Aplicación de Programación Lineal en la Gestión de Carteras

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Aplicación de Programación Lineal en la Gestión de Carteras
Jaime Fabián Prieto U1, María Angélica González C 1 , Anastacio Sebastián Arce E 2
Universidad Nacional del Este - Facultad Politécnica
1
[email protected]; 1 [email protected]
Resumen . En las decisiones financieras, uno de los principales problemas es la selección de activos para
la conformación de carteras de inversión, teniendo en cuenta que los agentes de mercado desean tener la
máxima rentabilidad con un mínimo de riesgo. Las decisiones de inversión son tomadas en situaciones de
incertidumbres y generalmente con base en la intuición de los gestores e inversores, según su experiencia
y conocimiento. En este trabajo, la administración de carteras recibe un tratamiento científico a través de
modelos con los cuales se busca obtener “carteras eficientes”, que son aquellas que satisfacen los
criterios del inversor en el sentido de obtener una combinación de activos que resulten en un mínimo de
riesgo para una dada tasa de rentabilidad o retorno.
El modelo utilizado está basado en la teoría de selección de carteras de Harry Markowitz, quien, en su
formulación matemática, relaciona la rentabilidad esperada de una cartera a la esperanza matemática y el
riesgo de la cartera a la desviación estándar. En el trabajo se hace una revisión mínima de conceptos
relacionados a estadística y de programación lineal, necesarios para la formulación del problema. Es
utilizada la planilla electrónica de Excel para resolver el problema de optimización, con lo que quiere
mostrar que el problema de gestión de carteras puede tener un tratamiento adecuado a través de un
programa barato y accesible como es la planilla Excel. Como estudio de caso es presentado el problema
compuesto por cinco activos con datos históricos correspondientes a diez periodos de tiempo. Los
resultados apuntan a un aumento en la tasa de rendimiento de las carteras y una reducción del riesgo.
Palabras claves: Carteras eficientes, programación lineal, optimización.
Abstract: In the financial decisions, one of the main problems is the active selection for the conformation
of investment portfolios, considering that the market agents wish to have the greater yield with the
smaller risk. The investment decisions are taken in uncertainty situations and normally with base in the
manager and investors intuitions. In this work looks to obtain efficient portfolios, that are the ones that
satisfy the investor risk criteria.
The model used is based in the portfolio selection theory from Harry Markowitz, who, in his
mathematical formulation, relates the waited yield of a portfolio to the mathematical hope, and the
portfolio risk to the standard deviation. As a case study is presented a problem composed of five actives
with historic data corresponding to ten periods of time. The results points an increase of the portfolio
yield rate and a reduction of the risk.
Keywords: Efficient portfolios, lineal programming, optimization.
1. Introducción
Uno de los problemas fundamentales en finanzas
es la elección de los activos para la inversión.
Todos los agentes de mercado, sean individuos o
empresas, enfrentan constantemente la cuestión
de dónde invertir sus recursos entre las
alternativas disponibles. Para decidir la mejor
combinación de esas opciones es necesario
considerar el retorno que será obtenido con el
riesgo al que será incurrido, buscando el
máximo retorno posible de su inversión, dentro
de niveles de riesgos aceptables.
El objetivo central de este trabajo es la
aplicación de técnicas de Programación Lineal
(PL) en los modelos de administración de
carteras, para demostrar las ventajas que se
generan con el uso de la optimización.
El proceso científico aplicado a la gestión de
carteras está basado en la Teoría Moderna de
Carteras (Modern Portfolio Theory – MPT),
cuyos principios fueron publicados por primera
vez por Harry Markowitz. Él establece un
ARTÍCULOS CIENTÍFICOS – ELÉCTRICA – Nº 4 – AÑO 2008
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modelo clásico para la gestión de carteras, donde
a partir de la minimización de una función de
evaluación de riesgo, se determina una cartera
óptima. Con este método, se puede, de forma
matemática y estadística, reducir el riesgo de un
conjunto de activos que componen una cartera, a
través de lo que se denomina “diversificación de
carteras de inversión”, confeccionando lo que se
conoce como portafolio o cartera eficiente
(efficient portfolio). Toda cartera eficiente, debe
contener una combinación de activos que tenga
el máximo retorno para una clase de riesgo o, el
mínimo riesgo para una clase de retorno.
