Práctica 3 - Laboratorio de procesado de imagen

Práctica 3
Variable Aleatoria 1D
3.1.
Objetivos
1. Familiarizar al alumno con la herramienta de trabajo MATLAB para el manejo de datos.
2. Ilustrar los conceptos básicos relacionados con variables aleatorias unidimensionales con ayuda
de ordenador.
3.2.
Bibliografı́a
C. Alberola López, Probabilidad, Variables Aleatorias y Procesos Estocásticos. Una introducción orientada a las telecomunicaciones. Secretariado de Publicaciones e Intercambio Editorial.
Universidad de Valladolid, 2004.
P. Z. Peebles, Probability, Random Variables and Random Signal Principles. Mc-Graw Hill Int.
Ed., 3rd Ed., 1994.
A. Papoulis, Probability, Random Variables and Stochastic Processes. Mc-Graw Hill Int. Ed.,
3rd Ed., 1993.
3.3.
Ejercicios previos
1.- Dada X variable aleatoria gaussiana de media η y desviación tı́pica σ, obtenga las probabilidades
P1 = P (X ≥ η), P2 = (X ≥ η + σ) y P2 = P (X ≥ η + 3σ).
2.- Un submarino navega por aguas en las que existe una corriente; cuando el submarino se encuentra
fuera del flujo de la misma, recibe en antena una señal ruidosa, modelable como una variable
aleatoria gaussiana, de media η1 y desviación tı́pica σ1 . Sin embargo, cuando se pasa al interior de
la misma, recibe una señal modelable como una variable, también gaussiana, pero de parámetros
η2 y σ2 . Se ha calculado que el porcentaje de tiempo que se encuentra en la corriente es del P %.
Definiendo la variable aleatoria X como señal recibida por el submarino, obtenga su función de
densidad de probabilidad, ası́ como su media y su varianza.
Rx
2
3.- Sabiendo que la función erf (x) se define: erf (x) = 0 √2π e−τ dτ escriba la función G(x) (área
bajo una curva normal estándar) como función de erf (x).
4.- Sea X ∼ N (0, 1). A partir de esta variable, obtenemos una nueva variable Y mediante la transformación Y = eµ+σX , la cual se conoce como VA lognormal de parámetros µ y σ (σ > 0). Se
pide:
(4.1) fY (y).
2
(4.2) E{Y} y σY
.
(4.3) P {Y > α}.
1
2
3.4.
3.4.1.
Práctica 3. Variable Aleatoria 1D
Ejercicios de laboratorio
Generación y análisis de datos gaussianos
En este apartado se generarı́a un registro de datos gaussianos. Para ello, escriba las siguientes sentencias:
N=100;
media=3;
sigma=1;
datos=media+sigma*randn(N,1);
Con éstas ha creado el vector datos cuyo contenido es un conjunto de valores que se distribuyen de
manera gaussiana, con media igual a media y desviación tı́pica igual a sigma. Trataremos de obtener en
pantalla una gráfica, calculada a partir de los datos, que proporcione una aproximación a la función de
densidad de probabilidad de la variable aleatoria bajo estudio. Para tal fin, haremos uso de la función
de hist la cual devuelve el histograma de los datos obtenidos. Por tanto teclee:
bins=20;
[altura X]=hist(datos,bins);
bar(X,altura);
y verı́a en pantalla una gráfica formada por rectángulos cuya altura refleja la cantidad de datos que se
encuentran en cada uno de los intervalos definidos por el vector X.
Para comprobar que el histograma es una aproximación de la función de densidad de probabilidad
de la variable bajo estudio introduzca las instrucciones siguientes:
delta=(max(datos)-min(datos))/bins;
experimental=altura/N/delta;
teorico=1/(sigma*sqrt(2*pi))*exp(-(X-media).^2/(2*sigma^2));
bar(X,experimental);
hold on
plot(X,teorico)
hold off
Extraiga las oportunas conclusiones.
Se trata ahora de comparar las probabilidades teóricas con las probabilidades muestrales; para ello,
calcule el porcentaje de valores que están por encima de la media una cierta cantidad. Para ello, puede
introducir algo como lo siguiente:
k=1;
prob1=sum(datos>media+k*sigma)/N
Compare el valor obtenido en prob1 con el teórico (éste último puede calcularlo empleando la función
erf); haga lo propio para los otros valores de k previstos en el ejercicio 1.
3.4.2.
Funciones de densidad de probabilidad condicionada
Con objeto de repasar los conceptos relacionados con las funciones condicionadas y el teorema de
la probabilidad total generaremos un conjunto de datos aleatorios de acuerdo con el resultado de un
segundo experimento aleatorio. Para ello, introduzca las siguientes instrucciones:
N=1000;
flags=rand(N,1);
umbral=0.5;
media1=-3;
sigma1=1;
media2=3;
sigma2=sqrt(2);
datos=(media1+sigma1*randn(N,1)).*(flags>=umbral)+...
(media2+sigma2*randn(N,1)).*(flags<umbral);
El vector datos es generado mediante la filosofı́a siguiente: se genera un primer vector (flags)
mediante una función de densidad de probabilidad uniforme. A continuación se hace una comparación,
elemento a elemento, con la variable umbral. Según cual sea el resultado de esta comparación se asigna
a cada valor de datos una variable gaussiana de las dos posibles.
Se trata de obtener el histograma, la media y la varianza, y compararlos con sus correspondientes
Señales Aleatorias y Ruido
3
valores teóricos. Con respecto al histograma, emplee instrucciones similares a las escritas en el apartado
3.4.1. Por otra parte, se puede estimar la media y la varianza, respectivamente, mediante las expresiones
x
=
N
1 X
xi
N i=1
s2
=
1 X
2
(xi − x)
N − 1 i=1
N
donde los valores xi , i = {1, . . . , N }, son cada una de las componentes del vector Datos. En Matlab
puede emplear las órdenes mean y var para tal fin.
3.4.3.
Transformación de VA 1D
Escriba las instrucciones MatLab necesarias para generar N = 10,000 muestras de la variable
aleatoria normal Y definida en el ejercicio previo 4. Determine los valores µ y σ de forma que E{Y} = 2
y E{Y2 } = 5. A partir de estos valores calcule muestralmente las funciones y parámetros solicitados
en el ejercicio. Concretamente:
Mediante un histograma, obtenga una aproximación a la fdp de la variable transformada Y.
Superponga la expresión analı́tica de fY (y) oportunamente escalada.
2
Obtenga los valores muestrales de E{Y} y σY
.
Por último calcule P {Y > α}. Compruebe la coincidencia de los cálculos analı́ticos y muestrales
para diferentes valores de α.