2. El sistema de numeración binario

2. El sistema de numeración
binario
Oliverio J. Santana Jaria
Sistemas Digitales
Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas
Curso 2005 – 2006
Introducción
Todos estamos familiarizados con el sistema de
numeración decimal, ya que lo usamos cada día
En los ordenadores, así como en la electrónica digital
en general, se utiliza el sistema de numeración binario
Todos las operaciones realizadas por un sistema digital usan
únicamente los símbolos 0 y 1
Todos los números y datos de un computador tienen que
representarse en forma binaria
Los objetivos de este tema son:
Describir el sistema de numeración binario
Describir las operaciones básicas de la aritmética binaria
El sistema de numeración binario
2
1
Estructura del tema
Introducción
Sistemas de numeración
El sistema decimal
El sistema binario
Los sistemas octal y hexadecimal
Operaciones básicas
Operaciones con números enteros
Aritmética binaria
Signo-magnitud
▫ Complemento a 1
▫ Complemento a 2
▫
Formato de representación en coma flotante
Resumen y bibliografía
El sistema de numeración binario
3
El sistema decimal
El sistema decimal utiliza diez dígitos para representar
una cantidad
Se pueden representar cantidades del 0 al 9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Para cantidades mayores que 9 hay que combinar dígitos
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21…
El sistema decimal es un sistema de numeración
posicional, es decir, un mismo dígito tiene diferentes
valores en función de la posición que ocupe
El sistema de numeración binario
4
2
Estructura de pesos decimal
La posición de cada dígito dentro de un número
decimal indica la magnitud representada
A cada posición se le asigna un valor llamado peso
Dado que tenemos 10 dígitos, los pesos son potencias de 10
Decimos que el sistema decimal es un sistema en base 10
Los pesos de los números enteros son potencias
positivas de 10 que aumentan de derecha a izquierda
0
…104 103 102 101 100
empezando por 10
Los pesos de los números fraccionarios son potencias
negativas de 10 que aumentan de izquierda a derecha
-1
empezando por 10
…101 100 ’ 10–1 10–2 10–3…
El sistema de numeración binario
5
Números decimales
El valor de un número decimal es la suma de sus
dígitos después de haber multiplicado cada dígito por
su peso
Ejemplo: 21.264
2 1 2 6 4
104 103 102 101 100
21264 = (2 x 104) + (1 x 103) + (2 x 102) + (6 x 101) + (4 x 100)
21264 = (2 x 10000) + (1 x 1000) + (2 x 100) + (6 x 10) + (4 x 1)
21264 = 20000 + 1000 + 200 + 60 + 4
El sistema de numeración binario
6
3
Números decimales
El valor de un número decimal es la suma de sus
dígitos después de haber multiplicado cada dígito por
su peso
Ejemplo: 318’23
3 1 8 ’ 2
102 101 100
3
10–1 10–2
318’23 = (3 x 102) + (1 x 101) + (8 x 100) + (2 x 10–1) + (3 x 10–2)
318’23 = (3 x 100) + (1 x 10) + (8 x 1) + (2 x 0,1) + (3 x 0,01)
318,23 = 300 + 10 + 8 + 0,2 + 0,03
El sistema de numeración binario
7
Estructura del tema
Introducción
Sistemas de numeración
El sistema decimal
El sistema binario
Los sistemas octal y hexadecimal
Aritmética binaria
Operaciones básicas
Operaciones con números enteros
▫ Signo-magnitud
▫ Complemento a 1
▫ Complemento a 2
Formato de representación en coma flotante
Resumen y bibliografía
El sistema de numeración binario
8
4
El sistema binario
El sistema binario es un sistema de numeración
bits): el 0 y el 1
posicional con dos dígitos distintos (
Dado que tenemos 2 dígitos, los pesos son potencias de 2
Decimos que el sistema binario es un sistema en base 2
Los pesos de los números enteros son potencias
positivas de 2 que aumentan de derecha a izquierda
0
… 24 23 22 21 20
empezando por 2
Los pesos de los números fraccionarios son potencias
negativas de 2 que aumentan de izquierda a derecha
empezando por 2
–1
… 21 20 ’ 2–1 2–2 2–3…
El sistema de numeración binario
9
Contar en binario
decimal
El sistema decimal es un sistema de
numeración posicional con diez
dígitos distintos
En decimal podemos contar hasta 9
sin repetir ningún dígito
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Dicho de otra manera, usando 1
1
dígito podemos contar 10
distintos (desde 0 hasta
El sistema de numeración binario
números
1
10
– 1)
10
5
Contar en binario
decimal
A partir de 9 nos vemos obligados a
repetir dígitos
2
Con 2 dígitos podemos contar 10
2
números (desde 0 hasta 10
3
Con 3 dígitos podemos contar 10
3
números (desde 0 hasta 10
– 1)
En general, con
– 1)
n dígitos podemos
números distintos, es
decir, desde 0 hasta 10n – 1
contar
n
10
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
El sistema de numeración binario
11
Contar en binario
El sistema binario es un sistema de
numeración posicional con dos
dígitos distintos (bits): el 0 y el 1
En binario sólo podemos contar
hasta 1 sin repetir bits
Dicho de otra manera, usando 1 bit
podemos contar 21 números
distintos (desde 0 hasta 21 – 1)
El sistema de numeración binario
decimal
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
binario
0
1
12
6
Contar en binario
Para contar más allá de 1 nos vemos
obligados a combinar bits
Con 2 bits podemos contar 22
números (desde 0 hasta 22 – 1)
decimal
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
binario
00
01
10
11
El sistema de numeración binario
13
Contar en binario
Con 3 bits podemos contar 2
3
números (desde 0 hasta 23 – 1)
El sistema de numeración binario
decimal
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
binario
000
001
010
011
100
101
110
111
14
7
Contar en binario
Con 4 bits podemos contar 2
4
números (desde 0 hasta 24 – 1)
En general, con n bits podemos
contar 2n números distintos, es
decir, desde 0 hasta 2n – 1
decimal
binario
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
El sistema de numeración binario