El propósito de Harry Markowitz fue utilizar la
medida del riesgo para componer carteras para
inversores que consideran el retorno esperado
algo deseable y la varianza del retorno algo
indeseable, utilizando la investigación operativa
en la selección de carteras.
En este trabajo se estudia la unión de estos
métodos de forma simple en el proceso de
optimización en la selección de carteras, a través
de un programa computacional de fácil acceso
como la planilla electrónica Excel, aplicado a un
problema compuesto por cinco activos con datos
históricos correspondientes a diez periodos de
tiempo. Los resultados apuntan a un aumento en
la tasa de rendimiento de las carteras y una
reducción del riesgo.
2. Selección de Carteras
Es un proceso de evaluación del riesgo y el
retorno esperado, asociado a un conjunto de
acciones, en el que se busca la cartera o
combinación de acciones, con el objetivo de
delinear portfolios eficientes.
En la administración de inversiones existe una
relación directamente proporcional entre el
riesgo y el retorno; y la teoría del portfolio trata
esencialmente de la composición de una cartera
óptima de activos, buscando maximizar la
utilidad o grado de satisfacción del inversor por
la relación riesgo/retorno.
El objetivo básico del estudio de carteras de
activos, de acuerdo a esta teoría, es seleccionar
carteras definidas como óptimas en base al
criterio de inversión propuesto; es seleccionar
carteras que ofrecen el mayor rendimiento
posible para un determinado grado de riesgo.
3. El Riesgo en la Composición de una
Cartera
El riesgo es una posibilidad de que algún
acontecimiento desfavorable o un peligro venga
a ocurrir. El riesgo de una inversión está
vinculado a la probabilidad de ganarse menos de
lo esperado. La definición del riesgo en el área
financiera es la varianza o el desvío en relación a
una media.
El riesgo en el mercado financiero puede ser
dividido en dos tipos básicos:
• El riesgo sistémico, no diversificable: es
inherente a todos los activos negociados en el
mercado, siendo determinados por eventos de
naturaleza política, económica y social. No hay
forma de evitar totalmente el riesgo sistémico.
Este tipo de riesgo se refiere a situaciones que
afectan al mercado como un todo; como por
ejemplo, la disminución de la tasa de interés. Es
aquel que no puede ser eliminado o reducido,
mediante la diversificación.
• El riesgo no sistémico o diversificable: es
identificado en las características del propio
activo; no afecta a los demás activos de la
cartera. Por ejemplo, en el caso en que una cierta
empresa invierta en un proyecto que fue previsto
como viable y con el pasar del tiempo se verifica
que en realidad está siendo inviable
financieramente, esto aunque puede afectar el
valor de esta empresa, no afectará a un número
significativo de otras empresas. Este riesgo
puede ser totalmente diluido con la
diversificación de la cartera.
Es importante, para el estudio del mercado
financiero, que se analice el riesgo de una
cartera compuesta por más de un activo. La
orientación que se asume en esas decisiones
financieras es seleccionar alternativas que lleven
a la mejor diversificación y, consecuentemente,
reducción del riesgo de las inversiones y, al
mismo tiempo, la producción de un retorno
admitido como aceptable en el ámbito de los
inversores de mercado.
El riesgo es eliminado si, por ejemplo, se
implementan dos alternativas de inversiones que
posean correlaciones opuestas, iguales a -1 y 1
respectivamente, como se ilustra en la figura 1.
ARTÍCULOS CIENTÍFICOS – ELÉCTRICA – Nº 4 – AÑO 2008
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4. Efectos de la Diversificación de una
Cartera
E(R)
Años
Figura 1. Inversión con correlación perfectamente negativa
La existencia de activos negativamente
relacionados, indica la existencia de carteras con
inversiones
que
produzcan
retornos
inversamente proporcionales; esto es, cuando el
retorno de uno de ellos decrece, el retorno del
otro activo se elevará en la misma intensidad,
anulando los reflejos negativos producidos. En
este comportamiento ocurre una eliminación
total del riesgo de la cartera, siendo los
resultados desfavorables verificados en algunos
activos perfectamente compensados por el
desempeño positivo de otros [1].
La elección por activos positivos y
perfectamente relacionados, conforme se
observa en la figura 2, define un mayor riesgo.
No se verifica una compensación del riesgo
asumido por los activos, y se pueden generar
altos lucros y elevadas pérdidas.
