Matemáticas II: Segundo del Grado en Ingeniería Aeroespacial

Matemáticas II: Segundo del Grado en
Ingeniería Aeroespacial
Sergio Blanes
http://personales.upv.es/ serblaza
Instituto de Matemtica Multidisciplinar
Universidad Politécnica de Valencia
Edificio 8-G, entrada A, piso 2
Estructura del Curso y Peso de cada parte:
Teoría y Problemas: 75%
Ecuaciones diferenciales y Transformadas de Laplace: 60%
Ecuaciones en Derivadas Parciales: 40%
Prácticas de Laboratorio: 25%
Referencias:
1
L.M. Sánchez y M. Legua. Ecuaciones diferenciales y
Transformada de Laplace con Aplicaciones. SPUPV 798
2
Direcciones web para resolución de ecuaciones por series
de potencias
3
Notas sobre EDPs
Parte I
Ecuaciones diferenciales y Transformadas
de Laplace
1
2
3
4
5
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de orden superior
Resolución de Ecuaciones diferenciales por series de
potencias
Sistemas de ecuaciones diferenciales
Transformadas de Laplace
Capítulo 1
Ecuaciones diferenciales de primer orden
1
2
Introducción
Ecuaciones de variable separables
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Ecuaciones diferenciales reducibles
a) Reducibles a homogéneas
b) Reducibles a variable separables
3
Ecuaciones diferenciales exactas
4
Ecuaciones lineales
Factor integrante
Ecuación de Bernouilli
Ecuación de Riccati
5
6
Ecuaciones resolubles en y 0 , y , x
Trayectorias isogonales
Introducción
Ejemplos
Ecuación Fundamental de la Dinámica
F =m·a
Introducción
Ejemplos
Ecuación Fundamental de la Dinámica
F =m·a
1
Caída libre: F = mg
Introducción
Ejemplos
Ecuación Fundamental de la Dinámica
F =m·a
1
Caída libre: F = mg
2
Caída con rozamiento proporcional a la velocidad:
F = mg − k2 v
Introducción
Ejemplos
Ecuación Fundamental de la Dinámica
F =m·a
1
Caída libre: F = mg
2
Caída con rozamiento proporcional a la velocidad:
F = mg − k2 v
3
Caída con rozamiento proporcional al cuadrado de la
velocidad: F = mg − k3 v 2
Introducción
Ejemplos
Ecuación Fundamental de la Dinámica
F =m·a
1
Caída libre: F = mg
2
Caída con rozamiento proporcional a la velocidad:
F = mg − k2 v
3
Caída con rozamiento proporcional al cuadrado de la
velocidad: F = mg − k3 v 2
Velocidades límite:
v1 = ∞,
mg
v2 =
,
k2
r
v3 =
mg
k3
Introducción
Ejemplos
Movimiento de un muelle con rozamiento y una fuerza exterior
dependiente del tiempo:
m
dx
d 2x
= −Kx − α
+ f (t)
dt
dt 2
Introducción
Ejemplos
Movimiento de un muelle con rozamiento y una fuerza exterior
dependiente del tiempo:
m
dx
d 2x
= −Kx − α
+ f (t)
dt
dt 2
La segunda ley de Kirchoff para un circuito cerrado con una
bobina, una resistencia y un condensador en serie y una fuerza
electromotriz dependiente del tiempo
d 2q
dq
1
+R
+ q = E(t)
2
dt
C
dt
Son ecuaciones equivalentes pero distinto significado físico
L
Introducción
La expresión general de una ecuación diferencial (ED) de
orden n es
F (x, y , y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0,
(1)
Introducción
La expresión general de una ecuación diferencial (ED) de
orden n es
F (x, y , y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0,
(1)
o, en su forma normal
y (n) = G(x, y , y 0 , y 00 , . . . , y (n−1) ).
(2)
Introducción
La expresión general de una ecuación diferencial (ED) de
orden n es
F (x, y , y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0,
(1)
o, en su forma normal
y (n) = G(x, y , y 0 , y 00 , . . . , y (n−1) ).
La solución general es una función con n constantes
independientes
G(x, y , C1 , . . . , Cn ) = 0
o en forma explícita: y = f (x, C1 , . . . , Cn ).