15
Pesos de un número binario
Un número entero tendrá la siguiente estructura de
pesos, siendo n el número de bits
2n-1 … 24
23
bit más significativo
22
21
20
bit menos significativo
Un número fraccionario tendrá la siguiente estructura
de pesos, siendo n el número de bits de la parte entera y
m el número de bits de la parte fraccionaria
2n-1 … 22
21
20 ’ 2–1 2–2 2–3 … 2–m
coma fraccionaria
El sistema de numeración binario
16
8
Conversión binario a decimal
El valor decimal de cualquier número binario se puede
determinar sumando los pesos de todos los bits 1 y
descartando los pesos de todos los bits 0
Ejemplo: 1101101
1
1
0
1
1
0
1
26
25
24
23
22
21
20
1101101 = 1x26 + 1x25 + 0x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20
1101101 = 1x64 + 1x32 + 0x16 + 1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1
1101101 = 64 + 32 + 8 + 4 + 1 = 109
El sistema de numeración binario
17
Conversión binario a decimal
Otro ejemplo: 10011001110
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
210
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
10011001110 =
1x210 + 0x29 + 0x28 + 1x27 + 1x26
+ 0x25 + 0x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20
10011001110 =
1x1024 + 0x512 + 0x256 + 1x128 + 1x64
+ 0x32 + 0x16 + 1x8 + 1x4 + 1x2 + 0x1
10011001110 =
1024 + 128 + 64 + 8 + 4 + 2 = 1230
El sistema de numeración binario
18
9
Conversión binario a decimal
Para convertir números fraccionarios es importante
recordar el significado de las potencias negativas
2-1 = 1/(21) = 0’5
10-1 = 1/(101) = 0’1
Ejemplo: 0,1011
0 ’ 1 0 1
20
2–2
2–1
1
2–3
2–4
0’1011 = 0x20 + 1x2–1 + 0x2–2 + 1x2–3 + 1x2–4
0’1011 = 0x1 + 1x0’5 + 0x0’25 + 1x0’125 + 1x0’0625
0’1011 = 0’5 + 0’125 + 0’0625 = 0’6875
El sistema de numeración binario
19
Conversión binario a decimal
Otro ejemplo: 1101’010101
1
1
0
1
23
22
21
20
’
0
1
0
1
1
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
1101’01011 =
1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 + 0x2–1 + 1x2–2
+ 0x2–3 + 1x2–4 + 1x2–5
1101’01011 =
1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 + 0x0’5 + 1x0’25 +
+ 0x0’125 + 1x0’0625 + 1x0’03125
1101’01011 =
8 + 4 + 1 + 0’25 + 0’0625 + 0’03125
= 13’34375
El sistema de numeración binario
20
10
Conversión decimal a binario
El método de la suma de pesos consiste en determinar
el conjunto de pesos binarios que suman el número
Se resta al número la mayor potencia de 2 que no lo
sobrepase y se repite el proceso sobre el resultado
El proceso concluye cuando el resultado es 0 ó cuando se ha
obtenido el número deseado de cifras fraccionarias
Se asigna un 1 al peso de las potencias de 2 usadas
Ejemplo: 82
27 = 128
26 = 64
25 = 32
24 = 16
23 = 8
22 = 4
21 = 2
20 = 1
82 – 64 = 18 26
18 – 16 = 2 24
2–2=0
21
82 = 1010010
El sistema de numeración binario
21
Conversión decimal a binario
Otro ejemplo con la suma de pesos: 411’7401
411’7401 – 256 = 155’7401
28
155’7401 – 128 = 27’7401
27
27’7401 – 16 = 11’7401
24
11,7401 – 8 = 3’7401
23
3,7401 – 2 = 1’7401
21
1,7401 – 1 = 0’7401
20
0,7401 – 0,5 = 0’2401
2–1
0,2401 – 0,125 = 0’1151
2–3
0,1141 – 0,0625 = 0’50526
2–4
411’7401 = 110011011’1011…
El sistema de numeración binario
29 = 512
28 = 256
27 = 128
26 = 64
25 = 32
24 = 16
23 = 8
22 = 4
21 = 2
20 = 1
2–1 = 0’5
2–2 = 0’25
2–3 = 0’125
2–4 = 0’0625
2–5 = 0’03125
22
11
Conversión decimal a binario
El método de las divisiones sucesivas tiene la ventaja
de ser más sistemático que el de la suma de pesos
Se divide el número entre 2 y se repite el proceso sobre el
resultado hasta que el resto de la división sea 0 ó 1
El cociente de la última división será el bit más significativo
Los demás bits serán los restos de las divisiones en orden
inverso, hasta llegar al resto de la primera división, que será
el bit menos significativo
Un ejemplo: 12
12
0
2
6
0
2
3
1
2
1
12 = 1100
El sistema de numeración binario
23
Conversión decimal a binario
El método de las divisiones sucesivas se aplica a la
parte entera de los números decimales
La parte fraccionaria puede convertirse de manera
similar, pero usando multiplicaciones por 2
La parte entera de los resultados se descarta, dando lugar, en
orden inverso, a los dígitos binarios buscados
El proceso se detiene cuando el resultado es 0 o cuando se
obtiene el número deseado de cifras fraccionarias
0’3125 x 2 = 0,625
0,625 x 2 = 1,25
0,25 x 2 = 0,5
0,5 x 2 = 1,0
0’3125 = 0’0101
0
Ejemplo: 0’3125
El sistema de numeración binario
24
12
Conversión decimal a binario
Un ejemplo con divisiones y multiplicaciones: 25’7187
25
1
2
12
0
0’7187 x 2 = 1,4374
2
6
0
0’4374 x 2 = 0,8748
2
3
1
2
1
0’8748 x 2 = 1,7496
0’7496 x 2 = 1’4992
0’4992 x 2 = 0’9984
0,9984 x 2 = 1’9968
…
25’7187 = 11001’101101…
El sistema de numeración binario
25
Indicar la base
Dado que trabajamos con números expresados en
distintas bases, es importante indicar siempre en que
base está representado cada número
1110 en binario ≠ 1110 en decimal
1110 en binario = 14 en decimal
1110 en decimal = 10001010110 en binario
Por ejemplo, podemos indicar la base usando un
subíndice justo después del número
1110(2) ≠ 1110(10)
1110(2) = 14(10)
1110(10) = 10001010110(2)
El sistema de numeración binario
26
13
Estructura del tema
Introducción
Sistemas de numeración
El sistema decimal
El sistema binario
Los sistemas octal y hexadecimal
Aritmética binaria
Operaciones básicas
Operaciones con números enteros
▫ Signo-magnitud
▫ Complemento a 1
▫ Complemento a 2
Formato de representación en coma flotante
Resumen y bibliografía
El sistema de numeración binario
27
El sistema octal
Los números binarios largos son difíciles de leer o
escribir, ya que es fácil cometer un error
El sistema octal es un sistema de numeración posicional
en base 8
Existen 8 dígitos distintos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Los pesos son potencias de 8