E(R)
Un inversor que esté en el mercado de acciones
busca el máximo retorno posible a su inversión,
dentro de niveles de riesgo aceptable. El riesgo
y el retorno, por lo general, poseen una
correlación positiva; es decir, cuanto mayor sea
el retorno esperado, mayor será el riesgo y
viceversa. Esta relación puede ser trabajada de
forma a que se consiga, a través de la
diversificación de la inversión la composición de
una cartera de inversión, que aumente el retorno
esperado manteniendo el nivel de riesgo a
niveles iguales o menores que el riesgo
individual de cada activo.
Por medio del concepto de la diversificación, es
posible esperar que activos con riesgos puedan
combinarse en el contexto de una cartera de
forma que se obtenga un riesgo menor que aquel
calculado para cada uno de sus componentes.
Desde que los retornos no sean perfecta y
positivamente relacionados entre sí, hay siempre
una reducción del riesgo por la diversificación.
El proceso de diversificación es el más indicado
para que el riesgo de las inversiones sea diluido
de forma consiente. En la figura 3 puede
observarse que conforme se amplía la
diversificación de la cartera por medio de la
inclusión de más títulos, su riesgo total σ
decrece en función de la eliminación del riesgo
no sistemático. Este proceso es limitado por la
presencia del riesgo sistemático, común a todos
los títulos. A partir de cierto número de títulos,
el riesgo de la cartera se mantiene prácticamente
estable, correspondiendo únicamente a su parte
no diversificable [1].
Años
Figura 2. Inversión con correlación perfectamente
negativa
Riesgo de la
cartera de
inversión σ
Riesgo
Diversificable
El riesgo está presente en todas las inversiones,
aunque sea muy reducido. La concentración de
inversiones en un solo activo expone al inversor
a un gran riesgo, pues queda a merced de las
oscilaciones del mercado, con escasa protección
en caso de variaciones indebidas y no previstas.
Riesgo
Total
Riesgo No
Diversificable
Cantidad de activos
Figura 3. Reducción del riesgo con la diversificación
ARTÍCULOS CIENTÍFICOS – ELÉCTRICA – Nº 4 – AÑO 2008
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5. Frontera Eficiente
La frontera eficiente es una figura que muestra
el riesgo y el retorno para las diversas
composiciones posibles entre dos o más activos.
Está compuesta por las combinaciones de
inversiones que ofrecen la mayor rentabilidad
para un nivel de riesgo dado.
La selección de cartera de inversión más
atractiva para un inversor racional, que evalúa la
relación riesgo/retorno en sus decisiones queda
restricto a las combinaciones disponibles en el
trecho M - W de la línea de combinaciones
descriptas en la figura 4.
W
Rendimiento
( %)
M
Cartera de
mínima
Carteras
Ineficient
Riesgo (desv. stand %)
Figura 4 . Frontera eficiente
Este segmento es conocido como frontera
eficiente. En la frontera eficiente, es posible
seleccionar una cartera que presenta, para un
determinado retorno, el menor riesgo posible. El
análisis de la figura 4 apunta que:
• Todos los portafolios ubicados en la línea
son eficientes.
• Los portafolios ubicados por debajo son
ineficientes.
• No puede haber portafolios ubicados por
encima.
• El punto M se conoce como el portfolio de
varianza mínima, representa una cartera de
activos que presenta el menor riesgo posible.
6. Modelo de Gestión de Carteras de Harry
Markowitz
Consiste en buscar aquella composición de la
cartera que haga máxima la rentabilidad para un
determinado nivel de riesgo, o bien, mínimo el
riesgo para una rentabilidad dada. Partiendo de
los siguientes conceptos:
1. La rentabilidad de cualquier titulo o cartera,
es una variable aleatoria cuya distribución
de probabilidad para el periodo de referencia
es conocida por el inversor. Se acepta como
medida de rentabilidad de la inversión “la
media o la esperanza matemática” de dicha
variable.
2. Se acepta como medida de riesgo la
dispersión, medida por la varianza o la
desviación estándar de la variable aleatoria
que describe la rentabilidad, ya sea de un
valor individual o de una cartera.
3. El inversor elegirá aquellas carteras con una
mayor rentabilidad y menor riesgo.
