Movimiento armónico: Ejercicios resueltos

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Movimiento armónico: Ejercicios resueltos
1) Un móvil animado de movimiento armónico tiene una aceleración de 5m/s 2 cuando su elongación
es de 5cm. ¿Cuánto vale su periodo?
2) El movimiento del pistón de un automóvil es, aproximadamente, armónico simple. Si la carrera
del motor (dos veces su amplitud) es de 10cm y la pulsación de 3600 rpm, calcular la aceleración
del pistón en el extremo de su carrera y su velocidad al pasar por el punto medio de la misma.
3) A una partícula de 10g se la obliga a describir un movimiento armónico simple en el eje de las Y.
La amplitud del movimiento es 5cm y la frecuencia 0,5s-1. Calcula: a) la ecuación del movimiento;
b) los valores de la elongación para los cuales será máxima la velocidad; c) la máxima velocidad
que puede alcanzar la partícula. Solución: a) s=0,05senπt b) 0m c) 0,05π m/s
Soluciones
1) Un móvil animado de movimiento armónico tiene una aceleración de 5m/s2 cuando su
elongación es de 5cm. ¿Cuánto vale su periodo? Solución: 0,63s
Recordemos que el periodo es el tiempo que tarda el móvil en describir un ciclo completo, y que la
elongación es la distancia del móvil al punto de equilibrio en un momento dado. Para calcular el
periodo necesitamos o bien la frecuencia o bien la velocidad angular. ¿Podemos sacar la velocidad
angular con los datos que tenemos?
y = A(senωt + φ0)
0,05= A(senωt)
(Recuerda también que si no nos dicen nada podemos suponer φ0 = 0.)
Y por otro lado:
a = -Aω2(senωt + φ0)
5 = -Aω2(senωt)
Escribámoslo a modo de sistema:
0,05= A(senωt)
5 = -Aω2(senωt)
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Parece complicado, pero no hay que dejarse asustar. Despejemos la amplitud en la primera ecuación
y sustituyamos en la segunda:
0,05= A(senωt) → A = 0,05/ senωt
5 = -Aω2(senωt) → 5 = -0,05/(senωt) · ω2(senωt)
Si te fijas, el término “senωt” se puede simplificar, y sólo nos queda como incógnita ω:
5 = -0,05/(senωt) · ω2(senωt)
5 = -0,05· ω2
ω2 = 5/(-0,05)
ω =10 rad/s
Sabiendo la velocidad angular, ya podemos calcular el periodo:
ω = 2π/T
10 = 2π/T
T = 2π/10 = 0,63 s
2) El movimiento del pistón de un automóvil es, aproximadamente, armónico simple. Si la carrera
del motor (dos veces su amplitud) es de 10cm y la pulsación de 3600 rpm, calcular la aceleración
del pistón en el extremo de su carrera y su velocidad al pasar por el punto medio de la misma.
La primera dificultad de este ejercicio es el contexto. Parece mentira, pero todo ese vocabulario
acerca de “pistones”, “carrera del motor” y “pulsaciones” distrae mucho, y hace pensar que se trata
de un problema complicado porque el que lo lee “no sabe nada de motores”1.
En realidad no hace falta saber. Si conocemos los parámetros de un movimiento armónico, nos da
igual que se trate de un motor, de un péndulo, o de un niño que sube y baja subido a un balancín.
Pero ¿qué parámetros nos dan? Si 10 cm (0,1m) es dos veces la amplitud del movimiento, ya
tenemos ahí la amplitud:
A = 0,1/2 = 0,05m
1 Si sí sabes de motores, genial. Entonces podrás ver que lo que se ve en Física tiene aplicación en la vida real.
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¿Y qué hay de las 3600 rpm? Si te acuerdas de algo del movimiento circular (y no estaría mal que te
acordaras) las “revoluciones por minuto” eran otra forma de medir la velocidad angular. Y la
velocidad angular es la velocidad angular, estemos en movimiento circular o armónico. Es decir,
que nos dan ω, aunque tengamos que pasarla a unidades del SI.
3600 rpm ·2π/60 = 120π rad/s
Con estos datos ya podemos empezar a entrar en materia. ¿Qué es lo primero que nos piden? “La
aceleración del pistón en el extremo de su carrera”. O lo que es lo mismo, la aceleración cuando la
elongación es máxima. Primero nos vamos a la fórmula de la elongación y calculamos en qué
momento la elongación coincide con la amplitud:
y = A(senωt + φ0)
0,05 = 0,05 (sen 120π·t)
sen 120π·t =1
Y como el seno sólo vale 1 cuando el ángulo es de π/2:
120π·t = π/2
t = 4,16·10-3s
Y ahora, a la ecuación de la aceleración:
a = -0,05(120π)2(sen 120π·4,16·10-3)
a = -0,05·142,12(sen 1,57)
a = -7,106·1 = -7,106 m/s2
También se podía haber resuelto más rápido si recordamos que el momento de elongación máxima
coincide con el de velocidad cero y el de aceleración máxima. En otras palabras, es cuando el
término del seno en las ecuaciones de espacio y aceleración es igual a uno.
Lo segundo que nos preguntan es la velocidad al pasar por el punto medio de la carrera, esto es, por
el punto de equilibrio. De nuevo, es muy fácil y rápido si recuerdas que en el punto de equilibrio la
velocidad es máxima (su término de coseno es igual a 1):
v = Aω(cosωt + φ0)
v = Aω
v = 0,05·120π = 6π = 18,85 m/s
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3) A una partícula de 10g se la obliga a describir un movimiento armónico simple en el eje de las Y.
La amplitud del movimiento es 5cm y la frecuencia 0,5s-1. Calcula: a) la ecuación del movimiento;
b) los valores de la elongación para los cuales será máxima la velocidad; c) la máxima velocidad
que puede alcanzar la partícula.
Lo primero que nos preguntan es la ecuación del movimiento, para lo cual tenemos que saber la
amplitud y la velocidad angular. La amplitud tienen la amabilidad de darla (A=0,05). Y podemos
saber la velocidad angular a través de la frecuencia. Pues recuerda que:
ω = 2πf
ω = 2π·0,5 = π rad/s
Por lo tanto, la ecuación del movimiento es
y = 0,05senπt
Lo segundo que nos piden son los valores de la elongación para los cuales será máxima la
velocidad. Lo más fácil del mundo si recuerdas que la velocidad máxima en un movimiento
armónico está en el punto de equilibrio, o sea, cuando la elongación vale cero. Tan sencillo como
eso.
Lo último es la velocidad máxima. Esta ocurre cuando el término de coseno en la ecuación de la
velocidad es igual a 1:
v = 0,05π(cosπt)
v = 0,05·π = 0,16m/s
¿Y qué pasa con esos 10g de masa que nos da el enunciado? Es un dato superfluo, innecesario.
Debes tener suficiente conocimiento del tema para no dejarte engañar por esas “zancadillas” que
aparecen de vez en cuando, y no liarte intentando meter en alguna ecuación un dato que no sirve
para nada.
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