Dado que la base del sistema octal es múltiplo de 2, las
conversiones entre octal y binario son muy fáciles
El sistema octal se utiliza como forma simplificada de
representar números binarios
El sistema de numeración binario
28
14
Contar en octal
Usando 1 dígito octal podemos
contar 81
números distintos,
1
desde 0 hasta 8
– 1
decimal
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
octal
0
1
2
3
4
5
6
7
El sistema de numeración binario
29
Contar en octal
Usando 2 dígitos octales
2
podemos contar 8
números
2
distintos, desde 0 hasta 8
En general, con
– 1
n dígitos
octales podemos contar desde
n
0 hasta 8
– 1
El sistema de numeración binario
decimal
octal
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
00
01
02
03
04
05
06
07
10
11
12
13
14
15
16
17
30
15
Equivalencia octal – binario
3
Cada dígito octal equivale a un grupo de 3 bits (2
= 8)
Dado que 8 es potencia de dos, la conversión de
números entre octal y binario resulta trivial
octal
binario
0
1
2
3
4
5
6
7
000
001
010
011
100
101
110
111
43726(8) = 100 011 111 010 110(2)
El sistema de numeración binario
31
Conversión decimal – octal
Para convertir un número octal a decimal debemos
sumar el valor de cada dígito multiplicado por su peso
2374(8) = 2x83 + 3x82 + 7x81 + 4x80 = 1276(10)
Para convertir un número decimal a octal debemos
aplicar el método de las divisiones/multiplicaciones
sucesivas, pero esta vez utilizando la base 8
1276
4
8
159
7
El sistema de numeración binario
8
19
3
8
2
1276(10) = 2374(8)
32
16
Estructura del tema
Introducción
Sistemas de numeración
El sistema decimal
El sistema binario
Los sistemas octal y hexadecimal
Aritmética binaria
Operaciones básicas
Operaciones con números enteros
▫ Signo-magnitud
▫ Complemento a 1
▫ Complemento a 2
Formato de representación en coma flotante
Resumen y bibliografía
El sistema de numeración binario
33
El sistema hexadecimal
El sistema hexadecimal es un sistema de numeración
posicional en base 16
Existen 16 dígitos distintos: 0…9, A, B, C, D, E, F
Los pesos son potencias de 16
Dado que la base del sistema hexadecimal es múltiplo
de 2, las conversiones entre hexadecimal y binario son
muy fáciles
El sistema hexadecimal es la forma más frecuente
usada para simplificar la representación de números
binarios
El sistema de numeración binario
34
17
Contar en hexadecimal
Usando 1 dígito hexadecimal
1
podemos contar 16
números
1
distintos, desde 0 hasta 16
– 1
A partir de F debemos empezar a
combinar dígitos, es decir, el
siguiente número es 10, el
siguiente 11,…, 1F, 20, 21,…
En general, con
n dígitos
hexadecimales podemos contar
n
16
números distintos, es decir,
n
desde 0 hasta 16
– 1
decimal
hexadecimal
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
El sistema de numeración binario
35
Equivalencia hexadecimal – binario
Dado que 16 es potencia de dos, la
conversión de números entre
hexadecimal y binario resulta trivial
Cada dígito hexadecimal equivale a
4
un grupo de 4 bits (2
= 16)
A3F26(16) = 1010 0011 1111 0010 0110(2)
F6100(16) = 1111 0110 0001 0000 0000(2)
FFFFF(16) = 1111 1111 1111 1111 1111(2)
El sistema de numeración binario
hexadecimal
binario
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
36
18
Conversión decimal – hexadecimal
Para convertir un número hexadecimal a decimal
debemos sumar el valor de cada dígito multiplicado por
el valor de su peso
29C(16) =
2x162 + 9x161 + Cx160 =
2x162 + 9x161 + 12x160 = 668(10)
Para convertir un número decimal a hexadecimal
usaremos el método de las divisiones/multiplicaciones
sucesivas, pero esta vez utilizando la base 16
668
12
16
41
9
16
2
668(10) = 29C(16)
El sistema de numeración binario
37
Estructura del tema
Introducción
Sistemas de numeración
El sistema decimal
El sistema binario
Los sistemas octal y hexadecimal
Aritmética binaria
Operaciones básicas
Operaciones con números enteros
▫ Signo-magnitud
▫ Complemento a 1
▫ Complemento a 2
Formato de representación en coma flotante
Resumen y bibliografía
El sistema de numeración binario
38
19
Aritmética binaria
La aritmética binaria es esencial en los ordenadores y
en muchos otros tipos de sistemas digitales
Para comprender los sistemas aritméticos digitales es
necesario conocer los principios básicos de la suma, la
resta, la multiplicación y la división binarias
Afortunadamente, las técnicas utilizadas en estas
operaciones son similares a las técnicas usadas en la
aritmética decimal a la que estamos acostumbrados
El sistema de numeración binario
39
Suma binaria
La operación de suma se estructura en columnas
El bit menos significativo del resultado de una columna es la
suma de dicha columna
El bit más significativo del resultado de una columna pasa
como acarreo a la columna siguiente
Las cuatro reglas básicas de la suma binaria son:
suma 0, acarreo 0
0 + 1 = 01 suma 1, acarreo 0
1 + 0 = 01 suma 1, acarreo 0
1 + 1 = 10 suma 0, acarreo 1
0 + 0 = 00
El sistema de numeración binario
40
20
Suma binaria
En el momento en el que aparece un acarreo igual a 1
nos vemos obligados a sumar tres bits en lugar de dos
suma 1, acarreo 0
1 + 0 + 1 = 10 suma 0, acarreo 1
1 + 1 + 0 = 10 suma 0, acarreo 1
1 + 1 + 1 = 11 suma 1, acarreo 1
1 + 0 + 0 = 01
Ejemplo: 1110 + 1010
1
1
1
1
1
0
14
+
1
0
1
0
+ 10
1
1
0
0
0
24
El sistema de numeración binario
41
Suma binaria
Otro ejemplo: 1001001010’11 + 1101010111’1
1
1
1
1
1
1
1
1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 ’ 1 1
+ 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 ’ 1 0
1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 ’ 0 1
586’75 + 855’5 = 1442’25
El sistema de numeración binario
42
21
Resta binaria
La operación de resta también se organiza en columnas
Si el minuendo es menor que el sustraendo
El resultado de la resta es la diferencia entre los dos