Este método registra la varianza de una cartera,
como la suma de las varianzas individuales de
cada acción y covarianza entre pares de acciones
de carteras, de acuerdo con el peso de cada
acción en la cartera. Debe estar presente una
cartera que maximice el retorno esperado y
minimice la varianza, y ésta debe ser la
recomendada para un inversor.
Aunque el retorno esperado sea la media
ponderada de los retornos individuales, lo
mismo no puede ser dicho para la varianza o
riesgo de la cartera. De acuerdo con este
procedimiento, la varianza de la cartera depende
de la covarianza entre pares de activos, el cual, a
su vez, depende de la correlación entre los
activos. Así, cuando dos o más activos poco
relacionados componen una cartera de
inversiones, se consigue un riesgo menor que la
media ponderada de los riesgos individuales, y
algunas veces un riesgo menor que el del activo
de menor riesgo con un retorno mayor que el de
este activo.
Este modelo centrado en la diversificación de
carteras, muestra cómo un inversor puede
reducir el riesgo de una cartera eligiendo valores
cuyas oscilaciones no sean paralelas, es decir,
valores que tengan poca relación de manera que
unos aumenten su valor mientras otros
experimenten bajas en sus precios.
Con el objetivo de utilizar la noción del riesgo
para componer cartera de inversores que
consideran el retorno esperado algo deseable y la
varianza del retorno algo indeseable, el modelo
muestra que mientras el retorno de una cartera
diversificada equivale a la media ponderada de
los retornos de sus componentes individuales, su
volatilidad será inferior a la volatilidad de sus
componentes individuales.
El modelo de Markowitz es basado en ocho
hipótesis:
ARTÍCULOS CIENTÍFICOS – ELÉCTRICA – Nº 4 – AÑO 2008
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Hipótesis 1: Los inversores evalúan carteras
apenas con base en el valor esperado y en las
varianzas de las tasas de retornos de los activos
disponibles.
Hipótesis 2: Los inversores buscan maximizar
sus retornos. Cuando deben elegir entre dos
carteras con el mismo riesgo, siempre elegirán la
que tiene mayor retorno.
Hipótesis 3: Los inversores buscan minimizar su
riesgo. Cuando deben elegir entre dos carteras
con el mismo retorno, siempre elegirán aquella
con menor riesgo.
Hipótesis 4: Los activos son infinitamente
divisibles, por lo que es posible comprar
cualquier fracción de activo.
Hipótesis 5: Existe una tasa libre de riesgo, en la
cual el inversor puede tanto aplicar como tomar
recursos prestados.
Hipótesis 6: El volumen de las operaciones del
inversor no afecta los precios del mercado.
Hipótesis 7: Los costos operacionales de
comprar activos son irrelevantes.
La formulación matemática es dada por:
Minimizar la varianza de la cartera dada por:
N
N
σ = ∑ ∑ wi w j σ ij
Descripción del Modelo
Para describir el modelo se considera un
inversor que desea componer una cartera de
acciones con base en cinco activos diferentes. Se
determinará, utilizando el método
de
Markowitz, cuál es la mejor combinación de
acciones que minimiza el riesgo de acuerdo con
el retorno deseado.
Las variables de decisión de este ejemplo son:
• Participaciones individuales de cada activo
en la cartera.
• Retorno de la cartera.
• Riesgo de la cartera.
• Retorno individual de cada activo.
• Varianzas y covarianzas.
Se desea saber cuál deberá ser el porcentaje de
inversión de cada activo con el fin de reducir los
riesgos. La función objetivo, en este ejemplo, es
la de minimizar el riesgo o varianza dada por el
modelo de Harry Markowitz y está representada
por:
 5

VAR = ∑ X i ∗  ∑ X j ∗ σ ij 
i =1
 j =1

5
Este modelo también revela cuáles son las
restricciones que deben ser respetadas en la
solución de este problema. O sea:
Participaciones Individuales ( X i ) ≥ 0
Suma de las Participaciones Individuales
5
∑X
i =1 j =1
Maximizar el retorno de la cartera dada por:
i =1
i
= 100%
N
La definición de la tasa de retorno mínimo
i =1
deseado
R = ∑ wi × ri
5
N
Ambos sujetos a:
i = 1,..., N
Donde:
∑w
i =1
i
= 1 y 0 ≤ wi ≤ 1 ,
R: Retorno de la cartera.
wi: Porción invertida en el activo
i.
ri: Retorno del activo i.
σij: Covarianza entre los activos i
y j.
