindro (r,h)
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38
modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Ejercicio CSG
z-desplaza (.,c)
y-desplaza (.,b/2)
x-desplaza (.,a/2)
caja (a,b,c)
cilindro (r,h)
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Ejercicio CSG
U*
z-desplaza (.,c)
y-desplaza (.,b/2)
x-desplaza (.,a/2)
caja (a,b,c)
cilindro (r,h)
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Ejercicio CSG
Z
Z
a
r
Z
Z
1
b
h
c
X
R=1
Y
caja (a, b, c)
Y
X
8
cilindro (r, h)
x-desplaza(.,dx)
y-desplaza(.,dy)
z-desplaza(.,dz)
x-gira(.,alfa)
y-gira(.,alfa)
z-gira(.,alfa)
2
4
Y
1
9
X
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modelado geométrico
  modelado sólido mediante CSG
Ejercicio CSG
Z
a
r
Z
4
1
b
1
1
h
2
c
X
Y
caja (a, b, c)
Y
X
4
Y
cilindro (r, h)
4
x-desplaza(.,dx)
X
Z
y-desplaza(.,dy)
z-desplaza(.,dz)
x-gira(.,alfa)
y-gira(.,alfa)
z-gira(.,alfa)
2
1
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2
1
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Representación de fronteras (Boundary Representation)
U
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Objetos representables con B-Rep
>  orientables y cerrados
>  múltiples (manifold)
© botella de Klein. http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Klein_bottle.svg
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Objetos no múltiples
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45
modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Objetos no múltiples
objeto
no múltiple
posibles topologías
como objeto múltiple
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Objeto B-Rep y árbol B-Rep
OBJETO
V1
E1
E4
F3 ...
F2
F1
F2
F1
V4
BUCLE1
V6
E3
BUCLE2
E1 E2 E3 E4
E5 E6 ...
V1 V2 V3 V4
V5 V6 ...
E6
V2
E2
E5
V5
V3
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  modelado sólido B-Rep
Representación arista-alada (winged-edged)
>  Introducida por Bruce Baumgart en 1972
>  Se asume un objeto como un poliedro
>  Incluye información topológica
>  El elemento central de la representación es la arista,
incorporando información sobre relaciones de vecindad
con aristas y caras.
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Representación arista-alada (winged-edged)
>  Se asumen tres tablas (caras, vértices y aristas)
> Tabla de caras
•  cara = conjunto de bucles de aristas
•  se crea una tabla en la que para cada cara que tenga el
poliedro se almacena una arista incidente en esa cara
>  Tabla de vértices
•  vértice = adyacente a conjunto de aristas
•  se especifica una arista incidente para cada vértice de la figura
>  Tabla de aristas
•  vértices incidentes
•  caras adyacentes
•  aristas precedentes y sucesoras en la definición de las caras
adyacentes
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Representación arista-alada (winged-edged)
>  El poliedro debe considerarse
visto desde fuera
b
>  Las caras deben considerarse
como bucles de aristas en
sentido horario
c
1
A
B
a
d
e
2
>  La arista a estudiar debe
orientarse de un vértice a otro
>  Se consideran vértices
incidentes, caras adyacentes a
izquierda y derecha y las aristas
incidentes precedentes y
sucesoras en la definición de las
caras adyacentes
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Representación arista-alada (winged-edged)
b
A
1
c
B
a
d
>  vértices incidentes
•  desde: 2
•  hacia: 1
2
e
>  caras adyacentes
•  izquierda: A
•  derecha: B
>  aristas incidentes, en el orden de los
bucles que definen las caras adyacentes
•  precedente en cara izda: b
•  sucesora en cara izda: d
•  precedente en cara dcha: e
•  sucesora en cara dcha: c
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Ejercicio arista-alada
VÉRTICES
4
d
1
desde
B
izda
dcha
en cara dcha
prec
prec
succ
succ
b
3
f
a
hacia
en cara izda
a
c
e
ARISTAS
ARISTA
C
A
CARAS
b
D
c
d
e
f
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Consistencia topológica
>  la topología de un objeto hace referencia a conceptos como
vértices, aristas, caras, número de agujeros, consistencia,
conectividad, etc.
>  la principal debilidad del modelo de fronteras es la validez, ya que
cualquier conjunto de caras, vértices y aristas no define un sólido
válido
>  topología inconsistente: datos de vértices, aristas o caras que no
satisfagan relaciones descritas
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Consistencia topológica
>  para poder representar un sólido mediante B-Rep, éste debe
cumplir las siguientes propiedades básicas:
•  Cada arista está delimitada por dos vértices.
•  Cada arista separa dos caras (sólidos múltiples).
•  Las caras que coinciden en una arista tienen orientación
conforme.
•  Las aristas solo se intersectan en los vértices.
•  Las caras solo se intersectan en los vértices y aristas.
>  validación de la topología de un objeto: consideración de
vértices, aristas, caras, bucles de aristas, huecos, conchas...
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Consistencia topológica: sólidos simples
>  objetos topológicamente simples, sin huecos o agujeros y
con un sólo bucle por cara
Formula de Euler
V-E+F-2=0
V = número de vértices
E = número de aristas
F = número de caras
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Consistencia topológica: sólidos simples
>  fórmula de Euler
V=8
E = 12
F=6
V-E+F-2 = 8-12+6-2 = 0
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Consistencia topológica: sólidos con agujeros
>  sólidos que permanecen limitados por una superficie
conectada simple, homeomórficos a la esfera con una o más
“asas” o agujeros
Fórmula de Euler-Poincaré
V-E+F-2(1-G)=0
V = número de vértices
E = número de aristas
F = número de caras
G = género (número de agujeros)
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Consistencia topológica: sólidos con agujeros
superficie de género 2
(esfera con 2 asas)
objeto con dos agujeros
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Consistencia topológica: sólidos con agujeros
>  fórmula de Euler-Poincaré
V = 24
E = 44
F = 18
G=2
V-E+F-2(1-G) = 24-44+18-2(1-2) =
= -2-2(-1) = -2+2 = 0
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Consistencia topológica: sólidos con agujeros y huecos
internos
>  sólidos con huecos internos (burbujas) limitados por
superficies múltiples cerradas (conchas)
Fórmula de Euler-Poincaré extendida
V-E+F-(L-F)-2(S-G)=0
V = número de vértices
E = número de aristas
F = número de caras
G = género (número de agujeros)
S = número de conchas
L = número de bucles
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Consistencia topológica: sólidos con agujeros y huecos
internos
>  fórmula de Euler-Poincaré extendida
V = 24
E = 36
F = 16
G=1
L = 18
S=2
V-E+F-(L-F)-2(S-G) =
= 24-36+16-(18-16)-2(2-1) =
= 4-2-2 = 0
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modelado geométrico
  modelado sólido B-Rep
Consistencia topológica
>  un usuario no puede construir cualquier sólido
>  los operadores de Euler trabajan añadiendo y eliminando
vértices, aristas y caras a un poliedro de partida
>  los operadores de Euler evitan la construcción de poliedros
inválidos (operación cerrada)
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