Se produce un acarreo negativo, es decir, sumamos 1 al
sustraendo de la siguiente columna
En binario sólo se producirá un acarreo negativo cuando se
intenta restar 0 menos 1
Ejemplo: 1101 - 111
–
1
1
1
1
0
1
13
0
1
1
1
– 7
0
1
1
0
6
El sistema de numeración binario
43
Resta binaria
Otro ejemplo: 1010101110’10 – 1001110100’01
1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 ’ 1 0
1
1
1
1
– 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 ’ 0 1
0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 ’ 0 1
686’5 – 628’25 = 58’25
El sistema de numeración binario
44
22
Multiplicación binaria
Las reglas básicas de la multiplicación binaria son:
0x0=0
1x0=0
0x1=0
1x1=1
La multiplicación se realiza generando productos
parciales, desplazando cada nuevo producto parcial una
posición a la izquierda y luego sumándolos todos
Ejemplo: 11 x 10
1
x 1
0
+ 1 1
1
0
0
1
0
El sistema de numeración binario
1
3
x 2
6
45
Multiplicación binaria
Otro ejemplo: 11010 x 101
1 1 0 1 0
x
1 0 1
1
1 1 0 1 0
0 0 0 0 0
1
1
+ 1 1 0 1 0
1 0 0 0 0 0 1 0
El sistema de numeración binario
26 x 5 = 130
46
23
División binaria
La división binaria sigue el procedimiento tradicional
de multiplicación y resta al que estamos acostumbrados
Ejemplo: 110 / 11
1
1
– 1
1
0 0
– 0
0
1
1
1
0
6
0
3
2
0
0
0
El sistema de numeración binario
47
División binaria
Otro ejemplo: 100011 / 110
1 0 0 0 1 1
1
1
– 1 1 0
1 1 0
1 0 1
0 0 1 0 1 1
1
– 1 1 0
0 1 0 1
35 / 6 = 5 (resto = 5)
El sistema de numeración binario
48
24
Estructura del tema
Introducción
Sistemas de numeración
El sistema decimal
El sistema binario
Los sistemas octal y hexadecimal
Operaciones básicas
Operaciones con números enteros
Aritmética binaria
▫ Signo-magnitud
▫ Complemento a 1
▫ Complemento a 2
Formato de representación en coma flotante
Resumen y bibliografía
El sistema de numeración binario
49
Números con signo
Los sistemas digitales deben ser capaces de manejar
tanto números positivos como números negativos
Un número binario con signo se caracteriza por su
magnitud y su signo
La magnitud indica el valor del número
El signo indica si es positivo o negativo
Vamos a ver tres formatos binarios para representar
números enteros
En todos ellos, el bit más significativo representa el signo
Todos los números en un ordenador tienen la mismo cantidad
de bits, por lo que el bit de signo tiene una posición fija
El sistema de numeración binario
50
25
Signo-magnitud
El bit más a la izquierda representa el signo del número
y el resto de bits representan la magnitud del número
Un número negativo tiene los mismos bits de magnitud
que su versión positiva, pero distinto bit de signo
Se utiliza un 0 para el signo positivo
Se utiliza un 1 para el signo negativo
Dado que los ordenadores tienen números de tamaño
fijo, supondremos un número fijo de bits (por ejemplo 8)
26 25 24
23 22
21
20
0 0 0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 0 1
16 + 4 + 1 21
16 + 4 + 1 –21
El sistema de numeración binario
51
Rango de valores en signo-magnitud
Los números binarios naturales de
n bits pueden tener valores que van
0
001
1
Dado que los números en formato
010
2
signo-magnitud usan un bit de signo,
011
3
100
–0
101
–1
110
–2
111
–3
un número de
n bits sólo dedicará
n – 1) bits a representar la magnitud
(
decimal
000
n
desde 0 hasta 2 – 1
binario
Los números en signo-magnitud
pueden tener valores que van desde
n–1
–(2
n–1 –
– 1) hasta +(2
El sistema de numeración binario
1)
52
26
Aritmética en signo-magnitud
Suma y resta en signo-magnitud
Se comparan el signo y la magnitud de los operandos
Si el signo de los operandos es el mismo se suman las
magnitudes y se mantiene el mismo signo
Si el signo de los operandos es distinto, se resta la magnitud
mayor menos la menor y se pone el signo de la mayor
Multiplicación y división en signo-magnitud:
Se multiplican o dividen las magnitudes
Si los operandos tienen el mismo signo el resultado es
positivo; en caso contrario el resultado es negativo
El sistema de numeración binario
53
Desventajas en signo-magnitud
En el formato signo-magnitud existen dos ceros, uno
positivo y otro negativo, pero con el mismo significado
La multiplicación y la división pueden hacerse
basándose en sumas y restas, pero es necesario tener
circuitos capaces tanto de sumar como de restar
Dado que las operaciones de suma y resta necesitan
realizar comparaciones, los circuitos aritméticos en
signo magnitud tienden a ser más lentos de lo deseado
El sistema de numeración binario
54
27
Estructura del tema
Introducción
Sistemas de numeración
El sistema decimal
El sistema binario
Los sistemas octal y hexadecimal
Aritmética binaria
Operaciones básicas
Operaciones con números enteros
▫ Signo-magnitud
▫ Complemento a 1
▫ Complemento a 2
Formato de representación en coma flotante
Resumen y bibliografía
El sistema de numeración binario
55
Complemento a 1
El complemento a 1 de un número binario se obtiene
cambiando todos los 0 por 1 y todos los 1 por 0
Los números positivos se representan igual que los
números positivos en formato signo-magnitud
Los números negativos son el complemento a 1 del
correspondiente número positivo
0 0 0 1 0 1 0 1
1 1 1 0 1 0 1 0
–21
El sistema de numeración binario
21
56
28
Valor decimal en complemento a 1
El valor decimal de los números positivos se calcula de
la misma manera que en signo-magnitud
26 25 24
23 22
21
20
0 0 0 1 0 1 0 1
16 + 4 + 1
21
El valor de los números negativos se calcula asignando
el valor negativo al peso del bit de signo y luego
sumando uno al resultado
–27 26 25 24
23 22
21
20
1 1 1 0 1 0 1 0
–128 + 64 + 32 + 8 + 2
–22 + 1 –21
El sistema de numeración binario
57
Rango de valores en complemento a 1
El bit más significativo de los
números en formato complemento a 1
0
001