(2)
(3)
Ecuaciones de primer orden
La expresión general es:
Forma explícita: y 0 = f (x, y )
Forma implícita: F (x, y , y 0 ) = 0
Forma diferencial: P(x, y )dx + Q(x, y )dy = 0
La solución general viene dada por una expresión de la forma
G(x, y , C) = 0
(4)
Para obtener la ED a partir de la familia de curvas (4) hay que
derivar respecto de x y eliminar la constante C del sistema de
2 ecuaciones.
Resolución gráfica. Isoclinas
Dada la ED, y 0 = f (x, y ), si en cada punto de una región del
plano, P = (x, y ), representamos un vector proporcional a la
variación con la variable x, esto es
dP
= (1, y 0 ) = (1, f (x, y ))
dx
tendremos un campo vectorial que muestra la forma de las
soluciones (por donde se moverán las soluciones).
Se puede buscar también aquellos puntos del plano que tienen
la misma pendiente, f (x, y ) = m, para distintos valores de la
constante m (isoclinas).
Ecuaciones de variables separables
Una ED es de variables separables si puede factorizar de la
forma
y 0 = g(x)f (y )
(5)
La solución viene dada por
Z
Z
dy
= g(x)dx + C.
f (y )
(6)
Esto es equivalente a si la ecuación se puede escribir como
P(x)dx = Q(y )dy
(7)
cuya solución es
Z
Z
P(x)dx =
Q(y )dy + C.
(8)
Ecuaciones de variables separables
Ejercicio 11. El cuerpo de una persona es descubierto a las
02:00 y la temperatura ambiente es de 10o . El forense llega a
las 02:30 y toma una temperatura de 25o en el cuerpo. Tras 30
min. anota que el cuerpo tiene una temperatura de 20o .
Sabiendo que durante toda la noche la temperatura ambiente
ha permanecido constante y que, segunla ley de enfriammiento
de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo es
proporcional a la diferencia entre su temperatura y la
temperatura ambiente, estimar la hora de fallecimiento.
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Diremos que una ED es homogénea si cumple
y 0 = f (x, y ),
con
f (tx, ty ) = f (x, y ).
(9)
El cambio de variable a realizar es
y (x) = x z(x)
(10)
y la ED para z es
Z
0
z + xz = f (1, z)
Ejemplo: y 0 =
x+y
x−y
Z
dz
dx
⇒
=
+ C.
(11)
f (1, z) − z
x
1/2 y2
= arctan y + C
Sol.: ln x 1 + x 2
x
Ecuaciones diferenciales reducibles
0
y =f
a1 x + b1 y + c1
a2 x + b2 y + c2
Reducibles a homogéneas
Si las rectas a1 x + b1 y + c1 = 0, a2 x + b2 y + c2 = 0 se cortan
en un punto, (α, β) el cambio es
x = X + α,
y =Y +β
La ecuación en las nuevas variables es homogénea
a1 X + b1 Y
0
y =f
a2 X + b2 Y
−1
Ejemplo: y 0 = x+y
x−y −1
1/2 y2
= arctan y + C
Sol.: ln (x − 1) 1 + (x−1)2
x−1
(12)
Ecuaciones diferenciales reducibles
y0 = f
a1 x + b1 y + c1
a2 x + b2 y + c2
Reducibles a variables separables
Si las rectas son paralelas ( aa12 =
z = a2 x + b2 y ,
con k =
b1
b2 )
el cambio es
(o bien z = a1 x + b1 y )
b1
b2
La ecuación pasa a ser separable
kz + c1
1 0
(z − a2 ) = f
⇒
b2
z + c2
Ejemplo: y 0 =
1−x−y
x+y
0
z = a2 + b2 f
Sol.: 2y − (x + y )2 = C
kz + c1
z + c2
Ecuaciones diferenciales exactas
Dada la ED
P(x, y )dx + Q(x, y )dy = 0
(13)
si Py = Qx diremos que es exacta.
