espacio afín

ESPACIO AFÍN
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1.- CONCEPTO DE ESPACIO AFÍN.
2.- SISTEMAS DE REFERENCIA: COORDENADAS DE UN PUNTO.
3.- VARIEDAD LINEAL: ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO.
4.- PROBLEMAS DE INCIDENCIA.
5.- POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS.
1.- CONCEPTO DE ESPACIO AFÍN.
1.1.- CONCEPTO DE VECTOR
FIJO, MÓDULO, DIRECCIÓN Y
SENTIDO.
Sean A y B dos puntos del espacio geométrico
E, se llama vector fijo
al segmento cuyos extremos
se dan en cierto orden. Al primer extremo del segmento
se le denomina origen del vector y al segundo extremo.
A la longitud del segmento
módulo del vector.
El sentido de un vector
origen A a su extremo B.
La dirección del vector
que lo contiene.
1.2.- VECTORES LIBRES EN EL
ESPACIO.
En el conjunto de vectores fijos del espacio F,
definimos una relación R de equipolencia. Así diremos
que dos vectores fijos están relacionados o son
equipolentes si tienen igual dirección , módulo y sentido.
se le llama
es aquel que va de
La relación R es de equivalencia ya que
verifica:
es la de la recta
Por todo lo visto anteriormente un vector fijo
queda perfectamente determinado por su origen, módulo,
dirección y sentido.
Al conjunto de vectores fijos en el espacio le
denotamos con la letra F.
La relación de equipolencia en E nos permite
clasificar a los vectores fijos del plano, cada una de
las clases de equivalencia formadas por todos los
vectores equipolentes a uno dado de denomina vector
libre del espacio.
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1.3.- CONSTRUCCIÓN DEL ESPACIO AFÍN.
Vamos a construir el espacio afín en tres pasos:
Primero definiremos una biyección entre los puntos del plano y los vectores libres del espacio que asocia a cada
punto del espacio una vector libre del espacio.
Segundo veremos el isomorfismo entre el espacio vectorial de los vectores libres y R3 que asocia a cada punto del
espacio una terna de números reales.
Y tercero, mediante la composición de las dos aplicaciones biyectivas se asocia a cada punto del espacio E una
terna de números reales, que son las coordenadas de dicho punto, y una definición de espacio afín.
a) Biyección entre el conjunto de puntos del
espacio y el conjunto de vectores libres del espacio.
Sea E el conjunto de puntos del espacio
geométrico:
c) El Espacio Afín
Sea E el conjunto de puntos del espacio y V3 el
espacio vectorial de los vectores libres, definimos la
siguiente aplicación:
E={A,B,C,D,O,....}
Sea V3 el espacio vectorial de los vectores
libres del espacio:
y O un punto
fijo del espacio geométrico que llamamos origen.
Establecemos la correspondencia que a cada
punto A del espacio le asocia el vector libre
es decir :
Al vector fijo OA se le llama vector de
posición del punto A respecto del origen O.
Evidentemete esta correspondencia es una
aplicación biyectiva. ¿Por qué?
b) Isomorfismo entre
vectoriales (V3, +, .R) y (R3, +, .R)
el
los
espacios
Consideremos una Base B ={ u1,u2,u3} de V3,
cualquier vector libre del espacio se podrá expresar como
combinación lineal de los vectores de B
Se llama Espacio Afín a la terna
( E, V3, f) donde:
♦ E es el conjunto de puntos en el plano.
♦ V3 es el espacio vectorial de los
vectores libres del espacio.
♦ f es la aplicación de E x E en V3
:
Definimos la correspondencia
Claro está, la correspondencia es una aplicación
inyectiva y sobreyectiva, pero tambien es una aplicación
lineal entre espacios vectoriales, ¿ seguro ?, que al ser
biyección se denomina isomorfismo. Con este
isomorfismo se traduce toda relación geométrica a
relación numérica, esta traducción es la esencia de la
Geometría Analítica iniciada por Descartes.
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2.-SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO AFÍN.
2.1.- SISTEMA DE REFERENCIA.
