Mosaicos regulares del plano

Mosaicos regulares del plano
Máster Universitario de formación de Profesorado
Especialidad Matemáticas
Begoña Hernández Gómez1
Begoña Soler de Dios2
Beatriz Carbonell Pascual3
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1o PARTE
Nuestro número de mosaico es el 5, que tiene esta forma:
El motivo mı́nimo es el siguiente:
Nuestro mosaico está formado por 36 repeticiones de este motivo mı́nimo coloreadas de
diferente manera. Hemos encontrado dos tipos de coloreado. El primero, es el que hemos
presentado anteriormente como el motivo mı́nimo; fondo de color rosa palo, figura geométrica en morado y punto en verde. El segundo es con fondo morado, forma geométrica en rosa
palo y punto en marrón. Se observa en la siguiente figura:
Nuestro motivo mı́nimo tiene forma cuadrada. Si considerásemos el mosaico como una matriz,
tendrı́a 6 filas y 8 columnas. Cada uno de los elementos serı́an motivos mı́nimos coloreados de
tipo 1, como el motivo mı́nimo (a partir de ahora ET1) y elementos de tipo 2, los coloreados
como en la segunda figura (a partir de ahora ET2), y además con giros, tanto en el eje x
(en plano como rotara en el papel) y en el eje z (un giro de 180o serı́a como la imagen de
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un espejo). Consideraremos que las imágenes mostradas en este apartado no tienen aplicado
ningún ángulo de giro, se describirá cada uno de los giros en ángulos con dirección en sentido
horario. Por ejemplo esta imagen serı́a un ET1 X180o :
Caracterizar todos los movimientos diferentes que hay en el mosaico:
Las caracterı́sticas de los movimientos del mosaico están descritas en la siguiente tabla,
donde cada celda es un elemento del mosaico:
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Una vez analizado el mosaico elemento por elemento, si tomamos como partida el elemento
3,4:
Se realizarı́a un giro de 90o grados, respecto del punto origen y se tomarı́a la segunda coloración, obteniendo el elemento (4,4):
Se realiza otro giro de 90o desde el la esquina superior y se obtiene el cuadrado central
formado por los elementos (3,3), (3,4), (4,3) y (4,4):
Finalmente, se realiza una simetrı́a con respecto al eje x, obteniendo:
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Es decir, nuestro mosaico presenta ejes de simetrı́a perpendiculares (color rojo) y ejes de
simetrı́a con deslizamiento (naranja). También presenta dos tipos de centros de rotación ya
que hay giros de orden cuatro (90o ) (color verde) que están en la intersección de los ejes de
deslizamiento y de orden dos (180o )(rosa) que están en el cruce de los ejes de reflexión.
Tiene dos vectores de traslación perpendiculares que unen los centros de rotación de orden
4 y pasan por los de orden 2 (en la direcciones de los ejes de deslizamiento a 45o ). Por lo
tanto está generado por dos traslaciones, una simetrı́a y un giro de orden 4.
A partir de nuestro mosaico podemos observar que ningún centro de orden cuatro pasa nunca
por un eje de simetrı́a, lo que no ocurre con los centros de orden dos:
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En la figura que aparece a continuación vamos a representar un paralelogramo fundamental
con los centros y con los ejes de simetrı́a junto con algunos ejes de simetrı́a con deslizamiento.
2o PARTE
Construir un mosaico, que sea visualmente diferente del anterior, cuyo sistema
generador sea p.6 y trama de triángulo equilátero. Este mosaico debe tener un
motivo mı́nimo irregular. Explicar cómo se ha creado el motivo mı́nimo mediante
transformaciones de una celda de la trama de polı́gonos subyacente. El mosaico
se puede hacer a mano o usando un programa informático.
Para realizar nuestro mosaico vamos a utilizar el programa de software libre Geogebra y
también Photoshop.
A partir del triángulo equilátero que tesela el plano vamos a crear el motivo mı́nimo mediante
transformaciones. Empezamos con el triángulo equilátero que tenemos indicado como trama:
Modificamos la pieza inicial realizando un saliente y hacemos que encaje con la pieza adyacente girando la pieza 300o con centro o:
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En el otro lado del triángulo realizamos un entrante y hacemos que encaje con la pieza adyacente de la misma forma que antes:
Finalmente hacemos otro entrante y realizando un giro de 180o en el centro del lado que
queda libre (o´) obtenemos nuestra figura ya que se tiene que cubrir todo el plano:
Obtenemos el siguiente triángulo:
Para generar nuestro mosaico siguiendo el sistema generador p6 con la trama de triángulos
equiláteros, hay que realizar giros de 60o (orden seis) con centro en el vértice del triángulo
hasta formar un hexágono como se muestra en la Figura 0-1:
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Figura 0-1: Hexágono
Una vez construido el primer hexágono, mediante giros de 180o (orden dos) respecto al punto
medio del lado de la base de los triángulos equiláteros, se crea el primer triángulo para generar, a partir de nuevos giros de 60o , otros hexágonos como se puede observar en la Figura 0-2:
Figura 0-2: Mosaico
Realizando este mismo proceso se puede crear un mosaico del tamaño que se desee. En el
caso de la Figura 0-3, se ha generado y cortado para que la trama sea más complicada de
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encontrar.
Figura 0-3: Mosaico
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Para que este mosaico sea posible, se utilizado el programa Photoshop para realizar los giros
del sistema generador como se puede ver en la Figura 0-4.
Figura 0-4: Photoshop
Es decir, tiene centros de giro de orden 6 (60o ) formando una trama hexagonal (de triángulos
equiláteros), centros de giro de orden 3 (120o ) en los vértices de la trama hexagonal y centros
de giro de orden 2 (180o ) en los puntos medios de los lados de la trama hexagonal. El mosaico
no presenta reflexiones ni deslizamientos formando los vectores de translación ángulos de 60o
y siendo su módulo la longitud de las diagonales de los hexágonos de la trama.