∑X r
i =1
i i
≥R
Datos Recolectados
La tabla 1 muestra los datos seleccionados con
una composición de cinco activos no
optimizados, como datos iniciales a los cuales se
aplicará la optimización para hallar la cartera
óptima [3].
2. Ejemplo de Aplicación
Se presenta una aplicación de PL en la selección
de carteras, con el modelo de Markowitz ,
utilizando como herramienta
la planilla
electrónica Excel.
ARTÍCULOS CIENTÍFICOS – ELÉCTRICA – Nº 4 – AÑO 2008
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HISTÓRICO DE RETORNOS DE LOS ACTIVOS
Activo
1
Activo
2
Activo
3
Activo
4
Activo
5
Periodo
1
10,00%
15,00%
12,00%
18,00%
5,00%
Periodo
2
12,00%
17,00%
13,00%
16,00%
8,00%
Periodo
3
8,00%
4,00%
9,00%
3,00%
10,00%
Periodo
4
7,00%
-8,00%
7,00%
4,00%
9,00%
Periodo
5
9,00%
15,00%
9,00%
8,00%
5,00%
Periodo
6
7,00%
22,00%
11,00%
10,00%
4,00%
Periodo
7
8,00%
3,00%
9,00%
-3,00%
4,00%
Periodo
8
6,00%
14,00%
6,00%
15,00%
6,00%
Periodo
9
9,00%
2,00%
8,00%
20,00%
8,00%
Periodo
10
11,00%
15,00%
10,00%
16,00%
10,00%
Se calculan las varianzas- covarianzas, entre los
pares de activos que podrán componer la cartera,
a través de las formulas VARP y COVAR. Los
resultados se observan en la figura 6.
Figura 6 - Resultado del retorno calculado con PROM
Tabla 1. Datos iniciales
Procesamiento de los Datos. Determinación
del Retorno Esperado y el Riesgo de una
Cartera.
Inicialmente se define el retorno esperado, el
desvío estándar, la varianza y las covarianzas
entre las acciones seleccionadas. En la planilla,
se aplica retornos de 5 acciones para 10
periodos. La tabla 1 muestra una composición de
activos aún no optimizadas. A partir de estos
datos iniciales serán hechas las optimizaciones
para encontrarse la cartera óptima.
En relación a la diversificación, se parte del
supuesto de que el inversor deberá dividir
proporcionalmente las acciones en su cartera de
acciones.
El retorno puede calcularse a través de la
función PROMEDIO, cuyos resultados se
observan en la figura 5.
La varianza de las acciones son definidas por el
producto de su participación porcentual, por la
sumatoria de la matriz varianza – covarianza,
multiplicada por las participaciones porcentuales
de las demás acciones. Este cálculo se realiza a
través de la función SUMAPRODUCTO del
Excel. El retorno de cada acción es definido por
el producto de la participación porcentual y el
retorno esperado.
La figura 6 muestra los resultados del retorno
esperado y el riesgo, medido por la varianza para
la cartera con la composición inicial. La
participación equitativa en 20% de cada acción,
resulta con un retorno de 8,56% y un desvío
estándar de 3,49%.
Figura 7 . Retorno esperado y riesgo para una
composición de cartera
Optimización de la Cartera
La optimización de la cartera de acciones
consistirá en minimizar la varianza manteniendo
un retorno esperado de como mínimo 9%,
conforme se puede apreciar en la figura 8.
Figura 5 . Resultado del retorno calculado con PROM
ARTÍCULOS CIENTÍFICOS – ELÉCTRICA – Nº 4 – AÑO 2008
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participación de la acción 3 pasa de 20 a
33,74%. Este resultado se debe al porcentual de
covarianza entre ambas acciones, el mayor entre
los pares de acciones, conforme se aprecia en la
figura 9.
Definición de la Frontera Eficiente
Figura 8 . Optimización de carteras con el Solver
Los resultados de la optimización
resumidos en las figuras 9 y 10.
En el ejemplo serán estudiados los resultados de
la minimización del riesgo para los valores de
retorno esperado definidos en la tabla 3.
están
%
7,32
Retorno Esperado
%
8,00
%
9,00
%
10,00
%
10,70
Tabla 3. Datos para cálculo de frontera eficiente
Se puede notar que los valores de retorno
esperado varían entre 7,32 a 10,7 %. Los
resultados obtenidos para cada uno de los casos
están resumidos en la tabla 4.