Sea O un punto fijo del espacio afín, al que
llamaremos origen de coordenadas, entonces en el
espacio afín, todo punto A determina un vector mediante
la aplicación f:
Diremos que
es el vector de posición de A
respecto al punto O. ( Como ves hemos pasado del
espacio afín al espacio vectorial V3, que es lo que
conocemos...)
Sea
una base del espacio
vectorial y
Un sistema de referencia en el espacio afín es
una cuaterna de puntos
, donde O
es el origen de referencia y
que
son tales
con
i=1,2,3
y
2.2.- CAMBIO DE SISTEMA DE
REFERENCIA.
Dados dos sistemas de referencia del espacio
afín
y
y un
punto P cualquiera, se pretende hallar las relaciones que
existe entre las coordenadas de este punto respecto de
cada uno de los sistemas.
Sea (x,y,z) y (x',y',z') las coordenadas de P
respecto de los dos sistemas de referencia. Para obtener
las relaciones es necesario conocer las coordenadas del
punto O respecto a O' ( o del punto O' respecto a O ), así
como las coordenadas de los vectores
respecto de la base
.
se
denominan ejes coordenados.
Los planos que determinan un para de ejes se
llama planos coordenados.
Las coordenadas de un punto respecto de un
sistema de referencia afín son las coordenadas del vector
de posición del punto respecto de la base del espacio
vectorial asociado. Esto es, la composición de dos de las
aplicaciones vistas en 1:
Las ecuaciones buscadas son :
¡¡Escríbelo en forma matricial !!
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3.- VARIEDAD LINEAL: ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO
3.1.-CONCEPTO DE VARIEDAD LINEAL.
Sea E el espacio afín y V3 el espacio vectorial asociado.
Si P es un punto de E y F un subespacio de V3, se llama Variedad lineal que pasa por P y dirección F ,L(P;F) al conjunto
de puntos que verifican que f(P,X)=PX pertenece a F.
Si un punto X está en la variedad lineal L, se dice que L es incidente con X, o que X pasa por L.
La dimensión de la variedad lineal es la del subespacio vectorial F asociado.
Dos variedades son iguales si pasan por el mismo punto y tienen la misma dirección.
En R3 , las variedades lineales son:
- Puntos ( variedad lineal de dimensión 0)
- Planos ( variedad lineal de dimensión 2)
- Rectas ( variedad lineal de dimensión 1)
- Espacio ( variedad lineal de dimensión 3)
3.2.- ECUACIONES DE LA RECTA: FORMAS DIVERSAS.
La recta afín "r" de E queda determinada por un punto A y un vector v, al punto A se le llama punto base y a v
vector director de la recta r(A,v), determinación de la recta:
Dos determinaciones distintas (A,v) y (A',u) pueden dar la misma recta r siempre que A y A' sean puntos de r ,y u y v sean
dependientes o coincidan.
A) ECUACIÓN VECTORIAL
B) ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Sea r(a, v) una determinación de la recta r y
R{O; U1,U2,U3} un sistema de referencia de E.
Sea
la
recta
y
sea
R{O;U1,U2,U3} el sistema de referencia en E.
Sea =(a1, a2, a3), =(x,y,z) y =(v1,v2,v3) se
tiene que:
(x,y,z) = (a1,a2,a3) + t.(v1,v2,v3) t e R
Cualquier punto X de r es tal que
Si llamamos
x = a1 + t.v1
y = a2 + t.v2
z = a3 + t.v3
Ecuaciones paramétricas de r.
(2)
Ecuación vectorial de r (1)
Ejercicio: Halla la ecuación vectorial de los ejes de
coordenadas.
D) ECUACIÓN DE UNA RECTA DADA POR DOS
PUNTOS DISTINTOS
C) FORMA CONTINUA
define una dirección siempre y cuando no
sea el vector (0,0,0).