1
010
2
011
3
100
–3
Los números en complemento a 1
101
–2
pueden tener valores que van desde
110
–1
111
–0
Un número de
n bits sólo dedicará
n – 1) bits a representar la magnitud
(
decimal
000
identifica el signo
binario
n–1
–(2
n–1 –
– 1) hasta +(2
El sistema de numeración binario
1)
58
29
Generalización: complemento a la base – 1
El complemento a la base menos uno de un número
se calcula restándolo a la potencia de la base que se
corresponde con la cantidad de dígitos del número y
luego restando uno al resultado
Sistema decimal Complemento a 9
Con 2 dígitos decimales 28 100
Sistema binario
Complemento a 1
Con 3 bits
011(2)
1000(2) – 011(2) – 1 = 100(2)
(10)
(10)
– 28(10) – 1 = 71(10)
La conversión de un número a este formato se puede
realizar de forma sencilla, dígito a dígito
en binario se intercambian 0’s y 1’s:
011(2)
en decimal se resta cada dígito a 9:
28(10)
100
71
(2)
(10)
El sistema de numeración binario
59
Generalización: complemento a la base – 1
Representando los números negativos en complemento
a la base menos uno se simplifica la operación de resta
La resta de dos números se expresa como la suma de un
número positivo y otro negativo
El minuendo se mantiene positivo
El sustraendo se pasa a negativo calculando su complemento
a la base menos uno
con 3 bits
011
(2)
– 011(2) = 0(2)
con 2 dígitos decimales
28
El sistema de numeración binario
(10)
011
(2)
+ 100(2) = 111(2) = – 0
– 28(10) = 0(10)
28
(10)
+ 71 (10) = 99(10) = – 0
60
30
Aritmética en complemento a 1
La operación de resta es innecesaria: para restar
podemos limitarnos a sumar el complemento a 1 del
número que queremos restar
Por ejemplo, suponiendo números de 8 bits (1
byte):
00011000 – 00011001 = 00011000 + 11100110
0 0 0 1 1 0 0 0
+1 1 1 0 0 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1 0
24 – 25 = 24 + (–25) = –1
La multiplicación y la división también pueden
realizarse partiendo de la suma
El sistema de numeración binario
61
Aritmética en complemento a 1
La suma puede producir un acarreo en la última
columna, que no puede representarse en 8 bits
Para obtener el valor correcto debemos sumar este
acarreo al resultado de la suma
Por ejemplo, suponiendo de nuevo números de 8 bits:
00011001 – 00011000 = 00011001 + 11100111
+
0 0 0 1 1 0 0 1
1 1 1 0 0 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0
1
+
0 0 0 0 0 0 0 1
El sistema de numeración binario
25 – 24 = 25 + (–24) = 1
62
31
Desbordamiento
Dado que los números en un ordenador tienen una
cantidad fija de bits, es posible un desbordamiento, es
decir, que el resultado tenga demasiados bits
Podremos identificar un resultado como incorrecto a
causa de un desbordamiento porque no tendrá el signo
que debería tener
+
0 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0 1 0
127
3
–125
Dos sumandos positivos no pueden sumar negativo
El sistema de numeración binario
63
Desventajas del complemento a 1
En el formato complemento a 1 existen dos ceros, uno
positivo y otro negativo, pero con el mismo significado
La multiplicación, la división y la resta pueden hacerse
basándose en sumas, pero los circuitos sumadores se
complican porque en determinadas circunstancias hay
que sumar un acarreo al resultado
Debido a esta complicación, los circuitos aritméticos en
complemento a 1 también tienden a ser más lentos de lo
que se querría
El sistema de numeración binario
64
32
Estructura del tema
Introducción
Sistemas de numeración
El sistema decimal
El sistema binario
Los sistemas octal y hexadecimal
Aritmética binaria
Operaciones básicas
Operaciones con números enteros
▫ Signo-magnitud
▫ Complemento a 1
▫ Complemento a 2
Formato de representación en coma flotante
Resumen y bibliografía
El sistema de numeración binario
65
Complemento a 2
El complemento a 2 de un número binario se obtiene
sumando uno al bit menos significativo del
complemento a 1 del número
0 0 0 1 0 1 0 1
1 1 1 0 1 0 1 0
+
1
1 1 1 0 1 0 1 1
21
–21
Un método alternativo es comenzar por el bit menos
significativo hasta encontrar un 1 y luego hacer el
complemento a 1 del resto del número
El sistema de numeración binario
66
33
Valor decimal en complemento a 2
El valor decimal de los números positivos y negativos
se calcula sumando los pesos de todas las posiciones en
las que haya un 1
27
26 25 24
23 22 21
20
0 0 0 1 0 1 0 1
16 + 4 + 1
21
Al bit de signo de los números negativos se le asigna un
peso negativo
–27 26 25 24
23 22
21
20
1 1 1 0 1 0 1 1
–128 + 64 + 32 + 8 + 2 + 1
–21
El sistema de numeración binario
67
Rango de valores en complemento a 2
El bit más significativo de los
números en formato complemento a 2
0
001
1
010
2
011
3
100
–4
Los números en signo-magnitud
101
–3
pueden tener valores que van desde
110
–2
111
–1
Un número de
n bits sólo dedicará
n – 1) bits a representar la magnitud
(
decimal
000
identifica el signo
binario
n–1)
–(2
n–1 –
hasta +(2
El sistema de numeración binario
1)
68
34
Generalización: complemento a la base
El complemento a la base de un número se calcula
restándolo a la potencia de la base correspondiente a
la cantidad de dígitos del número
Sistema decimal Complemento a 10
Con 2 dígitos decimales 28 100
Sistema binario
Complemento a 2
Con 3 bits
011(2)
1000(2) – 011(2) = 101(2)
(10)
(10)
– 28(10) = 72(10)
Representando los números negativos en complemento
a la base se simplifica la resta, permitiendo expresarla
como la suma de un número positivo y otro negativo
Con 3 bits
011
(2)
– 011(2) = 0(2)
Con 2 dígitos decimales
28
(10)
011
(2)
+ 101(2) = 1000(2)
– 28(10) = 0(10)
28
(10)
+ 72 (10) = 100(10)
El sistema de numeración binario
69
Ventajas del complemento a 2
Solo existe una representación del cero
Todas las operaciones pueden hacerse con un circuito
sumador, más simple que el usado por signo-magnitud
