Tema 3: Medidas de posición - OCW Usal
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Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Tema 3: Medidas de posición Estadística I Universidad de Salamanca Curso 2010/2011 Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Outline 1 Medidas de tendencia central Media Moda Mediana 2 Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Media Moda Mediana Outline 1 Medidas de tendencia central Media Moda Mediana 2 Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Media Moda Mediana Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Media aritmética Definición: X X= PN i=1 xi N = Pk i=1 xi ni N = k X xi fi i=1 Propiedades Es única No tiene porque ser un valor observado de la variable En su calculo intervienen todos los datos Sea X con media X entonces Y = aX + b =⇒ Y = aX + b Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Media Moda Mediana Media aritmética Propiedades Sea Y y X1 , X2 , . . . , Xn variables donde Y = a1 X1 + . . . + an Xn + b =⇒ Y = a1 X 1 + . . . + an X n + b La suma de las desviaciones con respecto a la media es cero. Sea di = xi − X la desviación de xi con respecto de la media X N X di = 0 i=1 Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Media Moda Mediana Media aritmética Propiedades Si la población objeto de estudio se divide en H partes: N 1 , N2 , . . . , N H = N. La media de una variable en toda la población es 1 X= 1 siendo X , . . . , X subpoblación H H X N1 + . . . + X NH N las medias de esa variable en cada Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Media Moda Mediana Media ponderada Definición: X p Pk Propiedades X p = Pi=1 k xi wi i=1 wi Generalización de la media aritmética Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Media Moda Mediana Media geométrica Definición: G G= q N x1n1 x2n2 . . . xknk Propiedades Es única Utiliza todos los elementos Sólo se puede aplicar a variables que tomen valores positivos Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Media Moda Mediana Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Media armónica Definición: H Pk H = Pki=1 ni ni i=1 xi Propiedades N = Pk ni i=1 xi Utiliza todos los elementos Sólo se puede aplicar a variables que tomen valores positivos Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Media Moda Mediana Outline 1 Medidas de tendencia central Media Moda Mediana 2 Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Media Moda Mediana Moda Definición: Mo Es aquel valor de la variable que más veces se repite o que la frecuencia sea máxima Propiedades No es única Siempre es un valor observado de la variable En su calculo no intervienen todos los datos Sea X con media X entonces Y = aX + b =⇒ MoY = a MoX + b Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Media Moda Mediana Moda Cálculo para datos sin agrupar xi x1 .. . ni n1 .. . xk Total nk N MoX La moda de la varibale X es el xi con mayor ni Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Media Moda Mediana Moda Cálculo para datos agrupados Ii L0 − L1 .. . ni n1 .. . ci c1 .. . hi h1 .. . Lk −1 − Lk nk ck hk Pasos para intervalos Seleccionamos el intervalo con máxima hi , el intervalo modal: Ii = Li−1 − Li hi+1 Mox = Li−1 + ci hi−1 + hi+1 Cuando el intervalo de mayor altura es el primero, hi−1 = 0 Cuando el intervalo de mayor altura es el último, hi+1 = 0 Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Media Moda Mediana Outline 1 Medidas de tendencia central Media Moda Mediana 2 Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Media Moda Mediana Mediana Definición: Me Es aquel valor de la variable que divide a la distribución de frecuencias en dos partes iguales, ordenando previamente los datos Propiedades Es única En su calculo no intervienen todos los datos Siempre es un valor observado de la variable Sea X con media X entonces Y = aX + b =⇒ MeY = a MeX + b Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Media Moda Mediana Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Mediana para datos no agrupados Cálculo para datos no agrupados xi x1 .. . ni n1 .. . Ni N1 .. . Fi F1 .. . xk nk Nk 1 Pasos Ordenamos los datos de menor a mayor Calculamos frecuencias absolutas y relativas acumuladas Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Media Moda Mediana Mediana para datos no agrupados Con frecuencias absolutas acumuladas ( xi si Ni−1 < N2 < Ni MeX = xi +xi+1 si Ni = N2 2 Con frecuencias relativas acumuladas ( xi si Fi−1 < 0,5 < Fi MeX = xi +xi+1 si Fi = 0,5 2 Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Media Moda Mediana Mediana para datos agrupados Cálculo para datos agrupados Ii L0 − L1 .. . ni n1 .. . ci c1 .. . hi h1 .. . Ni N1 .. . Fi F1 .. . Lk −1 − Lk nk ck hk Nk Fk Pasos Ordenamos los intervalos de menor a mayor Calculamos frecuencias absolutas y relativas acumuladas Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Media Moda Mediana Mediana para datos agrupados Con frecuencias absolutas acumuladas N −Ni−1 2 si Ni−1 < Li−1 + ci ni MeX = Li si Ni = N2 N 2 ≤ Ni Con frecuencias relativas acumuladas ( 0,5−Fi−1 si Fi−1 < 0,5 ≤ Fi Li−1 + ci fi MeX = Li si Fi = 0,5 Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Outline 1 Medidas de tendencia central Media Moda Mediana 2 Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Cuartiles Definición: Qj , j = 1, 2, 3 Son los valores de la variable que dividen la distribución en cuatro partes iguales. Su calculo es análogo al de la mediana Q2 = Me Pasos Ordenar los datos de menor a mayor Calculamos frecuencias absolutas y relativas acumuladas Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Cuartiles para datos no agrupados Con frecuencias absolutas acumuladas ( xi si Ni−1 < j 4N < Ni Qj = xi +xi+1 si Ni = j 4N 2 Con frecuencias relativas acumuladas ( xi si Fi−1 < 4j < Fi Qj = xi +xi+1 si Fi = 4j 2 Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Cuartiles para datos agrupados Con frecuencias absolutas acumuladas ! jN − N jN i−1 4 si Ni−1 < ≤ Ni Qj = Li−1 + ci ni 4 Con frecuencias relativas acumuladas ! j − F j i−1 si Fi−1 < ≤ Fi Qj = Li−1 + ci 4 fi 4 Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Outline 1 Medidas de tendencia central Media Moda Mediana 2 Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Deciles Definición: Dj , j = 1, . . . , 9 Son los valores de la variable que dividen en diez partes iguales a la distribución D5 = Q2 = Me Pasos Ordenar los datos de menor a mayor Calculamos frecuencias absolutas y relativas acumuladas Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Deciles para datos no agrupados Con frecuencias absolutas acumuladas ( N < Ni xi si Ni−1 < j10 Dj = xi +xi+1 jN si Ni = 10 2 Con frecuencias relativas acumuladas ( j < Fi xi si Fi−1 < 10 Dj = xi +xi+1 j si Fi = 10 2 Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Deciles para datos agrupados Con frecuencias absolutas acumuladas ! jN − N jN i−1 si Ni−1 < ≤ Ni Dj = Li−1 + ci 10 ni 10 Con frecuencias relativas acumuladas ! j − F j i−1 si Fi−1 < ≤ Fi Dj = Li−1 + ci 10 fi 10 Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Outline 1 Medidas de tendencia central Media Moda Mediana 2 Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Percentiles Definición: Pj , j = 1, . . . , 99 Son los valores de la variable que dividen en cien partes iguales a la distribución Pasos Ordenar los datos de menor a mayor Calculamos frecuencias absolutas y relativas acumuladas Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Percentiles para datos no agrupados Con frecuencias absolutas acumuladas ( jN < Ni xi si Ni−1 < 100 Pj = xi +xi+1 jN si Ni = 100 2 Con frecuencias relativas acumuladas ( j < Fi xi si Fi−1 < 100 Pj = xi +xi+1 j si Fi = 100 2 Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición Medidas de tendencia central Medidas de posición no centrales Cuartiles Deciles Percentiles Percentiles para datos agrupados Con frecuencias absolutas acumuladas ! jN − N jN i−1 si Ni−1 < ≤ Ni Pj = Li−1 + ci 100 ni 100 Con frecuencias relativas acumuladas ! j − F j i−1 si Fi−1 < ≤ Fi Pj = Li−1 + ci 100 fi 100 Grado en Administración y Dirección de Empresas Tema 3: Medidas de posición