Existe una función potencial, U(x, y ), tal que la familia de
curvas equipotenciales, U(x, y ) = C, son generadas por la ED
dU = Ux dx + Uy dy = Pdx + Qdy = 0
donde
Z
U=
Z
Ux dx + ϕ(y ) =
Pdx + ϕ(y )
y derivando respecto a y
Z
Uy = Q =
de donde se obtiene ϕ(y ).
Py dx + ϕ0 (y )
(14)
Ecuaciones diferenciales exactas
Si situamos el origen de potencial en el punto (x0 , y0 ) es fácil
ver que
Z
Z
y
x
P(x, y )dx +
x0
Q(x0 , y )dy = 0
y0
Ejemplo: 2xy dx + (x 2 + y 2 )dy = 0
Sol.: x 2 y + y 3 = C
(15)
Factor integrante
Factor integrante es aquella función que al multiplicar la ec.
(13) hace que se convierta en exacta
µ(x, y )P(x, y )dx + µ(x, y )Q(x, y )dy = 0
(16)
Se tiene que cumplir que
(µP)y = (µQ)x .
Casos especiales
a) Si
b) Si
Py −Qx
Q
Py −Qx
P
R
= g(x)
⇒
µ=e
= g(y )
⇒
µ = e−
g(x)dx .
R
g(y )dy .
Ej.: a) (4x 2 − 14y )dx − 7xdy = 0, b) (y (1 + xy )dx − xdy = 0
Sol.: a) x 4 − 7x 2 y = C.
b) µ(y ) = y12
NOTA. Toda función potencial U(x, y ) = C, con ED
dU = Ux dx + Uy dy = 0, tiene infinitos factores integrantes.
Cualquier función de U, F (U), es un factor integrante.
0
0
Obsérvese que dG(U) = dG
dU dU = G Ux dx + G Uy dy = 0 y
basta con tomar F = G0 .
Ecuación diferencial lineal
La ED lineal de primer orden
y 0 + P(x)y = Q(x)
tiene como solución general
Z R
R
y = e− Pdx C + e Pdx Qdx .
Para las condiciones iniciales y (x0 ) = y0 la solución se puede
escribir como
Z x Rt
R
− xx P(s)ds
x0 P(s)ds
0
y =e
y0 +
e
Q(t)dt .
x0
Ejemplo: y 0 − 2xy = x,
Sol.: y = − 21 + Cex
2
Ecuaciones de Bernouilli y de Riccati
Ecuación de Bernouilli
y 0 + P(x)y = Q(x)y n ,
n 6= 0, n 6= 1.
Haciendo el siguiente cambio se convierte en lineal
z=
1
1−n 0
, z0 =
y
yn
y n−1
⇒
z 0 +(1−n)P(x)z = (1−n)Q(x).
Ecuación lineal en z(x) ⇒ y (x) =
1
z(x)
1/(n−1)
Ejemplo 1: y 0 + x1 y = x 2 y 4
Sol.: z 0 − x3 z = x 2 ⇒ z = x 3 (C + ln x) ⇒ y =
x2
x
1
Ejemplo 2: y 0 − 1−x
y =−
2 3 1+x 4y
1
Sol.: y 2 = 1−x
C − 2 x3 − x4
2
1
z3
Ecuaciones de Bernouilli y de Riccati
Ecuación de Riccati
.
y 0 = P(x) + Q(x)y + R(x)y 2
(17)
Si conocemos una solución particular de la ED, yp (x), haremos
el cambio
y = yp +
1
z
⇒
z 0 + (Q + 2Ryp ))z = −R
que es una ED lineal en z(x).
Ejemplo: x 2 (y 0 + y 2 ) + xy = 1,
2x
1
Sol.: y = C+x
2 − x
yp = − x1
(18)
Ecuaciones resolubles en y 0 , y y x
Resolubles en y 0
(y 0 )n + φ1 (y 0 )n−1 + · · · + φn−1 y 0 + φn = 0
(19)
1) Reescribirla en la forma
y 0 − f1 (x, y ) · · · y 0 − fn (x, y ) = 0.
2) Resolver cada una de las ecuaciones
y 0 = fi (x, y )
⇒
Fi (x, y , C) = 0.
La solución general, dependiente de una sola constante, C, es
F1 (x, y , C)F2 (x, y , C) · · · Fn (x, y , C) = 0.
