Problema 12, paragrafo 3, capítulo IV. Linear Algebra. Serge Lang

Problema 12, paragrafo 3, capítulo IV. Linear Algebra. Serge Lang. Segunda
edición
Solución
n
o
~ 2 Matn n (R) j aij = aji i; j = 1; 2; :::; n
S= M
i) Mostrar que S es un espacio vectorial.
Al ser S Matn n (R), que es un espacio vectorial, basta mostrar que S es
cerrado ante la suma y ante la multiplicación por un escalar.
~ B
~ 2 S, es decir dos matrices simétricas. El elemento arbitrario i; j
Sean A;
~
~ . Por tanto, la
de su suma es A~ + B
= aij + bij = aji + bji = A~ + B
ij
ji
suma también es simétrica.
Sean A~ 2 S, es decir una matriz simétrica y sea r 2 R. El elemento arbitrario
i; j de rA~ es rA~
= raij = raji = rA~ . Por tanto, el producto por un
ij
ji
escalar de una matriz simétrica, también es simétrico.
En conclusión, S es un subespacio vectorial de Matn n (R), es decir, es un
espacio vectorial en si mismo.
ii) La dimensión del espacio es igual al número de elementos diferentes que,
en general, tiene una matriz en S. El número total de elementos de una matriz
en Matn n (R) es n2 . Los elementos de la diagonal son n. Así que el número
de elementos fuera de la diagonal son n2 n = n (n 1). Ahora la mitad de
"arriba" son iguales a la mitad de "abajo", ya que la matriz es simétrica, así
que hay que restar n (n 1) =2 elementos y la dimensión del espacio vectorial
de matrices simétricas es
Dim S = n2 n (n 1) =2 = n (n + 1) =2
iii) Una base para n = 2
Las matrices simétricas 2 2 son todas de la forma
a c
c b
que siempre se pueden poner como
a c
1 0
0 0
0 0
=a
+b
+c
c b
0 0
0 1
0 1
Es decir, las matrices
1 0
0 0
0 0
;
;
0 0
0 1
0 1
son una base del espacio vectorial de matrices simétricas.
Es claro, además, que la dimensión del espacio es 3.
iv) Una base para n = 3
Las
simétricas 3 3 son todas de la forma
0 matrices 1
a d e
@ d b f A
e f c
que
0 siempre se
1 pueden
0 poner como
1
0
1
0
1
a d e
1 0 0
0 0 0
0 0 0
@ d b f A = a@ 0 0 0 A + b@ 0 1 0 A + c@ 0 0 0 A +
e f c
0 0 0
0 0 0
0 0 1
1
0
1
0
0 0
0 0
0 0 A + e@ 0 0
0 0
1 0
decir, las 1
matrices
0
1 0 0
0 0
@ 0 0 0 A;@ 0 1
0 0 0
0 0
son una base del espacio
espacio es 6.
0
d@ 1
0
Es
0
1
0
1
0
0 0 0
0 A+f@ 0 0 0 A
0
0 1 0
1 0
1 0
1 0
0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 A;@ 0 0 0 A;@ 1 0 0 A;@ 0 0
0
0 0 1
0 0 0
1 0
vectorial de matrices simétricas y la dimensión
2
1 0
0
0
0 A;@ 0
0
0
del
0
0
1
1
0
0 A
0