F - Biblioteca Central de la Universidad Nacional del Santa

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
ESCUELA DE INGENIERIA EN ENERGIA
MODULO SEMANA 10
CURSO: CONTROL AUTOMATICO
PROFESOR: MSC. CESAR LOPEZ AGUILAR
INGENIERO EN ENERGIA-INGENIERO MECANICO ELECTRICISTA
TRANSFORMADA DE LA PLACE
I. OBJETIVO
Solucionar ecuaciones diferenciales mediante la transformada de la
place.
III. BIBLIOGRAFIA
W. Bolton, Año 2001 Ingeniería de Control. Cap. 4
CONTENIDO
1. INTRODUCCION
2. LA TRANSFORMADA DE LA PLACE PARA UNA FUNCION
ESCALON
3. REGLAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
4. EMPLEO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA
RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES.
5. PRACTICA CALIFICADA
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Profesor: Msc. César López Aguilar
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1. INTRODUCCION
La transformada de Laplace es un método que transforma una
ecuación diferencial en una ecuación algebraica.
Este método transforma el comportamiento del circuito en el
dominio del tiempo, en el dominio de s, en el cual se pueden
realizar manipulaciones algebraicas.; s es una constante con
unidades de 1/tiempo
Así una funcion f(t) se representa en con la transformada de
Laplace como.
∞
F (s) = ∫o f (t) e –st dt
Ejemplo : Considere un Resistor R a través de la cual circula una
corriente i, la diferencia de potencial v, en general se escribiría:
V= Ri ,
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1. INTRODUCCION
Puesto que tanto v como i son funciones del tiempo, la ecuación
ideal será:
v(t)=R i(t) ,
La tensión en el tiempo, aplicada en circuito de resistencia R,
genera un corriente en función del tiempo.
Si se toman las transformadas de Laplace de i y v , la ecuación se
convierte en
V (s) = R I (s)
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2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA UNA FUNCION ESCALON
Para ilustrar como una transformada de Laplace se puede
desarrollar a partir de los primeros principios, considere una
función escalón, como se muestra en la figura
La función escalón se describe como un cambio abrupto en alguna
cantidad, y con frecuencia se emplea para describir el cambio en
la entrada al sistema cuando se hace un cambio súbito en su
valor; por ejemplo el cambio aplicado en el voltaje aplicado a un
circuito cuando éste se enciende de manera súbita.
f(t)
La fig.1 muestra la forma que tomaría
una entrada escalón cuando tiene lugar
un cambio abrupto en la entrada en el
tiempo t=0 y la magnitud del escalón es
1. La ecuación para esta función es:
f(t) = 1
1
Tiempo t
0
Fig. 1 Una función escalón de altura 1
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2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA UNA FUNCION ESCALON
La ecuación anterior es válida para todos los valores t mayores que
0. Para los valores de t menores que 0 la ecuación es:
f(t) = 0.
La transformada de Laplace de esta función escalón, para valores
mayores que 0, es
F (s) = ∫∞ 1 e –st dt = -1/s [e –st ] ∞
0
0
Puesto que cuando t=∞, el valor de e ∞=0 y cuando t=o,
el valor e -0 = -1, entonces : F(s) = 1
s
f(t)
Suponga ahora que la señal de entrada de altura
de 1 unidad se tiene uno de “a” unidades, como se
muestra en la siguiente figura.
La transformada de Laplace de esta función es
a1
∞
F (s) = ∫0 a e –st dt
F(s) = a
s
que solo es a multiplicado por la transformada del
escalón unitario.
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Tiempo t
0
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EJERCICIO 1
a. Determinar, a partir de los primeros principios, la transformada de
la place de la función e –at , donde a es una constante.
Respuesta
La ecuación en función del tiempo f(t) = e–at
La transformada de Laplace de esta función es
∞
∞
–at
–st
F (s) = ∫ 0 e e dt = F(s) = ∫0 e–(s-a)t dt =
∞
F(s) = - 1 [e –(s-a)t ] 0
(s-a)
cuando t = ∞, el término en los corchetes
se convierte en 0 y cuando t=0, éste se
se convierte en -1. De este modo
F(s) = - 1__
(s-a)
.
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3. REGLAS BASICAS DE LA TRANSFORMADA DE LA PLACE
a. La adición o sustracción de dos funciones se convierte en la
adición de sus dos transformadas de Laplace.
f1(t) + f2(t) = F1 (s) + F2(s) f1(t) - f2(t) = F1 (s) - F2(s)
b. La multiplicación de una función por una constante se convierte
en la multiplicación de la transformada de La Place de la función
por la misma constante.
a f1(t) = a F1 (s)
c. La primera derivada de una función se convierte en s
multiplicada por la Transformada de Laplace de la función,
menos el valor f(t) en t = 0
d f(t) se convierte en
s F(s) – f(0)
dt
donde f(0) es el valor de la función en t=0
.