o complemento a 1 y, por tanto, más rápido
Por estos motivos, el complemento a 2 es el formato
más utilizado por los ordenadores actuales
binario
signo-magnitud
complemento a 1
complemento a 2
000
001
010
011
100
101
110
111
0
1
2
3
–0
–1
–2
–3
0
1
2
3
–3
–2
–1
–0
0
1
2
3
–4
–3
–2
–1
El sistema de numeración binario
70
35
Suma en complemento a 2
Dado que el complemento a 2 es el formato más usado,
estudiaremos su aritmética con más detalle
Vamos a suponer que los números con los que
trabajaremos tienen 8 bits (1 byte)
A la hora de sumar dos números en complemento a 2,
existen cuatro situaciones posibles
Ambos números son positivos
Los dos números tienen distinto signo
▫ El número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo
▫ El número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo
Ambos números son negativos
El sistema de numeración binario
71
Suma en complemento a 2
Si los dos valores sumados son positivos, el resultado
también será positivo
overflow),
Existe la posibilidad de un desbordamiento (
es decir, de obtener un resultado incorrecto porque
necesita más bits de los que se pueden representar
0 1 1 1 1 1 0 1
1
1
1
1
+ 0 0 1 1 1 0 1 0
1 1 1 1 0 1 1 1
125
58
183 (max = 2 – 1 = 127)
7
Overflow!! El resultado debe ser positivo
El sistema de numeración binario
72
36
Suma en complemento a 2
Si los dos valores sumados son negativos el resultado
también será negativo
carry)
Existe la posibilidad de que aparezca un acarreo (
pero no invalida el resultado y debe descartarse
1 1 1 1 1 0 1 1
1
1
1
1
1
+ 1 1 1 1 1 0 1 0
1 1 1 1 1 0 1 0 1
–5
–6
–11
Carry!! Se descarta y el resultado es correcto
El sistema de numeración binario
73
Suma en complemento a 2
Si los dos valores sumados son negativos también
existe la posibilidad de que ocurra un desbordamiento
y, por tanto, el resultado sea incorrecto
1 0 0 0 0 0 1 1
1
1
+ 1 1 0 0 0 1 1 0
1
0 1 0 0 1 0 0 1
–125
–58
–183 (min = –2 = 128)
7
Overflow!! El resultado debe ser negativo
Carry!! Se descarta
El sistema de numeración binario
74
37
Suma en complemento a 2
Si los dos valores sumados tienen distinto signo es
imposible que ocurra un desbordamiento
Cuando el valor absoluto del número positivo es mayor
que el del negativo puede aparecer un acarreo, pero se
descarta y el resultado es correcto
0 0 1 1 1 0 0 1
1
1
1
1
+ 1 1 1 0 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0 0
57
–29
28
Carry!! Se descarta y el resultado es correcto
El sistema de numeración binario
75
Resta en complemento a 2
Para restar dos números se calcula el complemento a 2
del número restado y se suman, descartando cualquiera
acarreo que pueda aparecer
57 – 29 = 57 + (– 29) = 28
0 0 1 1 1 0 0 1
1
1
1
1
+ 1 1 1 0 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0 0
57
–29
28
Carry!! Se descarta y el resultado es correcto
El sistema de numeración binario
76
38
Sumas o restas en cadena
Para sumar o restar varios números aplicamos la
propiedad asociativa, es decir, sumamos o restamos los
números de dos en dos
68 + 27 + 14 + 18 = ( (68 + 27) + 14) + 18 = 127
0
+ 0
0
+ 0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
68
27
95
14
109
18
127
El sistema de numeración binario
77
Multiplicación en complemento a 2
La suma directa es el método más simple: sumar el
multiplicando tantas veces como el multiplicador
La desventaja de este método es que puede llegar a ser
muy lento si el multiplicador es muy grande
El método más común es el de los productos parciales
Se multiplica el multiplicando por cada bit del multiplicador
Cada producto parcial se desplaza un bit a la izquierda
La suma de los productos parciales nos da el resultado
El sistema de numeración binario
78
39
Multiplicación en complemento a 2
El signo del resultado depende de los signos de los
números multiplicados
Si son del mismo signo, el resultado es positivo
Si son de distinto signo, el resultado es negativo
Después de comprobar los signos, los números a
multiplicar deben ser pasados a binario real
Es bastante posible que el resultado tenga más bits que
la representación de los operandos
3x3=9
11 x 11 = 1001
El sistema de numeración binario
79
Multiplicación en complemento a 2
Ejemplo: 83 X –59 = –4897
Los números tienen distinto signo, luego el resultado
será un número negativo
83 = 01010011
–59 = 11000101
Pasamos los números a binario real
Ignoramos el bit de signo del número positivo
Deshacemos el complemento a 2 del número negativo y luego
ignoramos el bit de signo
83 = 01010011
–59 = 11000101
El sistema de numeración binario
59 = 00111011
80
40
Multiplicación en complemento a 2
Realizamos la multiplicación
ignorando los bits de signo
x
+
+
1
+ 1
1 0
+ 1
1
1 0
0 0
0 1
0 1
+ 1
1
0 0
0 1
0 1
1 1
1 0
0 1
0 0
1 0
1 0
1
1 0
0 1
1 1
0 0
1 1
0 0
0 0
0 1
1 0
1 1
0 1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0 1
0 0 1
0 0 0 1
0 0 0 0 1
El sistema de numeración binario
81
Multiplicación en complemento a 2
Multiplicando números de 8 bits hemos obtenido un
resultado de 13 bits
Supondremos que el resultado tiene 16 bits
Será importante recordar esto para diseñar multiplicadores
Dado que hemos multiplicado dos números naturales, el bit
de signo debe ser positivo o habrá habido un desbordamiento
0001001100100001
Una vez obtenido el resultado, y dado que habíamos
determinado que éste era negativo, calculamos el
complemento a 2 del mismo
0001001100100001
El sistema de numeración binario
1110110011011111
82
41
División en complemento a 2
El esquema básico de división usado en los ordenadores
está basado en la resta
Dado que las restas en complemento a 2 son sumas, la
división puede realizarse con circuitos sumadores
El signo del resultado depende de los signos de los dos
operandos de la división
Si son del mismo signo, el resultado es positivo
Si son de distinto signo, el resultado es negativo