De la expresión (2) despejando t en cada
ecuación se obtiene:
Sean A y B dos puntos que determinan la recta
r. Tomando =(a1,a2,a3) y =(b1,b2,b3) como vectores
de posición de A y B se tiene que:
+ AB =
, esto es
= Si X es un punto de la recta r, entonces:
x=
+ t. ( - ) Ecuación vectorial
Repitiendo el razonamiento para la determinación de una
recta por un punto y un vector puedes hallar el resto de
formas de la ecuación de la recta r dada por dos puntos A
y B.
Ejercicio: Hallar la ecuación de la recta que pasa por
A(-1,1,0) y B(2,-3,1)
Ejercicio: Halla la recta que pasa por A(1,1,1) y u(1,2,3)
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3.2.-ECUACIONES DEL PLANO.
Se llama plano afín a la variedad lineal asociada a un subespacio vectorial de dimensión dos:
u y v deben ser linealmente independientes, son una base del subespacio vectorial asociado, del plano.
Se dice que (A, u, v) determinan el mismo plano que (A',v',u') si A y A' están en el plano y L(v, u)=L(v',u')
A) ECUACIÓN VECTORIAL
Sea (A, v, u) el plano y R = {O, U1,U2,U3} un sistema de referencia de E. Sea X un punto del plano, entonces:
Observa el paralelismo que existe entre la ecuación del plano en el espacio y la ecuación de la recta en el plano afín:
A
X
X
π
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B) ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Sea =(a1,a2,a3),
=(w1,w2,w3) se tiene:
=(x,y,z) ,
E) ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO
=(v1,v2,v3) y
Sea A un punto del plano, y
un vector
normal al plano, una determinación del plano es la dada
por el punto a y el vector normal(perpendicular). Sea X
un punto cualquiera del plano, el vector
perpendicular a , por tanto:
ha de ser
C) ECUACIÓN EN FORMA DE DETERMINANTE
Puesto que el vector
tiene que estar en el
plano determinado por v y u , es combinación lineal de
ellos (como se vio en las ecuaciones vectoriales) por
tanto el determinante de det(
, v, u)=0
D) ECUACIÓN CARTESIANA
Desarrollando el determinante anterior por
adjuntos:
y haciendo operaciones se obtiene la Ecuación
Cartesiana.
A.x + B.y + C.z +D = 0
Ejercicio: Halla las ecuaciones del plano que pasa por
A(-1,0,2) u(1,-1,1) y v(2,1,-1).
Ejercicio: Halla las ecuaciones del plano determinado por
tres puntos no alineados A,B,C.
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4.-PROBLEMAS DE INCIDENCIA.
4.1.- INCIDENCIA DE PUNTO Y
RECTA:
4.3.- INCIDENCIA DE RECTA Y
PLANO
Un punto P incide con la recta "r", ó la recta "r"
pasa por P, si P pertenece a la recta, ó que el punto P
verifica las ecuaciones de la recta.
Una recta "r" es incidente con un plano Π si el
plano contiene a la recta.
Teorema:
Sea r(A,
Corolario:
La recta r es incidente con el plano Π
sii rang ( , , )=2
Dados dos puntos siempre existe una recta que
pasa por ellos y es única.
Se llama haz de rectas que pasan por un
punto P al conjunto de rectas que pasan por P.
Dados n puntos
del
espacio E no siempre existe una recta que pase por ellos,
la condición es que:
¿por qué?
) y Π (b, , ) se dice que
r es incidente con Π si y solo
si un punto P de r es
incidente con Π y es del
subespacio generado por y
.
Se llama haz de planos de base la recta r al
conjunto de planos que pasan por la recta r.
Si r viene dada como
4.2.- INCIDENCIA DE PUNTO Y
PLANO.
ecuaciones implicitas,
el haz de rectas seria:
Un punto P es incidente con un plano Π , si P
verifica la ecuación del plano Π .
Π :Ax+By+Cz+D=0 P(a,b,c) pertenece a Π sii
Aa+Bb+Cc+D=0
Sabemos que tres puntos no alineados
determinan un plano único; sin embargo dados n puntos
del espacio E no siempre existe
un plano que pase por ellos para que ocurra:
Se llama radiación de planos que pasan por
un punto P al conjunto de planos que pasan por P.
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