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3. REGLAS BASICAS DE LA TRANSFORMADA DE LA PLACE
d. La segunda derivada de una función se convierte en s²
multiplicada por la Transformada de Laplace de la función,
menos s multiplicada por la Transformada de Laplace de la
función en t = 0, menos el valor de la primera derivada de f(t) en
t=0
d² f(t) se convierte en
s² F(s) – sf(0) – df(0)
dt²
dt
donde sf(0) es s multiplicada por el valor de la función en t=0 y
df(0)/dt es la primera derivada de la función en t=0
e. La primera integral de una función, entre el tiempo cero y el
tiempo t, se convierte en (1/s) multiplicada por la transformada
de Laplace de la función.
∞
∫0 f (t) se convierte en
1/s F(s)
La tabla 4.1 contiene algunas transformadas de Laplace más
comunes y sus correspondientes funciones del tiempo.
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4. EMPLEO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA
RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES
Para utilizar la transformada de Laplace en la solución de una
ecuación diferencial, se adopta el siguiente procedimiento:
a)Transformar cada término de la ecuación diferencial en su
equivalente en transformada de Laplace, es decir, se cambia la
función del tiempo en función de (s).
b)Realizar todas las operaciones algebraicas, por ejemplo,
considerar que pasa cuando al sistema se aplica una entrada
escalón.
c) Convertir otra vez la función de Laplace resultante en una
ecuación que dé una función del tiempo, es decir, la operación
inversa de la transformada de Laplace. A fin de emplear las
tablas para hacer la conversión, a menudo es necesario
primero realizar una expansión en fracciones parciales para
obtener de éstas formas estándares dadas en las tablas.
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EJEMPLO. Emplear la transformada de Laplace para resolver la
siguiente ecuación diferencial
3dx/dt + 2x = 4
con x=0 en t=0
SOLUCION
La transformada de Laplace de 3dx/dt es 3 veces la transformada
de Laplace de dx/dt. La transformada de Laplace de 2x es 2
veces la transformada de Laplace de x. La transformada de
Laplace de 4 es 4/s, puesto que éste se puede considerar una
función de escalón de altura 4. De este modo:
3[sX(s) –x(0) ] + 2X (s) = 4/s
Donde X(s) es la transformada de Laplace de x. Debido a que
x(0) = 0, entonces
3[sX(s) –0 ] + 2X (s) = 4/s ; así 3 s² X(s) + 2sX(s) = 4
X(s) =
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4
=
3 s² +2s
2 (2/3)
s[s+2/3]
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Ahora se necesita encontrar las funciones de darían las
transformadas de Laplace de esta forma para obtener la
transformada inversa y obtener x. Puesto que la transformada
inversa de a
es (1- e–at), entonces:
s(s+a)
X = 2(1- e-2t/3)
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PRACTICA CALIFICADA
1. Determinar, a partir de los primeros principios, la transformada
de la place de la función t
2. Determinar, a partir de los primeros principios, la transformada
de la place de la función te –at
3. Determinar, a partir de los primeros principios, la transformada
de la place de la función sen wt.
4. Determinar, con base a la tabla 4.1 la transformada inversa de
Laplace para:
a) 2/s
b) 3/(2s+1)
c) 2(s-5)
d) a/[s(s+a)].
e) s/(s²+w²)
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5. Determinar, con base a la tabla 4.1 de nuestra bibliografía, la
transformada de Laplace para:
a)Un escalón de voltaje de magnitud de 4 v, que empieza en t=0.
b)Un escalón de voltaje de magnitud de 4 v, que empieza en t=2
seg.
c) Una rampa de voltaje que empieza en t=0 y se incrementa a
razón de 3 v/s
d)Una rampa de voltaje que empieza en t=2 s y se incrementa a
razón de 3 v/s.
e)Un impulso de voltaje de magnitud 4 V que empieza en t=3s
f) Un voltaje senoidal de amplitud 2 V y frecuencia angular de 10
Hz.
Para ambos casos graficar la señal en función del tiempo.
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6. Emplear la transformada de Laplace para resolver las siguientes
ecuaciones
a) 4 dx/dt + 8x = 5
b) V = RC dVc/dt + Vc
circuito eléctrico RC serie
c) K dØ0/dt = Øi – Øo
donde Øi es la temperatura de entrada
escalón a un termómetro, Ø0 es la salida de lectura del
termómetro.
d) dh = k(H-h)
dt
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donde : dh/dt es la razón de cambio
de la altura y k, una constante
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