Después de comprobar los signos, los números a dividir
deben ser pasados a binario real
El sistema de numeración binario
83
División en complemento a 2
Ejemplo: 100 / 25 = 4
Los números tienen el mismo signo, luego el resultado
será un número positivo
100 = 01100100
25 = 00011001
Para considerar estos dos números positivos como
representados en binario real simplemente debemos
ignorar el bit de signo
El valor inicial del cociente es cero
C=0
El sistema de numeración binario
84
42
División en complemento a 2
Restamos el divisor del dividendo para obtener el
primer resto parcial y sumamos uno al cociente
01100100 – 00011001
01100100 + 11100111 = 101001011
C=C+1=0+1=1
Si el resto parcial es cero o negativo, damos la división
por finalizada
Si el resto parcial es positivo, repetimos el proceso,
restando el divisor del resto parcial y volviendo a sumar
uno al cociente
El sistema de numeración binario
85
División en complemento a 2
Segunda iteración:
01001011 – 00011001
01001011 + 11100111 = 100110010
C = C + 1 = 1 + 1 = 10
Tercera iteración:
00110010 – 00011001
00110010 + 11100111 = 100011001
C = C + 1 = 10 + 1 = 11
El sistema de numeración binario
86
43
División en complemento a 2
Cuarta iteración:
00011001 – 00011001
00011001 + 11100111 = 100000000
C = C + 1 = 11 + 1 = 100
El resto parcial es cero, por lo que la división termina
Sólo queda asegurarse de que el bit de signo es el
correcto, en este caso, signo positivo
C = 100
7 bits magnitud
1 bit de signo positivo
C = 0000100
C = 00000100
El sistema de numeración binario
87
Estructura del tema
Introducción
Sistemas de numeración
El sistema decimal
El sistema binario
Los sistemas octal y hexadecimal
Aritmética binaria
Operaciones básicas
Operaciones con números enteros
▫ Signo-magnitud
▫ Complemento a 1
▫ Complemento a 2
Formato de representación en coma flotante
Resumen y bibliografía
El sistema de numeración binario
88
44
Números en coma fija
Los números en coma fija son aquellos números en los
que la coma fraccionaria tiene una posición fija
Por ejemplo, si tenemos números de 8 bits podemos
dedicar 5 bits a la parte entera y 3 a la fraccionaria
parte
entera
parte
fraccionaria
Esto supone una severa limitación
No podemos usar más de 5 bits para la parte entera aunque la
fraccionaria sea cero
No podemos usar más de 3 bits para la parte fraccionaria
aunque la entera sea cero
El sistema de numeración binario
89
Números en coma flotante
El sistema de numeración en coma flotante está basado
en la notación científica que se utiliza para representar
números muy grandes o muy pequeños
Un número en coma flotante tiene tres partes:
Signo: indica si el número es positivo o negativo
Mantisa: representa la magnitud del número
Exponente: indica el desplazamiento de la coma fraccionaria
+/–
Mantisa x Base
El sistema de numeración binario
exponente
90
45
Números en coma flotante
Los números decimales en coma flotante se normalizan,
desplazando la coma fraccionaria de manera que la
parte entera del número siempre valga cero
241506800 = 0’2415068 x 109
No es necesario representar la base del número, ya que
está implícita en el formato
Dado que la parte entera de un número normalizado
siempre es cero, tampoco es necesario representarla
signo:
mantisa:
exponente:
+
2415068
9
El sistema de numeración binario
91
Números binarios en coma flotante
El formato utilizado para la representación de números
binarios en coma flotante está definido por el estándar
514-1985 ANSI/IEEE
Nos centraremos en el formato de simple precisión, que
utiliza 32 bits para la representación
signo
1 bit
exponente
8 bits
mantisa
23 bits
Existen otros formatos similares pero con distinto
número de bits, como el de doble precisión (64 bits)
El sistema de numeración binario
92
46
Mantisa en simple precisión
La magnitud de un número binario se almacena en la
mantisa de forma normalizada
0’0000101
0’101 x 2
–4
La forma normalizada siempre tiene un 1 en la posición
más a la izquierda, por lo que no hay que almacenarlo,
está implícito en la representación
Incluso podemos aprovechar otro bit si normalizamos
el número de manera que el 1 más a la izquierda esté en
la parte entera
0’0000101
0’101 x 2 1’01 x 2
–4
–5
El sistema de numeración binario
93
Exponente en simple precisión
Para simplificar el formato, sería interesante evitar la
necesidad de un bit de signo adicional para representar
el exponente
Por este motivo, el exponente se representa usando un
formato denominado
en exceso,
que consiste en sumar
un desplazamiento al valor real del número
En los formatos de exponente en coma flotante, este
desplazamiento se calcula restando 1 al entero más grande
que se pueda representar y luego dividiendo por 2
Si utilizamos 8 bits para representar el exponente, hay 28
combinaciones posibles, desde 0 hasta 255
El desplazamiento será (255 – 1) / 2 = 127
El sistema de numeración binario
94
47
Exponente en simple precisión
El formato de simple precisión tiene un exponente de 8
bits en formato
exceso 127
Este formato se utiliza para representar exponentes con
valores entre –126 y 127
exponente = –126 –126 + 127 = 1 00000001
exponente = –125 –125 + 127 = 2 00000010
…
exponente =
0
0 + 127 = 127 01111111
exponente =
1
1 + 127 = 128 10000000
…
exponente =
exponente =
126 126 + 127 = 253 11111101
127 127 + 127 = 254 11111110
El sistema de numeración binario
95
Casos particulares en simple precisión
El valor –127 (00000000) del exponente se reserva para
representar dos casos especiales
Si la mantisa también es cero se está representando el cero
Si la mantisa es distinta de cero se trata de un número no
normalizado, es decir, supondremos que el bit implícito de la
parte entera no es 1 sino 0, y el exponente es –126