Ejemplo: (y 0 )2 − 2yy 0 = y 2 (ex − 1)
Sol.: (y − C exp(x + 2ex/2 ))(y − C exp(x − 2ex/2 )) = 0
Ecuaciones resolubles en y 0 , y y x
Resolubles en y
Diremos que la ED es resolubles en y si se puede reescribir de
la forma
y = f (x, y 0 ).
(20)
Hacemos el cambio y 0 = p(x) y derivamos la ecuación (20)
y = f (x, p)
⇒
p = fx + fp p0
⇒
φ(x, p, C) = 0.
La solución y (x) se obtiene de eliminar p del sistema de
ecuaciones
y = f (x, p)
φ(x, p, C) = 0
(
x
Cx
x = p−x
e p−x
0
2
2
Ejemplo: 4y = (y ) + x
Sol.:
y = 14 p2 + x 2
Ecuaciones resolubles en y
Ejemplo 1: Ecuación de Caliraut
y = xy 0 + f (y 0 ).
La solución se obtiene derivando respecto de x
dp
(x + f 0 (p)) = 0
dx
Sol. general: p = C ⇒ y = xC + f (C)
Sol singular: eliminando C del sistema
y = xp + f (C)
0 = x + f 0 (C)
Ejemplo 2: Ecuación de D’Alembert-Lagrange
y = xf (y 0 ) + ϕ(y 0 ).
y = xf (p) + ϕ(p)
⇒
p = f + (xf 0 + ϕ0 )p0
Si consideramos p la variable independiente y tomamos x(p),
la ecuación se convierte en lineal
f0
ϕ0
dx
=
x+
dp
p−f
p−f
⇒
x = g(p, C).
La solución se obtiene eliminando p del sistema de ecuaciones
y = xf (p) + ϕ(p)
x = g(p, C)
(
Ejemplo:
(y 0 )2
+
2xy 0
− y = 0 Sol.:
x=
1
p2
2
− 2p3 + C
y = 2xp + p2
Resolubles en x
Diremos que la ED es resolubles en x si se puede reescribir de
la forma
x = f (y , y 0 ).
Hacemos el cambio y 0 = p(y ) y derivamos respecto a x
1 = fy p + fp
dp dy
= fy p + fp p p 0
dy dx
⇒
F (y , p, C) = 0.
La solución y (x) se obtiene de eliminar p del sistema de
ecuaciones
x = f (y , p)
F (y , p, C) = 0
y
1
+ 2
0
y
y0
y
1
Sol. general: x =
+ 2,
C
C
Ejemplo: x =
Sol. singular: 4x = −y 2
Trayectorias Isogonales
La solución de la ED
f (x, y , y 0 ) = 0
(21)
es una familia de curvas, F (x, y , C) = 0. Por cada punto (x, y )
sólo pasa una curva y su pendiente en ese punto es
justamente y 0 . Si tenemos en cuenta que la tangente forma un
ángulo θ, entonces y 0 = tan(θ) y queremos buscar las curvas
que al cortarlas forman un ángulo ω, entonces el ángulo de las
nuevas curvas será φ = θ + ω.
Teniendo en cuenta que
θ =φ−ω
⇒
y 0 = tan(θ) =
tan(φ) − tan(ω)
1 + tan(φ) tan(ω)
si sustituimos en (21) denotando z = y , z 0 = tan(φ)
z 0 − tan(ω)
f x, z,
=0
1 + z 0 tan(ω)
(22)
Trayectorias Isogonales
Sea una familia de curvas, F (x, y , C) = 0 cuya ecuación
diferencial asociada viene dada por f (x, y , y 0 ). La familia de
curas que las cortan formando un ángulo ω, G(x, z, C) = 0,
son las soluciones de la ecuación diferencial
z 0 − tan(ω)
=0
(23)
f x, z,
1 + z 0 tan(ω)
Si buscamos trayectorias ortogonales, ω = π2 , debemos tener
en cuenta que
− cos12 (ω)
z 0 − tan(ω)
−1
lim
) = lim
)= 0
0
1
0
z
ω→π/2 z
ω→π/2 1 + z tan(ω)
2
cos (ω)