Figura 9. Matriz de varianza – covarianza de cartera
optimizada
Retorno Esperado
%
7,32
%
8,00
%
9,00
%
10,00
%
10,70
Varianza
0,02
0,03
0,09
0,25
0,80
Desvío Estándar
1,44
1,77
2,93
5,05
8,92
Tabla 4 . Datos para graficar la frontera eficiente
Figura 10. Composición de la cartera optimizada y
resultados de la misma
El uso de la optimización, vía Solver del Excel,
resulta en valores mejores en términos de
retorno esperado y riesgo comparado con el caso
inicial, en que la cartera está compuesta con una
participación equitativa de todas las acciones.
Para una restricción de retorno esperado igual o
mayor a 9% se obtiene una disminución del
riesgo, medido por la varianza, de 0,12 a 0,09%.
Tabla 2 . Tabla de resultados
La composición inicial y optimizada de la
cartera esta detallada en la tabla 2. Se puede
notar una buena diversificación de las
aplicaciones en la cartera optimizada. La acción
2 con una participación inicial de 20%, en la
composición de la cartera inicial pasa a una
participación de apenas 0,73%, mientras que la
La representación gráfica de estos resultados
define la frontera de eficiencia para el conjunto
de acciones. La frontera eficiente representada
por la curva en azul, en la figura 12, está
compuesta por las mejores combinaciones de
activos en términos de retorno esperado y riesgo.
Cualquier punto debajo de esta curva será
considerado como una combinación ineficiente,
dado que existe una solución o combinación de
acciones para componer la cartera que resultará
en mejores resultados en términos de retorno
esperado o riesgo. En la misma figura 12 se
puede notar que el punto no óptimo posee un
valor de riesgo y un retorno esperado cuyo valor
es menor que el localizado sobre la línea
eficiente, que tendrá un valor de retorno
Activo 1
Activo 2
Activo 3
Activo 4
Activo 5
Total
Retorno
total
Varianza
Participación
original
20%
20%
20%
20%
20%
100%
Participación en la
cartera optimizada
29,44%
0,73%
33,74%
19,08%
17,01%
100%
8,56%
9,00%
0,12%
0,09%
esperado mayor.
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131
12,00%
4. Referencias
Reto rn o
10,00%
8,00%
Frontera eficiente
6,00%
punto no optimo
4,00%
[1] Orge, C. A. (2007); “Como Investir em
Açoes”, Editora Ciencia Moderna Ltda., Rio de
Janeiro (Brasil), 207.
2,00%
0,00%
0,00%
0,50%
1,00%
Riesgo
Figura 12. Frontera eficiente del ejemplo
[2] Neto, A. (2006); “Mercado Financiero”, 7ª
Edición, Editora Atlas S.A., San Paulo (Brasil)
[3] http://www.feb.unesp.br. . Accedido en el
día 17/12/2007.
La selección de la cartera es determinada por la
postura del inversor frente al riesgo; mayores
riesgos dan oportunidad a mayores retornos
esperados y viceversa.
3. Conclusiones
En el trabajo se describen las teorías que
fundamentan la administración de carteras, a
través del estudio y el análisis del riesgo en la
gestión de carteras de activos financieros,
mediante la aplicación del modelo matemático
definido por Harry Markowitz, el cual utiliza
parámetros estadísticos para representar el
riesgo, desviación estándar, rendimiento
esperado y esperanza matemática de una cartera
compuesta por más de un activo. La definición
de la cartera óptima, conforme a esta teoría,
resulta de la combinación adecuada de estas
acciones para componer la cartera.
A partir de la formulación matemática del
problema se buscó obtener la solución que
minimice el riesgo para una rentabilidad dada o
maximice la ganancia para un determinado
riesgo.
De los resultados obtenidos se destaca la
importancia del índice de correlación entre los
activos para la minimización de los niveles de
riesgo de la cartera. Activos con índices de
correlación positivamente elevados, o sea,
próximos a +1, a través de la aplicación de la PL
son evitados en la formación de una cartera de
inversión, pues las eventuales pérdidas en un
activo serán acompañadas por pérdidas en los
otros activos positivamente correlacionados.
ARTÍCULOS
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CIENTÍFICOS––ELÉCTRICA
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Nº44––AÑO
AÑO2008
2008