El valor 128 (11111111) del exponente se reserva para
representar dos casos especiales
Si la mantisa es cero se está representando el infinito
Si la mantisa es distinta de cero se está representando el
resultado de una operación inválida, es decir, el valor no es
un número (NaN – Not a Number)
El sistema de numeración binario
96
48
Ejemplos en simple precisión
Utilizaremos como ejemplo el número +1011010010001
Se trata de un número positivo, por lo que el bit de
signo será un 0
El siguiente paso consiste en normalizar el número
1011010010001
1’011010010001 x 2
12
011010010001
Esto nos permite calcular el valor de la mantisa
mantisa
El sistema de numeración binario
97
Ejemplos en simple precisión
Ahora falta por calcular el valor del exponente
12
exponente 12 + 127 = 139
exponente 10001011
exponente
Con esta información podemos representar el número
1 bit
8 bits
23 bits
0 10001011 01101001000100000000000
El sistema de numeración binario
98
49
Ejemplos en simple precisión
Ahora haremos un ejemplo en sentido inverso usando
el número
1 10010001 10001110001000000000000
Dado que el bit de signo es 1, el número es negativo
La mantisa nos proporciona la magnitud del número
1’10001110001
El sistema de numeración binario
99
Ejemplos en simple precisión
El valor del exponente se calcula de la siguiente forma:
10010001
exponente 145
exponente 145 – 127 = 18
exponente
Con esta información obtenemos el número
–1’10001110001 x 218
–1100011100010000000
El sistema de numeración binario
100
50
Ventajas de la coma flotante
El formato en coma flotante se usa para representar
valores muy grandes (exponente positivo) o valores
muy pequeños (exponente negativo)
El formato en coma flotante de simple precisión
permite representar números de 128 bits con solo 32
El formato es flexible: se pude dedicar cualquier
cantidad de bits a la parte entera o a la parte
fraccionaria según convenga
El sistema de numeración binario
101
Suma y resta en coma flotante
La suma y la resta se llevan a cabo con las reglas
habituales, pero los dos exponentes deben ser iguales
Antes de operar hay que igualar los exponentes
Se desplaza a la derecha la mantisa del número con menor
exponente
Cada posición desplazada a la derecha implica incrementar en
uno el valor del exponente
El desplazamiento se repite hasta que los dos números tengan
el mismo valor en el exponente
El sistema de numeración binario
102
51
Suma en coma flotante
En la suma existe la posibilidad de desbordamiento a
overflow) del valor de la mantisa
infinito (
El desbordamiento se debe corregir desplazando la
mantisa una posición a la derecha y sumando uno al
exponente
Es importante controlar la posibilidad de que el
exponente se desborde al realizar esta operación, ya
que obtendríamos un número no representable
El sistema de numeración binario
103
Resta en coma flotante
En la resta existe la posibilidad de obtener un número
con uno o varios ceros en los bits más significativos, lo
que obligaría a normalizar el resultado
La normalización se realiza desplazando la mantisa a
la izquierda y restando uno al exponente por cada
posición desplazada
Es importante controlar la posibilidad de que el
underflow)
exponente se desborde a cero (
Una posible solución sería usar el formato no normalizado
Si este formato tampoco es suficiente, entonces el número
no es representable
El sistema de numeración binario
104
52
Multiplicación en coma flotante
La multiplicación es más sencilla porque no es
necesario que los exponentes sean iguales
Las mantisas se multiplican como enteros en coma fija
Los exponentes se suman
Si cualquiera de los operandos es cero, el resultado también
Existe la posibilidad de que sea necesario normalizar el
resultado de la multiplicación
También es posible que se produzca un desbordamiento
a cero o a infinito del exponente, por lo que hay que
controlar que el resultado sea representable
El sistema de numeración binario
105
División en coma flotante
La división consiste en dividir las mantisas y restar al
exponente del dividendo el exponente del divisor
Si el dividendo es cero el resultado es cero
Si el divisor es cero se considera desbordamiento
Si el dividendo y el divisor son cero, el resultado se identifica
como un número desconocido
Existe la posibilidad de que sea necesario normalizar el
resultado de la división
También es posible que se produzca un desbordamiento
a cero o a infinito del exponente, por lo que hay que
controlar que el resultado sea representable
El sistema de numeración binario
106
53
Estructura del tema
Introducción
Sistemas de numeración
El sistema decimal
El sistema binario
Los sistemas octal y hexadecimal
Aritmética binaria
Operaciones básicas
Operaciones con números enteros
▫ Signo-magnitud
▫ Complemento a 1
▫ Complemento a 2
Formato de representación en coma flotante
Resumen y bibliografía
El sistema de numeración binario
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Resumen
El sistema de numeración binario es un sistema
posicional en base 2 que tiene dos dígitos distintos,
también llamados bits: el 0 y el 1
La comprensión de las operaciones básicas de la
aritmética binaria es importante para el diseño de
sistemas digitales
Existen varios formatos de representación de números
negativos, pero el complemento a 2 es el más utilizado
por los ordenadores actuales
El formato en coma flotante permite la representación
de números muy grandes o muy pequeños
El sistema de numeración binario
108
54
Bibliografía
Fundamentos de Sistemas Digitales (7ª edición)
Capítulo 2
Thomas L. Floyd
Prentice Hall, 2000
http://cwx.prenhall.com/bookbind/pubbooks/floyd3/chapter2
Principios de Diseño Digital
Capítulo 2
Daniel D. Gajski
Prentice Hall, 1997
El sistema de numeración binario
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55